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5.3 平行线的性质
一．选择题（共11小题）
1．（2023秋 晋江市期中）下列选项中，能说明命题“若，则”是假命题的反例是
A． B． C． D．
2．（2022春 东莞市期中）下列命题中，是假命题的是
A．两点之间，线段最短 B．同旁内角互补
C．等角的补角相等 D．垂线段最短
3．（2023春 沂水县期中）如图，点是直线外一点，过点分别作，，则点、、三个点必在同一条直线上，其依据是
A．两点确定一条直线
B．同位角相等，两直线平行
C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
D．平行于同一条直线的两条直线平行
4．（2022春 长沙期中）如图所示，下列推理不正确的是
A．， B．，
C．， D．，
5．（2023秋 滨州期中）如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法（图中三角形是三角板），其依据是
A．同旁内角互补，两直线平行 B．两直线平行，同旁内角互补
C．同位角相等，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等
6．（2023春 费县期中）将一直角三角板与两边平行的纸条如图放置．若，则的度数为
A． B． C． D．
7．（2023秋 贵阳期中）如图，一条街道有两个拐角和，已知，若，则的度数是
A． B． C． D．
8．（2023春 南山区期中）如图所示的是一辆自动变速自行车的实物图，图2是抽象出来的部分示意图，已知直线与相交于点，，，，则的大小为
A． B． C． D．
9．（2023秋 拜城县期中）如图，，，，则的度数为
A． B． C． D．
10．（2023春 白银期中）如图，，则下列各式中正确的是
A． B．
C． D．
11．（2022春 山亭区期中）将一副三角板如图放置，则下列结论中正确的是
①如果，则有；
②；
③如果，则有；
④如果，必有．
A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④
二．填空题（共8小题）
12．（2023秋 大观区校级期中）“对顶角相等”的逆命题是
．（用“如果那么”的形式写出）
13．（2023秋 南岗区校级期中）如图，，，，则 ．
14．（2023秋 江油市期中）如图，直线，将三角板按如图方式放置，直角顶点在上，若，则 ．
15．（2023春 天河区校级期中）如图，中，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，若，则的度数为 ．
16．（2023春 陇县期中）如图，，，，，平分，则的度数是 ．
17．（2023春 金牛区校级期中）如图，已知，，平分，，那么 度．
18．（2023秋 南岗区校级期中）已知，点为射线上的一点，过点作，为的平分线，则的度数是 度．
19．（2023春 城阳区期中）如图，已知，，于点．则下列结论正确的是，填写正确结论序号 ．
①；
②；
③；
④若，则．
三．解答题（共9小题）
20．（2021春 昆都仑区校级期中）如图，已知，、分别平分和，求证：．
21．（2023春 宁乡市期中）根据解答过程填空（理由或数学式）
已知：如图，，，求证：．
证明： ，
又（已知），
，
，
．
（已知），
，
，
．
22．（2023春 鼓楼区校级期中）如图，已知，，．求证：
（1）；
（2）．
23．（2023春 双辽市期中）（1）如图，，，，试说明；
（2）若把（1）中的题设中的“”与结论“”对调，所得命题是否为真命题？试说明理由．
24．（2023春 房县期中）已知：如图，点，，分别是三角形的边，，上的点，，；
（1）求证：．
（2）若，求的度数．
25．（2023春 周村区期中）如图，点，在线段的异侧，点，分别是线段，上的点，已知，．
（1）求证：；
（2）若，且，求的度数．
26．（2023春 樊城区期中）已知：直线，点在的上方，且，．
（1）如图1，求的度数；
（2）如图2，若的平分线和的平分线交于点，求的度数．
27．（2023春 萨尔图区期中）（1）如图①，，你能得出，，之间的数量关系吗？请说明理由．
（2）如图①，在的条件下，，．求的度数．
（3）如图②，，根据（1）中的结论进一步猜想，直接写出的度数．
28．（2023秋 滨州期中）探究问题：已知，画一个角，使，，且交于点．与有怎样的数量关系？
（1）我们发现与有两种位置关系：如图1与图2所示．
①图1中与数量关系为 ；图2中与数量关系为 ；
请选择其中一种情况说明理由．
②由①得出一个真命题（用文字叙述） ．
（2）应用②中的真命题，解决以下问题：
若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少，请直接写出这两个角的度数．
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5.3 平行线的性质
一．选择题（共11小题）
1．（2023秋 晋江市期中）下列选项中，能说明命题“若，则”是假命题的反例是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】说明一个命题错误只要举反例即可，即满足命题的条件但不满足命题的结论的例子便是举反例，由此即可作出判断．
【解析】选项的反例不满足命题的条件，不符合；
选项、满足命题的条件，也满足命题的结论，不符合；
选项满足命题的条件，但不满足命题的结论，故是举反例；
故选．
2．（2022春 东莞市期中）下列命题中，是假命题的是
A．两点之间，线段最短 B．同旁内角互补
C．等角的补角相等 D．垂线段最短
【答案】
【分析】根据线段、垂线段的公理、平行线的性质以及补角的性质判断即可．
【解析】、两点之间，线段最短，是真命题；
、两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题；
、等角的补角相等，是真命题；
、垂线段最短，是真命题；
故选．
3．（2023春 沂水县期中）如图，点是直线外一点，过点分别作，，则点、、三个点必在同一条直线上，其依据是
A．两点确定一条直线
B．同位角相等，两直线平行
C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
D．平行于同一条直线的两条直线平行
【答案】
【分析】根据过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行进行判断即可．
【解析】点是直线外一点，过点分别作，，
点、、三个点必在同一条直线上（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）．
故选．
4．（2022春 长沙期中）如图所示，下列推理不正确的是
A．， B．，
C．， D．，
【答案】
【分析】根据平行线的判定与性质求解判断即可．
【解析】，
，
故正确，不符合题意；
由，不能推出，
故不正确，符合题意；
，
，
故正确，不符合题意；
，
，
故正确，不符合题意；
故选．
5．（2023秋 滨州期中）如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法（图中三角形是三角板），其依据是
A．同旁内角互补，两直线平行 B．两直线平行，同旁内角互补
C．同位角相等，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等
【答案】
【分析】根据和是三角板中的同一个角，得，根据平行线的判定，即可．
【解析】，
（同位角相等，两直线平行），
正确．
故选．
6．（2023春 费县期中）将一直角三角板与两边平行的纸条如图放置．若，则的度数为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】先根据，，求得，再根据平行线的性质，即可得到的度数．
【解析】如图，，，
，
，
．
故选．
7．（2023秋 贵阳期中）如图，一条街道有两个拐角和，已知，若，则的度数是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】直接根据平行线的性质解答即可．
【解析】，，
．
故选．
8．（2023春 南山区期中）如图所示的是一辆自动变速自行车的实物图，图2是抽象出来的部分示意图，已知直线与相交于点，，，，则的大小为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由平行线的性质得到，再由三角形外角定理即可求解．
【解析】，，
，
，，
，
故选．
9．（2023秋 拜城县期中）如图，，，，则的度数为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】分别过点作，再根据平行线的性质即可得出结论．
【解析】过作，如图所示：
，
，
，
，
，
，
，
，
故选．
10．（2023春 白银期中）如图，，则下列各式中正确的是
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，而，整理可得．
【解析】，
，，
又，
．
故选．
11．（2022春 山亭区期中）将一副三角板如图放置，则下列结论中正确的是
①如果，则有；
②；
③如果，则有；
④如果，必有．
A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】
【分析】根据平行线的性质与判定，余角的性质，等逐项分析并选择正确的选项即可．
【解析】①，，，，故①正确；
②，，
，故②正确；
③，
，
又，，
，
，故③正确；
④，，
，
，
，
，
，故④正确；
故选．
二．填空题（共8小题）
12．（2023秋 大观区校级期中）“对顶角相等”的逆命题是 如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 ．（用“如果那么”的形式写出）
【答案】如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
【分析】交换原命题的题设和结论即可得到原命题的逆命题．
【解析】命题“对顶角相等．”的逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，
故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角．
13．（2023秋 南岗区校级期中）如图，，，，则 ．
【答案】．
【分析】过作，推出，得到，，由，求出，即可得到．
【解析】过作，
，
，
，，
，
，
．
故答案为：．
14．（2023秋 江油市期中）如图，直线，将三角板按如图方式放置，直角顶点在上，若，则 ．
【答案】．
【分析】由题意可得，从而可求得的度数，再由平行线的性质即可求的度数．
【解析】如图，
由题意得：，
，
，
，
．
故答案为：．
15．（2023春 天河区校级期中）如图，中，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，若，则的度数为 110 ．
【答案】110．
【分析】根据平行线的性质得到，根据折叠的性质得到，根据平角的定义可得，由此可以求出的度数即可得到答案．
【解析】，，
，
由折叠的性质得，
，，
，
，
．
故答案为：110．
16．（2023春 陇县期中）如图，，，，，平分，则的度数是 ．
【答案】．
【分析】由知，可得，利用平行线的判定得到，根据平行线的性质得到，，然后利用已知条件即可求出的度数．
【解析】，
，
又，
，
；
，，，
，，
又，
，
，
又平分，
，
．
故答案为：．
17．（2023春 金牛区校级期中）如图，已知，，平分，，那么 25 度．
【答案】25
【分析】可由平行线的性质得出的大小，进而利用余角及垂直关系得出的大小．
【解析】，，
，则，
平分，，
又，，
．
故应填25．
18．（2023秋 南岗区校级期中）已知，点为射线上的一点，过点作，为的平分线，则的度数是 35或55 度．
【答案】35或55．
【分析】分图1和图2两种情况，利用平行线的性质求出的度数，再根据角平分线的定义求解即可．
【解析】如图1所示，
，，
，
为的平分线，
；
如图2所示，
，，
，
，
为的平分线，
；
综上所述，或，
故答案为：35或55．
19．（2023春 城阳区期中）如图，已知，，于点．则下列结论正确的是，填写正确结论序号 ①②③④ ．
①；
②；
③；
④若，则．
【答案】①②③④．
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补得出，进而利用平行线的判定和性质解答即可．
【解析】，
，
，
，故①正确；
，
，故②正确；
，
，
，
，故③正确；
，
，
，
，故④正确，
故答案为：①②③④．
三．解答题（共9小题）
20．（2021春 昆都仑区校级期中）如图，已知，、分别平分和，求证：．
【分析】根据平行线的性质与判定，结合角平分线的定义作答．
【解析】证明：，
（两直线平行，同位角相等）．
又、分别平分和，
（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，内错角相等）．
21．（2023春 宁乡市期中）根据解答过程填空（理由或数学式）
已知：如图，，，求证：．
证明： 邻补角定义 ，
又（已知），
，
，
．
（已知），
，
，
．
【答案】邻补角定义；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
【分析】根据平行线的判定和性质定理证明即可．
【解析】证明：（邻补角定义），
又（已知），
（同角的补角相等），
（内错角相等，两直线平行），
（两直线平行，内错角相等），
又（已知），
，
（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，同位角相等），
，
故答案为：邻补角定义；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
22．（2023春 鼓楼区校级期中）如图，已知，，．求证：
（1）；
（2）．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【分析】（1）由，，得出，利用“同旁内角互补，两直线平行”可证出；
（2）由得出，由得出，利用“内错角相等，两直线平行”可证出，进而可证出．
【解析】证明：（1），，
，
；
（2），
，
又，
，
，
．
23．（2023春 双辽市期中）（1）如图，，，，试说明；
（2）若把（1）中的题设中的“”与结论“”对调，所得命题是否为真命题？试说明理由．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）所得命题为真命题，理由见解答过程．
【分析】（1）由平行线的性质和判定及等量代换可说明
（2）用平行线性质与判定定理，结合等量代换可得答案．
【解析】（1），
，
，
，
，
，
；
（2）把题设中的“”与结论“”对调，所得命题为真命题，理由如下：
，，
，
，
，
，
．
24．（2023春 房县期中）已知：如图，点，，分别是三角形的边，，上的点，，；
（1）求证：．
（2）若，求的度数．
【答案】（1）见解答；
（2）．
【分析】（1）根据平行线的性质与判定方法证明即可；
（2）设，由可得，根据平行线的性质可得，再根据平角的定义列方程可得的值，进而得出的度数．
【解析】（1）证明：，
，
又，
，
；
（2）设，
，
，
由（1）可知，
，
，
，
又，
．
25．（2023春 周村区期中）如图，点，在线段的异侧，点，分别是线段，上的点，已知，．
（1）求证：；
（2）若，且，求的度数．
【分析】（1）根据对顶角相等结合已知条件得出，根据内错角相等两直线平行即可证得结论；
（2）根据对顶角相等结合已知得出，证得，根据平行线的性质和已知得出，最后根据平行线的性质即可求得．
【解析】（1）证明：，
而，，
，
；
（2）解：，
而，
，
，
，
而，
，
，
，
，
，
，
．
26．（2023春 樊城区期中）已知：直线，点在的上方，且，．
（1）如图1，求的度数；
（2）如图2，若的平分线和的平分线交于点，求的度数．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）过点作，根据平行线的判定和性质解答即可；
（2）过点作，根据平行线的判定和性质解答即可．
【解析】（1）如图1，过点作，
，
，
，
，
；
（2）如图2所示，
是的平分线，是的平分线，
，，
过点作，
，
，
，
，
．
27．（2023春 萨尔图区期中）（1）如图①，，你能得出，，之间的数量关系吗？请说明理由．
（2）如图①，在的条件下，，．求的度数．
（3）如图②，，根据（1）中的结论进一步猜想，直接写出的度数．
【答案】（1），理由见解析；
（2）；
（3）．
【分析】（1）过点作直线，使，由平行线的性质即可得解；
（2）由（1）中结论直接计算即可；
（3）分别过，作，，则，根据平行线的性质即可得到结论．
【解析】（1）．理由如下：如图1，
过点作直线，使，
，
，
，
，
，
，
；
（2）同（1）可得：，
；
（3）如图2，分别过，作，，则，
，
．
28．（2023秋 滨州期中）探究问题：已知，画一个角，使，，且交于点．与有怎样的数量关系？
（1）我们发现与有两种位置关系：如图1与图2所示．
①图1中与数量关系为 ；图2中与数量关系为 ；
请选择其中一种情况说明理由．
②由①得出一个真命题（用文字叙述） ．
（2）应用②中的真命题，解决以下问题：
若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少，请直接写出这两个角的度数．
【分析】（1）①利用平行线的性质即可判断；②根据平行线的性质解决问题即可．
（2）设两个角分别为和，由题意或，解方程即可解决问题．
【解析】（1）①如图1中，．如图2中，，
故答案为：，．
理由：如图1中，
，
，
，
，
．
如图2中，，
，
，
，
．
②结论：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．
故答案为：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．
（2）设两个角分别为和，
由题意或，
解得或，
这两个角的度数为，或和．
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