6.4.3余弦定理、正弦定理（三）

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6.4.3余弦定理、正弦定理（三）
正弦定理
班级 姓名
学习目标
1．通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明．
2．能运用正弦定理解决简单的解三角形问题．
学习过程
自学指导 自学检测及课堂展示
阅读教材，完成右边的内容 1、正弦定理条件在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c结论 ＝ ＝ 文字叙述在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等2、正弦定理的证明方法一：利用面积相等 方法二：利用外接圆【即时训练】在△ABC中，若a＝3，cos A＝－，则△ABC的外接圆的半径为________．
已知两角一边解三角形(AAS或ASA) 例1、在△ABC中，已知B＝30°，C＝105°，b＝4，解三角形．变式1、在△ABC中，已知A＝60°，tan B＝，a＝2，则c＝________．
已知两边和其中一边的对角解三角形 例2、解下列三角形ABC：(1)a＝，b＝2，A＝30°，求C； (2)A＝60°，a＝，b＝，求B； (3)a＝3，b＝4，A＝60°，求B.
三角形解的个数 已知两边及其中一边的对角，用正弦定理解三角形，可能有两解、一解或无解．在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：A为锐角图形关系式a2　　　　　　　　 B．x<2C．2课后作业
一、基础训练题
1．在△ABC中，a＝4，A＝45°，B＝60°，则边b的值为(　　)
A．＋1　　　　　 B．2＋1
C．2 D．2＋2
2．在△ABC中，A＝60°，a＝4，b＝4，则B等于(　　)
A．45°或135° B．135°
C．45° D．以上答案都不对
3．(多选题)在△ABC中，下列式子与的值相等的有(　　)
A． B．
C． D．(R为△ABC的外接圆半径)
4．(多选题)的内角A，B，C的对边分别为，已知，，若解该三角形有且只有一解，则b的可能值为（ ）
A．5 B．
C． D．6
5．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a＝，sin B＝，C＝，则b＝________．
6．在△ABC中，若＝，则B的度数为________．
7．在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，则最短边的边长等于________．
8．在△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30°，求角A，角C和边a.
9．如图所示，AB⊥BC，CD＝33，∠ACB＝30°，∠BCD＝75°，∠BDC＝45°，求AB的长．
10．已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b和B.
二、综合训练题
11．(多选题)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列各组条件中使得△ABC有两个解的是(　　)
A．a＝2，b＝4，A＝
B．a＝2，b＝4，cos A＝
C．a＝2，b＝4，C＝
D．a＝2，b＝4，B＝
12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，B＝2A，cos A＝，则b＝________．
13．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝ .
6.4.3余弦定理、正弦定理（三）
正弦定理参考答案
1、【答案】C　
【解析】由已知及正弦定理，得＝，∴b＝＝＝2．
2、【答案】C　
【解析】∵sin B＝＝＝，∴B＝45°或135°．
∵a＞b，∴当B＝135°时，不符合题意，∴B＝45°．
3．【答案】CD
【解析】对A，取a＝3，b＝5，c＝4，显然≠，故A错误；
对B，取a＝3，b＝5，c＝4，＝≠，故B错误；
对C，D，∵＝＝＝2R，∴＝＝，故C，D正确．故选CD.
4、【答案】CD
【解析】①，三角形有两解；②当时，三角形有一解；
③当时，三角形为等腰直角三角形，有一解；④当时，三角形无解．
5、【答案】1　
【解析】在△ABC中，∵sin B＝，0又∵B＋C<π，C＝，∴B＝，∴A＝π－－＝π．∵＝，∴b＝＝1．
6、【答案】45°
【解析】根据正弦定理知，＝，结合已知条件可得sin B＝cos B，又0°＜B＜180°，所以B＝45°.
7、【答案】　
【解析】由三角形内角和定理知：A＝75°，由边角关系知B所对的边b为最小边，
由正弦定理＝得b＝＝＝．
8、[解]　方法一：由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B，
得32＝a2＋(3)2－2a×3×cos 30°∴a2－9a＋18＝0，得a＝3或6.
当a＝3时，A＝30°，∴C＝120°.
当a＝6时，由正弦定理，得sin A＝＝＝1.
∴A＝90°，∴C＝60°.
方法二：由bcsin 30°＝3×＝，知本题有两解．
由正弦定理，得sin C＝＝＝.∴C＝60°或120°.
当C＝60°时，A＝90°，由勾股定理，得a＝＝＝6.
当C＝120°时，A＝30°，△ABC为等腰三角形，∴a＝3.
9、[解] 在△BCD中，∠DBC＝180°－75°－45°＝60°，由正弦定理知，＝，
可得BC＝11，在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝11×tan 30°＝11.
10、[解] 由正弦定理可知＝，
∴a＝·sin A＝×＝10，
因为A＝45°，C＝30°，所以B＝180°－45°－30°＝105°，
sin B＝sin (A＋C)＝sin (30°＋45°)＝(＋)，＝，
所以b＝＝＝5(＋).
11．【答案】AB
【解析】A选项，b sin A＝4×sin ＝2，b sin AB选项，a0，A为锐角，sin A＝＝，b sin A＝4×＝，b sin A所以△ABC有两个解，B选项正确；
C选项，由余弦定理得c＝＝4，所以△ABC有唯一解；
D选项，a sin B＝2×＝，a sin B12、【答案】2
【解析】因为cos A＝，所以sin A＝，因为B＝2A，所以sin B＝sin 2A＝2sin Acos A＝，
又＝，所以b＝2.
13、【答案】
【解析】在△ABC中由cos A＝，cos C＝，可得sin A＝，sin C＝，
sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝，由正弦定理得b＝＝.
A
B
C
O
b
c
a
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正弦定理
班级 姓名
学习目标
1．通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明．
2．能运用正弦定理解决简单的解三角形问题．
学习过程
自学指导 自学检测及课堂展示
阅读教材，完成右边的内容 1、正弦定理条件在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c结论 ＝ ＝ 文字叙述在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等2、正弦定理的证明方法一：利用面积相等 方法二：利用外接圆【即时训练】在△ABC中，若a＝3，cos A＝－eq \f(1,2)，则△ABC的外接圆的半径为________．
已知两角一边解三角形(AAS或ASA) 例1、在△ABC中，已知B＝30°，C＝105°，b＝4，解三角形．变式1、在△ABC中，已知A＝60°，tan B＝eq \r(2)，a＝2，则c＝________．
已知两边和其中一边的对角解三角形 例2、解下列三角形ABC：(1)a＝eq \r(2)，b＝2，A＝30°，求C； (2)A＝60°，a＝eq \r(2)，b＝eq \f(2\r(3),3)，求B； (3)a＝3，b＝4，A＝60°，求B.
三角形解的个数 已知两边及其中一边的对角，用正弦定理解三角形，可能有两解、一解或无解．在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：A为锐角图形关系式a2　　　　　　　　 B．x<2C．2课后作业
一、基础训练题
1．在△ABC中，a＝4，A＝45°，B＝60°，则边b的值为(　　)
A．eq \r(3)＋1　　　　　 B．2eq \r(3)＋1
C．2eq \r(6) D．2＋2eq \r(3)
2．在△ABC中，A＝60°，a＝4eq \r(3)，b＝4eq \r(2)，则B等于(　　)
A．45°或135° B．135°
C．45° D．以上答案都不对
3．(多选题)在△ABC中，下列式子与 eq \f(sin A,a) 的值相等的有(　　)
A． eq \f(b,c) B． eq \f(sin B,sin A)
C． eq \f(sin C,c) D． eq \f(1,2R) (R为△ABC的外接圆半径)
4．(多选题)的内角A，B，C的对边分别为，已知，，若解该三角形有且只有一解，则b的可能值为（ ）
A．5 B．
C． D．6
5．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a＝eq \r(3)，sin B＝eq \f(1,2)，C＝eq \f(π,6)，则b＝________．
6．在△ABC中，若eq \f(sin A,a)＝eq \f(cos B,b)，则B的度数为________．
7．在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，则最短边的边长等于________．
8．在△ABC中，已知b＝3，c＝3eq \r(3)，B＝30°，求角A，角C和边a.
9．如图所示，AB⊥BC，CD＝33，∠ACB＝30°，∠BCD＝75°，∠BDC＝45°，求AB的长．
10．已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b和B.
二、综合训练题
11．(多选题)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列各组条件中使得△ABC有两个解的是(　　)
A．a＝2 eq \r(3) ，b＝4，A＝ eq \f(π,6)
B．a＝2 eq \r(3) ，b＝4，cos A＝ eq \f(3,5)
C．a＝2 eq \r(3) ，b＝4，C＝ eq \f(π,6)
D．a＝2 eq \r(3) ，b＝4，B＝ eq \f(π,6)
12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，B＝2A，cos A＝eq \f(\r(6),3)，则b＝________．
13．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝eq \f(4,5)，cos C＝eq \f(5,13)，a＝1，则b＝ .
6.4.3余弦定理、正弦定理（三）
正弦定理参考答案
1、【答案】C　
【解析】由已知及正弦定理，得eq \f(4,sin 45°)＝eq \f(b,sin 60°)，∴b＝eq \f(4sin 60°,sin 45°)＝eq \f(4×\f(\r(3),2),\f(\r(2),2))＝2eq \r(6)．
2、【答案】C　
【解析】∵sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(4\r(2)×\f(\r(3),2),4\r(3))＝eq \f(\r(2),2)，∴B＝45°或135°．
∵a＞b，∴当B＝135°时，不符合题意，∴B＝45°．
3．【答案】CD
【解析】对A，取a＝3，b＝5，c＝4，显然 eq \f(sin A,a) ≠ eq \f(b,c) ，故A错误；
对B，取a＝3，b＝5，c＝4， eq \f(sin B,sin A) ＝ eq \f(b,a) ≠ eq \f(sin A,a) ，故B错误；
对C，D，∵ eq \f(a,sin A) ＝ eq \f(b,sin B) ＝ eq \f(c,sin C) ＝2R，∴ eq \f(sin A,a) ＝ eq \f(sin C,c) ＝ eq \f(1,2R) ，故C，D正确．故选CD.
4、【答案】CD
【解析】①，三角形有两解；②当时，三角形有一解；
③当时，三角形为等腰直角三角形，有一解；④当时，三角形无解．
5、【答案】1　
【解析】在△ABC中，∵sin B＝eq \f(1,2)，0又∵B＋C<π，C＝eq \f(π,6)，∴B＝eq \f(π,6)，∴A＝π－eq \f(π,6)－eq \f(π,6)＝eq \f(2,3)π．∵eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，∴b＝eq \f(asin B,sin A)＝1．
6、【答案】45°
【解析】根据正弦定理知，eq \f(sin A,a)＝eq \f(sin B,b)，结合已知条件可得sin B＝cos B，又0°＜B＜180°，所以B＝45°.
7、【答案】eq \f(\r(6),3)　
【解析】由三角形内角和定理知：A＝75°，由边角关系知B所对的边b为最小边，
由正弦定理eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)得b＝eq \f(csin B,sin C)＝eq \f(1×\f(\r(2),2),\f(\r(3),2))＝eq \f(\r(6),3)．
8、[解]　方法一：由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B，
得32＝a2＋(3eq \r(3))2－2a×3eq \r(3)×cos 30°∴a2－9a＋18＝0，得a＝3或6.
当a＝3时，A＝30°，∴C＝120°.
当a＝6时，由正弦定理，得sin A＝eq \f(asin B,b)＝eq \f(6×\f(1,2),3)＝1.
∴A＝90°，∴C＝60°.
方法二：由bcsin 30°＝3eq \r(3)×eq \f(1,2)＝eq \f(3\r(3),2)，知本题有两解．
由正弦定理，得sin C＝eq \f(csin B,b)＝eq \f(3\r(3)×\f(1,2),3)＝eq \f(\r(3),2).∴C＝60°或120°.
当C＝60°时，A＝90°，由勾股定理，得a＝eq \r(b2＋c2)＝eq \r(32＋（3\r(3)）2)＝6.
当C＝120°时，A＝30°，△ABC为等腰三角形，∴a＝3.
9、[解] 在△BCD中，∠DBC＝180°－75°－45°＝60°，由正弦定理知，eq \f(33,sin 60°)＝eq \f(BC,sin 45°)，
可得BC＝11eq \r(6)，在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝11eq \r(6)×tan 30°＝11eq \r(2).
10、[解] 由正弦定理可知 eq \f(a,sin A) ＝ eq \f(c,sin C) ，
∴a＝ eq \f(c,sin C) ·sin A＝ eq \f(10,\f(1,2)) × eq \f(\r(2),2) ＝10 eq \r(2) ，
因为A＝45°，C＝30°，所以B＝180°－45°－30°＝105°，
sin B＝sin (A＋C)＝sin (30°＋45°)＝ eq \f(1,4) ( eq \r(6) ＋ eq \r(2) )， eq \f(c,sin C) ＝ eq \f(b,sin B) ，
所以b＝ eq \f(c sin B,sin C) ＝ eq \f(10sin 105°,sin 30°) ＝5( eq \r(2) ＋ eq \r(6) ).
11．【答案】AB
【解析】A选项，b sin A＝4×sin eq \f(π,6) ＝2，b sin AB选项，a0，A为锐角，sin A＝ eq \r(1－cos 2A) ＝ eq \f(4,5) ，b sin A＝4× eq \f(4,5) ＝ eq \f(16,5) ，b sin A所以△ABC有两个解，B选项正确；
C选项，由余弦定理得c＝ eq \r(a2＋b2－2ab cos C) ＝4，所以△ABC有唯一解；
D选项，a sin B＝2 eq \r(3) × eq \f(1,2) ＝ eq \r(3) ，a sin B12、【答案】2eq \r(6)
【解析】因为cos A＝eq \f(\r(6),3)，所以sin A＝eq \f(\r(3),3)，因为B＝2A，所以sin B＝sin 2A＝2sin Acos A＝eq \f(2\r(2),3)，
又eq \f(b,sin B)＝eq \f(a,sin A)，所以b＝2eq \r(6).
13、【答案】eq \f(21,13)
【解析】在△ABC中由cos A＝eq \f(4,5)，cos C＝eq \f(5,13)，可得sin A＝eq \f(3,5)，sin C＝eq \f(12,13)，
sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝eq \f(63,65)，由正弦定理得b＝eq \f(asin B,sin A)＝eq \f(21,13).
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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