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微专题05 三角形中间线的应用策略
题型一：角平分线的应用
题型二：中线的应用
题型三：高线的应用
题型四：其他中间线的应用
1.中间线
在三角形中，连接一个顶点与其对边上任意一点得到的线段，称之为中间线.如图中的线段AD.
通用解题策略：利用两角互补，其余弦值为相反数，然后运用两次余弦定理，构造出方程求解.
，利用，得到方程
下面针对特殊情况下的中间线问题，该策略不再赘述.
2.角平分线
策略一：利用角平分线定理，可以转换顶点A两临边的比例关系与底边点D分割两线段的比例关系.
角平分线定理：或
证明：
化简可得，即证
策略二：利用大三角形面积为两个小三角面积之和，可以沟通顶点A两临边长度与角平分线长度的关系.
，
=
特别当∠A是特殊角时，使用起来尤为方便.
3.中线的应用
在△ABC中，点D是BC的中点，AD为BC的中线
策略一：延长中线AD至点E，使DE=AD（倍长中线），构建得△ABE，在该三角形内使用余弦定理求解.
策略二：向量法，利用基底向量进行表示，即,等式两边再进行平方.
4.高线的应用
策略一：高线AD作为两个小三角形的公共边，可以转化为不同的边角表示
还可以利用公共边的身份，得到两个小三角形的三边之比.
策略二：利用等面积法，沟通高线、底边、两临边的关系
策略三：（射影定理）
题型一：角平分线的应用
【例1】如图所示中，平分．
(1)求；
(2)若，求的长．
【答案】(1) (2)
【解析】（1），∵AD平分，∴，
在中，，∴，
在中，，∴；
∴．
（2），，，
∵AD平分，∴，∴，
令，则，
∵，∴，
∴由余弦定理可得：，∴，∴，
∴的长为．
【变式1】已知的角，，的对边分别为，，，且，若平分交线段于点，且，，求的周长.
【答案】
【详解】
因为平分，所以，
由，
得，
则，
由，解得，
由余弦定理，得，所以，
故的周长为.
【变式2】已知在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c且满足．
(1)求角；
(2)若D点在线段BC上，且AD平分，若，且，求的面积．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）因为，所以，
所以，
所以，
即，
因为，所以，所以，
又，所以.
（2）因为点在线段上，且平分，
则，
设，，，则，
由正弦定理可得，，，即，，
则，
由余弦定理可得，，解得，
又，
则，
由余弦定理得，即，解得（负值舍去），
则，，
故的面积为．
【变式3】在中，角的对边分别为．
(1)求证：；
(2)若是上一点，平分，求．
【解析】（1），
在中，由正弦定理得，
（2）
设 ，则,
由（1）知，,
所以 ,因为为的角平分线，所以 ，
即，所以,
由余弦定理知，
化简整理得，
所以
【例2】记的内角的对边分别为，已知，若，，是上一点，为角的平分线，求.
【解析】中，，，，，
所以，解得，则.
又因为为角的平分线，，
所以，
即，所以.
【变式1】在中，，的角平分线交BC于D，则 ．
【答案】
【解析】
如图所示：记，
方法一：由余弦定理可得，，
因为，解得：，
由可得，
，
解得：．
故答案为：．
方法二：由余弦定理可得，，因为，解得：，
由正弦定理可得，，解得：，，
因为，所以，，
又，所以，即．
【变式2】的内角的对边分别为平分且交于点．已知的面积为1，若，求．
【解析】法一：面积+余弦（向量）
易知b=2c，延长AD至点E，使2AD=DE,易得CE=2AB=2c，
记∠BAC=α，∠ACE=π－α，则有，化简得
同除得，记，代入化简计算即可
补充：也可以不做延长线直接用面积和向量得出等量关系
法二：设，根据三角形面积公式结合条件可得，然后利用二倍角公式即得.
因为，所以，
设，则
，得，
所以，所以
【总结】相比之下法二的计算量较小，所以还是优先角平分线的等面积计算会比较好
【变式3】在中，角所对的边分别为平分，且．
(1)求；
(2)求的外接圆和内切圆的面积之比．
【解析】（1）在中，，．
，即
则，
平分，,
且由正弦定理得：,
,
.
即．
在中，由余弦定理得，
联立得，得.
（2）易知外接圆的半径。
设的内切圆半径为，则，
，
的外接圆与内切圆的面积之比为.
【变式4】在△ABC中，内角所对的边分别为，已知.
(1)求角；
(2)若，为边上一点，为角的平分线，且，求的面积.
【解析】（1）依题意，，
由正弦定理得，
由于是三角形的内角，所以，
所以，则，
由于，所以，
所以，
所以，所以.
（2）由余弦定理得，
由三角形的面积公式得，
整理得，
所以，
，
解得，所以三角形的面积为.
【变式5】在△中，内角对应的边分别为，请在①；②；③这三个条件中任选一个，完成下列问题：
(1)求角的大小；
(2)已知，，设为边上一点，且为角的平分线，求△的面积.
【解析】（1）选①，因为，
所以，得，
即，
由正弦定理得：，
因为，所以()，所以．
选②，因为，所以，()
得，
即，
，
所以()，所以．
选③，因为，所以，
，
，
，，
，即，
因为，所以，所以．
（2）在△中，由余弦定理，则，那么；
由角平分线定理,则,
那么.
【变式6】在中，．
(1)求b；
(2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求的面积．
条件①：；
条件②：边上中线的长为；
条件③：．
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】（1）因为，
在△中，由正弦定理，可得：，
又因为， 所以.
（2）选择条件①；由，，以及余弦定理得，该方程无解，故此时三角形不存在，故不能选择条件①
选择条件②
设边上的中线为，则，，
在△中，由余弦定理得：
，
因为，，所以，
所以△的面积为.
选择条件③
方法1：
由题设，因为，所以，
因为，所以
因为，所以，所以，
由余弦定理可得：，
整理得，解得（舍），
因为，，所以，
所以△的面积为.
方法2：由题设，因为，所以，
因为，所以
在△中，因为，所以，即，所以，
所以，
因为，，所以，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以△的面积为.
方法3：因为且，
所以或，
因为，所以，
又因为，
所以即，
所以△为等腰三角形，设边上的高为，则，
由勾股定理，
所以△的面积为.
题型二：中线的应用
【例1】在中，角的对边分别为，
(1)求；
(2)设边的中线，且，求的面积．
【解析】（1）因为，
由正弦定理得，
又因，
所以，
所以，
又，所以，
所以，即，所以，
因为，所以，
所以，所以；
（2）在中，由余弦定理得，
，即，
在中，由余弦定理得，
，
因为，所以，
则，所以，
则，
所以，
故，解得或（舍去），
所以的面积．
【变式1】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，D为的中点，且．
(1)证明：；(2)若，求的面积．
【解析】（1）如图，在中，由余弦定理可知：
，
在中，由余弦定理可知：
，
因为，所以，
则，整理化简可得：，
所以.
（2）由（1）可知：，因为，
在中，由余弦定理可知：
，
整理可得：，解得：，因为，
所以，
则，所以.
【变式2】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若c＝3a，D为AC中点，，求的周长．
【答案】．
【详解】，由余弦定理得，，
是中点，则，
在中由余弦定理得，，
在中由余弦定理得，，
，，
∴，解得，
所以的周长为．
【变式3】记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．
(1)若，求；
(2)若，求．
【答案】(1)；(2).
【详解】（1）方法1：在中，因为为中点，，，
则，解得，
在中，，由余弦定理得，
即，解得，则，
，
所以.
方法2：在中，因为为中点，，，
则，解得，
在中，由余弦定理得，
即，解得，有，则，
，过作于，于是，，
所以.
（2）方法1：在与中，由余弦定理得，
整理得，而，则，
又，解得，而，于是，
所以.
方法2：在中，因为为中点，则，又，
于是，即，解得，
又，解得，而，于是，
所以.
【例2】已知在中，，．
(1)求A的大小；
(2)在下列四个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出边上的中线的长度．
①周长为；②；③面积为；④
【解析】（1）由可得，，
即，所以，
所以或.
当，即时，又，所以；
当时，
又，则由余弦定理知，，
这与矛盾，舍去.
所以，.
（2）
若选①，由（1）知，，.
由正弦定理可得，
又周长为，所以，，则存在且唯一确定.
设中点为，则，
在中，有，，，
由余弦定理可得，，
所以，；.
若选②，即，由（1）知，，.
则，根据正弦定理，可得，
则存在且唯一确定.
设中点为，则，
在中，有，，，
由余弦定理可得，，
所以，；.
若选③，即面积为.由（1）知，，，则.
，所以，则，所以，
根据正弦定理，可得，
则存在且唯一确定.
设中点为，则，
在中，有，，，
由余弦定理可得，，
所以，；.
若选④.
由（1）知，，.
根据正弦定理，可得，
与矛盾，所以，不存在这样的.
【变式1】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，的面积为，求边BC的中线AD的长.
【解析】因为,所以,
因为余弦定理得,又已知,
可得,即得.因为BC的中线AD,可得,
.
【变式2】在中，内角所对的边分别是，已知．
(1)求角；
(2)设边的中点为，若，且的面积为，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理和题中所给式子化简计算得到，再结合余弦定理即可求出角；
（2）根据三角形面积公式得到和，再结合中线向量公式计算即可.
【详解】（1）在中，由正弦定理得，，
因为，所以，
化简得，，
在中，由余弦定理得，，
又因为，所以
（2）由，得，
由，得，所以．
又因为边的中点为，所以，
所以
【变式3】已知的内角的对边分别为，且满足，．
(1)求的大小；
(2)已知是的中线，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理角化边，化简，可得，结合余弦定理即可求得答案；
（2）由，，利用基本不等式可得，再根据是的中线，可得，平方后结合数量积的运算可得，即可求得答案.
【详解】（1）由于在中，，，
则，则，
由于；
（2）因为，，所以，
故，当且仅当，即时等号成立，
故；
由是的中线，得，
即得
，
即得，故的最大值为.
题型三：高线的应用
【例1】（广东深圳·一模）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A为锐角，.
（1）求A；
（2）若，且边上的高为，求的面积.
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）先用余弦定理化余弦为边，再用正弦定理化边为角从而求得；
（2）由余弦定理用表示，然后把三角形的面积用两种方法表示求得，从而可计算出面积．
【详解】（1）由得，
由余弦定理得，所以，
由正弦定理得，是三角形内角，，
所以，又A为锐角，所以．
（2）由（1），，
所以，即，，
，．
【变式1】△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c， 且A＝，若，D是BC边上一点，且，△ACD的面积为，求AC.
【答案】2
法一：∵△ACD的面积为，且，∴△ABC的面积为
∵，且，∴
又∵，∴
在△ABC中，由正弦定理，得，∴
∵△ABC的面积为，∴
∴，故AC=2.
法二：过点C作AB边上的高线CH，不妨设|AH|=x，则可知|CH|=，
根据，易知，则|BH|=2x，
∴三角形的面积为，即
【变式2】在①的平分线长为；②D为BC中点，；③为边上的高，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．
中，角A，B，C的对边为，，，已知，.
(1)求;
(2)若 ，求的大小.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)3
(2).
【分析】（1）根据题意由，利用余弦定理即可求得；
（2）若选①：记，利用等面积法即可求得，即可知；
若选②：利用平面向量表示出，再根据利用数量积定义即可求得结果；
若选③：分别在和中利用余弦定理即可求得，再利用余弦定理可求得.
【详解】（1）由及得，
即，
由余弦定理得，
所以．
（2）若选①：
记，的平分线交BC于D，
则有，
即，
即，即，所以，
因为，所以，从而，即，
所以.
若选②：
由于D为BC中点，所以，
即，
又因为，，，所以，
即，所以，
又因为，
所以.
若选③：
由于为边上的高，
在中，，所以，
在中，，所以，
所以，
由余弦定理得，
又因为，
所以.
题型四：其他中间线的应用
【例1】（2023下·重庆九龙坡·高一重庆市育才中学校考期中）在中，，，D是BC边上一点，，.
(1)求的大小；(2)求的面积.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用余弦定理求，再结合余弦定理求的大小，
（2）由正弦定理求，结合内角和关系求，根据三角形面积公式求的面积.
【详解】（1）在中，由余弦定理可得，
因为，，，
所以，
所以，
在中，由余弦定理可得，
又，
所以；
（2）在中，由正弦定理可得，
由，，可得，
又，，
所以，故，
因为，
所以，
所以的面积.
【变式1】在中，，均在线段上，，若，且，．
(1)求的值；
(2)求的面积．
【解析】（1）因为，所以为锐角，
所以，所以，
在中，
由余弦定理可得，
∴，即，故，
∴；
（2）由（1）可得，
且，
由，得，故，
∴，
，
∴，
则，
由，可得，
在中，由余弦定理可得，
即，故，
在中，由正弦定理可得，
故，
∴的面积为．
【变式2】a，b，c分别为内角A，B，C的对边，已知，.
(1)求A的值；
(2)若，，求c的值.
【解析】（1）因为，，所以，
由正弦定理得.
又，
所以.
因为，所以.
又，所以.
（2）由，得，所以，
所以点D在边上，且，因为，所以，.
在中，由余弦定理得，即，
解得（负根已舍去）.
【变式2】在中，角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)若，且，求.
【解析】（1）.
由正弦定理，可得
又,
.
（2），设，则，
在中，.
在与中，.
.
【变式3】在中，角的对边分别为，且.
(1)求；
(2)若是边上一点，且，设边上的高为，求.
【解析】（1）解：因为，
由正弦定理得，
又因为，所以，所以，
所以，
所以，
所以，
因为，所以，所以，
又因为，所以.
（2）解：在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
因为，所以，
即，整理得，
在中，由余弦定理得，
可得，所以，所以，即，
所以，即，解得，
则.中小学教育资源及组卷应用平台
微专题05 三角形中间线的应用策略
题型一：角平分线的应用
题型二：中线的应用
题型三：高线的应用
题型四：其他中间线的应用
1.中间线
在三角形中，连接一个顶点与其对边上任意一点得到的线段，称之为中间线.如图中的线段AD.
通用解题策略：利用两角互补，其余弦值为相反数，然后运用两次余弦定理，构造出方程求解.
，利用，得到方程
下面针对特殊情况下的中间线问题，该策略不再赘述.
2.角平分线
策略一：利用角平分线定理，可以转换顶点A两临边的比例关系与底边点D分割两线段的比例关系.
角平分线定理：或
证明：
化简可得，即证
策略二：利用大三角形面积为两个小三角面积之和，可以沟通顶点A两临边长度与角平分线长度的关系.
，
=
特别当∠A是特殊角时，使用起来尤为方便.
3.中线的应用
在△ABC中，点D是BC的中点，AD为BC的中线
策略一：延长中线AD至点E，使DE=AD（倍长中线），构建得△ABE，在该三角形内使用余弦定理求解.
策略二：向量法，利用基底向量进行表示，即,等式两边再进行平方.
4.高线的应用
策略一：高线AD作为两个小三角形的公共边，可以转化为不同的边角表示
还可以利用公共边的身份，得到两个小三角形的三边之比.
策略二：利用等面积法，沟通高线、底边、两临边的关系
策略三：（射影定理）
题型一：角平分线的应用
【例1】如图所示中，平分．
(1)求；
(2)若，求的长．
【变式1】已知的角，，的对边分别为，，，且，若平分交线段于点，且，，求的周长.
【变式2】已知在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c且满足．
(1)求角；
(2)若D点在线段BC上，且AD平分，若，且，求的面积．
【变式3】在中，角的对边分别为．
(1)求证：；
(2)若是上一点，平分，求．
【例2】记的内角的对边分别为，已知，若，，是上一点，为角的平分线，求.
【变式1】在中，，的角平分线交BC于D，则 ．
【变式2】的内角的对边分别为平分且交于点．已知的面积为1，若，求．
【变式3】在中，角所对的边分别为平分，且．
(1)求；
(2)求的外接圆和内切圆的面积之比．
【变式4】在△ABC中，内角所对的边分别为，已知.
(1)求角；
(2)若，为边上一点，为角的平分线，且，求的面积.
【变式5】在△中，内角对应的边分别为，请在①；②；③这三个条件中任选一个，完成下列问题：
(1)求角的大小；
(2)已知，，设为边上一点，且为角的平分线，求△的面积.
【变式6】在中，．
(1)求b；
(2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求的面积．
条件①：；
条件②：边上中线的长为；
条件③：．
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
题型二：中线的应用
【例1】在中，角的对边分别为，
(1)求；
(2)设边的中线，且，求的面积．
【变式1】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，D为的中点，且．
(1)证明：；(2)若，求的面积．
【变式2】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若c＝3a，D为AC中点，，求的周长．
【变式3】记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．
(1)若，求；
(2)若，求．
【例2】已知在中，，．
(1)求A的大小；
(2)在下列四个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出边上的中线的长度．
①周长为；②；③面积为；④
【变式1】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，的面积为，求边BC的中线AD的长.
【变式2】在中，内角所对的边分别是，已知．
(1)求角；
(2)设边的中点为，若，且的面积为，求的长．
【变式3】已知的内角的对边分别为，且满足，．
(1)求的大小；
(2)已知是的中线，求的最大值．
题型三：高线的应用
【例1】（广东深圳·一模）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A为锐角，.
（1）求A；
（2）若，且边上的高为，求的面积.
【变式1】△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c， 且A＝，若，D是BC边上一点，且，△ACD的面积为，求AC.
【变式2】在①的平分线长为；②D为BC中点，；③为边上的高，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．
中，角A，B，C的对边为，，，已知，.
(1)求;
(2)若 ，求的大小.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
题型四：其他中间线的应用
【例1】（2023下·重庆九龙坡·高一重庆市育才中学校考期中）在中，，，D是BC边上一点，，.
(1)求的大小；(2)求的面积.
【变式1】在中，，均在线段上，，若，且，．
(1)求的值；
(2)求的面积．
【变式2】a，b，c分别为内角A，B，C的对边，已知，.
(1)求A的值；
(2)若，，求c的值.
【变式2】在中，角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)若，且，求.
【变式3】在中，角的对边分别为，且.
(1)求；
(2)若是边上一点，且，设边上的高为，求.
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