2024年北京市一零一中学高三（下）统练三数学（PDF版含答案）

试卷编号：10204　北京一零一中题库管理系统 Q9608
北京一零一中 2023-2024学年度第二学期高三数学统练三
班级：＿＿＿＿＿学号：＿＿＿＿＿姓名：＿＿＿＿＿成绩：＿＿＿＿＿
一、选择题共 10小题。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 设集合 M = {(x, y) | y = ax + 1}, N = {(x, y) | y = x + b}, a, b ∈ R, 若 M ∩ N = {(2, 5)},
则 (　　　)
(A) a = 3, b = 2 (B) a = 2, b = 3 (C) a = 3, b = 2 (D) a = 2, b = 3
2. “p < 2”是 “关于 x的实系数方程 x2 + px + 1 = 0有虚数根”的 (　　　)
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
3. 设函数 y = f (x)对于一切实数 x满足 f (3+ x) = f (3 x),且方程 f (x) = 0恰有 6个不同的
实数根,则这 6个实根的和为 (　　　)
(A) 18 (B) 12 (C) 9 (D) 0
4. 中国南北朝时期的著作《孙子算经》中,对同余除法有较深的研究.设 a, b,m (m > 0)为
整数, 若 a和 b被 m除得的余数相同,则称 a和 b对模 m同余, 记为 a ≡ b (mod m). 若
a = C020 + C
1 × 2 + C2 2 20 2020 20 × 2 + · · · + C20 × 2 , a ≡ b (mod 10),则 b的值可以是 (　　　)
(A) 2023 (B) 2022 (C) 2021 (D) 2020
5. 2022年北京冬奥会拉开帷幕,动作观赏性强、视觉冲击力大的自由式滑雪大跳台是目前
“冬奥大家族”中最年轻的项目. 首钢滑雪大跳台实现了竞赛场馆与工业遗产再利用城市
更新的完整结合,见证了中外运动员在大跳台 “冲天一跳”的精彩表现和北京这座世界上
独一无二 “双奥之城”的无上荣光. 如图为大跳台示意图,为测量大跳台最高处 C 点的高
度,小王在场馆内的 A, B两点测得 C 的仰角分别为 45 , 30 , AB = 60 m,且 ∠AOB = 30 ,
则大跳台最高高度 OC = (　　　)
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√ √
(A) 45 m (B) 45 2 m (C) 60 m (D) 60 3 m
6. 点 F 是抛物线 C: y2 = 4x的焦点,点 P, Q在抛物线 C 上,且 |PF| = 2, |QF| = 4,则 △PFQ
的面积为 (　　　)
√ √
(A) 3 (B) 2 (C) 2 3 (D) 4
7. 直线 l与曲线 y = 1 + ln x和 y = ex 1都相切,这样的直线 l有 (　　　)
(A) 0条 (B) 1条 (C) 2条 (D) 3条
8. 设 f (x) = sin x + sin 5 x,则 f (x)的两个相邻零点之差的最小值为 (　　　)
2
(A) 2π (B) π (C) 10π (D) 4π
21 3 21 7
9. 在矩形 ABCD 中, AB = 1, AD = 2, 动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上. 若
# – # – # –
AP = λAB + AD,则 λ + 的最大值为 (　　　)
√ √
(A) 3 (B) 2 2 (C) 5 (D) 2
√
10. 在长方体 ABCD A1B1C1D1 中, AB = 2, BC = AA1 = 1,点 M为 AB1 的中点,点 P为对
角线 AC1 上的动点,点 Q为底面 ABCD上的动点 (点 P, Q可以重合),则 MP + PQ的最
小值为√ (　　　) √
(A) 2 (B) 3 (C) 3 (D) 1
2 2 4
二、填空题共 5小题。
√
2 x + 1
11. 不等式 √ 6 1的解集为＿＿＿＿＿ .
x 1
12. 已知 S n 为数列 {an}的前 n项和,满足 a1 = 1, an+1 = S n,则 a5 的值为＿＿＿＿＿ .
√
13. 若方程 1 x2 = x + b有两个实数根,则实数 b的取值范围是＿＿＿＿＿ .
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x2 y214. 已知椭圆 C1: + = 1和双曲线 C2 有相同的焦点,过左焦点 F9 5 1
的直线 l交 C1 于点
A,交 C2 右支于点 B, A为 F1B的中点, |F2A| + |OA| = 5,则 C2 的离心率为＿＿＿＿＿ .
15. f (x)


x2 + x + m, x < 1,已知函数 = 1 (m ∈ R), g(x) x= 2 ,给出下列四个结论: log x, x > 1 x + 1
2 3
①函数 f (x)在区间 ( 1 ,+∞)上单调递减;
2
②函数 g(x)的最大值是 1 ;
2
③若关于 x的方程 f (x) g(x) = 0有且只有一个实数解,则 m的最小值为 1 ;
2
④若对于任意实数 a, b,不等式 f (a) 6 g(b)都成立,则 m的取值范围是 ( ∞, 3 ].
4
其中所有正确结论的序号是＿＿＿＿＿ .
三、解答题共 6小题。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
16. 在 △ABC中,内角 A, B, C所对的边分别是 a, b, c. 已知 b sin A = 3c sin B, a = 3, cos B 2= .
3
(1)求 b的值;
(2)求 sin(2B π )的值.
3
17. 如图,在四棱锥 P ABCD中,底面 ABCD为平行四边形,
√
∠ABC = 120 , AB = 1, PA = 5, PD ⊥ CD, PB ⊥ BD,点
N 在棱 PC上.
条件①: BC = 2;
条件②: 平面 PBD ⊥平面 ABCD.
从条件①和②中选择一个作为已知,解决下列问题:
(1)判断 AB与 PB是否垂直,并证明; √
(2)若点 N 为棱 PC 的中点,点 M 在直线 AN 上, 5且点 M 到平面 BDN 的距离为 ,求
5
线段 BM的长.
(3)求直线 AC与平面 BDN 所成角的正弦值的取值范围.
18. 猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名,该游戏中有 A, B, C三类歌曲. 嘉
宾甲参加猜歌名游戏,需从三类歌曲中各随机选一首,自主选择猜歌顺序,只有猜对当前
歌曲的歌名才有资格猜下一首,并且获得本歌曲对应的奖励基金. 假设甲猜对每类歌曲的
歌名相互独立,猜对三类歌曲的概率及猜对时获得相应的奖励基金如下表:
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歌曲类别 A B C
猜对的概率 0.8 0.5 p
获得的奖励基金额/元 1000 2000 3000
(1)求甲按 “A, B, C”的顺序猜歌名,至少猜对两首歌名的概率;
(2)若 p = 0.25,设甲按 “A, B, C”的顺序猜歌名获得的奖励基金总额为 X,求 X 的分布列
及数学期望 E(X);
(3)若甲按 “A, B, C”的顺序猜歌名所获的奖励基金的期望不高于按 “C, B, A”的顺序猜歌
名所获的奖励基金的期望,写出 p的取值范围. (结论不要求证明)
√
x2 y219. E: 1 (a b 0), e 2椭圆 2 + 2 = > > 离心率 = . A, C分别为椭圆上、下顶点, B, D分别a b 2
为椭圆左、右顶点, |AC| = 2.
(1)求椭圆 E的方程;
(2) P为第三象限 E 上的动点,直线 PB与直线 DA交于点 M,直线 CP与直线 y = 1交于
点 N. 求证: S △AMB = S △ANB.
20. 已知函数 f (x) a ln x 1= + (a , 0).
x
(1)求函数 f (x)的单调区间;
(2)若 {x | f (x) 6 0} = [b, c] (其中 b < c),求 a的取值范围,并说明 [b, c] (0, 1).
21. 设集合 X N ,若对于 X,存在集合 A = {a1, a2, · · · , am} (m > 3), G = {b1, b2, · · · , bk} (k > 3),
使得 A ∩G = , A ∪G = X, A中所有元素可以排成一个等差数列, G中所有元素可以排
成一个等比数列,则称 X为一个 “好集”.
(1)给定 X1 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}, X2 = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 16},判断它们是否为 “好集”,如果是,
请指出相应的集合 A与 G;
(2)设 X = {a1, a2, · · · , an}
a
是 “好集”,且 a1 < a2 < a3 < · · · < a nn,证明: 若 > 2,则 G的an 1
元素个数不超过 log2 an + 1个;
(3)设 X = {1, q, q2, · · · , qn, 2, 2q, · · · , 2qn}, q > 3, n > 3, q为奇数,证明: X不是好集.
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试卷编号：10204　北京一零一中题库管理系统 Q9608
北京一零一中 2023-2024学年度第二学期高三数学统练三
一、选择题共 10小题。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 设集合 M = {(x, y) | y = ax + 1}, N = {(x, y) | y = x + b}, a, b ∈ R, 若 M ∩ N = {(2, 5)},
则 (　　　)
(A) a = 3, b = 2 (B) a = 2, b = 3 (C) a = 3, b = 2 (D) a = 2, b = 3
【参考答案】B
M ∩ N {(2 5)},

5 = 2a + 1,
a = 2,因为 = , 所以 解得
5 = 2 + b, b = 3.
2. “p < 2”是 “关于 x的实系数方程 x2 + px + 1 = 0有虚数根”的 (　　　)
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
【参考答案】B
3. 设函数 y = f (x)对于一切实数 x满足 f (3+ x) = f (3 x),且方程 f (x) = 0恰有 6个不同的
实数根,则这 6个实根的和为 (　　　)
(A) 18 (B) 12 (C) 9 (D) 0
【参考答案】A
该函数图象关于 x = 3对称. 故 6个根的和为 3 × 2 × 3 = 18.
4. 中国南北朝时期的著作《孙子算经》中,对同余除法有较深的研究.设 a, b,m (m > 0)为
整数, 若 a和 b被 m除得的余数相同,则称 a和 b对模 m同余, 记为 a ≡ b (mod m). 若
a = C0 + C1 2 2 20 2020 20 × 2 + C20 × 2 + · · · + C20 × 2 , a ≡ b (mod 10),则 b的值可以是 (　　　)
(A) 2023 (B) 2022 (C) 2021 (D) 2020
【参考答案】C
5. 2022年北京冬奥会拉开帷幕,动作观赏性强、视觉冲击力大的自由式滑雪大跳台是目前
“冬奥大家族”中最年轻的项目. 首钢滑雪大跳台实现了竞赛场馆与工业遗产再利用城市
更新的完整结合,见证了中外运动员在大跳台 “冲天一跳”的精彩表现和北京这座世界上
独一无二 “双奥之城”的无上荣光. 如图为大跳台示意图,为测量大跳台最高处 C 点的高
北京一零一中 2023-2024学年度第二学期高三数学统练三　第 1页（共 12页）
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度,小王在场馆内的 A, B两点测得 C 的仰角分别为 45 , 30 , AB = 60 m,且 ∠AOB = 30 ,
则大跳台最高高度 OC = (　　　)
√ √
(A) 45 m (B) 45 2 m (C) 60 m (D) 60 3 m
【参考答案】C
√
在 △BOC中, OB OC 3OC,在 △AOC中, OA OC= = = = OC,在 △AOB中,由余tan 30 tan 45 √
弦定理得 AB2 = OB2 +OA2 2OB ·OA · cos∠AOB,即 3600 = 3OC2 +OC2 2 3OC ·OC ·
cos 30 ,所以 OC2 = 3600,解得 OC = 60.
6. 点 F 是抛物线 C: y2 = 4x的焦点,点 P, Q在抛物线 C 上,且 |PF| = 2, |QF| = 4,则 △PFQ
的面积为 (　　　)
√ √
(A) 3 (B) 2 (C) 2 3 (D) 4
【参考答案】B
7. 直线 l与曲线 y = 1 + ln x和 y = ex 1都相切,这样的直线 l有 (　　　)
(A) 0条 (B) 1条 (C) 2条 (D) 3条
【参考答案】(2024届郭梓墨供题) C
8. 设 f (x) = sin x + sin 5 x,则 f (x)的两个相邻零点之差的最小值为 (　　　)
2
(A) 2π (B) π (C) 10π (D) 4π
21 3 21 7
【参考答案】(2024届郭梓墨供题 (改编) ) A
由 f (x) = 0知, sin x + sin 5 x = 0,即 sin x = sin 5 x = sin( 5 x). 故有 x ( 5 x) = 2kπ
2 2 2 2
或 x + ( 5 x) 2( 1= + kπ),解得 x 4= kπ或 x 2 π 4= kπ. 所以两零点之差的最小值
2 2 7 3 3
为 2 π.
21
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9. 在矩形 ABCD 中, AB = 1, AD = 2, 动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上. 若
# – # – # –
AP = λAB + AD,则 λ + 的最大值为 (　　　)
√ √
(A) 3 (B) 2 2 (C) 5 (D) 2
【参考答案】(2017高考全国Ⅲ理 12) A
如图: 以 A为原点,以 AB, AD所在的直线为 x, y轴建立如图所示的坐标系,
则 A(0, 0), B(1, 0), D(0, 2), C(1, 2),
因为动点 P在以点 C为圆心且与 BD相切的圆上,
设圆的半径为 r,
因为 BC = 2, CD = 1,
√ √
所以 BD = 22 + 12 = 5,
所以 1 BC ·CD 1= BD · r,
2 2
所以 r = √2 ,
5
所以圆的方程为 (x 1)2 + (y 2)2 4= ,
√ √ 5
设点 P的坐标为 ( 2 5 cos 2 5θ + 1, sin θ + 2),
5 5
# – # – # –
因为 AP√= λAB + AD,√
( 2 5 cos 1 2 5所以 θ + , sin θ + 2) = λ(1, 0) + (0, 2) = (λ, 2 ),
√5 5 √
2 5 cos 1 , 2 5所以 θ + = λ sin θ + 2 = 2 ,
5 √ 5√
2 5
所以 λ + = cos 5θ + sin θ + 2 = sin(θ + φ) + 2,其中 tanφ = 2,
5 5
因为 1 6 sin(θ + φ) 6 1,
所以 1 6 λ + 6 3,
故 λ + 的最大值为 3.
√
10. 在长方体 ABCD A1B1C1D1 中, AB = 2, BC = AA1 = 1,点 M为 AB1 的中点,点 P为对
角线 AC1 上的动点,点 Q为底面 ABCD上的动点 (点 P, Q可以重合),则 MP + PQ的最
小值为 (　　　)
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√ √
(A) 2 (B) 3 (C) 3 (D) 1
2 2 4
【参考答案】(2015西城二模理 8) C
固定 P,知 PQ ⊥平面 ABCD时, PQ有最小值,故 MP+ PQ有最小值时,点 Q一定在线段
AC上,如图,
将平面 AB1C1 展开到与平面 ABCD垂直的情况,此时平面 AB1C1 与平面 ACC1 重合,如
图,
有 MP + PQ > MQ > MH,其中 MH ⊥ AC于点 H, √
3
当点 P是 MH与 AC1 的交点时,取到等号.此时有最小值为 sin 60
3
= .
2 4
二、填空题共 5小题。
√
2 x + 1
11. 不等式 √ 6 1的解集为＿＿＿＿＿ .
x 1
【参考答案】[0, 1).
12. 已知 S n 为数列 {an}的前 n项和,满足 a1 = 1, an+1 = S n,则 a5 的值为＿＿＿＿＿ .
【参考答案】8.
依题意, a1 = 1, an+1 = S n,当 n = 1时, a2 = a1 = 1,当 n > 2时,由 an+1 = S n 得 an = S n 1,
两式相减并 化简得 an+1 = 2a n
(n > 2),所以数列 {an}从第二项起是公比为 2的等比数列,
所以 an = 1, n = 1, 所以 a = 23 = 8.2n 52, n > 2.
√
13. 若方程 1 x2 = x + b有两个实数根,则实数 b的取值范围是＿＿＿＿＿ .
√
【参考答案】[1, 2).
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{#{QQABTQAEggAgQoAAABhCAQHACgAQkACACAoGwAAIIAAASRFABAA=}#}
√
依题意知,直线 l: y = x + b与曲线 C: y = 1 x2 有两个
√
公共点, 如图所示, 曲线 y = 1 x2 是一个以原点为圆
心, 1为半径的半圆, y = x + b表示的图形是一条斜率为
1的直线,当直线 l与直线 AB重合时, b = 1;当直线 l与
√ √
半圆相切时, b = 2,所以 b的取值范围是 [1, 2).
2 y2
14. 已知椭圆 C : x1 + = 1和双曲线 C2 有相同的焦点,过左焦点 F1 的直线 l交 C9 5 1
于点
A,交 C2 右支于点 B, A为 F1B的中点, |F2A| + |OA| = 5,则 C2 的离心率为＿＿＿＿＿ .
【参考答案】(2024届郭梓墨供题) 2.
设双曲线C : x
2 y2
2 2 2 = 1,由题可知, c1 = c2 = 2.由椭圆和双曲线的定义知, |F1A|+|F2A| =a b
6, |F1A| + |AB| = 2|F1A| = |F1B|, |F1B| |F2B| = 2a;利用 OA是中位线,设 |F1A| = x,则有
|OA| = 5 |F2A| = 5 (6 x) 1= |F2B| = x a,解得 a = 1,故 C2 的离心率为 2.
2 x2 + x + m, x < 1,
15. 已知函数 f (x) = 1 (m ∈ R), g(x) x= ,给出下列四个结论: log3 x, x > 1 x2 + 12
①函数 f (x)在区间 ( 1 ,+∞)上单调递减;
2
②函数 g(x)的最大值是 1 ;
2
③若关于 x的方程 f (x) g(x) = 0有且只有一个实数解,则 m的最小值为 1 ;
2
④若对于任意实数 a, b,不等式 f (a) 6 g(b)都成立,则 m的取值范围是 ( ∞, 3 ].
4
其中所有正确结论的序号是＿＿＿＿＿ .
【参考答案】(2023通州高三上期中 (改编) 15)②④.
三、解答题共 6小题。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
16. 在 △ABC中,内角 A, B, C所对的边分别是 a, b, c. 已知 b sin A = 3c sin B, a = 3, cos B 2= .
3
(1)求 b的值;
(2)求 sin(2B π )的值.
3
【参考答案】(2023红桥二模 16)
(1)在 △ABC中,由 a b= 可得 b sin A = a sin B.
sin A sin B
又由 b sin A = 3c sin B,可得 a = 3c.
又 a = 3,所以 c = 1.
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√
由 b2 = a2 + c2 2ac cos B, cos B 2= ,可得 b = 6.
√ 3
(2)由 cos B 2 5= 得 sin B = ,
3 3 √
进而得 cos 2B = 2 cos2 B 1 1= , sin 2B = 2 sin B cos B 4 5= ,
9 √ √9
sin(2B π ) sin 2B cos π cos 2B sin π 4 5 + 3所以 = = .
3 3 3 18
17. 如图,在四棱锥 P ABCD中,底面 ABCD为平行四边形,
√
∠ABC = 120 , AB = 1, PA = 5, PD ⊥ CD, PB ⊥ BD,点
N 在棱 PC上.
条件①: BC = 2;
条件②: 平面 PBD ⊥平面 ABCD.
从条件①和②中选择一个作为已知,解决下列问题:
(1)判断 AB与 PB是否垂直,并证明; √
(2)若点 N 为棱 PC 5的中点,点 M 在直线 AN 上,且点 M 到平面 BDN 的距离为 ,求
5
线段 BM的长.
(3)求直线 AC与平面 BDN 所成角的正弦值的取值范围.
【参考答案】
选①
(1) AB ⊥ PB.
证明: 平行四边形 ABCD中, ∠BCD = 180 120 = 60 .
因为 BC = 2, DC = AB = 1,
√ √
所以 △BCD中, BD = 22 + 12 2 × 2 × 1 × cos 60 = 3.
所以 BD2 +CD2 = BC2,则 BD ⊥ CD.
又因为 PD ⊥ CD, PD ∩ BD = D, PD, BD 平面 PBD,
所以 CD ⊥平面 PBD,所以 CD ⊥ PB.
又因为 AB ∥ CD,所以 AB ⊥ PB.
选②
(1) AB ⊥ PB.
因为平面 PBD ⊥平面 ABCD且平面 PBD∩平面 ABCD = BD, PB ⊥ BD, PB 平面 PBD.
所以 PB ⊥平面 ABCD,所以 PB ⊥ AB.
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# – # – # –
(2)如图,以 B为原点,以 BA, BD, BP的方向分别为 x轴,
y轴, z轴的正方向建立空间直角坐标系,
√ √
则 B(0, 0√, 0), D(0, 3, 0), P(0, 0, 2), C( 1, 3,√0), A(1, 0, 0),
# – √ # – # –
N( 1 3, , 1), BD = (0, 3, 0), BN ( 1 3= , , 1), AN =
2 √ 2 2 2
( 3 3, , 1).
2 2
设平 面 BDN 的法向量为 n = (x, y, z), # –
√
则
n · BD = 3y = 0,√
n · # –BN = 1 x 3+ y + z = 0.
2 2
令 x = 2,则 y = 0, z = 1. 此时 n = (2, 0, 1).
# – # –
因为 M在直线 AN 上,所以设 MN = λAN, λ ∈ R,
| # –
√
MN · n|
所以 M到平面 BDN 的距离为 d 2= |n| = √ |λ|
5
= ,
5 5√ √
| | 1 # –所以 λ = ,所以 MN = ( 3 3 # –, , 1 )或 MN 3 3= ( , , 1 ),
2√ 4 4√ 2 4 √4 2√
# –
所以 M( 1 3 3 3 2 22, , 1 )或 M( 5 , , 3 ),所以 |BM| = 或 .
4 4 2 4 4 2 2 2
# – # –
(3)因为 N 在棱 PC上,所以设 PN = λPC, λ ∈ [0, 1],
# – # – # – √
所以 BN = BP + PN = ( λ, 3λ, 2 2λ),
设平 面 BDN 的法向量为 m = (x, y, z), m · # –
√
BD = 3y = 0,则 √ 所以 y = 0,取 m = (2 2λ, 0, λ),m · # –BN = λx + 3λy + (2 2λ)z = 0,
# – √
由于 AC = ( 2 , 3, 0) ,设直线 AC与平面 BDN 所成角为 α,
# – 2(2 2λ)
则 sinα = | cos AC, n | | √ √ | √4 | √ λ 1= = |.
7 · (2 2λ)2 + λ2 7 5λ2 8λ + 4
2 16 · (λ 1)
2
所以 sin α 16
(λ 1)2
=
7 5λ2
= · ,
8λ + 4 7 5(λ 1)2 + 2(λ 1) + 1
令 t = λ 1 ∈ [ 1, 0],当 t = 0时, sin2 α = 0;
当 t ∈ [ 1, 0)时, sin2 α 16= · 1 .
7 1 2
2 + + 5t t
因为 1 ∈ ( ∞, 1],所以 ( 1 + 1)2 + 4 ∈ [4,+∞),所以 sin2 α ∈ (0, 4 ].
t √ t 7
综上, sinα ∈ [0 2 7, ].
7
18. 猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名,该游戏中有 A, B, C三类歌曲. 嘉
宾甲参加猜歌名游戏,需从三类歌曲中各随机选一首,自主选择猜歌顺序,只有猜对当前
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歌曲的歌名才有资格猜下一首,并且获得本歌曲对应的奖励基金. 假设甲猜对每类歌曲的
歌名相互独立,猜对三类歌曲的概率及猜对时获得相应的奖励基金如下表:
歌曲类别 A B C
猜对的概率 0.8 0.5 p
获得的奖励基金额/元 1000 2000 3000
(1)求甲按 “A, B, C”的顺序猜歌名,至少猜对两首歌名的概率;
(2)若 p = 0.25,设甲按 “A, B, C”的顺序猜歌名获得的奖励基金总额为 X,求 X 的分布列
及数学期望 E(X);
(3)若甲按 “A, B, C”的顺序猜歌名所获的奖励基金的期望不高于按 “C, B, A”的顺序猜歌
名所获的奖励基金的期望,写出 p的取值范围. (结论不要求证明)
【参考答案】(2023大兴高三上期末 (改编) 18)
(1)设 “甲按 “A, B, C”的顺序猜歌名至少猜对两首歌名”为事件 E,
则 P(E) = 0.8 × 0.5 × (1 p) + 0.8 × 0.5 × p = 0.4.
所以,甲按 “A, B, C”的顺序猜歌名至少猜对两首歌名的概率为 0.4.
(2) X的所有可能取值为 0, 1000, 3000, 6000,
P(X = 0) = 1 0.8 = 0.2, P(X = 1000) = 0.8 × (1 0.5) = 0.4,
P(X = 3000) = 0.8 × 0.5 × (1 0.25) = 0.3, P(X = 6000) = 0.8 × 0.5 × 0.25 = 0.1,
所以随机变量 X的分布列为
X 0 1000 3000 6000
P 0.2 0.4 0.3 0.1
所以 E(X) = 0 × 0.2 + 1000 × 0.4 + 3000 × 0.3 + 6000 × 0.1 = 1900.
(3) 1 6 p 6 1.
2
√
x2 y219. 椭圆 E: 2 + 2 = 1 (a > b > 0),
2
离心率 e = . A, C分别为椭圆上、下顶点, B, D分别
a b 2
为椭圆左、右顶点, |AC| = 2.
(1)求椭圆 E的方程;
(2) P为第三象限 E 上的动点,直线 PB与直线 DA交于点 M,直线 CP与直线 y = 1交于
点 N. 求证: S △AMB = S △ANB.
【参考答案】(2023高考北京 (改编) 19)
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(1) |AC| = 2b =√2,所以 b = 1.
2 2
因为 e c 2= = ,所以 b 1 c 12 = 2 = ,故 a = 2.a 2 a a 2
2
所以椭圆 E的方程为 x + y2 = 1.
2√ √
(2)方法一: A(0, 1), B( 2, 0), C(0, 1), D( 2, 0). 设 P(x0, y0),则 x0 < 0, y0 < 0.
y √
直线 PB的方程为 y 0= √ (x + 2),
x0√+ 2
直线 DA的方程 为 y =
2 x + 1.
2
y0 √

y = √ (x + 2), √ √2(xx √0 2y0 + 2)= ,
两方程联立得 x0√+ 2

解得 2x0 + 2y0 + 22 4yy = x + 1, y = √ 0 .2
√ √ 2x0 + 2y0 + 2
2(x√0 2y0 + 2) 4y0所以 M( , √ ).
2x0 + 2y0 + 2 2x0 + 2y0 + 2
y + 1
直线 PC 0的方程为 y = x 1,
x0
2x 2x
当 y = 1时, x 0= ,所以 N( 0 , 1).
y0 + 1 y0 + 1
直线 MN 的斜率
√ 4y0 1 √ √
2x0 + 2y0 + 2 2y
2
0 2x0y0 2x0 2kMN = √ √ = √ √ √ .
2(x√0 2y0 + 2) 2x0 2 2y
2
0 2 2x20 2x0y0 2x0 + 2 2
2x + 2y + 2 y0 + 10 0
因为 x2 + 2y20 0 = 2, √ √
2y20 2x0y0 2x0 2所以 kMN = √ √ √
2 2y2 2 2x2
√ 0√ 0
2x0y0 2x0 + 2 2
√
2y20 2x0y0 2x0 2
= √ √ 1 2= √ = = kAB.
2 2y20 2x0y0 2x0 2 2 2 2
所以 MN ∥ AB.
因为 △AMB和 △ANB同底等高,所以 S △AMB = S △ANB.
√ √
方法二: A(0, 1), B( 2, 0√), C(0, 1), D( 2, 0).
2
直线 AB的方程为: y = x + 1.
2√
2
直线 AD的方程为: y = x + 1.
2 √
设直线 PB的方程为: y = k(x + 2). 由题意知, k必定存在.
设直线 PC的方程为: y = tx 1. 由题意知, t必定存在.
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当 y 1时, x 2= = ,所以 N( 2 , 1).
t t √
√x √2 2ky = k(x + 2), = ,
联立直线 AD和直线 PB的方程 √ 解得 2√k + 1y 2= x + 1, y 2 2k2 = √ .
√ √ 2k + 1
M( √2 2k √2 2k所以 , ).
2k + 1 2k + 1 y = tx 1,
因为直线 PC和椭圆 E有交点,所以有 解得 x 0, x 4t1 = 2 = .x2 + 2y2 = 2, 2t2 + 1
2
所以 P( 4t2 ,
2t 1 ).
2t + 1 2t2 + 1 √
2 2t 1
注意到点 P在直线 PB上,将点 P坐标带入,得 k 2= √t 1 √ = √ .
√ 4t + 2 2t
2 + 2 2t + 2
√2 2k 1 √
k 2k + 1 2所以 MN = √ = = kAB.
√2 2k 2
2
2k + 1 t
故 MN ∥ AB.
因为 △AMB和 △ANB同底等高,所以 S △AMB = S △ANB.
20. 已知函数 f (x) a ln x 1= + (a , 0).
x
(1)求函数 f (x)的单调区间;
(2)若 {x | f (x) 6 0} = [b, c] (其中 b < c),求 a的取值范围,并说明 [b, c] (0, 1).
【参考答案】(2015海淀一模理 18)
(1) f ′(x) a 1 ax 1= 2 = (x > 0).x x x2
①当 a < 0时, f ′(x) < 0,则函数 f (x)的单调递减区间是 (0,+∞).
②当 a > 0时,令 f ′(x) = 0,得 x 1= .
a
当 x变化时, f ′(x), f (x)的变化情况如下表:
x (0, 1 ) 1 ( 1 ,+∞)
a a a
f ′(x) 0 +
f (x) ↘ 极小值 ↗
所以 f (x)的单调递减区间是 (0, 1 ),单调递增区间是 ( 1 ,+∞).
a a
(2)由 (1)知:
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当 a < 0时,函数 f (x)在区间 (0,+∞)内是减函数,所以,函数 f (x)至多存在一个零点,不
符合题意.
当 a > 0时,因为 f (x)在 (0, 1 )内是减函数,在 ( 1 ,+∞)内是增函数,所以要使 {x | f (x) 6
a a
0} = [b, c],必须 f ( 1 ) < 0,即 a ln 1 + a < 0.
a a
所以 a > e.
当 a > e时, f ( 12 ) = a ln(
1 2
2 ) + a = 2a ln a + a
2 = a · (a 2 ln a).
a a
令 g(x) = x 2 ln x (x > e),则 g′(x) 1 2 x 2= = (x > e).
x x
当 x > e时, g′(x) > 0,所以, g(x)在 [e,+∞)上是增函数.
所以当 a > e时, g(a) = a 2 ln a > g(e) = e 2 > 0.
所以 f ( 12 ) > 0.a
因为 1 12 < < 1, f (
1 ) < 0, f (1) = 1 > 0,
a a a
所以 f (x)在 ( 12 ,
1 )内存在一个零点,不妨记为 b,在 ( 1 , 1)内存在一个零点,不妨记为 c.
a a a
因为 f (x)在 (0, 1 )内是减函数,在 ( 1 ,+∞)内是增函数,
a a
所以 {x | f (x) 6 0} = [b, c].
综上所述, a的取值范围是 (e,+∞).
因为 b ∈ ( 1 , 12 ), c ∈ (
1 , 1),
a a a
所以 [b, c] (0, 1).
21. 设集合 X N ,若对于 X,存在集合 A = {a1, a2, · · · , am} (m > 3), G = {b1, b2, · · · , bk} (k > 3),
使得 A ∩G = , A ∪G = X, A中所有元素可以排成一个等差数列, G中所有元素可以排
成一个等比数列,则称 X为一个 “好集”.
(1)给定 X1 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}, X2 = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 16},判断它们是否为 “好集”,如果是,
请指出相应的集合 A与 G;
a
(2)设 X n= {a1, a2, · · · , an}是 “好集”,且 a1 < a2 < a3 < · · · < an,证明: 若 > 2,则 G的an 1
元素个数不超过 log2 an + 1个;
(3)设 X = {1, q, q2, · · · , qn, 2, 2q, · · · , 2qn}, q > 3, n > 3, q为奇数,证明: X不是好集.
【参考答案】(2017届徐天杨供题)
(1) X1 = {1, 2, 3, 4, 6, 12} 不是 “好集”, X2 = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 16} 是 “好集”, A = {3, 5, 7},
G = {1, 2, 4, 8, 16}或 A = {1, 3, 5, 7}, G = {2, 4, 8, 16}.
(2)先证明 an ∈ G,否则 an ∈ A,设 max{A\{an}} = t, max{A\{an, t}} = s,则 an, t, s构成等差数
列,
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t 6 an 1 6
an a,所以 s = 2t an 6 0矛盾. 所以 an ∈ G,由 n > 2, (i = 1, 2, · · · , n 1)知, G2 ai
中公比 > 2,所以 G中元素不超过 log2 an + 1个.
2qn
(3)反证法: 若 X是好集,由 q > 3, qn > 2qn 1, n = 2,根据 (2)知道 2qn ∈ G, q为奇数, Gq
2qn 2qn 2qn
中的公比不是偶数,否则设为 2k,而 2qn, , 2 ∈ G,而显然 < N
,矛盾. 所以G
2k (2k) (2k)2
中公比为奇数, G中元素均是偶数,那么 1, q, q2, · · · , qn ∈ A, A中公差为 q 1,
> q
n 1
A中元素个数 > qn 1 > (1 + 2)n 1 > 1 + 2(n 1) = 2n 1, G中元素个数小于 3,q 1
矛盾. 所以 X不是 “好集”.
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