☆重点难点剖析☆
17.4 反比例函数
反比例函数的定义
一般的，形如的函数，叫做反比例函数。其中是自变量，是函数。
注意：
反比例函数的其他形式：； 2、； 3、
题型一：根据反比例函数的定义求解
【例1】下列函数中,是的反比例函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】A.函数 ，是的反比例函数，符合题意；
B.函数 ，不是的反比例函数，不符合题意；
C.函数 ，不是的反比例函数，不符合题意；
D.函数，不是的反比例函数，不符合题意；
故答案为：A.
【例2】已知是关于的反比例函数，求
【答案】0
【解析】因为是关于x的反比例函数，
所以，解得，
所以，
所以．
题型二：判断点是否在反比例函数图像上
【例3】下列函数的图象不经过点的是（ ）
B． C． D．
【答案】C
【解析】解：当时，，故该函数图象经过点，选项A不符合题意；
当时，，故该函数图象经过点，选项B不符合题意；
当时，，故该函数图象不经过点，选项C符合题意；
当时，，故该函数图象经过点，选项D不符合题意．
故选：C．
1．下列函数：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨，其中y是x的反比例函数的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【解析】①x的次数是1，所以y是x的一次函数；
②y是x的反比例函数；
③，所以y是x的反比例函数；
④分母是，不是x，所以y不是x的反比例函数；
⑤是反比例函数变形的的形式，所以y是x的反比例函数；
⑥没有说明，所以y不是x的反比例函数；
⑦分母中x的次数是2，所以y不是x的反比例函数；
⑧x的次数是1，所以y是x的一次函数；
⑨y不是x的反比例函数．
综上，y是x的反比例函数的有②③⑤，共3个．
故选：D．
2．下列函数：，，，，其中，是的反比例函数的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：∵，
∴，故是反比例函数；
∵，
∴，故是反比例函数；
∵，
∴，故是反比例函数；
不是反比例函数；
∴是的反比例函数有，
故选：．
3．若点，，在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解： ∵点，，在反比例函数的图象上，
，
故选：C．
4．已知点在反比例函数的图象上，则 ．
【答案】0
【解析】解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
解得：，
故答案为：．
5．已知点与点均在反比例函数的图象上，则的值是 ．
【答案】0
【解析】解：把点与点代入反比例函数
得：，，
∴，
故答案为：0．
6．已知函数．
(1)当m为何值时，y是x的正比例函数？
(2)当m为何值时，y是x的反比例函数？
【答案】1,0
【解析】（1）解：∵函数是正比例函数，
∴，且，解得．
（2）解：∵函数是反比例函数，
∴，且，解得．
即当时，y是x的反比例函数．
7．已知 与 成正比例，与 成反比例． 并且当 时，；当 ，求 与 之间的函数关系式．
【答案】
【解析】解：设，
则：，
由题意，得：，解得：，
∴．
反比例函数的图像与性质
反比例函数图像是双曲线，反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴.
当时，函数图像经过一三象限，在每个象限内，随的增大而减小;
当时，函数图像经过二四象限，在每个象限内，随的增大而增大;
注意：反比例函数图像关于原点对称，若在反比例函数图像上，则也在反比例函数图像上。
题型三：利用反比例函数的性质求解
【例4】（九年级上·山东烟台·期中）已知反比例函数，下列说法错误的是（ ）
A．在每个象限内，y的值随x的值增大而增大
B．是轴对称图形，也是中心对称图形
C．过原点的直线与交于点，则该直线与一定还交于点
D．图象分别位于第二、四象限内
【答案】C
【解析】A、，，在每个象限内y的值随x的值增大而增大，故A选项正确；
B、反比例函数图象，是轴对称图形，也是中心对称图形，故B选项正确；
C、过原点的直线与交于点，则该直线与一定还交于点，故C选项错误；
D、图象分别位于第二、四象限内，故D选项正确
故选：C．
1．（九年级上·内蒙古乌海·阶段练习）一次函数，y随x的增大而减小，那么反比例函数满足（ ）
A．当时， B．在每个象限内，y随x的增大而减小
C．图象分布在第二、四象限 D．、在图象上，当时，
【答案】C
【解析】解：∵一次函数，y随x的增大而减小，
∴，
∴反比例函数图象经过第二、四象限，在每一个象限内，y随x增大而增大，
综上所述，C选项正确．
故选：C．
2．（九年级上·山东威海·期末）若点是反比例函数图像上一点，则下列说法正确的是( )
A．图像分别位于一、三象限 B．点在函数图像上
C．当时，随的增大而增大 D．当时，
【答案】C
【解析】解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴；
∴图象位于第二、四象限；故A错误；
点不在该函数图象上；故B错误；
当时，y随x的增大而增大，故C正确；
当时，或；故D错误；
故选：C
3．（九年级上·贵州安顺·阶段练习）关于反比例函数，下列说法不正确的是（ ）
A．点在其图象上 B．当时，随的增大而减小
C．当时， D．其图象在第二、四象限
【答案】B
【解析】解：由点的坐标满足反比例函数，故A是正确的，不符合题意；
由反比例函数的性质，，在每个象限内，y随x的增大而增大，不在同一象限，不具有此性质，故B是不正确的，符合题意；
当时，y随x的增大而减小，时，则，故当时，，故C是正确的，不符合题意；
由，双曲线位于二、四象限，故D也是正确的，不符合题意；
故选：B．
4．（九年级上·河北承德·期末）已知反比例函数,下列说法不正确的是( )
A．图象经过点
B．图象分别在二、四象限
C．时,或
D．在每个象限内y随x增大而减小
【答案】D
【解析】解：A、,图象经过点(4,-2),正确,不符合题意；
B、,图象分布在第二、四象限,正确,不符合题意；
C、反比例函数,时,或,正确,不符合题意；
D、反比例函数,在每个象限内y随x增大而增大,不正确,符合题意；
故选：D．
5．（九年级下·江西·期中）已知正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，下列说法正确的是（ ）
A．正比例函数的解析式是
B．两个函数图象的另一个交点的坐标为
C．正比例函数与反比例函数都随的增大而减小
D．当或时，
【答案】D
【解析】解：正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，
正比例函数的解析式为，反比例函数的解析式为．
令，
解得，
把代入，得：，
两个函数图象的另一个交点的坐标为，
∴A、B选项说法错误，不符合题意；
在正比例函数中，随的增大而减小；
在反比例函数中，在每个象限内，随的增大而增大，
∴C选项说法错误，不符合题意；
由两个函数的图象可知，当或时，，
∴D选项说法正确，符合题意．
故选D．
题型四：利用反比例函数的对称性求解
【例5】（九年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，反比例函数的图象与经过原点的直线相交于、两点，点的坐标为，则点的坐标为（ ）
B． C． D．
【答案】D
【详解】解：反比例函数的图象与经过原点的直线相交于、两点，
、两点关于原点对称，
点的坐标为，
点的坐标为．
故选D．
1．（九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，过原点的一条直线与反比例函数的图象分别交于、两点，若点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：∵反比例函数的图象是中心对称图形，
∴反比例函数与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，
∵点的坐标为，
∴点的坐标为，
故选A．
题型五：利用反比例函数的增减性解题
【例6】（2024九年级·全国·竞赛）如果当时，反比例函数的函数值随x的增大而增大，那么一次函数的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
【答案】B
【详解】解：由题意得：，
，，
∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，
故选：B．
【例7】（2024·山东济南·二模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：∵，
∴反比例函数经过第一、三象限，且在每一象限内，y随着x增大而减小，
根据A，B，C点横坐标，可知点B，C在第一象限，A在第三象限，
∴，
∴．
故选：B．
1．（九年级上·山东泰安·阶段练习）在函数 （为常数）的图象上有三点，，，则函数值的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：，
，
反比例函数 的图象在二、四象限，
点的横坐标为，
该点在第四象限，，
点，，的横坐标，
两点均在第二象限，，，
在第二象限内，随的增大而增大，
，
，
故选：．
2．（2023·陕西西安·模拟预测）在反比例函数（为常数）上有三点，，，若，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵，
∴反比例函数图像的两个分支在第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，
，
在第三象限，
，
和在第一象限，且y随x的增大而减小，
，
∴．
故选：C．
3．（九年级下·湖南永州·阶段练习）若反比例函数（为常数）的图象在第二、四象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】∵反比例函数 (为常数)的图象在第二、四象限，
∴，
解得．
故选：D．
4．（2024九年级·全国·竞赛）当反比例函数的自变量满足时，函数值满足，则的值为（ ）
A． B．或2 C．或 D．2或
【答案】A
【解析】解：当时，有，则；
∵当时，有，
∴当时，；当时，；
∴；
即；
故选：A．
5．（八年级上·上海宝山·期末）已知反比例函数的图象有一支在第四象限，点在正比例函数的图象上，那么点P在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】解：反比例函数的图象有一支在第四象限，
，
，
正比例函数的图象经过一、三象限，
点在正比例函数的图象上，
点在第一象限．
故选：A．
题型六：反比例函数与一次函数图像综合
【例8】（八年级下·吉林长春·期中）在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】、∵反比例函数经过第一、三象限，则，一次函数经过第一、二、四象限，则，，
∴二者的取值范围相同，符合题意；
、∵反比例函数经过第一、三象限，则，一次函数经过第一、二、三象限，则，，
∴二者的取值范围不相同，不符合题意；
、∵反比例函数经过第二、四象限，则，一次函数经过第一、二、三象限，则，，
∴二者的取值范围不相同，不符合题意；
、∵反比例函数经过第二、四象限，则，一次函数经过第一、二、四象限，则，，
∴二者的取值范围不相同，不符合题意；
故选：．
1．（2023·湖北襄阳·中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】解：当时，反比例函数过一三象限，一次函数与y轴正半轴有交点，过一二三象限，故A正确，排除B；
当时，反比例函数过二四象限，一次函数与y轴负半轴有交点，过二三四象限，排除C、D；
故选：A．
2．（九年级上·湖南常德·阶段练习）反比例函数和一次函数在同一坐标系中的图像大致是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】解：
A． 选项中一次函数与y轴交于正半轴，则，即；反比例函数图像在一、三象限，；一次函数和反比例函数判断出k的符号是不一致，故不符合题意；
B．选项中一次函数与y轴交于正半轴，则，即；反比例函数图像在二、四象限，；一次函数和反比例函数判断出k的符号是一致，故符合题意；
C．选项中一次函数与y轴交于正半轴，则，即；反比例函数图像在一、三象限，；一次函数和反比例函数判断出k的符号是不一致，故不符合题意；
D． 选项中一次函数与y轴交于负半轴，则，即；反比例函数图像在二、四象限，；一次函数和反比例函数判断出k的符号是不一致，故不符合题意；
故选：B．
3．（八年级下·江苏苏州·期中）反比例函数与一次函数在同一坐标系的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】解：A、由反比例函数的图像可知，，由一次函数的图像可知，两结论矛盾，故本选项错误，不符合题意；
B、由反比例函数的图像可知，，由一次函数的图像可知，故本选项正确，符合题意；
C、由反比例函数的图像可知，，由一次函数的图像可知，两结论矛盾，故本选项错误，不符合题意；
D、由反比例函数的图像可知，，由一次函数的图像可知，但由一次函数图像与轴交点可知，与题目不符，故本选项错误，不符合题意．
故选：B．
4．（八年级下·河南新乡·期中）在同一坐标系中，函数和的图像大致是（ ）
A． B． C．D．
【答案】D
【解析】解：当时，函数的图像位于第一、三象限，经过第一、二、四象限；
当时，函数的图像经过第二、四象限，经过第一、二、三象限．
综上所述，选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意．
故选：D．
5．（八年级下·河南南阳·期中）在同一坐标系中，函数与（常数）的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】解：A.由一次函数的图象知，，，由反比例函数的图象知，，故此选项图象正确，符合题意；
B.由一次函数的图象知，，，由反比例函数的图象知，，故此选项图象不正确，不符合题意；
C.由一次函数的图象知，，，由反比函数的图象知，，故此选项图象不正确，不符合题意；
D.由一次函数的图象知，，，由反比例函数的图象知，，故此选项图象不正确，不符合题意；
故选：A．
6．（八年级下·广东广州·期中）如图，函数与在同一坐标系内的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：A.由反比例函数的图象在二、四象限可知，；而一次函数的图象经过二、四象限可知，，即，相矛盾，故A选项错误，不符合题意；
B.由反比例函数的图象在二、四象限可知，；而一次函数的图象经过一、三象限可知，，即，又，一次函数与轴交于正半轴，与一次函数经过一、三、四象限相矛盾，故B选项错误，不符合题意；
C.由反比例函数的图象在一、三象限可知，；而一次函数的图象经过一、三象限可知，，即，相矛盾，故B选项错误，不符合题意；
D.由反比例函数的图象在一、三象限可知，；而一次函数的图象经过二、四象限可知，，即，又，一次函数与轴交于正半轴，与一次函数经过一、二、四象限相符合，故D选项错误，符合题意；
故选：D．
7．（八年级下·四川乐山·期末）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D
【答案】D
【详解】解：分类讨论：
①当时，的图象过第一、二、四象限，
的图象过第二、四象限，
②当时，的图象过第一、三、四象限，
的图象过经过第一、三象限．
综上，符合题意的选项为D．
故选：D．☆重点难点剖析☆
17.4 反比例函数
反比例函数的定义
一般的，形如的函数，叫做反比例函数。其中是自变量，是函数。
注意：
反比例函数的其他形式：； 2、； 3、
题型一：根据反比例函数的定义求解
【例1】下列函数中,是的反比例函数的是（ ）
A. B. C. D.
【例2】已知是关于的反比例函数，求
题型二：判断点是否在反比例函数图像上
【例3】下列函数的图象不经过点的是（ ）
B． C． D．
1．下列函数：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨，其中y是x的反比例函数的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．下列函数：，，，，其中，是的反比例函数的有（ ）
A． B． C． D．
3．若点，，在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．已知点在反比例函数的图象上，则 ．
5．已知点与点均在反比例函数的图象上，则的值是 ．
6．已知函数．
(1)当m为何值时，y是x的正比例函数？
(2)当m为何值时，y是x的反比例函数？
7．已知 与 成正比例，与 成反比例． 并且当 时，；当 ，求 与 之间的函数关系式．
反比例函数的图像与性质
反比例函数图像是双曲线，反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴.
当时，函数图像经过一三象限，在每个象限内，随的增大而减小;
当时，函数图像经过二四象限，在每个象限内，随的增大而增大;
注意：反比例函数图像关于原点对称，若在反比例函数图像上，则也在反比例函数图像上。
题型三：利用反比例函数的性质求解
【例4】（九年级上·山东烟台·期中）已知反比例函数，下列说法错误的是（ ）
A．在每个象限内，y的值随x的值增大而增大
B．是轴对称图形，也是中心对称图形
C．过原点的直线与交于点，则该直线与一定还交于点
D．图象分别位于第二、四象限内
1．（九年级上·内蒙古乌海·阶段练习）一次函数，y随x的增大而减小，那么反比例函数满足（ ）
A．当时， B．在每个象限内，y随x的增大而减小
C．图象分布在第二、四象限 D．、在图象上，当时，
2．（九年级上·山东威海·期末）若点是反比例函数图像上一点，则下列说法正确的是( )
A．图像分别位于一、三象限 B．点在函数图像上
C．当时，随的增大而增大 D．当时，
3．（九年级上·贵州安顺·阶段练习）关于反比例函数，下列说法不正确的是（ ）
A．点在其图象上 B．当时，随的增大而减小
C．当时， D．其图象在第二、四象限
4．（九年级上·河北承德·期末）已知反比例函数,下列说法不正确的是( )
A．图象经过点
B．图象分别在二、四象限
C．时,或
D．在每个象限内y随x增大而减小
5．（九年级下·江西·期中）已知正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，下列说法正确的是（ ）
A．正比例函数的解析式是
B．两个函数图象的另一个交点的坐标为
C．正比例函数与反比例函数都随的增大而减小
D．当或时，
题型四：利用反比例函数的对称性求解
【例5】（九年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，反比例函数的图象与经过原点的直线相交于、两点，点的坐标为，则点的坐标为（ ）
B． C． D．
1．（九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，过原点的一条直线与反比例函数的图象分别交于、两点，若点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
题型五：利用反比例函数的增减性解题
【例6】（2024九年级·全国·竞赛）如果当时，反比例函数的函数值随x的增大而增大，那么一次函数的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
【例7】（2024·山东济南·二模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
1．（九年级上·山东泰安·阶段练习）在函数 （为常数）的图象上有三点，，，则函数值的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·陕西西安·模拟预测）在反比例函数（为常数）上有三点，，，若，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
3．（九年级下·湖南永州·阶段练习）若反比例函数（为常数）的图象在第二、四象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024九年级·全国·竞赛）当反比例函数的自变量满足时，函数值满足，则的值为（ ）
A． B．或2 C．或 D．2或
5．（八年级上·上海宝山·期末）已知反比例函数的图象有一支在第四象限，点在正比例函数的图象上，那么点P在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
题型六：反比例函数与一次函数图像综合
【例8】（八年级下·吉林长春·期中）在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
1．（2023·湖北襄阳·中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
2．（九年级上·湖南常德·阶段练习）反比例函数和一次函数在同一坐标系中的图像大致是( )
A． B．
C． D．
3．（八年级下·江苏苏州·期中）反比例函数与一次函数在同一坐标系的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
4．（八年级下·河南新乡·期中）在同一坐标系中，函数和的图像大致是（ ）
A． B． C．D．
5．（八年级下·河南南阳·期中）在同一坐标系中，函数与（常数）的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
6．（八年级下·广东广州·期中）如图，函数与在同一坐标系内的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
7．（八年级下·四川乐山·期末）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D
