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课题：§3.1.2用二分法求方程的近似解
教学目标：
知识与技能 通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．
过程与方法 能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备．
情感、态度、价值观 体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．
教学重点：
重点 通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．
难点 恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．
教学程序与环节设计：
教学过程与操作设计：
环节 教学内容设计 师生双边互动
创设情境 材料一：二分查找(binary-search)（第六届全国青少年信息学（计算机）奥林匹克分区联赛提高组初赛试题第15题）某数列有1000个各不相同的单元，由低至高按序排列；现要对该数列进行二分法检索(binary-search)，在最坏的情况下，需检索（ ）个单元。Ａ．1000 Ｂ．10 Ｃ．100 Ｄ．500二分法检索（二分查找或折半查找）演示 ( BinarySearch.exe )．材料二：高次多项式方程公式解的探索史料由于实际问题的需要，我们经常需要寻求函数的零点（即的根），对于为一次或二次函数，我们有熟知的公式解法（二次时，称为求根公式）．在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式，但对于高于4次的函数，类似的努力却一直没有成功，到了十九世纪，根据阿贝尔（Abel）和伽罗瓦（Galois）的研究，人们认识到高于4次的代数方程不存在求根公式，亦即，不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解．同时，即使对于3次和4次的代数方程，其公式解的表示也相当复杂，一般来讲并不适宜作具体计算．因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法，这是一个在计算数学中十分重要的课题． 师：从学生感兴趣的计算机编程问题，引导学生分析二分法的算法思想与方法，引入课题．生：体会二分查找的思想与方法．师：从高次代数方程的解的探索历程，引导学生认识引入二分法的意义．
组织探究 二分法及步骤：对于在区间，上连续不断，且满足·的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：1．确定区间，，验证·，给定精度；2．求区间，的中点；3．计算： 师：阐述二分法的逼近原理，引导学生理解二分法的算法思想，明确二分法求函数近似零点的具体步骤．分析条件“·”、“精度”、“区间中点”及“”的意义．
环节 呈现教学材料 师生互动设计
组织探究 若=，则就是函数的零点； 若·<，则令=（此时零点）； 若·<，则令=（此时零点）；4．判断是否达到精度；即若，则得到零点零点值（或）；否则重复步骤2~4． 生：结合引例“二分查找”理解二分法的算法思想与计算原理．师：引导学生分析理解求区间，的中点的方法．
例题解析：例1．求函数的一个正数零点（精确到）．分析：首先利用函数性质或借助计算机、计算器画出函数图象，确定函数零点大致所在的区间，然后利用二分法逐步计算解答．解：（略）．注意： 第一步确定零点所在的大致区间，，可利用函数性质，也可借助计算机或计算器，但尽量取端点为整数的区间，尽量缩短区间长度，通常可确定一个长度为1的区间； 建议列表样式如下：零点所在区间中点函数值区间长度[1，2]>01[1，1.5]<00.5[1.25，1.5]<00.25如此列表的优势：计算步数明确，区间长度小于精度时，即为计算的最后一步．例2．借助计算器或计算机用二分法求方程的近似解（精确到）．解：（略）．思考：本例除借助计算器或计算机确定方程解所在的大致区间和解的个数外，你是否还可以想到有什么方法确定方程的根的个数？结论：图象在闭区间，上连续的单调函数，在，上至多有一个零点． 师：引导学生利用二分法逐步寻求函数零点的近似值，注意规范方法、步骤与书写格式．生：根据二分法的思想与步骤独立完成解答，并进行交流、讨论、评析．师：引导学生应用函数单调性确定方程解的个数．生：认真思考，运用所学知识寻求确定方程解的个数的方法，并进行、讨论、交流、归纳、概括、评析形成结论．
环节 呈现教学材料 师生互动设计
探究与发现 函数零点的性质从“数”的角度看：即是使的实数；从“形”的角度看：即是函数的图象与轴交点的横坐标；若函数的图象在处与轴相切，则零点通常称为不变号零点；若函数的图象在处与轴相交，则零点通常称为变号零点．用二分法求函数的变号零点二分法的条件·表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点． 师：引导学生从“数”和“形”两个角度去体会函数零点的意义，掌握常见函数零点的求法，明确二分法的适用范围．
尝试练习 教材P106练习1、2题；教材P108习题3．1（A组）第1、2题；求方程的解的个数及其大致所在区间；求方程的实数解的个数；探究函数与函数的图象有无交点，如有交点，求出交点，或给出一个与交点距离不超过的点．
作业回馈 教材P108习题3．1（A组）第3~6题、（B组）第4题；提高作业： 已知函数．（1）为何值时，函数的图象与轴有两个交点？（2）如果函数的一个零点在原点，求的值． 借助于计算机或计算器，用二分法求函数的零点（精确到）； 用二分法求的近似值（精确到）．
环节 呈现教学材料 师生互动设计
课外活动 查找有关系资料或利用internet查找有关高次代数方程的解的研究史料，追寻阿贝尔（Abel）和伽罗瓦（Galois），增强探索精神，培养创新意识．
收获与体会 说说方程的根与函数的零点的关系，并给出判定方程在某个区间存在根的基本步骤，及方程根的个数的判定方法；谈谈通过学习求函数的零点和求方程的近似解，对数学有了哪些新的认识？
创设情境
组织探究
探索发现
尝试练习
作业回馈
课外活动
由二分查找及高次多项式方程的求问题引入．
二分法的意义、算法思想及方法步骤．
体会函数零点的意义，明确二分法的适用范围．
二分法的算法思想及方法步骤，初步应用二分法解决简单问题．
二分法应用于实际．
1． 二分法为什么可以逼近零点的再分析；
2． 追寻阿贝尔和伽罗瓦．
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课题：§3.1.1方程的根与函数的零点
教学目标：
知识与技能 理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件．
过程与方法 零点存在性的判定．
情感、态度、价值观 在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．
教学重点：
重点 零点的概念及存在性的判定．
难点 零点的确定．
教学程序与环节设计：
教学过程与操作设计：
环节 教学内容设置 师生双边互动
创设情境 先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：方程与函数方程与函数方程与函数 师：引导学生解方程，画函数图象，分析方程的根与图象和轴交点坐标的关系，引出零点的概念．生：独立思考完成解答，观察、思考、总结、概括得出结论，并进行交流．师：上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？
组织探究 函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点．函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．函数零点的求法：求函数的零点： （代数法）求方程的实数根； （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 师：引导学生仔细体会左边的这段文字，感悟其中的思想方法．生：认真理解函数零点的意义，并根据函数零点的意义探索其求法： 代数法； 几何法．
二次函数的零点：二次函数 ．１）△＞０，方程有两不等 师：引导学生运用函数零点的意义探索二次函数零点的情况．
环节 教学内容设置 师生双边互动
组织探究 实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点．２）△＝０，方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．３）△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点． 生：根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况，并进行交流，总结概括形成结论．
零点存在性的探索：（Ⅰ）观察二次函数的图象： 在区间上有零点______；_______，_______,·_____0（＜或＞）． 在区间上有零点______；·____0（＜或＞）．（Ⅱ）观察下面函数的图象 在区间上______(有/无)零点；·_____0（＜或＞）． 在区间上______(有/无)零点；·_____0（＜或＞）． 在区间上______(有/无)零点；·_____0（＜或＞）．由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？怎样利用函数零点存在性定理，断定函数在某给定区间上是否存在零点． 生：分析函数，按提示探索，完成解答，并认真思考．师：引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在之间的关系．生：结合函数图象，思考、讨论、总结归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析．师：引导学生理解函数零点存在定理，分析其中各条件的作用．
环节 教学内容设置 师生互动设计
例题研究 例1．求函数的零点个数．问题：1）你可以想到什么方法来判断函数零点个数？2）判断函数的单调性，由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性？例2．求函数，并画出它的大致图象． 师：引导学生探索判断函数零点的方法，指出可以借助计算机或计算器来画函数的图象，结合图象对函数有一个零点形成直观的认识．生：借助计算机或计算器画出函数的图象，结合图象确定零点所在的区间，然后利用函数单调性判断零点的个数．
尝试练习 1．利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：（1）；（2）；（3）；（4）．2．利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：（1）；（2）；（3）；（4）． 师：结合图象考察零点所在的大致区间与个数，结合函数的单调性说明零点的个数；让学生认识到函数的图象及基本性质（特别是单调性）在确定函数零点中的重要作用．
探究与发现 1．已知，请探究方程的根．如果方程有根，指出每个根所在的区间（区间长度不超过1）．2．设函数．（1）利用计算机探求和时函数的零点个数；（2）当时，函数的零点是怎样分布的？
环节 教学内容设置 师生互动设计
作业回馈 教材P108习题3．1（A组）第1、2题；求下列函数的零点：（1）；（2）；（3）；（4）．求下列函数的零点，图象顶点的坐标，画出各自的简图，并指出函数值在哪些区间上大于零，哪些区间上小于零：（1）；（2）．已知：（1）为何值时，函数的图象与轴有两个零点；（2）如果函数至少有一个零点在原点右侧，求的值．求下列函数的定义域：（1）；（2）；（3）
课外活动 研究，，，的相互关系，以零点作为研究出发点，并将研究结果尝试用一种系统的、简洁的方式总结表达． 考虑列表，建议画出图象帮助分析．
收获与体会 说说方程的根与函数的零点的关系，并给出判定方程在某个区产存在根的基本步骤．
创设情境
组织探究
尝试练习
探索研究
作业回馈
课外活动
结合二次函数引入课题．
二次函数的零点及零点存在性的．
零点存在性为练习重点．
进一步探索函数零点存在性的判定．
重点放在零点的存在性判断及零点的确定上．
研究二次函数在零点、零点之内及零点外的函数值符号，并尝试进行系统的总结．
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公式 1
课题：§3.2.1几类不同增长的函数模型
教学目标：
知识与技能 结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异性．
过程与方法 能够借助信息技术，利用函数图象及数据表格，对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较，初步体会它们的增长差异性；收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等），了解函数模型的广泛应用．
情感、态度、价值观 体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用．
教学重点：
重点 将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．
难点 怎样选择数学模型分析解决实际问题．
教学程序与环节设计：
教学过程与操作设计：
环节 教学内容设计 师生双边互动
创设情境 材料：澳大利亚兔子数“爆炸”在教科书第三章的章头图中，有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋．1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气． 师：指出：一般而言，在理想条件（食物或养料充足，空间条件充裕，气候适宜，没有敌害等）下，种群在一定时期内的增长大致符合“J”型曲线；在有限环境（空间有限，食物有限，有捕食者存在等）中，种群增长到一定程度后不增长，曲线呈“S”型．可用指数函数描述一个种群的前期增长，用对数函数描述后期增长的
组织探究 例1．假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0 .4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？探究：1）在本例中涉及哪些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？2）分析解答（略）3）根据例1表格中所提供的数据，你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？ 师：创设问题情境，以问题引入能激起学生的热情，使课堂里的有效思维增强．生：阅读题目，理解题意，思考探究问题．师：引导学生分析本例中的数量关系，并思考应当选择怎样的函数模型来描述．生：观察表格，获取信息，体会三种函数的增长差异，特别是指数爆炸，说出自己的发现，并进行交流．师：引导学生观察表格中三种方案的数量变化情况，对于“增加量”进行比较，体会“直线增长”、“指数爆炸”等．
环节 教学内容设计 师生双边互动
组织探究 4）你能借助计算器或计算机作出函数图象，并通过图象描述一下三种方案的特点吗？5）根据以上分析，你认为就作出如何选择？ 师：引导学生利用函数图象分析三种方案的不同变化趋势．生：对三种方案的不同变化趋势作出描述，并为方案选择提供依据．师：引导学生分析影响方案选择的因素，使学生认识到要做出正确选择除了考虑每天的收益，还要考虑一段时间内的总收益．生：通过自主活动，分析整理数据，并根据其中的信息做出推理判断，获得累计收益并给出本全的完整解答，然后全班进行交流．
例2．某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金（单位：万元）随销售利润（单位：万元）的增加而增加但奖金不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．现有三个奖励模型： ．问：其中哪个模型能符合公司的要求？探究：本例涉及了哪几类函数模型？本例的实质是什么？2）你能根据问题中的数据，判定所给的奖励模型是否符合公司要求吗？ 师：引导学生分析三种函数的不同增长情况对于奖励模型的影响，使学生明确问题的实质就是比较三个函数的增长情况．生：进一步体会三种基本函数模型在实际中的广泛应用，体会它们的增长差异．师：引导学生分析问题使学生得出：要对每一个奖励模型的奖金总额是否超出5万元，以及奖励比例是否超过25%进行分析，才能做出正确选择．
环节 呈现教学材料 师生互动设计
组织探究 3）通过对三个函数模型增长差异的比较，写出例2的解答． 生：分析数据特点与作用判定每一个奖励模型是否符合要求．师：引导学生利用解析式，结合图象，对三个模型的增长情况进行分析比较，写出完整的解答过程．生：进一步认识三个函数模型的增长差异，对问题作出具体解答．
探究与发现 幂函数、指数函数、对数函数的增长差异分析：你能否仿照前面例题使用的方法，探索研究幂函数、指数函数、对数函数在区间上的增长差异，并进行交流、讨论、概括总结，形成较为准确、详尽的结论性报告． 师：引导学生仿照前面例题的探究方法，选用具体函数进行比较分析．生：仿照例题的探究方法，选用具体函数进行研究、论证，并进行交流总结，形成结论性报告．师：对学生的结论进行评析，借助信息技术手段进行验证演示．
巩固与反思 尝试练习：教材P116练习1、2；教材P119练习．小结与反思：通过实例和计算机作图体会、认识直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数模型的增长的含义，认识数学的价值，认识数学与现实生活、与其他学科的密切联系，从而体会数学的实用价值，享受数学的应用美． 生：通过尝试练习进一步体会三种不同增长的函数模型的增长差异及其实际应用．师：培养学生对数学学科的深刻认识，体会数学的应用美．
环节 呈现教学材料 师生互动设计
作业与回馈 教材P127习题32（A组）第1~5题；（B组）第1题
课外活动 收集一些社会生活中普遍使用的递增的一次函数、指数函数、对数函数的实例，对它们的增长速度进行比较，了解函数模型的广泛应用；有时同一个实际问题可以建立多个函数模型．具体应用函数模型时，你认为应该怎样选用合理的函数模型？
创设情境
组织探究
探索研究
巩固反思
作业回馈
课外活动
实际问题引入，激发学生兴趣．
选择变量、建立模型，利用数据表格、函数图象讨论模型，体会不同函数模型增长的含义及其差异．
总结例题的探究方法，并进一步探索研究幂函数、指数函数、对数函数的增长差异，形成结论性报告．
师生交流共同小结，归纳一般的应用题的求解方法步骤．
强化基本方法，规范基本格式．
收集一些社会生活中普遍使用的函数模型，了解函数模型的广泛应用．
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