第一章 三角形的证明 单元检测卷（含解析） 北师大版八年级数学下册

第一章 三角形的证明 单元检测卷 北师大版八年级数学下册
一、选择题
1．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，BD是AC边上的高，若∠A=36°，则∠DBC的大小是（　　）
A．18° B．36° C．54° D．72°
2．若等腰三角形的两边长分别为和，则这个三角形的周长为（　　）
A． B．
C． D．或
3．若等腰三角形的一个外角度数为100°，则该等腰三角形顶角的度数为（　　）
A．80° B．100° C．20°或100° D．20°或80°
4．如图，在中，，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，连接交于点，连接，到的长为（　　）
A． B． C． D．
5．在中，，，，点是的中点，则（　　）cm
A．6.5 B．6 C．5.5 D．5
6．如图，平分，，，，，则的长为（　　）
A．13 B．12 C．11 D．10
7．如图所示，在△ABC中，，，DE为AB的中垂线，，则CD的长是（　　）
A．3 B．4 C．6 D．8
8．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，若将矩形折叠，使点C和点A重合，则折痕EF的长为（　　）
A． B． C．15 D．16
9． 如图，是等边三角形，边长为2，根据作图的痕迹，则的长为（　　）．
A． B． C． D．
10．如图，点P为定角平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点P旋转的过程中，其两边分别与、相交于M、N两点，则以下结论中，不正确的是（　　）
A．的值不变 B．
C．的长不变 D．四边形的面积不变
二、填空题
11．已知等腰△ABC中，BD⊥AC，且BD=AC，则等腰△ABC的顶角度数为　 　．
12．如图，以△ABC的顶点B为圆心，BA长为半径画弧，交于点，连接AD．若∠B＝40°，∠C＝36°，则∠DAC的大小为　 　度．
13．如图，四边形ABDE是矩形，AC⊥DC于点C，交BD于点F，AE=AC，∠ADE=62° ，则∠BAF的度数为　 　°
14．如图，在矩形中，对角线与相交于点，垂直且平分线段，垂足为点，，则的长为　 　．
15．如图，在中，，是角平分线，若，，则的面积为　 　．
三、解答题
16．如图所示，已知等腰三角形ABC的底边BC=20cm，D是腰AB上一点，且CD=16cm，BD=12cm，求△ABC的周长．
17．如图，在△ABC的边BC上取点F，使得线段AF交中线BD于点E，且AE=BC．证明BF=FE．
18．如图，与相交于点O，，，．说明成立的理由．
19．如图，每个小正方形的边长为1，在△ABC中，点D为AB的中点，求线段CD的长．
20．如图，△ABC中，AB=AC，∠C=70°，作AB的垂直平分线交AB于E，交AC于D，求∠DBC的度数．
21．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=36°，DE是线段AB的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E．求∠EBC的度数．
22．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠1=∠2，CD=1.5，BD=2.5，求AC的长.
23．如图，在中，平分交于点，平分交于点．
（1）求证：；
（2）求证：．
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°
∵BD是AC边上的高，
∴BD⊥AC，
∴∠ADB=90°，
∴∠DBC=90°-72°=18°．
故选A.
2．【答案】A
【解析】【解答】解：若是腰长时，等腰三角形的边长分别为、、；
∵，不能构成三角形；
∴等腰三角形的边长分别为、、；
∴这个三角形的周长=++=
故答案为：A.
【分析】根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，判断三角形的三边长；根据三角形的周长公式和二次根式的加法计算即可.
3．【答案】D
【解析】【解答】解：①若顶角的外角等于100°，那么顶角等于80°，两个底角都等于50°；②若底角的外角等于100°，那么底角等于80°，顶角等于20°．
故答案为：D．
【分析】分类讨论，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和等于180°进行计算求解即可。
4．【答案】B
【解析】【解答】解：根据题意可得AB=，根据题意作图方法可得，DE是线段AB的垂直平分线，即点F是AB的中点，所以CF=AB=5.
故答案为：B.
【分析】根据题意由勾股定理可得AB=10，再根据垂直平分线可知点F是AB的中点，最后由直角三角形斜边上的中线性质求解即可.
5．【答案】A
【解析】【解答】解：∵在中，，，，
∴，
∴三角形ABC为直角三角形，且BC为斜边，
∵D是BC的中点，
∴.
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理的逆定理判断△ABC为直角三角形，再利用直角三角形斜边上中线等于斜边上一半即可求出AD长度.
6．【答案】A
【解析】【解答】解：如图，过点C作CF⊥AD，交AD的延长线于F，
∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CF=CE，∠DFC=∠BEC=90°，
在Rt△DFC和Rt△BEC中，
，
∴Rt△DFC≌Rt△BEC（HL），
∴BE=DF，
在Rt△AFC和Rt△AEC中，
，
∴Rt△AFC≌Rt△AEC（HL），
∴AF=AE，
∵AB=17，AD=9，
∴AB+AD=AE+BE+AF-DF=AE+AF=2AE，
即2AE=AB+AD=17+9=26，
∴AE=13.
故答案为：A.
【分析】根据角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得CF=CE，根据斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等可得Rt△DFC≌Rt△BEC，得BE=DF，进而再根据HL证Rt△AFC≌Rt△AEC，根据全等三角形的对应边相等，得AF=AE，根据线段的和与差可推得AB+AD=2AE，即可求解.
7．【答案】C
【解析】【解答】解：连接BD，如图
∵DE是线段AB的垂直平分线
∴BD=AD=12
∴∠DBE=∠A=30°
∵，
∴∠ABC=90° ∠A=60°
∴∠CBD=∠ABC ∠DBE=30°
∴
故答案为：C.
【分析】连接BD，根据垂直平分线上的点到两端的距离相等可得BD=AD=12，由等腰三角形的性质可得∠DBE=∠A=30°，根据三角形的内角和定理及角的和差得∠ABC=60°，∠CBD=30°，接下来根据含30°角的直角三角形的性质进行计算.
8．【答案】A
【解析】【解答】解：连接AF
由题意得EF为AC的垂直平分线，
∴AF=CF
设CF=x，则BF=4-x
在中，由勾股定理得，即，解得，
在中，，，
在中，由勾股定理得，
.
故答案为：A.
【分析】连接AF，由题意得EF为AC的垂直平分线，得AF=CF，设CF=x，在中，根据勾股定理得，在中，由勾股定理得，，在中，由勾股定理得，，即可得解.
9．【答案】B
【解析】【解答】解：由题意得DB为∠ABC的角平分线，
∵是等边三角形，边长为2，
∴CB=2，CA⊥DB，∠CBA=60°，
∴，
∴CD=1，
由勾股定理得，
故答案为：B
【分析】先根据作图痕迹即可得到DB为∠ABC的角平分线，进而根据等边三角形的性质结合题意即可得到CB=2，CA⊥DB，∠CBA=60°，从而运用角平分线的性质结合含30°角的直角三角形的性质即可得到CD=1，最后运用勾股定理即可求解。
10．【答案】C
【解析】【解答】解：过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，则∠PFN=∠PEM=90°，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB
∴PE=PF，
∵+=180°，
∴∠PMO+∠PNO=180°，
∵∠PNO+∠PNF=180°，
∴∠PMO=∠PNF，
∴△PME≌△PNF（AAS），
∴OE=OF，PM=PN，ME=FN，S△PME=S△PNF，
∴OM+ON=OE+ME+OF-NF=2OE是定值，故A正确；
∴四边形PMON的面积=四边形PEOF的面积=定值，故D正确；
∵PM=PN，
∴在旋转过程中，△PMN始终是等腰三角形，但PM的长度再变化，故MN的长度也会变化，故C错误；
在△PMN中，PM=PN，
∴∠PNM=（180°-∠MPN），
在四边形MONP中，+=180°，
∴∠AOB=180°-∠MPN，
∴∠POB=∠AOP=（180°-∠MPN），
∴∠PNM=∠POB，故B正确；
故答案为：C.
【分析】过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，△PME≌△PNF（AAS），可得OE=OF，PM=PN，ME=FN，S△PME=S△PNF，从而求出OM+ON=OE+ME+OF-NF=2OE是定值，四边形PMON的面积=四边形PEOF的面积=定值，据此判断A、D；在旋转过程中，△PMN始终是等腰三角形，但PM的长度再变化，故MN的长度也会变化，据此判断C；由等腰三角形的性质可得∠PNM=（180°-∠MPN），利用四边形内角和及角平分的定义可得∠POB=∠AOP=（180°-∠MPN），即得∠PNM=∠POB，据此判断B.
11．【答案】90°或30°或150°
【解析】【解答】解：如图1，
∵BD⊥AC，AB=BC，
∴，AD=CD=AC，
∵BD=AC，
∴AD=BD=CD，
∴，
∴；
如图2，
∵BD⊥AC，
∴，
∵AB=AC，BD=AC，
∴BD=AB，
∵；
如图3，
∵BD⊥AC，
∴，
∵AB=AC，BD=AC，
∴BD=AB，
∴，
∴；
故答案为：90°或30°或150°．
【分析】分类讨论，结合图形，利用等腰三角形的性质求解即可。
12．【答案】34
【解析】【解答】解：由同圆的半径相等得：，
，
，
，
故答案为：34．
【分析】先求出，再利用角的运算求出即可。
13．【答案】34
【解析】【解答】解： 四边形ABDE是矩形 ，
∴AE=AC，AD=AD
AC⊥DC于点C，∴
∴
∴
.
故答案为：34
【分析】根据矩形得性质可得证明，由全等三角形得性质可得，由，计算求解即可.
14．【答案】
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=12cm，OA=OB=BD=6cm，
∵AE垂直平分OB，
∴AB=OA=6cm.
故答案为：6.
【分析】根据矩形的性质得出OA=6cm，再根据线段垂直平分线的性质得出AB=OA，即可得出答案.
15．【答案】18
【解析】【解答】解：过点P作PF⊥AB与于点F，如图所示：
∵AP是角平分线，∠C=90°，
∴PF=PC，
∵CP=3
∵AB=12，
∴
故答案为：18.
【分析】根据角平分线的性质：角平分线的点到两边距离相等，可以得出PF，即可运用三角形的面积公式计算即可.
16．【答案】解：设AD=xcm ，
∵BD2+CD2=122+162=400 BC2=202=400
∴BD2+CD2=BC2
∴△BDC是直角三角形
∴∠BDC=90°， ∠ADC=90°
在 Rt△ACD中，设 AD=x，
∵AD2+CD2 =AC2
∴x2+162=(x+12)2
解得x=
∴AB=12+ =
∴△ABC的周长=AB+AC+BC= + +20=
【解析】【分析】先求出BD2+CD2和BC2，利用勾股定理的逆定理，证明△BDC是直角三角形，在 Rt△ACD中 ，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程得出AD的长，再求出AB的长，即可求出数据线ABC的周长。
17．【答案】证明：延长中线BD到点G，使得DG=BD，连接AG．
在△BDC和△GDA中，
AD=CD，∠BDC=∠ADG，BD=DG，
∴△BDC≌△GDA．
∴BC=AG，∠FBE=∠AGD ，
又∵AE= BC，
∴AE=AG，
∴∠AEG=∠AGE．
∠BEF=∠AEG，
∴∠BEF=∠AEG=∠AGD=∠EBF，
∴BF= FE．
【解析】【分析】要证BF=FE，可证∠FBE=∠FEB.题目已知BD是中线，将中线倍长是常见方法，本题延长中线BD到点G，使得DG=BD，易证△BDC≌△GDA（SAS），可得∠FBE=∠AGD，AG=BC=AE，所以∠AGD=∠AEG=∠FEB，故∠FBE=∠FEB，所以 BF=FE．
18．【答案】证明：∵，（已知），
∴（垂直定义），
在和中，
∵，
∴，
∴（全等三角形的对应角相等），
∴（等角对等边）.
【解析】【分析】根据，，得和都为直角三角形，利用"HL"证，即可得，再利用等角对等边，即可求解.
19．【答案】解：∵AC＝＝，BC＝＝，AB＝，
∴，
∴∠ACB＝90°，
∵点D为AB的中点，
∴AD＝DB，
∴CD＝AB＝．
【解析】【分析】由勾股定理分别求出AC、BC、AB的长，再利用勾股定理的逆定理的出∠ACB＝90°，然后根据直角三角形斜边上的中线的性质可得CD＝AB，继而得解》
20．【答案】解：∵AB=AC，∠C=70°，
∴∠A=40°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴DA=DB，
∴∠DBA=∠A=40°，
∴∠DBC=70°﹣40°=30°．
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质求出∠A的度数，根据线段的垂直平分线的性质得到DA=DB，求出∠DBA的度数，结合图形计算即可．
21．【答案】解：∵∠C=90°，∠A=36°，
∴∠ABC=90°﹣36°=54°，
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=36°，
∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=54°﹣36°=18°．
【解析】【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABC，根据线段垂直平分线得出AE=BE，求出∠ABE，相减即可求出答案．
22．【答案】解：作DE⊥AB于E，
∵∠1=∠2，∠C= 90°，
∴ DE= CD=1.5.
在△BDE中，∵∠BED=90°，
∴BE===2.
∵Rt△ACD≌Rt△AED，
∴AC=AE，
∵CD=1.5 BD=2.5
∴BC=1.5+2.5=4
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴
即
∴
∴AC=3.
【解析】【分析】本题考查角平分线的性质、三角形全等的判定和勾股定理。角平分线上的点到角两边的距离相等，需要作DE⊥AB于E，根据∠1=∠2和CD=1.5，可得D到AB的距离即DE=1.5，AE=AC，结合BD长，应用勾股定理，求出BE=2，BC=4，在 Rt△ABC中， 根据，可得 ，得出AC=3
23．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴
（2）证明：∵平分，平分，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）先利用平行四边形的性质可得，得到，利用角平分线的定义可得，利用等量代换可得，再利用等角对等边的性质可得；
（2）利用平行线的性质及等量代换求出，即可得到.
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