6.4.3余弦定理、正弦定理（二）

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6.4.3余弦定理、正弦定理（二）
余弦定理
班级 姓名
学习目标
1．掌握余弦定理及其推论．
2．掌握余弦定理的综合应用．
3．能应用余弦定理判断三角形的形状．
学习过程
自学指导 自学检测及课堂展示
公式默写 余弦定理：在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有语言叙述三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍公式表达 ； ； .推论 cos A＝ ；cos B＝ ；cos C＝ .
利用余弦定理求三角形的高与中线 例1、在△ABC中，AB＝2，AC＝，BC＝1＋，AD为边BC上的高，求AD的长．例2、在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，求AC边上的中线长．
利用余弦定理判断三角形的形状 例3、在△ABC中，若(a－c·cos B)·b＝(b－c·cos A)·a，判断△ABC的形状． 变式、(1)在△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC＝8，则△ABC的形状是(　　)A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2＝，则△ABC是(　　)A．直角三角形　B．锐角三角形 C．等边三角形　D．等腰直角三角形
余弦定理的综合运用 例4、已知△ABC的三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(2b－a)cos C＝c cos A.(1)求角C； (2)若c2＝9ab，a＋b＝4，求c的值．
三角形中的常用公式 由于A＋B＋C＝π，则A＝π－(B＋C)，＝－，从而sinA＝ ，同理sinB＝ ，sinC＝ .cosA＝ ，同理cosB＝ ，cosC＝ .tanA＝ ，同理tanB＝ ，tanC＝ .sin＝ ，同理sin＝ ，sin＝ .cos＝ ，同理cos＝ ，cos＝ .例5、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos C＋(cos A－sin A)cos B＝0，求角B的大小；
课后作业
一、基础训练题
1．已知在△ABC中，a∶b∶c＝3∶2∶4，那么cos C的值为(　　)
A．－ B．
C．－ D．
2．在△ABC中，a＝3，b＝，B＝60°，则c＝(　　)
A．1 B．2
C．1或2 D．2或3
3．在△ABC中，A＝60°，a2＝bc，则△ABC一定是(　　)
A．锐角三角形　　 B．钝角三角形
C．直角三角形　 D．等边三角形
4．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状是(　　)
A．锐角三角形　 B．直角三角形
C．钝角三角形　 D．不确定
5．已知锐角三角形的边长分别为1，3，a，则a的取值范围是(　　)
A．(8，10)　 B．(2，)
C．(2，10)　　 D．(，8)
6．在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，则AC边上的高为________.
A．　　 B．
C．　 D．3
7．在△ABC中，若a＝2bcos C，则△ABC的形状为________．
8．已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2＋cos A＝0.
(1)求A的大小；
(2)若a＝2，b＝2，求c的值.
9．在△ABC中，若acos B＋acos C＝b＋c，试判断该三角形的形状．
二、综合训练题
10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C＝120°，若b(1－cos A)＝a(1－cos B)，则A＝(　　)
A．90° B．60°
C．45° D．30°
11．(多选)对于△ABC，有如下命题，其中正确的有(　　)
A．sin (B＋C)＝sin A
B．cos (B＋C)＝cos A
C．若a2＋b2＝c2，则△ABC为直角三角形
D．若a2＋b2＜c2，则△ABC为锐角三角形
12．在△ABC中，(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab且2cos Asin B＝sin C，试判断三角形的形状．
三、能力提升题
13．如图所示，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，则BD的长为 .
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6.4.3余弦定理、正弦定理（二）
余弦定理参考答案
1、【答案】A
【解析】由a∶b∶c＝3∶2∶4可得a＝，c＝2b，
由余弦定理可得cos C＝＝＝－.
2、【答案】C
【解析】由余弦定理：b2＝a2＋c2－2ac cos B，即7＝9＋c2－2×3×c×，
则c2－3c＋2＝0，解得c＝1或c＝2.
3、【答案】D
【解析】在△ABC中，因为A＝60°，a2＝bc，
所以由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc，所以bc＝b2＋c2－bc，即(b－c)2＝0，
所以b＝c，结合A＝60°可得△ABC一定是等边三角形．
4、【答案】B
【解析】因为bcos C＋ccos B＝asin A，所以由余弦定理得b·＋c·＝asin A，
整理，得a＝asin A，所以sin A＝1.又A∈(0，π)，所以A＝.故△ABC为直角三角形．
5、【答案】B
【解析】只需让边长为3和a的边所对的角均为锐角即可．
故解得2＜a＜.
6、【答案】
【解析】由BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A，可得13＝9＋16－2×3×4×cos A，得cos A ＝.
因为A为△ABC的内角，所以A＝，所以AC边上的高为AB·sin A＝3×＝.
7、【答案】等腰三角形
【解析】∵a＝2bcos C＝2b·＝，∴a2＝a2＋b2－c2，即b2＝c2，b＝c，
∴△ABC为等腰三角形．
8、【解】(1)∵cos A＝2cos2－1,2cos2＋cos A＝0，∴2cos A＋1＝0，∴cos A＝－， ∴A＝120°.
(2)由余弦定理，知a2＝b2＋c2－2bccos A，又a＝2，b＝2，cos A＝－，
∴(2)2＝22＋c2－2×2×c×，化简，得c2＋2c－8＝0，解得c＝2或c＝－4(舍去).
9、【解】由acos B＋acos C＝b＋c结合余弦定理，得a·＋a·＝b＋c，
即＋＝b＋c，整理得(b＋c)(a2－b2－c2)＝0.
因为b＋c≠0，所以a2＝b2＋c2，故△ABC是直角三角形．
10、【答案】D
【解析】结合余弦定理得b＝a，
即2bc－b2－c2＋a2＝2ac－a2－c2＋b2，即a2－b2＝c(a－b)，即(a＋b－c)(a－b)＝0．
因为三角形中，两边之和大于第三边，所以a－b＝0，
即a＝b，△ABC是等腰三角形，结合C＝120°，得到A＝30°．
11、【答案】AC
【解析】依题意，△ABC中，B＋C＝π－A，sin (B＋C)＝sin (π－A)＝sin A，A正确；
cos (B＋C)＝cos (π－A)＝－cos A，B不正确；
因a2＋b2＝c2，则由余弦定理得cos C＝＝0，而0＜C＜π，
即有C＝，△ABC为直角三角形，C正确；
因a2＋b2＜c2，则cos C＝＜0，而0＜C＜π，
即有＜C＜π，△ABC为钝角三角形，D不正确．故选AC.
12、【解】∵A＋B＋C＝180°，∴sin C＝sin(A＋B)．
∵2cos Asin B＝sin C，∴2cos Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B，
∴sin Acos B－cos Asin B＝0，∴sin(A－B)＝0.
∵0°又(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，∴a2＋b2－c2＝ab，∴cos C＝，
∵0°13、【答案】
【解析】∵sin∠BAC＝sin(90°＋∠BAD)＝cos∠BAD＝，
∴在△ABD中，有BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD，
∴BD2＝18＋9－2×3×3×＝3，∴BD＝.
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