6.4.3余弦定理、正弦定理（四）

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6.4.3余弦定理、正弦定理（四）
正弦定理
班级 姓名
学习目标
1．掌握正弦定理的变形式及运用．
2．会利用正弦定理边角互化．
3．掌握判断三角形的形状的基本方法．
学习过程
自学指导 自学检测及课堂展示
正弦定理的变形式与运用 1．正弦定理： ＝ ＝ ＝ 2．正弦定理的变形若R为△ABC外接圆的半径，则(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；(3)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c；(4)＝2R．【即时训练1】在△ABC中，A∶B∶C＝4∶1∶1，则a∶b∶c等于 【即时训练2】在△ABC中，若a＝2bsin A，则B＝
知识拓展 3．三角形内的诱导公式在△ABC中，A＋B＋C＝π，则C＝π－(A＋B)，＝－sin(A＋B)＝ ；cos(A＋B)＝ ；tan(A＋B)＝ ；＝ ；＝ ．【即时训练3】在△ABC中，a＝4，b＝，5cos(B＋C)＋3＝0，则B的大小为 4．射影定理在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，则：a＝ ，b＝ ，c＝ .
三角形形状的判断 例1、在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状． 变式1、在△ABC中，若3b＝2asin B，cos A＝cos C，试判断△ABC的形状．
正弦定理与余弦定理的综合运用 例2、设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝acosB.(1)求角B的大小；(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值．变式2、如图,在△ABC中,∠B＝,AB＝8,点D在BC边上,CD＝2,cos∠ADC＝.(1)求sin∠BAD；(2)求BD，AC的长．
课后作业
一、基础训练题
1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＝，则cos B等于(　　)
A．－ B．
C．－ D．
2．已知在△ABC中，角A，B所对的边分别是a和b，若acos B＝bcos A，则△ABC一定是(　　)
A．等腰三角形　　　 B．等边三角形
C．直角三角形　　 D．等腰直角三角形
3．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，满足＝＝，则△ABC的形状是(　　)
A．等腰三角形　　 B．直角三角形
C．等边三角形　　 D．等腰直角三角形
4．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
5．在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，则最短边的边长等于________．
6．已知在△ABC中，A∶B∶C＝1∶2∶3，a＝1，则＝________.
7．如图，在△ABC中，D是AC边上的点，且AB＝AD＝BD，
BC＝2BD，则sin C的值是________．
8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asin A＋csin C－asin C＝bsin B.
(1)求角B的大小；
(2)若A＝75°，b＝2，求a，c.
9．已知△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos C＋c＝b.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝1，b＝，求c的值．
二、综合训练题
10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c－acos B＝(2a－b)cos A，则△ABC的形状是(　)
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcos C＋bsin C－a－c＝0，则角B＝_____．
12．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，B＝，若a2＋c2＝4ac，则＝____
三、能力提升题
13．(多选题)在△ABC中，A>B，则下列不等式中一定正确的是(　　)
A．sin A>sin B B．cos AC．sin 2A>sin 2B D．cos 2A14．(多选题)下列命题中，正确的是(　　)
A．在△ABC中，若A>B，则sin A>sin B
B．在锐角△ABC中，不等式sin A>cos B恒成立
C．在△ABC中，若acos A＝bcos B，则△ABC必是等腰直角三角形
D．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形
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正弦定理参考答案
1、【答案】B　
【解析】由正弦定理知＝＝1，即tan B＝，
由B∈(0，π)，所以B＝，所以cos B＝cos ＝.
2、【答案】A
【解析】由正弦定理得：acos B＝bcos A sin Acos B＝sin Bcos A sin(A－B)＝0，由于－π＜A－B＜π，
故必有A－B＝0，A＝B，即△ABC为等腰三角形．
3、【答案】C
【解析】由正弦定理得＝＝，又＝＝，得＝＝，
即tan A＝tan B＝tan C，所以A＝B＝C，即△ABC为等边三角形．
4、【答案】B　
【解析】由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，
即sin(π－A)＝sin2A，sin A＝sin2A.∵A∈(0，π)，∴sin A＞0，∴sin A＝1，
即A＝，∴△ABC为直角三角形．
5、【答案】　
【解析】由三角形内角和定理知：A＝75°，由边角关系知B所对的边b为最小边，
由正弦定理＝得b＝＝＝．
6、【答案】2
【解析】∵A∶B∶C＝1∶2∶3，∴A＝30°，B＝60°，C＝90°.
∵＝＝＝＝2，∴a＝2sin A，b＝2sin B，c＝2sin C，
∴＝2.
7、【答案】
【解析】设AB＝x，则AD＝x，BD＝x，BC＝x.在△ABD中，
由余弦定理，得cos A＝＝，则sin A＝.
在△ABC中，由正弦定理，得＝＝，解得sin C＝.
8、[解]　(1)由正弦定理得a2＋c2－ac＝b2.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B.故cos B＝，因此B＝45°.
(2)sin A＝sin (30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝.
故由正弦定理得a＝b·＝1＋.
由已知得，C＝180°－45°－75°＝60°，c＝b·＝2×＝.
9、[解] (1)由acos C＋c＝b，得sin Acos C＋sin C＝sin B.
因为sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C，所以sin C＝cos Asin C.
因为sin C≠0，所以cos A＝.因为0(2)由正弦定理，得sin B＝＝.所以B＝或.
①当B＝时，由A＝，得C＝，所以c＝2；
②当B＝时，由A＝，得C＝，所以c＝a＝1.
综上可得c＝1或2.
10、【答案】D
【解析】已知c－acos B＝(2a－b)cos A，由正弦定理得sin C－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A，
所以sin(A＋B)－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A，化简得cos A(sin B－sin A)＝0，
所以cos A＝0或sin B－sin A＝0，则A＝90°或A＝B，故△ABC为等腰三角形或直角三角形．
11、【答案】
【解析】由正弦定理知，sin Bcos C＋sin Bsin C－sin A－sin C＝0.(*)
因为sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C，
代入(*)式得sin Bsin C－cos Bsin C－sin C＝0.
因为sin C＞0，所以sin B－cos B－1＝0，
所以2sin＝1，即sin＝.因为B∈(0，π)，所以B＝.
12、【答案】
【解析】因为＝＝4，B＝，所以b2＝5ac.
由正弦定理得sin2B＝5sin Asin C＝，所以sin Asin C＝，所以＝＝.
13、【答案】ABD　
【解析】A>B a>b sin A>sin B，A正确．
由于在(0，π)上，y＝cos x单调递减，∴cos Acos 2α＝1－2sin2α．∵sin A>sin B>0，∴sin2 A>sin2 B，∴cos 2A14、【答案】ABD　
【解析】对于A，在△ABC中，由正弦定理可得＝，所以sin A>sin B a>b A>B，故A正确；对于B，在锐角△ABC中，A，B∈，且A＋B>，则>A>－B>0，
所以sin A>sin＝cos B，故B正确；
对于C，在△ABC中，由acos A＝bcos B，利用正弦定理可得sin 2A＝sin 2B，
得到2A＝2B或2A＝π－2B，故A＝B或A＝－B，即△ABC是等腰三角形或直角三角形，故C错误；对于D，在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得，b2＝a2＋c2－2accos B，
所以ac＝a2＋c2－ac，即(a－c)2＝0，解得a＝c，又B＝60°，所以△ABC必是等边三角形，故D正确．
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正弦定理
班级 姓名 6.4.3余弦定理、正弦定理（四）
正弦定理
班级 姓名
学习目标
1．掌握正弦定理的变形式及运用．
2．会利用正弦定理边角互化．
3．掌握判断三角形的形状的基本方法．
学习过程
自学指导 自学检测及课堂展示
正弦定理的变形式与运用 1．正弦定理： ＝ ＝ ＝ 2．正弦定理的变形若R为△ABC外接圆的半径，则(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；(2)sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R)；(3)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c；(4)eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)＝2R．【即时训练1】在△ABC中，A∶B∶C＝4∶1∶1，则a∶b∶c等于 【即时训练2】在△ABC中，若eq \r(3)a＝2bsin A，则B＝
知识拓展 3．三角形内的诱导公式在△ABC中，A＋B＋C＝π，则C＝π－(A＋B)，eq \f(C,2)＝eq \f(π,2)－eq \f(A＋B,2)sin(A＋B)＝ ；cos(A＋B)＝ ；tan(A＋B)＝ ；＝ ；＝ ．【即时训练3】在△ABC中，a＝4，b＝eq \f(5,2)，5cos(B＋C)＋3＝0，则B的大小为 4．射影定理在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，则：a＝ ，b＝ ，c＝ .
三角形形状的判断 例1、在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状． 变式1、在△ABC中，若3b＝2eq \r(3)asin B，cos A＝cos C，试判断△ABC的形状．
正弦定理与余弦定理的综合运用 例2、设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝eq \r(3)acosB.(1)求角B的大小；(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值．变式2、如图,在△ABC中,∠B＝eq \f(π,3),AB＝8,点D在BC边上,CD＝2,cos∠ADC＝eq \f(1,7).(1)求sin∠BAD；(2)求BD，AC的长．
课后作业
一、基础训练题
1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若eq \f(b,\r(3)cos B)＝eq \f(a,sin A)，则cos B等于(　　)
A．－eq \f(1,2) B．eq \f(1,2)
C．－eq \f(\r(3),2) D．eq \f(\r(3),2)
2．已知在△ABC中，角A，B所对的边分别是a和b，若acos B＝bcos A，则△ABC一定是(　　)
A．等腰三角形　　　 B．等边三角形
C．直角三角形　　 D．等腰直角三角形
3．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，满足eq \f(a,cos A)＝eq \f(b,cos B)＝eq \f(c,cos C)，则△ABC的形状是(　　)
A．等腰三角形　　 B．直角三角形
C．等边三角形　　 D．等腰直角三角形
4．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
5．在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，则最短边的边长等于________．
6．已知在△ABC中，A∶B∶C＝1∶2∶3，a＝1，则eq \f(a－2b＋c,sin A－2sin B＋sin C)＝________.
7．如图，在△ABC中，D是AC边上的点，且AB＝AD＝eq \f(\r(3),2)BD，
BC＝2BD，则sin C的值是________．
8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asin A＋csin C－eq \r(2)asin C＝bsin B.
(1)求角B的大小；
(2)若A＝75°，b＝2，求a，c.
9．已知△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos C＋eq \f(\r(3),2)c＝b.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝1，b＝eq \r(3)，求c的值．
二、综合训练题
10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c－acos B＝(2a－b)cos A，则△ABC的形状是(　)
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcos C＋eq \r(3)bsin C－a－c＝0，则角B＝_____．
12．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，B＝eq \f(2π,3)，若a2＋c2＝4ac，则eq \f(sin（A＋C）,sin Asin C)＝____
三、能力提升题
13．(多选题)在△ABC中，A>B，则下列不等式中一定正确的是(　　)
A．sin A>sin B B．cos AC．sin 2A>sin 2B D．cos 2A14．(多选题)下列命题中，正确的是(　　)
A．在△ABC中，若A>B，则sin A>sin B
B．在锐角△ABC中，不等式sin A>cos B恒成立
C．在△ABC中，若acos A＝bcos B，则△ABC必是等腰直角三角形
D．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形
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正弦定理参考答案
1、【答案】B　
【解析】由正弦定理知eq \f(sin B,\r(3)cos B)＝eq \f(sin A,sin A)＝1，即tan B＝eq \r(3)，
由B∈(0，π)，所以B＝eq \f(π,3)，所以cos B＝cos eq \f(π,3)＝eq \f(1,2).
2、【答案】A
【解析】由正弦定理得：acos B＝bcos A sin Acos B＝sin Bcos A sin(A－B)＝0，由于－π＜A－B＜π，
故必有A－B＝0，A＝B，即△ABC为等腰三角形．
3、【答案】C
【解析】由正弦定理得eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，又eq \f(a,cos A)＝eq \f(b,cos B)＝eq \f(c,cos C)，得eq \f(sin A,cos A)＝eq \f(sin B,cos B)＝eq \f(sin C,cos C)，
即tan A＝tan B＝tan C，所以A＝B＝C，即△ABC为等边三角形．
4、【答案】B　
【解析】由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，
即sin(π－A)＝sin2A，sin A＝sin2A.∵A∈(0，π)，∴sin A＞0，∴sin A＝1，
即A＝eq \f(π,2)，∴△ABC为直角三角形．
5、【答案】eq \f(\r(6),3)　
【解析】由三角形内角和定理知：A＝75°，由边角关系知B所对的边b为最小边，
由正弦定理eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)得b＝eq \f(csin B,sin C)＝eq \f(1×\f(\r(2),2),\f(\r(3),2))＝eq \f(\r(6),3)．
6、【答案】2
【解析】∵A∶B∶C＝1∶2∶3，∴A＝30°，B＝60°，C＝90°.
∵eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝eq \f(1,sin 30°)＝2，∴a＝2sin A，b＝2sin B，c＝2sin C，
∴eq \f(a－2b＋c,sin A－2sin B＋sin C)＝2.
7、【答案】eq \f(\r(6),6)
【解析】设AB＝x，则AD＝x，BD＝eq \f(2\r(3),3)x，BC＝eq \f(4\r(3),3)x.在△ABD中，
由余弦定理，得cos A＝eq \f(x2＋x2－\f(4,3)x2,2x2)＝eq \f(1,3)，则sin A＝eq \f(2\r(2),3).
在△ABC中，由正弦定理，得eq \f(x,sin C)＝eq \f(BC,sin A)＝eq \f(\f(4\r(3),3)x,\f(2\r(2),3))，解得sin C＝eq \f(\r(6),6).
8、[解]　(1)由正弦定理得a2＋c2－eq \r(2)ac＝b2.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B.故cos B＝eq \f(\r(2),2)，因此B＝45°.
(2)sin A＝sin (30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝eq \f(\r(2)＋\r(6),4).
故由正弦定理得a＝b·eq \f(sin A,sin B)＝1＋eq \r(3).
由已知得，C＝180°－45°－75°＝60°，c＝b·eq \f(sin C,sin B)＝2×eq \f(sin 60°,sin 45°)＝eq \r(6).
9、[解] (1)由acos C＋eq \f(\r(3),2)c＝b，得sin Acos C＋eq \f(\r(3),2)sin C＝sin B.
因为sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C，所以eq \f(\r(3),2)sin C＝cos Asin C.
因为sin C≠0，所以cos A＝eq \f(\r(3),2).因为0(2)由正弦定理，得sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(\r(3),2).所以B＝eq \f(π,3)或eq \f(2π,3).
①当B＝eq \f(π,3)时，由A＝eq \f(π,6)，得C＝eq \f(π,2)，所以c＝2；
②当B＝eq \f(2π,3)时，由A＝eq \f(π,6)，得C＝eq \f(π,6)，所以c＝a＝1.
综上可得c＝1或2.
10、【答案】D
【解析】已知c－acos B＝(2a－b)cos A，由正弦定理得sin C－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A，
所以sin(A＋B)－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A，化简得cos A(sin B－sin A)＝0，
所以cos A＝0或sin B－sin A＝0，则A＝90°或A＝B，故△ABC为等腰三角形或直角三角形．
11、【答案】
【解析】由正弦定理知，sin Bcos C＋eq \r(3)sin Bsin C－sin A－sin C＝0.(*)
因为sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C，
代入(*)式得eq \r(3)sin Bsin C－cos Bsin C－sin C＝0.
因为sin C＞0，所以eq \r(3)sin B－cos B－1＝0，
所以2sin＝1，即sin＝eq \f(1,2).因为B∈(0，π)，所以B＝eq \f(π,3).
12、【答案】
【解析】因为eq \f(a2＋c2,ac)＝eq \f(b2＋2accos B,ac)＝4，B＝eq \f(2π,3)，所以b2＝5ac.
由正弦定理得sin2B＝5sin Asin C＝eq \f(3,4)，所以sin Asin C＝eq \f(3,20)，所以eq \f(sin（A＋C）,sin Asin C)＝eq \f(sin B,sin Asin C)＝eq \f(10\r(3),3).
13、【答案】ABD　
【解析】A>B a>b sin A>sin B，A正确．
由于在(0，π)上，y＝cos x单调递减，∴cos Acos 2α＝1－2sin2α．∵sin A>sin B>0，∴sin2 A>sin2 B，∴cos 2A14、【答案】ABD　
【解析】对于A，在△ABC中，由正弦定理可得eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，所以sin A>sin B a>b A>B，故A正确；对于B，在锐角△ABC中，A，B∈，且A＋B>eq \f(π,2)，则eq \f(π,2)>A>eq \f(π,2)－B>0，
所以sin A>sin＝cos B，故B正确；
对于C，在△ABC中，由acos A＝bcos B，利用正弦定理可得sin 2A＝sin 2B，
得到2A＝2B或2A＝π－2B，故A＝B或A＝eq \f(π,2)－B，即△ABC是等腰三角形或直角三角形，故C错误；对于D，在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得，b2＝a2＋c2－2accos B，
所以ac＝a2＋c2－ac，即(a－c)2＝0，解得a＝c，又B＝60°，所以△ABC必是等边三角形，故D正确．
学习目标
1．通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明．
2．能运用正弦定理解决简单的解三角形问题．
学习过程
自学指导 自学检测及课堂展示
阅读教材，完成右边的内容 1、正弦定理条件在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c结论 ＝ ＝ 文字叙述在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等2、正弦定理的证明方法一：利用面积相等 方法二：利用外接圆【即时训练】在△ABC中，若a＝3，cos A＝－eq \f(1,2)，则△ABC的外接圆的半径为________．
已知两角一边解三角形(AAS或ASA) 例1、在△ABC中，已知B＝30°，C＝105°，b＝4，解三角形．变式1、在△ABC中，已知A＝60°，tan B＝eq \r(2)，a＝2，则c＝________．
已知两边和其中一边的对角解三角形 例2、解下列三角形ABC：(1)a＝eq \r(2)，b＝2，A＝30°，求C； (2)A＝60°，a＝eq \r(2)，b＝eq \f(2\r(3),3)，求B； (3)a＝3，b＝4，A＝60°，求B.
三角形解的个数 已知两边及其中一边的对角，用正弦定理解三角形，可能有两解、一解或无解．在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：A为锐角图形关系式a2　　　　　　　　 B．x<2C．2课后作业
一、基础训练题
1．在△ABC中，a＝4，A＝45°，B＝60°，则边b的值为(　　)
A．eq \r(3)＋1　　　　　 B．2eq \r(3)＋1
C．2eq \r(6) D．2＋2eq \r(3)
2．在△ABC中，A＝60°，a＝4eq \r(3)，b＝4eq \r(2)，则B等于(　　)
A．45°或135° B．135°
C．45° D．以上答案都不对
3．(多选题)在△ABC中，下列式子与 eq \f(sin A,a) 的值相等的有(　　)
A． eq \f(b,c) B． eq \f(sin B,sin A)
C． eq \f(sin C,c) D． eq \f(1,2R) (R为△ABC的外接圆半径)
4．(多选题)的内角A，B，C的对边分别为，已知，，若解该三角形有且只有一解，则b的可能值为（ ）
A．5 B．
C． D．6
5．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a＝eq \r(3)，sin B＝eq \f(1,2)，C＝eq \f(π,6)，则b＝________．
6．在△ABC中，若eq \f(sin A,a)＝eq \f(cos B,b)，则B的度数为________．
7．在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，则最短边的边长等于________．
8．在△ABC中，已知b＝3，c＝3eq \r(3)，B＝30°，求角A，角C和边a.
9．如图所示，AB⊥BC，CD＝33，∠ACB＝30°，∠BCD＝75°，∠BDC＝45°，求AB的长．
10．已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b和B.
二、综合训练题
11．(多选题)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列各组条件中使得△ABC有两个解的是(　　)
A．a＝2 eq \r(3) ，b＝4，A＝ eq \f(π,6)
B．a＝2 eq \r(3) ，b＝4，cos A＝ eq \f(3,5)
C．a＝2 eq \r(3) ，b＝4，C＝ eq \f(π,6)
D．a＝2 eq \r(3) ，b＝4，B＝ eq \f(π,6)
12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，B＝2A，cos A＝eq \f(\r(6),3)，则b＝________．
13．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝eq \f(4,5)，cos C＝eq \f(5,13)，a＝1，则b＝ .
6.4.3余弦定理、正弦定理（三）
正弦定理参考答案
1、【答案】C　
【解析】由已知及正弦定理，得eq \f(4,sin 45°)＝eq \f(b,sin 60°)，∴b＝eq \f(4sin 60°,sin 45°)＝eq \f(4×\f(\r(3),2),\f(\r(2),2))＝2eq \r(6)．
2、【答案】C　
【解析】∵sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(4\r(2)×\f(\r(3),2),4\r(3))＝eq \f(\r(2),2)，∴B＝45°或135°．
∵a＞b，∴当B＝135°时，不符合题意，∴B＝45°．
3．【答案】CD
【解析】对A，取a＝3，b＝5，c＝4，显然 eq \f(sin A,a) ≠ eq \f(b,c) ，故A错误；
对B，取a＝3，b＝5，c＝4， eq \f(sin B,sin A) ＝ eq \f(b,a) ≠ eq \f(sin A,a) ，故B错误；
对C，D，∵ eq \f(a,sin A) ＝ eq \f(b,sin B) ＝ eq \f(c,sin C) ＝2R，∴ eq \f(sin A,a) ＝ eq \f(sin C,c) ＝ eq \f(1,2R) ，故C，D正确．故选CD.
4、【答案】CD
【解析】①，三角形有两解；②当时，三角形有一解；
③当时，三角形为等腰直角三角形，有一解；④当时，三角形无解．
5、【答案】1　
【解析】在△ABC中，∵sin B＝eq \f(1,2)，0又∵B＋C<π，C＝eq \f(π,6)，∴B＝eq \f(π,6)，∴A＝π－eq \f(π,6)－eq \f(π,6)＝eq \f(2,3)π．∵eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，∴b＝eq \f(asin B,sin A)＝1．
6、【答案】45°
【解析】根据正弦定理知，eq \f(sin A,a)＝eq \f(sin B,b)，结合已知条件可得sin B＝cos B，又0°＜B＜180°，所以B＝45°.
7、【答案】eq \f(\r(6),3)　
【解析】由三角形内角和定理知：A＝75°，由边角关系知B所对的边b为最小边，
由正弦定理eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)得b＝eq \f(csin B,sin C)＝eq \f(1×\f(\r(2),2),\f(\r(3),2))＝eq \f(\r(6),3)．
8、[解]　方法一：由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B，
得32＝a2＋(3eq \r(3))2－2a×3eq \r(3)×cos 30°∴a2－9a＋18＝0，得a＝3或6.
当a＝3时，A＝30°，∴C＝120°.
当a＝6时，由正弦定理，得sin A＝eq \f(asin B,b)＝eq \f(6×\f(1,2),3)＝1.
∴A＝90°，∴C＝60°.
方法二：由bcsin 30°＝3eq \r(3)×eq \f(1,2)＝eq \f(3\r(3),2)，知本题有两解．
由正弦定理，得sin C＝eq \f(csin B,b)＝eq \f(3\r(3)×\f(1,2),3)＝eq \f(\r(3),2).∴C＝60°或120°.
当C＝60°时，A＝90°，由勾股定理，得a＝eq \r(b2＋c2)＝eq \r(32＋（3\r(3)）2)＝6.
当C＝120°时，A＝30°，△ABC为等腰三角形，∴a＝3.
9、[解] 在△BCD中，∠DBC＝180°－75°－45°＝60°，由正弦定理知，eq \f(33,sin 60°)＝eq \f(BC,sin 45°)，
可得BC＝11eq \r(6)，在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝11eq \r(6)×tan 30°＝11eq \r(2).
10、[解] 由正弦定理可知 eq \f(a,sin A) ＝ eq \f(c,sin C) ，
∴a＝ eq \f(c,sin C) ·sin A＝ eq \f(10,\f(1,2)) × eq \f(\r(2),2) ＝10 eq \r(2) ，
因为A＝45°，C＝30°，所以B＝180°－45°－30°＝105°，
sin B＝sin (A＋C)＝sin (30°＋45°)＝ eq \f(1,4) ( eq \r(6) ＋ eq \r(2) )， eq \f(c,sin C) ＝ eq \f(b,sin B) ，
所以b＝ eq \f(c sin B,sin C) ＝ eq \f(10sin 105°,sin 30°) ＝5( eq \r(2) ＋ eq \r(6) ).
11．【答案】AB
【解析】A选项，b sin A＝4×sin eq \f(π,6) ＝2，b sin AB选项，a0，A为锐角，sin A＝ eq \r(1－cos 2A) ＝ eq \f(4,5) ，b sin A＝4× eq \f(4,5) ＝ eq \f(16,5) ，b sin A所以△ABC有两个解，B选项正确；
C选项，由余弦定理得c＝ eq \r(a2＋b2－2ab cos C) ＝4，所以△ABC有唯一解；
D选项，a sin B＝2 eq \r(3) × eq \f(1,2) ＝ eq \r(3) ，a sin B12、【答案】2eq \r(6)
【解析】因为cos A＝eq \f(\r(6),3)，所以sin A＝eq \f(\r(3),3)，因为B＝2A，所以sin B＝sin 2A＝2sin Acos A＝eq \f(2\r(2),3)，
又eq \f(b,sin B)＝eq \f(a,sin A)，所以b＝2eq \r(6).
13、【答案】eq \f(21,13)
【解析】在△ABC中由cos A＝eq \f(4,5)，cos C＝eq \f(5,13)，可得sin A＝eq \f(3,5)，sin C＝eq \f(12,13)，
sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝eq \f(63,65)，由正弦定理得b＝eq \f(asin B,sin A)＝eq \f(21,13).
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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