数学人教A版（2019）必修第一册1.5.1全称量词与存在量词 课件（共21张ppt）

(共21张PPT)
1.5.1 全称量词与存在量词
问题引入：下列命题中含有哪些量词
1.对所有的实数X,都有0；
2.存在实数X,满足0 ；
3.至少有一个实数X,使得-2= 0成立;
4.存在有理数X,使得X2—2=0成立；
5.对于任何自然数n，有一个自然数s使得s=n x n;
问题引入：下列命题中含有哪些量词
1.对所有的实数X,都有0；
2.存在实数X,满足0 ；
3.至少有一个实数X,使得-2= 0成立;
4.存在有理数X,使得X2—2=0成立；
5.对于任何自然数n，有一个自然数s使得s=n x n;
一、全称量词:
下列语句是命题吗？(1)与(3), (2)与(4)之间有什么关系
(1)x>3；
(2)2x+1是整数；
(3)对所有的xR, x>3；
(4)对任意一个x2x+1是整数。
语句(1) (2)不能判断真假，
语句(3) (4)可以判断真假。
全称量词、全称量词命题定义：
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并 用符号“”表示。
含有全称量词的命题，叫做全称量词命题。
常见的全称量词还有
“一切” “每一个”
“任给” “所有的”等。
三、新知建构,典例分析
全称量词命题举例：
命题：对任意的n2n+1是奇数；
所有的正方形都是矩形。
命题符号记法：
通常，将含有变量x的语句用p(x), q(x), r(x),….表示，变量x 的取值范围用M表示，那么，
全称量词命题“对M中任意一个x,p(x)成立”可用符号简记为: x M, p(x),
读作“对任意x属于M,有p(x)成立”
例如： x R,sin2x = 2sinxcosx
例.下列命题是否是全称量词命题？
1.每一个三角形都有外接圆；
2.一切的无理数都是正数；
3.实数都有算术平方根.
全称量词命题所描述的问题的特点：
给定范围内的所有元素(或每一个元素)都具有某种共同的性质。
注意：在写全称量词命题时，为了避免歧义，一般不要省略全称量词。
例1判断下列全称量词命题的真假：
1.所有的素数是奇数：
2.R, x2+1；
3.对每一个无理数x,也是无理数
解:(1)2是素数，但2不是奇数 ,所以，全称命题“所有的素数是奇数”是假命题
(2)真命题
（3）假命题，
二.存在量词:
下列语句是命题吗？(1)与(3), (2)与(4)之间有什么关系
⑴2x+1=3；
(2)x能被2和3整除；
⑶存在一个xR,使2x+1=3；
(4)至少有一个 xx能被2和3整除。
语句(1) (2)不能判断真假
语句(3) (4)可以判断真假
存在量词定义：
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示。
含有存在量词的命题，叫做存在量词命题。
常见的存在量词还有
“有些’’，“有一个” “对某些” “有的”等。
三、新知建构,典例分析
存在量词命题举例：
命题：有的平行四边形是菱形；
有一个素数不是奇数。
存在量词命题“存在M中的一个元素x，
使p(x)成立”
可用符号简记为：
M, p(x)，
读作“存在一个x属于M,使p(x)成立”。
例2判断下列存在量词命题的真假：
1.有一个实数x,使+2x+3=0：
2.平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线;
3.有些整数只有两个正因数.
解：(1 )由于 x2 + 2x+3 = (x+1)2+2>2,因此使 x2 + 2x+3 = 0的实数x不存在。所以，存在量词命题“有一个实数x, 使入 +2x+3=0”是假命题
（2）由于平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，因此平面内不可能存在两条相交直线垂直于同一条直线。
全称量词命题、存在量词命题的表述方法:
命题 全称量词命题 M, p(x) 存在量词命题
M, p(x)
表述方法 所有的M, p(x)成立 对一切M, p(x)成立 对每一个M, p(x)成 立 任选一个M, p(x)成 立 凡M,都有p(x)成立 存在xM,使p(x)成立
至少有一个xM,使 p(x)成立
对有些xM,使p(x)成 立
对某个xM,使p(x)成 立
有一个xm,使p(x)成
练习：
1 .指出下列命题使用了哪种量词，并用符号表示出来
①对任意正实数,--2
②对某个大于10的正整数n,
2.下列命题中的假命题是（ ）
--2
,
A. B. ,
C.lgxD. ,tan x=2
B
二、含有一个量词的命题的否定：
写出下列命题的否定
1.所有的矩形都是平行四边形; m,p(x)
2.每一个素数都是奇数； m,p (x)
3.,x2-2x + 10 m, p (x)
否定：
1.存在一个矩形不是平行四边形; m,(x)
2.存在一个素数不是奇数； m,p(x)
3.,x2-2x + 10 m, p (x)
这些命题和他们的否定在形式上有什么变化？
三、新知建构，典例分析
从命题形式上看，这三个全称量词命题的否定都变成了存在量词命题.
一般地，对于含有一个量词的全称量词命题的否定, 有下面的结论：
全称量词命题p:
它的否定P： M, (x)
全称量词命题的否定是存在量词命题.
改量词，否结论
例3写出下列全称量词命题的否定,并判断真假：
（1） p:所有能被3整除的整数都是奇数；
P:存在一个能被3整除的整数不是奇数.
（2） p:每一个四边形的四个顶点共圆；
P：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆.
（3） p:对任意的个位数字不等于1.
P :的个位数字等于1.
例4、判断下列全称量词命题的真假，并写出其否定,并判断真假：
1） p:所有矩形的对角线相等；
2） p:不论m取什么实数，必有实数根；
3） p:等圆的面积相等，周长相等；
真命题
假命题
真命题
p:有的矩形对角线不相等；
p:存在实数m，使得有实数根；
p:存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等；
假命题
真命题
假命题
一个命题的否定仍是一个命题，它和原先的命题只能一真一假，不能同真或同假。
探究
写出下列命题的否定
1）有些实数的绝对值是正数; x M,p(x)
2）某些平行四边形是菱形； x M,p(x)
3） x R，+1 < 0 x M,p(x)
1）所有实数的绝对值都不是正数； x
2）所有平行四边形都不是菱形; x
3） x R，+1 0 x
这些命题和它们的否定在形式上有什么变化
三、新知建构，典例分析
从命题形式上看，这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题.
一般地，对于含有一个量词的存在量词命题的否定, 有下面的结论：
存在量词命题 p：
它的否定 P：M, (x) .
存在量词命题的否定是全称量词命题.
例4 写出下列存在量词命题的否定，并判断真假：
（1） p：x0 + 2x0 + 2 0 ；
p: , x2 + 2x + 2 > 0.
（2） p:有的三角形是等边三角形；
p:所有的三角形都不是等边三角形.
（3） p:有一个素数含有三个正因数.
P:每一个素数都不含有三个正因数.
真命题
真命题
假命题
假命题
假命题
真命题
写出下列命题的否定：
1）p:有理数是实数；
2）p:能被8整除的数都能被4整除；
p:至少存在一个有理数不是实数。
p: 有些能被8整除的数不能被4整除。
所有的有理数都是实数
每一个能被8整除的数都能被4整除
总结
需要对集合M中每个元素X,证明p(x)成立
判断存在量词命题 M, p(x)"是真命题的 方法:
判断全称量词命题“p(x)”是真命题的方法：
判断全称量词命题“, ∈ ,p(x)”是假命题 的方法:
只需在集合M中找到一个元素，使得p()不成立即可(举反例)
只需在集合M中找到一个元素,使得p(成立即可(举例说明).
判断存在量词命题“xM, p(x)"是假命题的方法:
需要证明集合M中，使p(x)成立的元素x不存在.