第一章解三角形
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课件66张PPT。1.1 正弦定理和余弦定理第一章 解三角形BACDabABCcabCBADbCaEACBDbcaDED利用正弦定理可以解决怎样的解三角形问题？已知两角和任一边，求其它两边和一角；
已知两边及其中一边对角，求另一边的对角及其他的边和角。为 （ ）A、等边三角形 B、直角三角形
C、等腰三角形 D、等腰直角三角形 定理应用小 结正弦定理用途：解斜三角形 已知两角和任一边，求其它两边和一角；
已知两边及其中一边对角，求另一边的对角及其他的边和角。实现三角形当中边角之间的转化巩 固 1、中， 2、中，5.9 余弦定理复习回顾正弦定理：可以解决两类有关三角形的问题：（1）已知两角和任一边。（2）已知两边和一边的对角。变形：情景设置： 隧道工程设计，经常要测算山脚的长度，工程
技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山
脚B、C的距离，再利用经纬仪测出A对山脚BC（即
线段BC）的张角，最后通过计算求出山脚的长度BC。已知：AB、 AC、角Ａ
(两条边、一个夹角)研究：在三角形ＡＢＣ中，ＡＢ＝c，BC=a，CA=b,∵即：由此可得：余弦定理 三角形任一边的平方等于其他两边平方的和
减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．应用：已知两边和一个夹角，求第三边． 隧道工程设计，经常要测算山脚的长度，工程技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山脚B、C的距离，再利用经纬仪测出A对山脚BC（即线段BC的张角），最后通过计算求出山脚的长度BC。已测得：ＡＢ＝１千米，
AＣ＝ 千米
角Ａ＝６０Ｏ
求山脚ＢＣ的长度．解：由余弦定理变形得：应用：已知三条边求角度．例1、在△ABC中，已知
求角A、Ｂ、Ｃ。例２、在△ABC中，已知
求b及Ａ那 呢?提炼：设a是最长的边，则△ABC是钝角三角形△ABC是锐角三角形△ABC是直角角三角形例4、 △ABC中， 求B，并判断
△ABC的形状。例5：在三角形ABC中，已知a=7,b=8,cosC= ,求最大角的余弦值.分析：求最大角的余弦值，最主要的是判断哪个角是最大角。由大边对大角，已知两边可求出第三边,找到最大角。解：则有：b是最大边，那么B 是最大角例6：一钝角三角形的边长为连续自然数，则这三边长为（ ）
A、1，2，3 B、2，3，4 C、3，4，5 D、4，5，6分析： 要看哪一组符合要求，只需检验哪一个选项
中的最大角是钝角，即该角的余弦值小于0。B中： ，所以C是钝角D中： ，所以C是锐角，
因此以4，5，6为三边长的三角形是锐角三角形A、C显然不满足B例7、 在△ABC中 ，已知sinA=2sinBcosC，试判断该三角形的形状。4.在△ABC中 ，已知2a=b+c,sin2A=sinBsinC，试判断该三角形的形状。3.在△ABC中 ，已知（a+b+c)(b+c-a)=3bc，求A的度数。总结（1）余弦定理适用于任何三角形（3）由余弦定理可知：（2）余弦定理的作用： a、已知三边，求三个角 b、已知两边及这两边的夹角，求第三边，进而可求出其它两个角c、判断三角形的形状小结：余弦定理应用：１、已知两条边和一个夹角，求第三条边。
２、已知三条边，求三个角。判断三角形的形状。应用举例高度角度距离正弦定理 余弦定理例1、设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，∠BAC＝51o， ∠ACB＝75o，求A、B两点间的距离（精确到0.1m）分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形51o75o55m解：根据正弦定理，得答：A,B两点间的距离为65.7米。例2、A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量两点间的距离的方法。分析：用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一点C到对岸两点的距离，再测出∠BCA的大小，借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a,并且在C、D两点分别测得∠BCA=α, ∠ACD=β, ∠CDB=γ, ∠BDA=δ.在⊿ADC和⊿BDC中，应用正弦定理得计算出AC和BC后，再在⊿ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离练习1、一艘船以32.2 n mile / h的速度向正北航行。在A处看灯塔S在船的北偏东20o的方向，30 min后航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东65o的方向，已知距离此灯塔6.5 n mile 以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？D练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算
油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为6°20’，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）． （1）什么是最大仰角？ （2）例题中涉及一个怎样的三角
形？在△ABC中已知什么，要求什么？练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算
油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为6°20’，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）． 已知△ABC中AB＝1.95m，AC＝1.40m，
夹角∠CAB＝66°20′，求BC．解：由余弦定理，得答：顶杆BC约长1.89m。 实际问题解应用题的基本思路例3： AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法。分析：由于建筑物的底部B是不可到达的，所以不能直接测量出建筑物的高。由解直角三角形的知识，只要能测出一点C到建筑物的顶部A的距离CA,并测出由点C观察A的仰角，就可以计算出建筑物的高。所以应该设法借助解三角形的知识测出CA的长。那么，在⊿ACD中，根据正弦定理可得例3： AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法解：选择一条水平基线HG,使H,G,B三点在同一条直线上。由在H,G两点用测角仪器测得A的仰角分别是α，β，CD=a,测角仪器的高是h.例4： 在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α＝54°40′，在塔底C处测得A处的俯角β＝50°1′。已知铁塔BC部分的高为27.3m，求出山高CD(精确到1m)分析：根据已知条件，应该设法计算出AB或AC的长例4 在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α＝54°40′，在塔底C处测得A处的俯角β＝50°1′。已知铁塔BC部分的高为27.3m，求出山高CD(精确到1m)解：在⊿ABC中，∠BCA=90°+β, ∠ABC=90°-α, ∠BAC=α-β, ∠BAD=α.根据正弦定理，CD=BD-BC≈177-27.3=150(m)答：山的高度约为150米。例5 一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15°的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在东偏南25°的方向上，仰角8°，求此山的高度CD.分析：要测出高CD,只要测出高所在的直角三角形的另一条直角边或斜边的长。根据已知条件，可以计算出BC的长。例5 一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15°的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在东偏南25°的方向上，仰角8°，求此山的高度CD.解：在⊿ABC中，∠CAB=15°,
∠ACB=10°.
根据正弦定理，CD=BC×tan∠DBC≈BC×tan8°≈1047(m)答：山的高度约为1047米。例6 一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行67.5 n mile后到达海岛B,然后从B出发，沿北偏东32°的方向航行54.0 n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离（角度精确到0.1°,距离精确到0.01 n mile）?解：在⊿ABC中，∠ABC＝180°－75°＋32°＝137°，根据余弦定理，所以，∠CAB=19.0°,
75°－∠CAB=56.0°.答：此船应该沿北偏东56.0°的方向航行，需要航行113.15 n mile.有关三角形的计算问题和三角恒等式的证明问题ABCDhabca例: 在⊿ABC中，根据下列条件，(1)已知B=45°,C=60°,a= ;则S△ABC（2）已知三边的长分别为a=4,b=5,c=6,求三角形的面积S。.例: 在⊿ABC中， 若A=120°,AB=5,BC=7,则三角形ABC的
面积S=ABC75120°练习: 已知圆内接四边形ABCD的边长AB=2,BC=6,CD=DA=4,求四边形ABCD的面积.例: 在某市进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成市内公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m，这个区域的面积是多少（精确到0.1cm2）?解：设a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论，练习1:在任一 中，求证： 练习2:在⊿ABC中，若B=60°,2b=a+c,试判断⊿ABC的形状。解： 我海军舰艇在A处获悉某渔船发出的求救信号后，立即测出该渔船在方位角（指由正北方向顺时针旋转到目标方向的水平角）为 ，距离A为10海里的C处，并测得渔船正沿方位角 的方向以9海里/时速度向某岛P靠拢，我海军舰艇立即以21海里/时的速度前去营救，试问舰艇应按照怎样的航向前进？并求出靠近渔船所用时间。解： 在A市正西方向300km处有一台风中心,它以每小时40km的速度向东北方向移动,距离台风中心250km以内的地方都受其影响,问从现在起,大约多长时间后,A市所在地将受台风影响,持续多长时间?设: BC=x1 ,BD=x2 由余弦定理知, x1 x2 都满足方程x1=79.8 , x2=344.4 79.8÷40≈2.0 (344.4－79.8)÷40≈6.6下图 是曲柄连杆机构的示意图。当曲柄CB绕C点旋转时，通过连杆AB的传递，
活塞作直线往复运动。当曲柄在CB0位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的
端点A在A0处。设连杆AB长为 cm,曲柄CB长为60cm,曲柄自CB0按顺时针
方向旋转60o，求活塞移动的距离。解：某海轮以30海里/时的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东 ，向北航行40分钟后到达B点测得油井P在南偏东 ，海轮改为北偏东 的航向再行驶80分钟到达C点，求P、C两点的距离。解：解：如何测量河对岸A、B两点的距离。
(工具:皮尺,测角仪)思 考
已知两边及其中一边对角，求另一边的对角及其他的边和角。为 （ ）A、等边三角形 B、直角三角形
C、等腰三角形 D、等腰直角三角形 定理应用小 结正弦定理用途：解斜三角形 已知两角和任一边，求其它两边和一角；
已知两边及其中一边对角，求另一边的对角及其他的边和角。实现三角形当中边角之间的转化巩 固 1、中， 2、中，5.9 余弦定理复习回顾正弦定理：可以解决两类有关三角形的问题：（1）已知两角和任一边。（2）已知两边和一边的对角。变形：情景设置： 隧道工程设计，经常要测算山脚的长度，工程
技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山
脚B、C的距离，再利用经纬仪测出A对山脚BC（即
线段BC）的张角，最后通过计算求出山脚的长度BC。已知：AB、 AC、角Ａ
(两条边、一个夹角)研究：在三角形ＡＢＣ中，ＡＢ＝c，BC=a，CA=b,∵即：由此可得：余弦定理 三角形任一边的平方等于其他两边平方的和
减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．应用：已知两边和一个夹角，求第三边． 隧道工程设计，经常要测算山脚的长度，工程技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山脚B、C的距离，再利用经纬仪测出A对山脚BC（即线段BC的张角），最后通过计算求出山脚的长度BC。已测得：ＡＢ＝１千米，
AＣ＝ 千米
角Ａ＝６０Ｏ
求山脚ＢＣ的长度．解：由余弦定理变形得：应用：已知三条边求角度．例1、在△ABC中，已知
求角A、Ｂ、Ｃ。例２、在△ABC中，已知
求b及Ａ那 呢?提炼：设a是最长的边，则△ABC是钝角三角形△ABC是锐角三角形△ABC是直角角三角形例4、 △ABC中， 求B，并判断
△ABC的形状。例5：在三角形ABC中，已知a=7,b=8,cosC= ,求最大角的余弦值.分析：求最大角的余弦值，最主要的是判断哪个角是最大角。由大边对大角，已知两边可求出第三边,找到最大角。解：则有：b是最大边，那么B 是最大角例6：一钝角三角形的边长为连续自然数，则这三边长为（ ）
A、1，2，3 B、2，3，4 C、3，4，5 D、4，5，6分析： 要看哪一组符合要求，只需检验哪一个选项
中的最大角是钝角，即该角的余弦值小于0。B中： ，所以C是钝角D中： ，所以C是锐角，
因此以4，5，6为三边长的三角形是锐角三角形A、C显然不满足B例7、 在△ABC中 ，已知sinA=2sinBcosC，试判断该三角形的形状。4.在△ABC中 ，已知2a=b+c,sin2A=sinBsinC，试判断该三角形的形状。3.在△ABC中 ，已知（a+b+c)(b+c-a)=3bc，求A的度数。总结（1）余弦定理适用于任何三角形（3）由余弦定理可知：（2）余弦定理的作用： a、已知三边，求三个角 b、已知两边及这两边的夹角，求第三边，进而可求出其它两个角c、判断三角形的形状小结：余弦定理应用：１、已知两条边和一个夹角，求第三条边。
２、已知三条边，求三个角。判断三角形的形状。应用举例高度角度距离正弦定理 余弦定理例1、设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，∠BAC＝51o， ∠ACB＝75o，求A、B两点间的距离（精确到0.1m）分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形51o75o55m解：根据正弦定理，得答：A,B两点间的距离为65.7米。例2、A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量两点间的距离的方法。分析：用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一点C到对岸两点的距离，再测出∠BCA的大小，借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a,并且在C、D两点分别测得∠BCA=α, ∠ACD=β, ∠CDB=γ, ∠BDA=δ.在⊿ADC和⊿BDC中，应用正弦定理得计算出AC和BC后，再在⊿ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离练习1、一艘船以32.2 n mile / h的速度向正北航行。在A处看灯塔S在船的北偏东20o的方向，30 min后航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东65o的方向，已知距离此灯塔6.5 n mile 以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？D练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算
油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为6°20’，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）． （1）什么是最大仰角？ （2）例题中涉及一个怎样的三角
形？在△ABC中已知什么，要求什么？练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算
油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为6°20’，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）． 已知△ABC中AB＝1.95m，AC＝1.40m，
夹角∠CAB＝66°20′，求BC．解：由余弦定理，得答：顶杆BC约长1.89m。 实际问题解应用题的基本思路例3： AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法。分析：由于建筑物的底部B是不可到达的，所以不能直接测量出建筑物的高。由解直角三角形的知识，只要能测出一点C到建筑物的顶部A的距离CA,并测出由点C观察A的仰角，就可以计算出建筑物的高。所以应该设法借助解三角形的知识测出CA的长。那么，在⊿ACD中，根据正弦定理可得例3： AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法解：选择一条水平基线HG,使H,G,B三点在同一条直线上。由在H,G两点用测角仪器测得A的仰角分别是α，β，CD=a,测角仪器的高是h.例4： 在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α＝54°40′，在塔底C处测得A处的俯角β＝50°1′。已知铁塔BC部分的高为27.3m，求出山高CD(精确到1m)分析：根据已知条件，应该设法计算出AB或AC的长例4 在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α＝54°40′，在塔底C处测得A处的俯角β＝50°1′。已知铁塔BC部分的高为27.3m，求出山高CD(精确到1m)解：在⊿ABC中，∠BCA=90°+β, ∠ABC=90°-α, ∠BAC=α-β, ∠BAD=α.根据正弦定理，CD=BD-BC≈177-27.3=150(m)答：山的高度约为150米。例5 一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15°的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在东偏南25°的方向上，仰角8°，求此山的高度CD.分析：要测出高CD,只要测出高所在的直角三角形的另一条直角边或斜边的长。根据已知条件，可以计算出BC的长。例5 一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15°的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在东偏南25°的方向上，仰角8°，求此山的高度CD.解：在⊿ABC中，∠CAB=15°,
∠ACB=10°.
根据正弦定理，CD=BC×tan∠DBC≈BC×tan8°≈1047(m)答：山的高度约为1047米。例6 一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行67.5 n mile后到达海岛B,然后从B出发，沿北偏东32°的方向航行54.0 n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离（角度精确到0.1°,距离精确到0.01 n mile）?解：在⊿ABC中，∠ABC＝180°－75°＋32°＝137°，根据余弦定理，所以，∠CAB=19.0°,
75°－∠CAB=56.0°.答：此船应该沿北偏东56.0°的方向航行，需要航行113.15 n mile.有关三角形的计算问题和三角恒等式的证明问题ABCDhabca例: 在⊿ABC中，根据下列条件，(1)已知B=45°,C=60°,a= ;则S△ABC（2）已知三边的长分别为a=4,b=5,c=6,求三角形的面积S。.例: 在⊿ABC中， 若A=120°,AB=5,BC=7,则三角形ABC的
面积S=ABC75120°练习: 已知圆内接四边形ABCD的边长AB=2,BC=6,CD=DA=4,求四边形ABCD的面积.例: 在某市进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成市内公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m，这个区域的面积是多少（精确到0.1cm2）?解：设a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论，练习1:在任一 中，求证： 练习2:在⊿ABC中，若B=60°,2b=a+c,试判断⊿ABC的形状。解： 我海军舰艇在A处获悉某渔船发出的求救信号后，立即测出该渔船在方位角（指由正北方向顺时针旋转到目标方向的水平角）为 ，距离A为10海里的C处，并测得渔船正沿方位角 的方向以9海里/时速度向某岛P靠拢，我海军舰艇立即以21海里/时的速度前去营救，试问舰艇应按照怎样的航向前进？并求出靠近渔船所用时间。解： 在A市正西方向300km处有一台风中心,它以每小时40km的速度向东北方向移动,距离台风中心250km以内的地方都受其影响,问从现在起,大约多长时间后,A市所在地将受台风影响,持续多长时间?设: BC=x1 ,BD=x2 由余弦定理知, x1 x2 都满足方程x1=79.8 , x2=344.4 79.8÷40≈2.0 (344.4－79.8)÷40≈6.6下图 是曲柄连杆机构的示意图。当曲柄CB绕C点旋转时，通过连杆AB的传递，
活塞作直线往复运动。当曲柄在CB0位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的
端点A在A0处。设连杆AB长为 cm,曲柄CB长为60cm,曲柄自CB0按顺时针
方向旋转60o，求活塞移动的距离。解：某海轮以30海里/时的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东 ，向北航行40分钟后到达B点测得油井P在南偏东 ，海轮改为北偏东 的航向再行驶80分钟到达C点，求P、C两点的距离。解：解：如何测量河对岸A、B两点的距离。
(工具:皮尺,测角仪)思 考