2022-2023学年四川省成都市青羊区树德实验学校九年级（下）月考数学试卷（3月份）(含解析）

2022-2023学年四川省成都市青羊区树德实验学校九年级（下）月考数学试卷（3月份）
一、选择题（本题共8小题，共32分）
1.的倒数是( )
A. B. C. D.
2.下面几何体的左视图为( )
A.
B.
C.
D.
3.年，新冠肺炎疫情席卷全球，截至年月日，累计确诊人数超过人，抗击疫情成为全人类共同的战役，寒假要继续做好疫情防控将“”用科学记数法可表示为( )
A. B. C. D.
4.下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
5.在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点为点，则点的坐标是( )
A. B. C. D.
6.某次数学趣味竞赛共有组题目，某班得分情况如下表．全班名同学的成绩的中位数和众数分别是( )
人数
成绩分
A. ， B. ， C. ， D. ，
7.方程的解是( )
A. B. C. D.
8.关于二次函数，下列结论中正确的是( )
A. 图象与轴有两个交点 B. 当时，有最大值
C. 当时，随的增大而增大 D. 函数图象开口向下
二、填空题（本题共9小题，共36分）
9.分解因式的结果为______．
10.一个多边形的内角和是其外角和的倍，则这个多边形的边数是______．
11.如图，是的直径，，则 ______度
12.若一次函数，函数值随的增大而减小，则的取值范围是______．
13.若，则代数式的值为______．
14.设，分别为一元二次方程的两个实数根，则______．
15.如图，将矩形沿折叠，使点落在点处，点落在点处，为折痕上的任意一点，过点作，，垂足分别为，，若，，则______．
16.如图，正方形中，在射线上，连、，则的最小值是______．
17.已知半径为，点，在上，，，则线段的最大值为______．
三、解答题（本题共8小题，共82分）
18.如图，线段，用尺规作图法按如下步骤作图：
过点作的垂线，并在垂线上取；
连接，以点为圆心，为半径画弧，交于点，以点为圆心，为半径画弧，交于点，则点为线段的黄金分割点．
那么线段的长度约为______结果保留两位小数，参考数据：，，
19.计算：
解不等式组．
20.越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也使节能环保的举措得以落实．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，测倾器的高度为米，在测点处安置测倾器，测得点的仰角，在与点相距米的测点处安置测倾器，测得点的仰角点、与在一条直线上，求电池板离地面的高度结果精确到米．
参考数据：，，．
21.如图，在中，，的角平分线交于点，过点作的垂线交于点，的外接圆圆与交于点．
求证：是圆的切线；
若，，求圆的半径长．
22.如图，已知直线：的图象与，轴分别交于点，，与反比例函数的图象交于点，．
直接写出点坐标；
当时，求的值；
若点在轴上，连接，，且满足的点有且只有一个，请求出点的坐标．
23.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，，与轴交于点，顶点为．
求出此抛物线的解析式及点的坐标；
抛物线上是否存在一点，使，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
如图，过定点的直线与抛物线交于点，，若的面积等，求的值．
24.在平行四边形中，于点，．
如图，连接，若，，求的值；
如图，连接，是的中点，过点作于点，延长交的延长线于点，连接请猜想、、的关系，并证明你的结论；
如图，在的条件下，将绕点顺时针旋转一定的角度，得到，当时，停止旋转，此时边与边交于点点是边上一动点，点是平面内一点，是等边三角形，直接写出的最小值．
25.如图，在中，，的角平分线交上点，过点作的垂线交于点，的外接圆与交于点．
求证：是的切线；
若，，求的半径长；
如图，在的条件下，过作于，求的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的倒数是：．
故选：．
直接利用倒数的定义得出答案．
此题主要考查了倒数，正确掌握倒数的定义是解题关键．
2.【答案】
【解析】解：左视图是一个矩形，矩形的内部有一条横向的虚线．
故选：．
找到从几何体的左边看所得到的图形即可．
本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
3.【答案】
【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数数；当原数的绝对值时，是负整数数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
4.【答案】
【解析】解：、，故本选项不合题意；
B、，故本选项不合题意；
C、，故本选项符合题意；
D、与不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
故选：．
选项A，根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加判断即可；
选项B根据完全平方公式：，判断即可；
选项C根据幂的乘方，底数不变，指数相乘判断即可；
选项D根据同类项的定义以及合并同类项法则判断即可．
本题主要考查了完全平方公式，合并同类项，同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记相关公式和运算法则是解答本题的关键．
5.【答案】
【解析】解：点关于轴的对称点为点，
，
故选：．
根据关于轴的对称点的坐标特征判断即可．
本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，熟练掌握关于轴、轴对称的点的坐标特征是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：把这些数据从小到大排列，最中间的两个数是第、个数的平均数，
全班名同学的成绩的中位数是：；
出现了次，出现的次数最多，则众数是；
故选：．
根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．
此题考查了中位数和众数众数，中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错；众数是一组数据中出现次数最多的数．
7.【答案】
【解析】【分析】
分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
【解答】
解：
，
去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
解得：，
检验：把代入得：，
分式方程的解为．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：二次函数，
抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点为，当时，有最小值，
当时，随的增大而增大，
故B、、结论不正确，
，
二次函数与轴的交点为，，
故A正确；
故选：．
根据函数解析式和二次函数的性质逐个判断即可．
本题考查了二次函数的图象和性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．
9.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
直接利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
10.【答案】
【解析】解：设这个多边形的边数为，则该多边形的内角和为，
依题意得：，
解得：，
这个多边形的边数是．
故答案为：．
设这个多边形的边数为，根据内角和公式以及多边形的外角和为即可列出关于的一元一次方程，解方程即可得出结论．
本题考查了多边形内角与外角，解题的关键是根据多边形内角和公式得出方程．
11.【答案】
【解析】解：连接，如图：
是的直径，
，
，
，
．
故答案为：．
连接，求出和即可得到答案．
本题考查圆周角定理及推论，掌握同弧所对的圆周角相等及直径所对圆周角是直角是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：一次函数，随的增大而减小，
，
解得，．
故答案是：．
一次函数，当时，随的增大而减小．据此列式解答即可．
本题主要考查了一次函数的性质．一次函数，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大．
13.【答案】
【解析】解：由作图得为直角三角形，，
，
，
点为线段的黄金分割点，
，
故答案为：．
根据作法得到，，则，得，再由黄金分割的定义求解即可．
本题考查了黄金分割、尺规作图等知识，熟记黄金分割的比值是解题的关键．
14.【答案】解：原式
；
，
由得：，
由得：，
则不等式组的解集为．
【解析】原式利用负指数幂法则，特殊角的三角函数值，绝对值的代数意义计算即可求出值；
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
此题考查了解一元一次不等式组，以及实数的运算，熟练掌握实数运算法则以及求不等式组的解集的口诀是解本题的关键．
15.【答案】解：延长交于点，
则米，米，，
设米，
在中，，
米，
米，
在中，，
，
解得：，
经检验：是原方程的根，
米，
米，
电池板离地面的高度约为米．
【解析】延长交于点，则米，米，，设米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
16.【答案】证明：，
，
平分，
，
，
，
，
经过圆的半径的外端，且，
是圆的切线．
解：如图，作于点，则，
，
四边形是矩形，，
平分，，，
，
，
，
，
，
，
圆的半径长为．
【解析】先证明，得，则，所以，即可证明是圆的切线；
作于点，可证明四边形是矩形，得，由角平分线的性质得，在中根据勾股定理得，求出的值即可．
此题重点考查圆的切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
17.【答案】解：．
如图，过点作轴于，过点作轴于，
，
，
∽，
，
，
，
设，
则，
点，在直线上，
，
解得，，
．
直线与双曲线的交点为，点，
，
，
此时，
或，
设、两点的横坐标为、，
则，，
如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
，
当时，∽，
，
设，
则，
整理得，
，，
，
当时，化简得，
当时，存在唯一的点，满足，
此时，
，
．
【解析】当时，，；将代入中，即可得出点的坐标；
过点作轴于点，过点作轴于点，得∽，则，设，则，由点，在直线上，得，解方程即可求得的值；
由直线与双曲线的交点为，点，得，设、两点的横坐标为、，则，，设，则，化简得，当时，可知时，存在唯一的点，满足，从而解决问题．
本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数与一次函数图象交点问题，一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，相似三角形的判定与性质等知识，熟练运用一元二次方程的根的判别式是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：由，得到，
则原式，
故答案为：
原式利用完全平方公式变形，把已知等式整理后代入计算即可求出值．
此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
19.【答案】
【解析】解：，分别为一元二次方程的两个实数根，
，，
则原式
．
故答案为：．
先由方程的解的概念和根与系数的关系得出，，将其代入原式计算可得．
本题主要考查根与系数的关系和方程的解，解题的关键是掌握，是一元二次方程的两根时，，．
20.【答案】
【解析】解：如图，过点作于，连接，
四边形是长方形，
，
，
由折叠可得，，
，
，
、，
，
，
，
四边形是长方形，
，．
，，
．
由折叠易知，≌≌，
，
．
故答案是：．
先由折叠判断出，进而利用等面积法得出，再求出，最后利用折叠的性质，即可得出结论．
主要考查了翻折变换折叠问题，矩形的性质，解本题的关键是利用等面积法判断出．
21.【答案】
【解析】
解：作交于点，
，
∽，
，
，
正方形边长设为，
，
，
又，
∽，
，
点在以为直径所画圆的半圆上，图所示，
要求的最小值，是定值，当且仅当点在上点时有最小值，此时有最小值，
，，
，
，
．
由题作，构造∽，结合正方形性质，将所求转换：，再证明∽，确定，有直径所对的角为直角确定动点的轨迹，由此确定的最小值，再根据勾股定理计算可得解．
本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，由直角三角形画圆确定点的运动轨迹，勾股定理；能根据题意作辅助线，构造相似三角形，将所求转换出来是本题的关键．
22.【答案】
【解析】【分析】
如图，连接，，作，使得利用相似三角形的性质证明，求出的最大值即可解决问题．
本题考查圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
【解答】
解：如图，连接，，作，使得．
在中，
，
，
设，，则，
，，
∽，
，
，
，
∽，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
的最大值为，
的最大值为，
故答案为：．
23.【答案】解：由题意得：抛物线的表达式为：，
当时，，
即点；
存在，理由：
延长交轴于点，过点作交的延长线于点，
由，则，
故设，则，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，则点，
则，
则，
由点、的坐标得，，
则，
当点在上方时，
延长交轴于点，过点作交的延长线于点，
在中，，，，
设，则，
则，
解得：，
则，则点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
联立得：，
解得：舍去或，
则点；
当点在下方时，
则直线，
则直线的表达式为：，
联立得：，
解得：舍去或，
则点；
综上，点的坐标为：或；
设交抛物线对称轴于点，
与抛物线交于点，，
当时，，即点，则，
设点、的横坐标分别为，，
则的面积，
即，
联立并整理得：，
则，，
则，
解得：正值已舍去，
即．
【解析】由待定系数法即可求解；
当点在上方时，在中，，，，通过，得到点，即可求解；当点在下方时，
得到直线的表达式为：，即可求解；
由的面积，进而求解．
本题为二次函数综合题，涉及到解直角三角形、面积的计算、根和系数的关系，分类求解是本题解题的关键．
24.【答案】解：如图，过点作的延长线于点，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
又，，
，
，
，
又，
，
，
在中，；
猜想：理由如下：
如图，连结、，
四边形是平行四边形，
，
又，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
又是的中点，即，
，，，
，，延长交的延长线于点，
，，
，而，
，
即，
在和中，
，
≌，
，，
在和中，
，
≌，
，，
，
，即，
为等腰直角三角形，
由勾股定理得：，
又，，，
；
如图，过点作于点，在直线上两侧各取一点、，使，
是等边三角形性质，
，，，
由知，，，
，
，，，
，，
，
作，则，
，
，
是等边三角形，
，，
，
又，
，
≌，
，，
，
点始终在直线上，的最小值为到直线的距离，
过点作于，
则，
，，，
，
≌，
，，
在中，，
，
设交于点，则，
，，
，
，
．
【解析】过点作的延长线于点，利用证明≌，由，，可得出，再运用勾股定理即可求出答案；
连结、，先证得是等腰直角三角形，再证明≌，进而证得≌，得出为等腰直角三角形，运用勾股定理即可求得答案；
过点作于点，在直线上两侧各取一点、，使，证得≌，则，即直线与的夹角为，得出点始终在直线上，的最小值为到直线的距离，再运用特殊角三角函数值进行计算即可．
此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定与性质，矩形的性质，三角函数定义及特殊角三角函数值，勾股定理，旋转的旋转，点到直线的距离，全等三角形判定和性质等知识，正确添加辅助线构造全等三角形是解本题的关键．
25.【答案】证明：连接如图所示：
，
，
是圆的直径，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
是的切线；
解：，
，
平分，，
，，
在和中，，
≌，
，
，
，是圆的直径，
，
，
∽，
，即，
解得：，
的半径长；
解：连接，如图所示：
由得：，，
，
，
在中，，
在中，，
，
，
，
，，，
的面积，
．
【解析】连接，由于是角平分线，则有；而，就有，等量代换有，那么利用内错角相等，两直线平行，可得；由平行线的性质得出，即可得出结论；
由角平分线的性质得出，，证明≌，得出，证出是圆的直径，由勾股定理得出，证明∽，得出，求出，即可得出答案；
连接，由得出，，由勾股定理得出，在中，，在中，，
求出，由勾股定理得出，得出，求出，，由三角形面积即可得出答案．
本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、切线的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形的应用等知识；本题综合性强，熟练掌握切线的判定和圆周角定理，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．
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