(共51张PPT)
第六章|圆周运动
1 圆周运动
核心素养点击
物理观念 (1)认识圆周运动、匀速圆周运动的特点。
(2)理解线速度的物理意义，知道匀速圆周运动中线速度的方向。
(3)理解角速度的物理意义。
(4)了解转速和周期的意义。
科学思维 (1)掌握线速度和角速度的关系。
(2)能在具体的情境中确定线速度和角速度。
(3)理解线速度、角速度、周期、转速等各量的相互关系。
科学态度与责任 会用描述匀速圆周运动的物理量分析有关问题。
一、线速度
1．填一填
(1)圆周运动：运动轨迹为_____或一段______的机械运动。
(2)线速度
①定义式：v＝______。
②方向：物体做圆周运动时该点的_____方向。线速度是矢量。
③物理意义：表示物体在某点时运动的______。
(3)匀速圆周运动：线速度的_______处处相等的圆周运动。因线速度的方向在时刻变化，故匀速圆周运动是一种_______运动。
圆周
圆弧
切线
快慢
大小
变速
2．判断
(1)做圆周运动的物体，其速度一定是变化的。 ( )
(2)圆周运动线速度定义式v＝ 中的Δs表示位移。 ( )
(3)做匀速圆周运动的物体，绕圆周运动一周，平均速度为0，线速度也为0。( )
(4)匀速圆周运动是线速度不变的运动。 ( )
√
×
×
×
3．选一选
(多选)关于匀速圆周运动，下列说法中正确的是 ( )
A．匀速圆周运动是变速运动
B．做匀速圆周运动的物体的速率不变
C．做匀速圆周运动的物体在任意相等时间内通过的位移相等
D．做匀速圆周运动的物体在任意相等时间内通过的路程相等
解析：由匀速圆周运动的定义知，做匀速圆周运动的物体线速度的大小不变也就是速率不变，但线速度方向时刻改变，故A、B正确；做匀速圆周运动的物体在任意相等时间内通过的弧长即路程相等，故D正确、C错误。
答案：ABD
二、角速度
1．填一填
(1)物理意义：描述做圆周运动的物体绕圆心_____的快慢。
(2)定义：半径在某段时间内转过的______与所用时间Δt之比。
(3)定义式：ω＝ 。
(4)单位：在国际单位制中，角速度的单位是__________，符号：______，也可以写成_____。
(5)角速度是矢量，但是中学阶段不研究其方向。
(6)匀速圆周运动角速度特点：角速度______。
转动
角Δθ
弧度每秒
rad/s
s－1
不变
2．判断
(1)角速度是标量，它没有方向。 ( )
(2)物体做匀速圆周运动时在相等的时间内转过的角度相等。 ( )
(3)做匀速圆周运动的物体，转过的角度越大，其角速度就越大。 ( )
×
√
×
3．想一想
钟表上的时针和分针绕轴转动的角速度一样吗？
提示：时针12小时转一周，分针1小时转一周，故分针绕轴转动的角速度 较大。
三、周期
1．填一填
物理量 周期 转速 频率
定义 做圆周运动的物体，运动_____所用的时间 物体转动的_____与所用时间之比 做圆周运动的物体单位时间内转过的圈数
符号 T n f
单位 秒(s) 转每秒(r/s)、
转每分(r/min) 赫兹(Hz)
一周
圈数
2．判断
(1)做圆周运动的物体转动的周期越短，其转动得就越快。 ( )
(2)物体做圆周运动时的转速越大，说明其转动得越快。 ( )
(3)钟表分针的转速为 r/s。 ( )
√
√
×
3．想一想
周期和转速、频率都是描述物体做圆周运动快慢的物理量，那么，三者间有怎样的数量关系呢？
2．判断
(1)当半径一定时，线速度与角速度成正比。 ( )
(2)角速度一定时，线速度与半径成正比。 ( )
(3)线速度越大，角速度也越大。 ( )
ωr
乘积
√
√
×
3．选一选
静止在地球上的物体都要随地球一起转动，下列说法正确的是 ( )
A．它们的运动周期都是相同的 B．它们的线速度都是相同的
C．它们的线速度大小都是相同的 D．它们的角速度是不同的
解析： 如图所示，地球绕地轴转动时，地球上各点的运动
周期及角速度都是相同的。地球表面上的物体，随地球做
圆周运动的平面是物体所在纬线平面，其圆心分布在整条
自转轴上，不同纬线上的物体做圆周运动的半径是不同的，
只有到自转轴距离相等的物体，转动半径相等，线速度的 大小才相等，但即使物体的线速度大小相同，方向也各不相同，故A正确。
答案：A
主题探究(一) 描述圆周运动的各物理量间的关系
[问题驱动]
打篮球的同学可能尝试过转篮球，让篮球在指尖旋转，展示自己
的球技，如图所示，如果篮球正绕指尖所在的竖直轴旋转，那么篮球
上不同高度的各点的角速度相同吗？线速度相同吗？
提示：篮球上各点的角速度是相同的。篮球上不同高度的各点转动时的圆心、半径不同，由v＝ωr可知，不同高度的各点的线速度大小不同，方向也不同。
【重难释解】
1．描述圆周运动的各物理量之间的关系
2．v、ω及r间的关系
由v＝ωr知，当v、ω、r中有一个不变时，其他两个物理量间的变化关系：
(1)当r一定时，v ∝ω，如图甲所示。
(2)当ω一定时，v ∝r，如图乙所示。
(3)当v一定时，ω∝ ，如图丙或丁所示。
典例1 某同学以自行车的齿轮传动作为探究学习的课题。
该同学通过观察发现，自行车的大齿轮与小齿轮通过链条相连，
后轮与小齿轮绕共同的轴转动，如图所示。测得大齿轮的半径
为r1、小齿轮的半径为r2、自行车后轮的半径为R。若测得在时间t内大齿轮转动的圈数为N，求：
(1)大齿轮转动角速度ω的大小；
(2)自行车后轮线速度v的大小。
解题指导
(1)根据在时间t内大齿轮转动的圈数N，可以求出大齿轮的转动周期T，再结合角速度与周期的关系，从而求出大齿轮的角速度ω。
(2)大齿轮与小齿轮通过链条相连，两齿轮边缘线速度的大小相等。后轮与小齿轮同轴转动，两者角速度的大小相等。根据线速度与角速度的关系，从而求出后轮线速度的大小v。
圆周运动中各物理量间关系的应用技巧
(1)分析线速度和角速度的关系，应用公式v＝ωr。
(2)分析转速和角速度的关系，应用公式ω＝2πn。
【素养训练】
1. 如图所示是广东沿海的风力发电机，A、B 是同一台发电机叶片上的两点。发电机工作时A、B两点的角速度大小分别为ωA、ωB，线速度大小分别为vA、vB，则( )
A．ωA＞ωB B．ωA＜ωB
C．vA＞vB D．vA＜vB
解析：A、B两点的角速度相同，A点的半径大于B点的半径，根据v＝ωr可得，A点的线速度大于B点的线速度，A、B、D错误，C正确。
答案：C
2．甲、乙两个质点做圆周运动，它们的角速度之比为3∶1，线速度之比为2∶3，下列说法中正确的是 ( )
A．它们的半径之比为2∶9 B．它们的半径之比为1∶2
C．它们的周期之比为2∶3 D．它们的周期之比为3∶1
答案：A
3．某兴趣小组，走访了当地的某品牌汽车4S店后得知：汽车在公路上行驶时一般不打滑，轮子转一周，汽车向前行驶的距离等于车轮的周长。该小组实际测量该品牌某型号轿车的车轮半径约为30 cm，当该型号轿车在高速公路上行驶时，驾驶员前面的速率计的指针指在“120 km/h”上，可估算出该车车轮的转速为 ( )
A．1 000 r/s B．1 000 r/min
C．1 000 r/h D．2 000 r/s
答案：B
主题探究(二) 传动装置问题
[问题驱动]
如图所示为两种传动装置的模型图。
(1)图甲为皮带传动装置，试分析A、B两点的线速度的关系、角速度的关系。
(2)图乙为同轴传动装置，试分析A、C两点的角速度的关系、线速度的关系。
提示：(1)A、B两点的线速度大小相同，A点的角速度小于B点的角速度。
(2)A、C两点的角速度相同，A点的线速度大于C点的线速度。
【重难释解】
1．传动问题的两个重要结论
(1)皮带传动(不打滑)时，与皮带接触的轮子边缘上各点的线速度大小相等。
(2)同轴传动时，物体上各点的角速度相等。
传动类型 同轴传动 皮带传动(不打滑) 齿轮传动
装置 A、B两点在同轴的一个圆盘上
两个轮子用皮带连接，A、B两点分别是两个轮子边缘的点
两个齿轮轮齿啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点
典例2 如图所示的传动装置中，B、C两轮固定在一起绕同一轴转动，A、B两轮用皮带传动，三个轮的半径关系是rA＝rC＝2rB。若皮带不打滑，求A、B、C三轮边缘上a、b、c三点的线速度之比和角速度之比。
[解析] a、b两点由皮带相连，线速度大小相等，va＝vb；
b、c两点绕同一轮轴转动，角速度相等，ωb＝ωc，
由v＝ωr，比较b、c两点的线速度，
vb∶vc＝rB∶rC＝1∶2；
因此va∶vb∶vc＝1∶1∶2。
由v＝ωr比较a、b两点的角速度，
ωa∶ωb＝rB∶rA＝1∶2；
因此ωa∶ωb∶ωc＝1∶2∶2。
[答案] 1∶1∶2 1∶2∶2
传动问题的分析技巧
(1)分析是哪种传动装置。
(2)皮带(或链条)传动和齿轮传动，与轮子边缘接触的各点或齿轮边缘的各点线速度大小一定相同。
(3)同轴转动，各点的角速度一定相同。
(4)利用v＝ωr分析有关问题。
【素养训练】
4．(多选)如图所示，A、B两点分别位于大、小轮的边缘上，
C点位于大轮半径的中点，大轮的半径是小轮半径的2倍，
它们之间靠摩擦传动，接触面不打滑。下列说法正确的是 ( )
A．A点与B点线速度大小相等
B．B点与C点线速度大小相等
C．A点的角速度是C点的2倍
D．A点与C点角速度大小相等
解析：靠摩擦传动做匀速转动的大、小两轮接触面互不打滑，因此A、B两点具有相同的线速度大小，故A正确；A点和C点是同轴转动，角速度相等，故C错误，D正确；A点和B点的线速度大小相同，又因为A、C两点具有相同的角速度，根据v＝rω，可知B点的线速度大于C点的线速度，故B错误。
答案：AD
5．闹钟是带有闹时装置的钟。既能指示时间，又能按人们预定的时刻发出音响信号或其他信号。如图所示，机械式闹钟中的三个齿轮的半径之比为1∶3∶5，当齿轮转动的时候，小齿轮边缘的M点和大齿轮边缘的N点的线速度大小之比和角速度之比分别为 ( )
A．1∶1 1∶5 B．1∶1 5∶1
C．5∶1 1∶5 D．5∶1 5∶1
答案：B
6．(2023·广东1月学考)如图所示，P、Q为固定在自行车后轮上的两个转动齿轮，与车后轮同角速度转动，通过链条与脚踏轮M连接，P轮的半径比Q轮的大。保持M以恒定角速度转动，将链条由Q轮换到P轮，则车后轮转动的 ( )
A．角速度不变 B．角速度变小
C．周期不变 D．周期变小
答案：B
主题探究(三) 匀速圆周运动的多解问题
【重难释解】
1．匀速圆周运动的周期性和多解性
匀速圆周运动具有周期性，前一个周期中发生的事件在后一个周期中同样可能发生，这就要求我们在确定做匀速圆周运动的物体的运动时间时，必须把各种可能都考虑进去，一般t＝nT(T为运动周期，n为运动圈数)，因此可能产生多解问题。
2．匀速圆周运动的多解问题的解题思路
(1)明确两个物体参与的匀速圆周运动的性质和求解的问题；两个物体参与的两个匀速圆周运动虽然独立进行，但一定有联系点，其联系点一般是时间或位移相等，抓住两匀速圆周运动的联系点是解题关键。
(2)注意匀速圆周运动的周期性造成的多解。分析问题时可暂时不考虑周期性，表示出一个周期的情况，再根据运动的周期性，在转过的角度θ上再加上2nπ，具体n的取值应视情况而定。
典例3 如图所示，半径为R的圆板做匀速转动，当半径OB转
到某一方向时，在圆板中心正上方高h处，以平行于OB方向水平抛
出一小球。要使小球与圆板只碰撞一次，且落点为B，求小球水平
抛出时的速度v0及圆板转动的角速度ω。
[迁移·发散]
要求小球刚好落在OB的中点，求小球水平抛出时的速度v0及圆盘转动的最大周期。
【素养训练】
7．如图所示，一位同学玩飞镖游戏，已知圆盘的直径为d，飞镖距圆盘为L，该同学对准圆盘上边缘的A点水平抛出飞镖，初速度为v0，飞镖抛出的同时，圆盘绕垂直圆盘过盘心O的水平轴匀速转动，角速度为ω。若飞镖恰好击中A点，则下列关系式正确的是 ( )
答案：B
8． 如图所示，B物体放在光滑的水平地面上，在水平恒力F的作用
下由静止开始运动，B物体质量为m，同时A物体在竖直面内由
M点开始逆时针做半径为r、角速度为ω的匀速圆周运动。求力
F为多大时可使A、B两物体在某些时刻的速度相同。
9．如图所示， 用薄纸做成的圆筒，直径为D，竖直放置，圆筒
绕轴线OO′以角速度ω0逆时针匀速运动。一玩具手枪发出的
子弹，沿水平方向匀速飞来(不计子弹 重力影响)，沿圆筒的
直径方向击穿圆筒后飞出(设薄纸对子弹的运动速度无影响
且认为纸筒没有发生形变)，结果在圆筒上只留下子弹的一
个洞痕，求子弹的速度。
一、培养创新意识和创新思维
炎炎的夏夜，你在日光灯下打开电风扇，你会发现随着电风扇转速的变化，电风扇叶片有时仿佛静止不动，有时倒转，有时正转。这是怎么回事呢？
解析：日光灯并不是连续发光，而是随着交流电的频率不停地闪烁，断断续续将物体照亮。目前，我国使用的交流电频率是50 Hz，日光灯发光的频率是其两倍，即每秒有100次闪烁。
由于人眼的视觉暂留性，通常情况下感觉不到这种闪烁，但对于高速转动的物体就不同了。日光灯每秒钟100次照亮物体，因此，当电风扇的转速达到100 r/s的整数倍时，电风扇的叶片总是在同一位置上。这样人就觉得电风扇叶片是“静止”不动的了。
答案：见解析
二、注重学以致用和思维建模
1. 甲、乙两位同学每天坚持晨跑，甲沿着半径为2R的圆周跑道匀速率
跑步，乙沿着半径为R的圆周跑道匀速率跑步，在相同的时间内，甲、
乙各自跑了一圈，他们的角速度和线速度的大小分别为ω1、ω2和v1、
v2，则 ( )
A．ω1＞ω2，v1＜v2 B．ω1＜ω2，v1＞v2
C．ω1＝ω2，v1＜v2 D．ω1＝ω2，v1＞v2
答案：D
解析：手轮圈和大车轮的转动角速度相等，都等于ω，大车轮、小车轮和地面之间不打滑，则大车轮与小车轮的线速度相等，若小车轮的半径是r，则有v＝ω·9r＝ω′·r，小车轮 的角速度为ω′＝9ω，选项D正确。
答案：D
3． (多选)在汽车变速器中，存在如图所示的装置，A是
与B同轴相连的齿轮，C是与D同轴相连的齿轮，A、
C、M为相互啮合的齿轮。已知齿轮A、C规格相同，
半径为R，齿轮B、D规格也相同，半径为1.5R，齿 轮M的半径为0.9R。当齿轮M如图示方向转动时，下列说法正确的是 ( )
A．齿轮D和齿轮B的转动方向相同
B．齿轮M和齿轮C的角速度大小之比为9∶10
C．齿轮D和齿轮A的转动周期之比为1∶1
D．齿轮M和齿轮B边缘某点的线速度大小之比为2∶3
答案：ACD (共65张PPT)
4 生活中的圆周运动
核心素养点击
物理观念 (1)了解生活中的各种圆周运动现象。
(2)知道航天器中的失重现象。
(3)知道离心运动产生的原因。
科学思维 (1)能根据所学知识分析生活中的各种圆周运动现象。
(2)会分析火车(汽车)转弯、汽车过凸形桥和凹形路面时的有关问题。
科学态度与责任 观察生活中的离心现象，了解其在生活中的应用，并知道离心运动所带来的危害。
一、火车转弯
1．填一填
(1)运动特点：火车转弯时实际是在做______运动，因而具有向心加速度。
(2)向心力来源
①弯道的内外轨一样高：由_____对轮缘的弹力提供向心力，如图6.4-1甲所示，这样铁轨和车轮极易受损，还可能使火车侧翻。
圆周
外轨
②弯道的外轨略高于内轨：在修筑铁路时，要根据弯道的半径和规定的行驶速度，适当选择内外轨的高度差，使转弯时所需的向心力几乎完全由_______和___________的合力提供，如图6.4-1乙所示。
图6.4-1
重力G
支持力FN
(3)铁路弯道的特点
①转弯处_____略高于_____。
②铁轨对火车的支持力不是竖直的，而是斜向弯道_____。
③铁轨对火车的支持力与火车所受重力的合力指向弯道的_____，它提供了火车以规定速度行驶时的________。
外轨
内轨
内侧
圆心
向心力
2．判断
(1)火车转弯可以简化为水平面上的圆周运动。 ( )
(2)火车转弯处的轨道内轨要高于外轨。 ( )
(3)火车转弯时所需的向心力是车轨与车轮间的挤压力提供的。 ( )
(4)火车通过弯道时具有速度的限制。 ( )
3．想一想
火车静止在转弯处时，合力为0，若火车按照规定的速度转弯时，其合力也是0吗？
提示：此时火车具有向心加速度，其合力沿水平方向指向轨道的内侧。
√
×
×
√
二、汽车过拱形桥
1．填一填
运动情形 汽车过凸形桥 汽车过凹形路面
受力分析
向心力 Fn＝________＝m Fn＝_______＝m
对路面的压力 FN′＝__________ FN′＝__________
mg－FN
FN－mg
mg－m
mg＋m
运动情形 汽车过凸形桥 汽车过凹形路面
结论 汽车对桥的压力小于汽车所受的重力，而且汽车速度越大，对桥的压力_____ 汽车对凹形路面的压力大于汽车的重力，而且汽车速度越大，对凹形路面的压力_____
超重、
失重现象 失重状态 超重状态
越小
越大
2．判断
(1)汽车在拱形桥上行驶，速度较小时，对桥面的压力大于车的重力。 ( )
(2)汽车在水平路面上加速行驶时对水平路面的压力大于车的重力。 ( )
(3)汽车过凹形路面底部时，对路面的压力大于车的重力。 ( )
×
×
√
答案：B
三、航天器中的失重现象
1．填一填
(1)向心力分析
航天员除了受到__________外，还可能受到飞船座舱对他的________，这两个力的合力提供他绕地球做匀速圆周运动所需的向心力，________＝m 。
(2)失重状态
当v＝_____时座舱对航天员的支持力FN＝0，航天员处于完全失重状态。
地球引力
支持力
mg－FN
2．判断
(1)运行于太空的航天器中的宇航员处于完全失重状态。 ( )
(2)处于完全失重状态的物体不受重力作用。 ( )
(3)航天器中的物体处于完全失重状态，所受的合力为0。 ( )
√
×
×
3．选一选
(多选)宇航员在围绕地球做匀速圆周运动的空间站中处于完全失重状态，下列说法正确的是 ( )
A．宇航员仍受重力的作用
B．宇航员受力平衡
C．宇航员所受重力等于所需的向心力
D．宇航员不受重力的作用
解析：做匀速圆周运动的空间站中的宇航员，所受重力全部提供其做圆周运动的向心力，处于完全失重状态，并非不受重力作用，故A、C正确，B、D错误。
答案：AC
四、离心运动
1．填一填
(1)定义：物体沿切线方向飞出或做逐渐__________的运动。
(2)条件：向心力突然消失或合力不足以提供所需的________。
(3)离心运动的应用
①洗衣机脱水；
②炼钢厂制作无缝钢管；
③医务人员从血液中分离血浆和红细胞。
远离圆心
向心力
(4)离心运动的危害
①汽车转弯时速度过大，车轮在路面上打滑易造成交通事故。
②转动的砂轮、飞轮转速过高，离心运动会使它们破裂，酿成事故。
2．判断
(1)离心运动是物体惯性的表现。 ( )
(2)离心运动是物体受到了离心力的作用。 ( )
(3)离心运动是沿半径向外的运动。 ( )
√
×
×
3．想一想
如图所示，是一款滚筒洗衣机及其滚筒，请思考洗衣机是如何将衣服甩干的？
提示：当滚筒高速旋转时，衣服紧贴着筒壁随圆筒高速转动，当衣服上的水滴的附着力不足以提供其随圆筒转动的向心力时，水滴会做离心运动从圆筒的小孔中被甩出。
主题探究(一) 火车转弯问题
[问题驱动]
火车在铁轨上转弯可以看成是匀速圆周运动，如图所示，
请思考下列问题：
(1)火车转弯处的铁轨有什么特点？火车受力如何？火车
的运动特点如何？
(2)火车以规定的速度转弯时，什么力提供向心力？
(3)火车转弯速度过大时，会对哪侧轨道有侧压力？
(4)火车转弯速度过小时，又会对哪侧轨道有侧压力？
提示：(1)火车转弯处的外轨高于内轨；由于外轨高于内轨，火车所受支持力的方向斜向上，火车所受支持力与重力的合力可以提供向心力；火车在行驶的过程中，重心的高度不变，故火车在同一水平面内做匀速圆周运动，即火车的向心加速度和向心力均沿水平面指向圆心。
(2)火车以规定的速度转弯时，其所受重力和支持力的合力恰好提供向心力。
(3)当火车转弯速度过大时，其所受重力和支持力的合力不足以提供向心力，此时火车对外侧轨道有向外的侧向压力。
(4)当火车转弯速度过小时，其所受重力和支持力的合力大于所需向心力，此时火车对内侧轨道有向里的侧向压力。
【重难释解】
1．火车车轮的特点
火车的车轮有凸出的轮缘，火车在铁轨上运行时，车轮与铁轨有水平与竖直两个接触面，这种结构特点，主要是避免火车运行时脱轨，如图所示。
2．轨道分析
火车在转弯过程中，运动轨迹是一段水平圆弧。由于火车在转弯过程中重心高度不变，故火车运行轨迹所在的平面是水平面，而不是斜面；火车的向心加速度和向心力均沿水平面指向圆心。
3．向心力分析
火车速度合适时，火车受如图所示的重力和支持力作用，火车转弯所需的向心力完全由重力和支持力的合力提供，合力沿水平方向，大小为F＝mgtan θ。
5．轨道侧压力分析
典例1 某铁路转弯处的圆弧半径是300 m，铁轨的轨距是1 435 mm，火车通过这里的规定速度是72 km/h。
(1)求内外轨的高度差。
(2)保持内外轨的这个高度差，如果列车通过转弯处的速度大于或小于 72 km/h，分别会发生什么现象？说明理由。
[解析] (1)如图所示，h为内外轨的高度差，d为轨距。
(2)①如果车速v>72 km/h，那么火车重力和轨道对火车的支持力的合力F将小于需要的向心力，所差的向心力仍需由外轨对轮缘的弹力来弥补。这样就出现外侧车轮的轮缘向外挤压外轨的现象。
②如果车速v<72 km/h，火车重力和轨道对火车的支持力的合力F将大于需要的向心力，超出的则由内轨对内侧车轮轮缘的弹力来平衡，这样就出现内侧车轮的轮缘向里挤压内轨的现象。
[答案] (1)0.195 m (2)见解析
[迁移·发散]
如果该弯道的内外轨一样高，火车质量为100 t，仍以规定速度72 km/h通过该弯道，其向心力来源是什么？向心力的大小是多少？会产生什么后果？
答案：外轨对轮缘的水平向内的侧向弹力
1．33×105 N 火车脱轨或翻车事故
火车转弯问题的解题策略
(1)解答火车转弯问题时一定要搞清合力的方向。火车做圆周运动所需的向心力的方向指向水平面内的圆心。
(2)弯道两轨在同一水平面上时，向心力由外轨对轮缘的挤压力提供。
(3)当外轨高于内轨时，向心力由火车的重力和铁轨的支持力以及内、外轨对轮缘的挤压力的合力提供，且与火车的速度大小有关。
【素养训练】
1．(多选)在铁路转弯处，往往使外轨略高于内轨，这是为了 ( )
A．增加火车车轮对外轨的挤压
B．增加火车车轮对内轨的挤压
C．使火车车身倾斜，利用重力和支持力的合力提供火车转弯所需的向心力
D．限制火车向外脱轨
解析：火车轨道建成外高内低，火车转弯时，轨道的支持力与火车的重力两者的合力指向弧形轨道的圆心，为火车转弯提供了(部分)向心力，减轻了轮缘与外轨的挤压，同时在一定程度上限制了火车转弯时发生离心运动，即限制火车向外脱轨，故C、D正确。
答案：CD
答案： ABD
3．在高速公路的拐弯处，通常路面都是外高内低。如图所示，在某路段汽车向左拐弯，司机左侧的路面比右侧的路面低一些。汽车的运动可看作是做半径为R的在水平面内的圆周运动。设内外路面高度差为h，路基的水平宽度为d，路面的宽度为L。已知重力加速度为g。若要使车轮与路面之间的横向摩擦力(即垂直于前进方向)等于0，则汽车转弯时的车速应等于 ( )
答案：B
主题探究(二) 汽车过拱形桥问题
[问题驱动]
如图甲、乙所示为汽车在凸形桥、凹形路面上行驶的示意图，汽车行驶时可以看作圆周运动。
(1)如图甲，汽车行驶到拱形桥的桥顶时：
①什么力提供向心力？汽车对桥面的压力有什么特点？
②汽车对桥面的压力与车速有什么关系？汽车安全通过拱形桥顶(不脱离桥面)行驶的最大速度是多大？
(2)当汽车行驶到凹形路面的最底端时，什么力提供向心力？汽车对路面的压力有什么特点？
【重难释解】
汽车过凸形桥与凹形路面问题的比较
典例2 如图所示，总质量m＝2.0×104 kg 的满载货物的卡车以不变的速率先后驶过凹形桥面和凸形桥面，两桥面的圆弧半径均为60 m。如果桥面承受的压力不得超过3.0×105 N(g取10 m/s2)，则卡车允许的最大速率是多少？
[迁移·发散]
若以所求速率行驶，卡车对桥面的最小压力是多少？
答案：1.0×105 N
【素养训练】
4．如图所示，汽车以一定的速度经过一个圆弧形桥面的顶点时，关于汽车的受力及汽车对桥面的压力情况，以下说法不正确的是 ( )
A．在竖直方向汽车受到三个力：重力、桥面的支持力和向心力
B．在竖直方向汽车可能只受两个力：重力和桥面的支持力
C．在竖直方向汽车可能只受重力
D．汽车对桥面的压力小于汽车的重力
答案：A
5．如图所示，汽车在炎热的夏天沿不规整的曲面行驶，其中最容易发生爆胎的点是(汽车运动速率不变) ( )
A．a点 B．b点
C．c点 D．d点
答案：D
6．如图所示，是一座半径为40 m的圆弧形拱形桥。一质量为1.0×103 kg的汽车，行驶到拱形桥顶端时，汽车运动速度为10 m/s；则此时汽车运动的向心加速度为多大？向心力为多大？汽车对桥面的压力是多少？(g取10 m/s2)
答案：2.5 m/s2 2.5×103 N 7.5×103 N
主题探究(三) 离心运动的理解与分析
[问题驱动]
如图甲所示，链球比赛中，高速旋转的链球被运动员放手后会飞出；如图乙所示，下雨天旋转雨伞时，会发现水滴沿着伞边缘的切线飞出。请思考：
(1)运动员放手后链球沿什么方向飞出？
(2)你能说出水滴沿着伞边缘的切线飞出的原因吗？
(3)物体做离心运动的条件是什么？
提示：(1)高速旋转的链球做圆周运动，运动员放手后链球沿对应的切线方向飞出。
(2)旋转雨伞时，水滴也随着运动起来，但伞面上的水滴受到的合力不足以提供其做圆周运动的向心力时，水滴由于惯性要保持其原来的速度方向而沿切线方向飞出。
(3)物体受到的合力不足以提供其运动所需的向心力。
2．四种运动情况的判断
如图6.4-15所示，根据物体所受合外力与所需向心力的关系，可做如下判断：
图6.4-15
典例3 如图所示是科技馆里一个挑战智慧的玩具：
一根两端封口、中央位置上下各开一个小口的透明长圆管，
里面装有两个小球。如何使两个小球分别处于圆管的两端？
解题指导 常规的想法就是把圆管左右倾斜，希望一个小球能留在一端，而另一个小球能滚到另外一端去，但这很难实现。而灵活应用离心运动的知识，却能轻易地解决这个问题，这正是创新思维的体现。
[答案] 如图所示，取一根细棒，将它穿过圆管中部的小孔把小球隔开，然后转动圆管使之绕细棒旋转，随着转速增大，两个小球受到的静摩擦力不足以提供其做圆周运动所需的向心力，发生离心现象，两个小球很快就分别滚向圆管的两端。
【素养训练】
7．(多选)下列现象中，属于离心现象的是 ( )
A．守门员把足球踢出后，球在空中沿着弧线运动
B．在雨中转动伞柄，伞面上的雨水将沿伞边缘切线方向飞出
C．绕地球做匀速圆周运动的卫星因受阻力作用，运行高度逐渐降低
D．满载黄沙或石子的卡车急转弯时，部分黄沙或石子会被甩出
解析 ：守门员把足球踢出后，球在空中沿着弧线运动不是离心运动，A错误；在雨中转动伞柄，伞面上的雨水将沿伞边缘切线方向飞出是离心运动，B正确；绕地球做匀速圆周运动的卫星因受阻力作用，运行高度逐渐降低是向心运动，C错误；满载黄沙或石子的卡车急转弯时，部分黄沙或石子会被甩出这是离心运动，D正确。
答案： BD
8．如图所示， 光滑的水平面上，小球在拉力F作用下做匀速圆周
运动，若小球到达P点时F突然发生变化，下列关于小球运动
的说法正确的是 ( )
A．F突然消失，小球将沿轨迹Pa做离心运动
B．F突然变小，小球将沿轨迹Pa做离心运动
C．F突然变大，小球将沿轨迹Pb做离心运动
D．F突然变小，小球将沿轨迹Pc逐渐靠近圆心
解析：若F突然消失，则小球所受合力突变为0，小球将沿切线方向匀速飞出，故A正确；若F突然变小不足以提供小球所需向心力，小球将做逐渐远离圆心的离心运动，故B、D错误；若F突然变大，超过了小球所需向心力，小球将做逐渐靠近圆心的运动，故C错误。
答案：A
9．(2022·华南师大附中月考)(多选)如图甲，滚筒洗衣机脱水时，衣物紧贴着滚筒壁在竖直平面内做顺时针的匀速圆周运动。如图乙，一件小衣物随着滚筒经过a、b、c、d四个位置。下列说法正确的是 ( )
A．小衣物中的水滴最容易在a位置被甩出
B．在b位置滚筒壁对小衣物的力指向滚筒圆心
C．小衣物中的水滴最容易在c位置被甩出
D．在d位置小衣物受到的合力指向滚筒圆心
一、培养创新意识和创新思维
1．(多选)如图所示，内壁 光滑的玻璃管内用长为L的轻绳悬挂一个小球。当玻璃管绕竖直轴以角速度ω匀速转动时，小球与玻璃管间恰无压力。下列说法正确的是 ( )
A．仅增加绳长后，小球将受到玻璃管斜向上方的压力
B．仅增加绳长后，若仍保持小球与玻璃管间无压力，需减小ω
C．仅增加小球质量后，小球将受到玻璃管斜向上方的压力
D．仅增加角速度至ω′后，小球将受到玻璃管斜向下方的压力
解析：根据题意可知，mgtan θ＝mrω2＝mω2Lsin θ，仅增加绳长后，小球需要向心力变大，则小球有离心趋势，会挤压管壁外侧，小球受到玻璃管斜向下方的压力，若仍保持小球与玻璃管间无压力，则需减小ω，故A错误，B正确；小球质量可以被约去，所以仅增加小球质量，小球仍与管壁间无压力，故C错误；仅增加角速度至ω′后，小球需要向心力变大，则小球有离心趋势，会挤压管壁外侧，小球受到玻璃管斜向下方的压力，故D正确。
答案：BD
2． 如图所示，地球可以看作一个巨大的拱形桥，桥面半径等
于地球半径，试讨论：
(1)地面上有一辆汽车在行驶，地面对它的支持力与汽车的
速度有何关系？驾驶员在行驶过程中处于超重状态还是失重状态？
驾驶员能感受到吗？
(2)假设地球的半径R＝6 400 km，g取10 m/s2，汽车以多大的速度行驶时，驾驶员会处于完全失重状态？
答案：见解析
二、注重学以致用和思维建模
1．(多选)社会提倡无偿献血行为。采血常采用“机采成分血”
的方式，就是指把健康人捐献的血液，通过血液分离机
分离出其中某一种成分(如血小板、粒细胞或外周干细胞)
储存起来，再将分离后的血液回输到捐献者体内。分离血液成分需要用到一种叫离心分离器的装置，其工作原理的示意图如图所示，将血液装入离心分离器的封闭试管内，离心分离器转动时给血液提供一种“模拟重力”的环境，“模拟重力”的方向沿试管远离转轴的方向，其大小与血液中细胞的质量以及其到转轴距离成正比。初始时试管静止，血液内离转轴同样距离处有两种细胞A、B，其密度分别为ρA和ρB，它们的大小与周围血浆密度ρ0的关系为ρA<ρ0<ρB。对于试管由静止开始绕轴旋转并不断增大转速的过程中，下列说法中正确的是 ( )
A．细胞A相对试管向内侧运动，细胞B相对试管向外侧运动
B．细胞A相对试管向外侧运动，细胞B相对试管向内侧运动
C．这种离心分离器“模拟重力”对应的“重力加速度”沿转动半径方向向外侧逐渐变大
D．这种离心分离器“模拟重力”对应的“重力加速度”沿转动半径方向各处大小相同
解析：因为满足ρA<ρ0<ρB，所以根据离心原理，细胞A相对试管向内侧运动，细胞B相对试管向外侧运动，故A正确，B错误；根据a＝ω2r可知，这种离心分离器“模拟重力”对应的“重力加速度”沿转动半径方向向外侧逐渐变大，故C正确，D错误。
答案：AC
2．如图所示，是圆筒式的旋转拖把，是家庭中的常用打扫卫生
的工具，使用简单、便捷。请思考：
(1)在使用的过程中，它能够迅速给拖把脱水，你能够说出
其中的原理吗？
(2)物体做离心运动的条件是什么？
解析：(1)利用的是离心运动。
(2)当需要的向心力大于提供的向心力时，物体将做离心运动。
答案：见解析
3．(1)游乐场的旋转盘上，开始时有的人离转轴近一些，有的人离转轴远一些。当旋转盘加速时，哪些人更容易发生滑动？为什么？
(2)握住体温计的顶部用力甩，就能把水银甩回玻璃泡内。如何解释这个现象？医院每天要用很多支温度计，如果一支支地甩，是很费时间的。你能想到简便的方法吗？
答案：见解析(共34张PPT)
3 向心加速度
核心素养点击
物理观念 (1)知道向心加速度的概念。
(2)知道匀速圆周运动中向心加速度大小的表达式。
科学思维 (1)理解向心加速度与半径的关系，并会用它来进行简单的计算。
(2)能根据问题情景选择合适的向心加速度的表达式。
科学态度与责任 了解在分析匀速圆周运动速度变化量时用到的极限思想。
一、匀速圆周运动的加速度方向
1．填一填
物体做匀速圆周运动时的加速度总指向_____，我们把它叫作_____________。
2．判断
(1)物体做匀速圆周运动时，其向心加速度是恒定的。 ( )
(2)物体做匀速圆周运动时，其向心加速度的方向总是指向圆心。 ( )
(3)物体做匀速圆周运动时，在相等时间内其速度变化量是相同的。 ( )
圆心
向心加速度
×
√
×
3．想一想
如图所示，一质点绕O点做匀速圆周运动，请思考：
(1)质点在A点和B点时的加速度方向。
(2)质点在A点的加速度方向与在B点的加速度方向相同吗？
提示：(1)均指向圆心O。
(2)不相同。
ω2r
2．判断
(1)物体做匀速圆周运动时其加速度的大小不变。 ( )
(2)由an ＝可知，加速度an与半径r成反比。 ( )
(3)由an＝ω2r可知，加速度an与半径r成正比。 ( )
√
×
×
3．选一选
物体做匀速圆周运动过程中，其向心加速度 ( )
A．大小、方向均保持不变
B．大小、方向均时刻改变
C．大小时刻改变、方向保持不变
D．大小保持不变、方向时刻改变
解析：做匀速圆周运动的物体其速度大小不变。由向心加速度公式an＝
可知其大小不变，向心加速度的方向始终指向圆心，故其方向时刻改变。故D正确。
答案：D
主题探究(一) 向心加速度的理解
[问题驱动]
(1)物体在做匀速圆周运动时，物体的加速度等于向心加速度吗？加速度方向一定指向圆心吗？
(2)物体在做变速圆周运动时，物体的加速度等于向心加速度吗？加速度方向一定指向圆心吗？
提示：(1)在匀速圆周运动中，物体的加速度等于向心加速度，加速度方向一定指向圆心。
(2)在变速圆周运动中，物体的加速度不一定等于向心加速度，加速度方向不一定指向圆心，向心加速度方向指向圆心。
【重难释解】
1．物理意义
向心加速度描述线速度变化的快慢：
(1)只表示线速度的方向变化的快慢；
(2)不表示线速度大小变化的快慢。
2．方向
向心加速度的方向总是沿着圆周运动的半径指向圆心，始终与物体运动方向垂直，向心加速度的方向时刻改变。
3．匀速圆周运动的加速度与向心加速度的关系
物体做匀速圆周运动时，物体的加速度就等于向心加速度，加速度方向一定指向圆心。
4．变速圆周运动的加速度与向心加速度的关系
物体做变速圆周运动时，物体的加速度一般情况下不等于向心加速度，加速度方向不一定指向圆心，加速度可分解为两个分量：
(1)向心加速度an，方向指向圆心，表示速度方向变化的快慢；
(2)切向加速度at，方向沿切线方向，表示速度大小变化的快慢。
[特别提醒]
物体做变速圆周运动中，在某些位置物体的加速度：
(1)可能等于向心加速度，方向指向圆心；
(2)也可能不等于向心加速度，方向不指向圆心。
典例1 下列关于向心加速度的说法中正确的是 ( )
A．向心加速度的方向始终指向圆心
B．向心加速度的方向保持不变
C．物体做匀速圆周运动时，其向心加速度是恒定的
D．物体做匀速圆周运动时，其向心加速度的大小不断变化
[解析] 向心加速度的方向始终指向圆心，和线速度的方向垂直，不改变线速度的大小，只是改变线速度的方向，由于加速度是矢量，所以向心加速度是时刻变化的，向心加速度大小不变，故B、C、D错误，A正确。
[答案] A
【素养训练】
1．(多选)下列关于向心加速度的说法正确的是 ( )
A．向心加速度的方向始终与速度方向垂直
B．向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小
C．物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
D．物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
解析：向心加速度的方向沿半径指向圆心，速度方向则沿圆周的切线方向，向心加速度的方向始终与速度方向垂直，向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小。物体做匀速圆周运动时，只有向心加速度，加速度方向始终指向圆心；物体做变速圆周运动时，加速度的方向并不指向圆心。故A、B、D正确，C错误。
答案：ABD
解析：匀速圆周运动的向心加速度是由向心力决定的，与圆周运动的半径无关，A错误；匀速圆周运动的线速度大小不变，但是方向不断变化，B错误； 向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小，C正确；向心加速度越大，物体速度方向变化越快，D错误。
答案：C
3．细绳的一端固定，另一端系一小球，让小球在光滑水平面内做匀速圆周运动，关于小球运动到P点时的加速度方向，图6.3-2中可能的是 ( )
图6.3-2
解析：做匀速圆周运动的物体的加速度就是向心加速度，其方向指向圆心，故B正确。
答案：B
主题探究(二) 向心加速度公式的理解及应用
[问题驱动]
如图所示，在风力发电机的叶片上有A、B、C三点，其中
A、C在叶片的端点，B在叶片的中点。当叶片匀速转动时，思
考以下问题：
(1)A、B、C三点的线速度的大小关系？角速度的大小关系？
(2)A、B、C三点的向心加速度的大小关系？
提示：(1)vA＝vC＞vB ωA＝ωB＝ωC
(2)aA＝aC＞aB
【重难释解】
1．向心加速度的几种表达式
典例2 (多选)如图所示的皮带传动装置，主动轮O1上两轮
的半径分别为3r和r，从动轮O2上轮的半径为2r，A、B、C分别
为轮缘上的三点，设皮带不打滑，则下列比例关系正确的是 ( )
A．A、B、C三点的加速度大小之比为aA∶aB∶aC＝6∶2∶1
B．A、B、C三点的线速度大小之比为vA∶vB∶vC＝3∶1∶1
C．A、B、C三点的角速度之比为ωA∶ωB∶ωC＝2∶2∶1
D．A、B、C三点的加速度大小之比为aA∶aB∶aC＝3∶2∶1
解题指导
(1)皮带传动问题，皮带连接的两轮边缘处的线速度大小相等，选择公式
a＝ 解答。
(2)同轴传动问题，各点角速度相等，选择公式a＝ω2r解答。
[解析] B、C两点线速度大小相同，由v＝ωr可知B、C两点的角速度与半径成反比，由a＝ 可知B、C两点的向心加速度与半径成反比，则有vB＝vC，ωB∶ωC＝2∶1，aB∶aC＝2∶1；A、B两点角速度相同，由v＝ωr可知A、B两点的线速度与半径成正比，由a＝ω2r可知A、B两点的向心加速度与半径成正比，则有ωA＝ωB，vA∶vB＝3∶1，aA∶aB＝3∶1，因此vA∶vB∶vC＝3∶1∶1，ωA∶ωB∶ωC＝2∶2∶1，aA∶aB∶aC＝6∶2∶1，故A、B、C正确，D错误。
[答案] ABC
向心加速度公式的应用技巧
向心加速度的每一个公式都涉及三个物理量的变化关系，必须在某一物理量不变时分析另外两个物理量之间的关系。在比较转动物体上做圆周运动的各点的向心加速度的大小时，应按以下步骤进行：
(1)先确定各点是线速度大小相等，还是角速度相同。
(2)在线速度大小相等时，向心加速度与半径成反比，在角速度相同时，向心加速度与半径成正比。
【素养训练】
4．旋转纽扣”是一种传统游戏。如图，先将纽扣绕几圈，使穿过纽扣的两股细绳拧在一起，然后用力反复拉绳的两端，纽扣正转和反转会交替出现。拉动多次后，纽扣绕其中心的转速可达50 r/s，此时纽扣上距离中心1 cm处的点的向心加速度大小约为 ( )
A．10 m/s2 B．100 m/s2
C．1 000 m/s2 D．10 000 m/s2
解析：纽扣在转动过程中ω＝2πn＝100π rad/s，由向心加速度a＝ω2r≈1 000 m/s2，C正确。
答案： C
5．机械手表中有大量精密齿轮，齿轮转动从而推动表针。某机械手表打开后盖如图甲所示，将其中两个齿轮简化，如图乙所示。已知大、小齿轮的半径之比为3∶2，Q、P分别是大、小齿轮边缘上的点，则P、Q两点的向心加速度大小之比为 ( )
A．1∶1 B．1∶2
C．2∶3 D．3∶2
答案：D
6．如图所示为两级皮带传动装置，转动时皮带均不打滑，中间两个轮子是固定在一起的，轮1的半径和轮2的半径相同，轮3的半径和轮4的半径相同，且为轮1和轮2半径的一半，则轮1边缘的a点与轮4边缘的c点相比 ( )
A．线速度之比为1∶4
B．角速度之比为4∶1
C．向心加速度之比为8∶1
D．向心加速度之比为1∶8
答案：D
一、培养创新意识和创新思维
如图甲所示，是花样滑冰双人滑表演的某一瞬间情景，可以简化为如图乙所示的模型，在男女双人花样滑冰运动中，男运动员以自身为转动轴拉着女运动员做匀速圆周运动。若运动员的转速为30 r/min，女运动员触地冰鞋的线速度为4.8 m/s，求女运动员做圆周运动的角速度、触地冰鞋做圆周运动的半径及向心加速度。
答案：3.14 rad/s 1.53 m 15.1 m/s2
二、注重学以致用和思维建模
1．如图所示，自行车的大齿轮、小齿轮、后轮是相互关联的三个转动部分，行驶时 ( )
A．大齿轮边缘点比小齿轮边缘点的线速度大
B．后轮边缘点比小齿轮边缘点的角速度大
C．大齿轮边缘点与小齿轮边缘点的向心加速度之比等于它们半径的反比
D．后轮边缘点与小齿轮边缘点的向心加速度之比等于它们半径的反比
答案：C
2．硬盘是电脑主要的存储媒介之一，由一个或者多个铝制或者
玻璃制的碟片组成。碟片外覆盖有铁磁性材料。如图所示，
电动机使磁盘以5 400 r/min的转速匀速转动，磁头在读、写
数据时是不动的，磁盘每转一圈，磁头沿半径方向跳动一个磁道。外磁道某一点P与内磁道某一点Q相比，有 ( )
A．nP>nQ B．ωP>ωQ
C．vPaQ
解析：P、Q两点同轴转动，故两点有相同的角速度，即ωP＝ωQ，根据ω＝2πn，则有nP＝nQ，故A、B错误；由题知P点的半径大于Q点的半径，根据v＝ωr，则有vP>vQ，故C错误；根据a＝ω2r，则有aP>aQ，故D正确。
答案：D
3．(2022·广东茂名月考)(多选)明朝的《天工开物》记载了我国古代劳动人民的智慧。如图所示，可转动的把手上a点到转轴的距离为2R，辘轳边缘b点到转轴的距离为R。人甲转动把手，把井底的人乙加速拉起来，则 ( )
A．a点的角速度等于b点的角速度
B．a点的线速度大于b点的线速度
C．绳对乙拉力大于乙对绳拉力
D．a点向心加速度小于b点向心加速度
解析：由于a、b都在同一个辘轳上，因此角速度相等，A正确；根据v＝ωr，由于a点的转动半径是b点的2倍，因此a点的线速度大于b点的线速度，B正确；根据牛顿第三定律，绳对乙拉力等于乙对绳拉力，C错误；根据a＝ω2r，由于a点的转动半径是b点的2倍，因此a点的向心加速度大于b点的向心加速度，D错误。
答案：AB
4．一般飞行员能承受的最大向心加速度的大小约为6g。在飞行表演中，飞机某次水平转弯时，可视为在水平面内做匀速圆周运动。若飞机以150 m/s的速度飞行，在该次水平转弯过程中向心加速度为6g，重力加速度g＝9.8 m/s2，则飞机水平转弯半径至少为多少？
答案：382.7 m(共73张PPT)
2 向心力
核心素养点击
物理观念 (1)知道向心力的概念，知道向心力是根据力的效果命名的。
(2)掌握向心力的表达式。
(3)知道匀速圆周运动的向心力特点。
(4)知道变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点。
科学思维 (1)会分析向心力的来源。
(2)能够计算简单情境中的向心力。
(3)能够处理匀速圆周运动的动力学问题。
科学探究 通过实验探究影响向心力大小的因素之间的关系。
一、向心力
1．填一填
(1)定义：做匀速圆周运动的物体所受的合力总指向_____。这个指向_____的力就叫作向心力。
(2)作用效果：对于做匀速圆周运动的物体，物体的速度______不发生改变，因此，所受合力只改变速度的______。
(3)来源：向心力是根据力的作用效果命名的，向心力是由_______或者几个力的______提供的。
圆心
圆心
大小
方向
某个力
合力
2．判断
(1)对于做匀速圆周运动的物体，其所受的向心力既可以改变物体速度的大小，也可以改变物体速度的方向。 ( )
(2)向心力和重力、弹力一样，是性质力。 ( )
(3)向心力的方向总是指向圆心，是恒力。 ( )
×
×
×
3．选一选
如图所示， 一架飞机在水平面内盘旋做匀速圆周运动，则下列关于飞机受力的说法正确的是 ( )
A．飞机受重力、空气对它的作用力和向心力的作用
B．飞机受重力和空气对它的作用力
C．飞机受重力和向心力的作用
D．飞机受空气对它的作用力和向心力的作用
解析：飞机在空中做匀速圆周运动，受重力和空气对它的作用力，两个力的合力充当它做匀速圆周运动的向心力。向心力是根据力的作用效果命名的，不是物体实际受到的力，在分析物体的受力时，不能将其作为物体受到的力。故B正确。
答案：B
二、向心力的大小
1．填一填
(1)感受向心力的大小：
如图所示，在绳子的一端拴一个小沙袋，另一端握在手中。
将手举过头顶，使沙袋在水平面内做圆周运动。换不同质
量的沙袋，并改变沙袋转动的_____和绳的____，感受向心力的变化。
(2)探究向心力的大小：
①器材：_________演示器。
②探究方法：___________法。
③探究目的：探究向心力大小与物体的_____、_____和__________的关系。
速度
长度
向心力
控制变量
质量
速度
轨道半径
mω2r
2．判断
(1)线速度越大，向心力一定越大。 ( )
(2)角速度越大，向心力一定越大。 ( )
(3)半径越大，向心力一定越小。 ( )
(4)当角速度一定时，半径越大，质量越大，向心力越大。 ( )
×
×
×
√
3．选一选
用如图所示的装置做探究做匀速圆周运动的物体需要的向 心力
的大小与哪些因素有关的实验。本实验采用的科学方法是 ( )
A．控制变量法 B．累积法
C．微元法 D．放大法
解析：本实验要探究向心力大小与物体的质量、速度和轨道半径多个量的关系，故采用控制变量法，故A正确。
答案：A
三、变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点
1．填一填
(1)变速圆周运动的受力特点
做变速圆周运动的物体所受的合力一般不指向_____，根据
合力F产生的效果，可以把合力F分解为两个相互垂直的
分力，如图所示：
①跟圆周____的分力Ft，此分力只改变物体速度的_____；
②指向____的分力Fn，此分力提供物体做圆周运动所需的________，只改变物体速度的______。
圆心
相切
大小
圆心
向心力
方向
(2)一般曲线运动的处理方法
把一般曲线分割成许多_____的小段，质点在每小段的运动
都可以看作______运动的一部分，如图所示。这样，在
分析质点经过曲线上某位置的运动时，就可以采用_____
运动的分析方法来处理了。
很短
圆周
圆周
2．判断
(1)做变速圆周运动的物体的向心力不指向圆心。 ( )
(2)做变速圆周运动的物体的合外力的切线方向的分力只改变速度的大小。 ( )
(3)做变速圆周运动的物体的合外力指向圆心的分力提供向心力。 ( )
(4)一般曲线运动不能用圆周运动的分析方法。 ( )
×
√
√
×
3．选一选
在水平冰面上，狗拉着雪橇做变速圆周运动，O点为圆心，图中能正确的表示雪橇受到的牵引力F及摩擦力Ff的是 ( )
解析：雪橇所受的摩擦力方向一定与运动方向相反，沿圆周的切线方向；牵引力F有沿半径指向圆心的分力提供向心力，沿切向的分力与Ff的合力改变雪橇速度的大小，故C正确。
答案：C
主题探究(一) 对向心力的理解
[问题驱动]
(1)如图甲所示，小球在细绳的牵引下在光滑的水平桌面上做匀速圆周运动。请思考：小球受哪些力的作用？其向心力来源是什么？
(2)如图乙所示，物块在水平圆盘上随圆盘做匀速圆周运
动。请思考：物块受哪些力的作用？其向心力来源是什么？
(3)如图丙所示，小球在细绳的牵引下在空中做匀速圆周
运动。请思考：小球受哪些力的作用？其向心力来源是什么？
提示：(1)图甲中小球受到重力、桌面的支持力和细绳的拉力作用，其向心力由三个力的合力提供，也可以说成由细绳的拉力提供。
(2)图乙中物块受到重力、圆盘的支持力和静摩擦力作用，其向心力由三个力的合力提供，也可以说成由静摩擦力提供。
(3)图丙中小球受到重力、细绳的拉力作用，其向心力由两个力的合力提供，也可以说成由细绳拉力的水平分力提供。
【重难释解】
1．向心力的方向
做匀速圆周运动的物体受到的向心力的方向时刻在变化，始终指向圆心，与线速度的方向垂直。
2．向心力的作用效果
由于向心力的方向与物体运动方向始终垂直，故向心力不改变物体线速度的大小，只改变物体线速度的方向。
3．向心力的来源
做匀速圆周运动的物体，向心力等于物体所受的合力，常等效为三种情况：合力充当向心力；某一个力充当向心力；某个力的分力充当向心力。
4．向心力的大小
对于做匀速圆周运动的物体，其所受向心力的大小始终不变，但对于做非匀速圆周运动(如用一根绳拴住小球绕固定圆心在竖直平面内做的圆周运动)的物体，其所受向心力的大小随速率v的变化而变化，公式表述的只是瞬时值。
典例1 (多选)下列关于向心力的叙述中，正确的是 ( )
A．向心力的方向始终指向圆心，因此向心力是一个变力
B．做匀速圆周运动的物体，除受到别的物体对它的作用力外，还一定受到一个向心力的作用
C．向心力可以是重力、弹力、摩擦力中的某个力，也可以是这些力中某几个力的合力，或者是某一个力的分力
D．向心力既改变物体速度的方向，也改变物体速度的大小
[解析] 向心力时刻指向圆心，其方向时刻改变，因此向心力是一个变力，故A正确；向心力是根据力的作用效果来命名的，它可以是物体受到的合力，也可以是某一个力的分力，因此，在进行受力分析时，不能再分析向心力，故B错误，C正确；向心力与线速度方向垂直，因此向心力只改变线速度方向，不改变线速度大小，故D错误。
[答案] AC
(1)“匀速圆周运动”中“匀速”的含义仅指线速度大小不变，而线速度的方向时刻变化，因此做匀速圆周运动的物体处于非平衡状态。
(2)向心力的方向时刻指向圆心，方向时刻在变，因此是个变力。
【素养训练】
1．下列关于向心力的说法中正确的是 ( )
A．做匀速圆周运动的物体除了受到重力、弹力等力外还受到向心力的作用
B．向心力和重力、弹力一样，是性质力
C．做匀速圆周运动的物体的向心力即为其所受的合力
D．做圆周运动的物体所受各力的合力一定充当向心力
解析：向心力是一个效果力，可以是某一个力，也可以是几个力的合力，或是某个力的分力，故A、B错误；做匀速圆周运动的物体所受合外力指向圆心，完全提供向心力，非匀速圆周运动中是物体所受合外力指向圆心的分力提供向心力，故C正确，D错误。
答案：C
2．(2022·山东济南学考检测)如图所示，一圆盘可绕过圆盘的中心O
且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上放一小木块A，它随圆盘
一起做匀速圆周运动，则关于木块A的受力，下列说法中正确的是 ( )
A．木块A受重力、支持力和向心力
B．木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向与木块运动方向相反
C．木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向指向圆心
D．木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向与木块运动方向相同
解析：由于圆盘上的木块A在竖直方向上没有加速度，所以，它在竖直方向上受重力和支持力的作用而平衡。而木块在水平面内做匀速圆周运动，由于没有发生相对滑动，所以其所需向心力由静摩擦力提供，且静摩擦力的方向指向圆心O。C正确。
答案：C
3.某同学用细绳牵引小沙袋在水平面内做匀速圆周运动，如图所示。不计空气阻力，关于沙袋做圆周运动的向心力大小，下列判断正确的是 ( )
A．等于细绳拉力
B．大于细绳拉力
C．等于细绳拉力与沙袋重力的合力
D．大于细绳拉力与沙袋重力的合力
解析：对沙袋受力分析，受竖直向下的重力、沿绳斜向上的拉力，而沙袋做圆周运动的向心力与沙袋处于同一水平面并指向圆心，所以重力和细绳的合力提供向心力，根据平行四边形定则可知此合力小于细绳拉力，故A、B、D错误，C正确。
答案：C
主题探究(二) 探究向心力大小的表达式
【重难释解】
1．实验仪器
2．实验原理及探究方法
(1)实验原理
匀速转动手柄，可以使变速塔轮、长槽和短槽随之匀速转动，槽内的小球也随着做匀速圆周运动。挡板对小球的压力提供了小球做匀速圆周运动的向心力。小球对挡板的反作用力，通过横臂的杠杆作用使弹簧测力套筒下降，从而露出标尺。根据标尺上露出的红白相间等分标记，可以粗略计算出两个球所受向心力的比值。
(2)探究方法——控制变量法
控制变量 探究内容
m、r相同，改变ω 探究向心力F与角速度ω的关系
m、ω相同，改变r 探究向心力F与半径r的关系
ω、r相同，改变m 探究向心力F与质量m的关系
3．实验步骤
(1)把两个质量相同的小球放在长槽和短槽上，使它们的转动半径相同。调整变速塔轮上的皮带，使两个小球的角速度不同。探究向心力的大小与角速度的关系。
(2)保持两个小球质量不变，增大长槽上小球的转动半径。调整变速塔轮上的皮带，使两个小球的角速度相同。探究向心力的大小与轨道半径的关系。
(3)换成质量不同的小球，使两小球的转动半径相同。调整变速塔轮上的皮带，使两个小球的角速度也相同。探究向心力的大小与质量的关系。
(4)重复几次以上实验。
4．数据处理
(1)m、r一定
序号 1 2 3 4 5 6
F向
ω
ω2
(2)m、ω一定
序号 1 2 3 4 5 6
F向
r
(3)r、ω一定
(4)分别作出F向-ω2、F向-r、F向-m的图像。
序号 1 2 3 4 5 6
F向
m
5．实验结论
(1)在质量和轨道半径一定的情况下，向心力的大小与角速度的平方成正比。
(2)在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与轨道半径成正比。
(3)在轨道半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比。
典例2 用如图所示的装置可以探究做匀速圆周运动的物体需要的向心力的大小与哪些因素有关。
(1)图示情景正在探究的是________。
A．向心力的大小与半径的关系
B．向心力的大小与线速度大小的关系
C．向心力的大小与角速度的关系
D．向心力的大小与物体质量的关系
(2)通过本实验可以得到的结果是________。
A．在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与角速度成正比
B．在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与线速度的大小成正比
C．在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比
D．在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与半径成反比
[解析] (1)控制半径、角速度不变，只改变质量，来研究向心力的大小与质量之间的关系，故D正确。
(2)通过控制变量法，得到的结果为在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比，故C正确。
[答案] (1)D (2)C
【素养训练】
4．如图所示，图甲为“用向心力演示器探究向心力公式”的实验示意图，图乙为俯视图。图中A、B槽分别与C、D轮同轴固定，且C、D轮半径相同。C、D两轮在皮带的带动下匀速转动。
(1)两槽转动的角速度ωA__________ωB。(填“>”“＝”或“<”)。
(2)现有两质量相同的钢球，①球放在A槽的边缘，②球放在B槽的边缘，它们到各自转轴的距离之比为2∶1。钢球①、②的线速度之比为__________；受到的向心力之比为__________。
解析：(1)因两轮C、D转动的角速度相同，而两槽的角速度与两轮角速度相同，所以两槽转动的角速度相等，即ωA＝ωB。
(2)钢球①、②的角速度相同，运动轨道半径之比为2∶1，根据v＝ωr可知，线速度之比为2∶1；
根据F＝mω2r可知，受到的向心力之比为2∶1。
答案：(1)＝ (2)2∶1 2∶1
5．在“探究向心力大小的表达式”实验中，所用向心力演示器如图甲所示。图乙是演示器部分原理示意图：皮带轮①、④的半径相同，轮②的半径是轮①的1.5倍，轮③的半径是轮①的2倍，轮④的半径是轮⑤的1.5倍，轮④的半径是轮⑥的2倍；两转臂上黑白格的长度相等；A、B、C为三根固定在转臂上的挡板，可与转臂上做圆周运动的实验球产生挤压，从而提供向心力。图甲中的标尺1和2可以显示出两球所受向心力的大小关系。可供选择的实验球有：质量均为2m的球1和球2，质量为m的球3。
(1)在研究向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系时，我们主要用到了物理学中的________。
A．等效替代法 B．控制变量法
C．理想实验法 D．转化法
(2)实验时将球1、球2分别放在挡板A、C位置，将皮带与轮②和轮⑤连接，转动手柄观察左右两个标尺，此过程是验证向心力的大小与________的关系。
(3)实验时将皮带与轮③和轮⑥相连，将球2、3分别放在挡板B、C位置，转动手柄，则标尺1和标尺2显示的向心力之比为________。
答案：(1)B (2)角速度 (3)1∶4
主题探究(三) 匀速圆周运动的理解及实例分析
[问题驱动]
有 一种游戏很像“意念”魔术，用硬塑料管和一个铁质螺丝帽
做游戏，将螺丝帽套在塑料管上，游戏者手握塑料管使其保持竖直
并在水平方向做圆周运动，通过控制塑料管的转动速度可以操控螺
丝帽的运动。
结合上面的情景，请思考：
(1)螺丝帽恰好不滑动时，哪些力提供螺丝帽做圆周运动所需的向心力？
(2)若增大塑料管的转速，螺丝帽有可能相对塑料管向上运动吗？
提示：(1)螺丝帽恰好不滑动时，其所受重力和静摩擦力平衡，硬塑料管的水平弹力提供向心力。
(2)不能。若增大塑料管的转速，则螺丝帽做圆周运动所需的向心力增大，在水平方向受到的弹力增大，螺丝帽和塑料管之间的最大静摩擦力增大，但螺丝帽所受静摩擦力不变，竖直方向上所受合力为0，螺丝帽相对塑料管仍静止。
【重难释解】
1．匀速圆周运动的解题策略
在解决匀速圆周运动相关问题的过程中，要注意以下几个方面：
(1)知道物体做圆周运动的轨道所在的平面，明确圆心和半径是解题的一个关键环节。
(2)分析清楚向心力的来源，明确向心力是由什么力提供的，确定F合＝F向。
(3)根据线速度、角速度的特点，选择合适的向心力表达式。
(4)根据F向＝m ＝mω2r＝mωv建立方程，求解有关问题。
2．几种常见的匀速圆周运动实例分析
实例 示意图 向心力
用细线拴住小球在光滑水平面内做匀速圆周运动 线的拉力提供向心力， F向＝FT
物体随转盘做匀速圆周运动，且相对转盘静止 转盘对物体的静摩擦力提供向心力，F向＝Ff
小球在细线作用下，在水平面内做圆周运动 重力和细线的拉力的合力提供向心力，F向＝F合
实例 示意图 向心力
木块随圆桶绕轴线做圆周运动 圆桶侧壁对木块的弹力提供向心力，F向＝FN
飞机在水平面内做匀速圆周运动 重力和空气的作用力的合力提供向心力，F向＝F合
典例3 图甲为游乐园中“空中飞椅”的游戏设施，它的基本装置是将绳子上端固定在转盘的边缘上，绳子的下端连接座椅，人坐在座椅上随转盘旋转而在空中飞旋。若将人和座椅看成一个质点，则可简化为如图6.2-15乙所示的物理模型，其中P为处于水平面内的转盘，可绕竖直转轴OO′转动，设绳长l＝10 m，质点的质量m＝60 kg，转盘静止时质点与转轴之间的距离d＝4.0 m，转盘逐渐加速转动，经过一段时间后质点与转盘一起做匀速圆周运动，此时绳与竖直方向的夹角θ＝37°，不计空气阻力及绳重，且绳不可伸长，sin 37°＝0.6, cos 37°＝0.8，g取10 m/s2，求质点与转盘一起做匀速圆周运动时：
(1)绳子拉力的大小；
(2)转盘角速度的大小。
[迁移·发散]
在典例3中，若转盘角速度变大，则绳子拉力如何变化？绳子与竖直方向的夹角如何变化？
提示：若角速度增大，则绳子与竖直方向的夹角变大，拉力变大。
【素养训练】
6．(2023·广东1月学考)如图所示，静止在圆盘上的小物块随圆盘在水平面内一 起做匀速转动。则物块所受摩擦力( )
A．大小与转速无关
B．大小与其距转轴的距离无关
C．大小等于物块所需的向心力
D．方向沿圆盘半径向外
解析：物块所受的摩擦力提供小物块做圆周运动的向心力，方向指向圆心，根据向心力公式F＝mω2r＝m(2πn)2r，其中n是转速，r是距转轴的距离；可知摩擦力的大小与转速的平方成正比，与距转轴的距离成正比。故选C。
答案：C
7． (多选)如图所示，一轻绳穿过水平桌面上的小圆孔，上端
拴物体M，下端拴物体N(物体M、N可视为质点)。若物体
M在桌面上做半径为r的匀速圆周运动时，角速度为 ω，线
速度大小为v，物体N处于静止状态，则(不计摩擦) ( )
A．M所需向心力大小等于N所受重力的大小
B．M所需向心力大小大于N所受重力的大小
C．v2与r成正比
D．ω2与r成正比
解析：物体N静止不动，绳子拉力与物体N的重力相等，物体M做匀速圆周运动，绳子拉力完全提供向心力，即T＝mNg＝F向，因此M所需向心力大小等于N所受重力的大小，故A正确，B错误；根据向心加速度公式和牛顿第二定律得F向＝mNg＝m ，则v2与r成正比，故C正确；根据向心加速度公式和牛顿第二定律得F向＝mNg＝mω2r，则ω2与r成反比，故D错误。
答案：AC
8． 长为L的细线，一端拴一质量为m的小球(可看作质点)，
另一端固定于O点，让小球在水平面内做匀速圆周运动，
如图所示，当细线与竖直方向的夹角为α时，重力加速
度为g，求：
(1)细线的拉力F；
(2)小球运动的线速度大小；
(3)小球运动的角速度及周期。
主题探究(四) 变速圆周运动的理解及实例分析
[问题驱动]
荡秋千是小朋友很喜欢的游戏，如图所示是荡秋千的情景。
(1)当秋千向下荡时，小朋友做的是匀速圆周运动还是变速圆周运动？
(2)绳子拉力与重力的合力指向悬挂点吗？运动过程中，公式Fn＝m ＝mω2r还适用吗？
提示：(1)小朋友做的是变速圆周运动。
(2)小朋友荡到最低点时，绳子拉力与重力的合力指向悬挂点，在其他位置，合力不指向悬挂点。公式Fn＝m ＝mω2r仍然适用。
【重难释解】
匀速圆周运动与变速圆周运动的比较
运动类型 匀速圆周运动 变速圆周运动
线速度特点 线速度的方向不断改变、大小不变 线速度的大小、方向都不断改变
受力特点 合力方向一定指向圆心，充当向 心力 合力可分解为与圆周相切的分力和指向圆心的分力，指向圆心的分力充当向心力
周期性 有 不一定有
性质 均是非匀变速曲线运动
公式 Fn＝m ＝mω2r都适用
[特别提醒]
变速圆周运动的合力方向一般不指向圆心，但是在某些位置的合力方向可能指向圆心。
典例4 一根长为0.8 m的绳子，当其受到7.84 N的拉力时被拉
断。若在此绳的一端拴一个质量为0.4 kg的物体，使物体以绳子
的另一端为圆心在竖直面内做圆周运动，则物体运动到最低点时
绳子恰好断裂。求物体运动至最低点时的角速度和线速度大小
(g＝9.8 m/s2)。
(1)物体做非匀速圆周运动时，在任何位置均是由沿半径方向指向圆心的合力提供向心力。
(2)物体做一般曲线运动时，在每段小圆弧处仍可按圆周运动规律进行处理。
【素养训练】
9． 如图所示，物块P置于水平转盘上随转盘一起运动，且始
终与转盘相对静止，图中c沿半径指向圆心，a与c垂直，下
列说法正确的是 ( )
A．当转盘匀速转动时，P受摩擦力方向为b方向
B．当转盘加速转动时，P受摩擦力方向可能为c方向
C．当转盘加速转动时，P受摩擦力方向可能为a方向
D．当转盘减速转动时，P受摩擦力方向可能为d方向
解析：做匀速圆周运动的物体，在切向方向受力为0，合力指向圆心，而物块P的向心力是由摩擦力提供的，因此当转盘匀速转动时，P受摩擦力方向为c方向，故A错误。当转盘加速转动时，物块P做加速圆周运动，不仅有沿c方向指向圆心的向心力，还有沿a方向的切向力，使线速度大小增大，二力的合力为摩擦力，方向可能为b方向，故B、C错误。当转盘减速转动时，物块P做减速圆周运动，不仅有沿c方向指向圆心的向心力，还有沿a相反方向的切向力，使线速度大小减小，二力的合力为摩擦力，方向可能为d方向，故D正确。
答案：D
答案： A
11．如图所示，一同学表演荡秋千。已知秋千的两根绳长均为10 m，
该同学和秋千踏板的总质量约为50 kg。绳的质量忽略不计。当
该同学荡到秋千支架的正下方时，速度大小为8 m/s，此时每根
绳子平均承受的拉力约为 ( )
A．200 N B．400 N
C．600 N D．800 N
解析：取该同学与踏板为研究对象，该同学身高相对于秋千的绳长可忽略不计，可以把该同学与踏板看成质点。当该同学荡到秋千支架的正下方时，由牛顿第二定律有2F－mg＝m ，代入数据解得F＝410 N，最接近选项B，故B正确。
答案：B
一、培养创新意识和创新思维
人工重力
人工重力可以防止人类因长期处于失重环境中引起的健康问题，对长期载人太空活动尤其重要。
产生人工重力的常用方法是通过太空船整体或局部的旋转，使得太空船的乘员感受到离心运动的趋势，从而模拟重力的效果。但当前的人工“重力” 技术尚未达到实际应用的水平。
【针对训练】
在未来的星际航行中，宇航员可能会长期处于零重力状态，为缓解这种状态带来的不适，有人设想在未来的航天器上加装一段圆柱形“旋转舱”，如图所示。当旋转舱绕其轴线匀速旋转时，宇航员站在旋转舱内的圆柱形侧壁上，可以受到与他站在地球表面时相同大小的支持力。为达到上述目的，下列说法正确的是 ( )
A．旋转舱的半径越大，其转动的角速度就应越大
B．旋转舱的半径越大，其转动的角速度就应越小
C．宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越大
D．宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越小
答案：B
二、注重学以致用和思维建模
1．如图为中国运动员在短道速滑比赛中的精彩瞬间。假定此时他正沿圆弧形弯道匀速率滑行，则他 ( )
A．所受的合力为0，做匀速运动
B．所受的合力恒定，做匀加速运动
C．所受的合力恒定，做变加速运动
D．所受的合力变化，做变加速运动
解析：运动员做匀速圆周运动，所受合力时刻变化，加速度时刻变化， 故D正确。
答案：D
2．荡秋千是人们平时喜爱的一项休闲娱乐活动，如图所示，某同学正在荡秋千，A和B分别为其运动过程中的最低点和最高点，若忽略空气阻力，则下列说法正确的是 ( )
A．在A位置时，该同学处于失重状态
B．在B位置时，该同学受到的合力为0
C．在A位置时，该同学对秋千板的压力大于秋千
板对该同学的支持力，处于超重状态
D．由A到B过程中，该同学的向心力逐渐减小
解析：在A位置时，该同学的加速度方向向上，处于超重状态，故A错误；在B位置时，该同学的速度为0，向心力为0，即沿绳子方向的合力为0，其合力等于重力沿圆弧切向分力，不为0，故B错误；根据牛顿第三定律知，在A位置时，该同学对秋千板的压力等于秋千板对该同学的支持力，故C错误；由A到B过程中，该同学的速度逐渐减小，由Fn＝m 分析知，向心力逐渐减小，故D正确。
答案：D
3． 现在有一种叫作“魔盘”的娱乐设施，如图所示，“魔盘”
转动很慢时，盘上的人都可以随盘一起转动而不至于被甩
开。当盘的转速逐渐增大时，盘上的人便逐渐向边缘滑去，
离转动中心越远的人，这种滑动的趋势越厉害。设“魔盘”转速为6 r/min，一个体重为30 kg的小孩坐在距离轴心1 m处随盘一起转动(没有滑动)。这个小孩受到的向心力为多大？这个向心力是由什么力提供的？
答案：11.8 N 向心力由静摩擦力提供(共33张PPT)
习题课一 圆周运动的两种模型和临界问题
综合提能(一) 竖直平面内圆周运动的两种模型
【知识贯通】
1．模型建立
在竖直平面内做圆周运动的物体，根据其受力特点可分为两类：
(1)“轻绳模型”(无支撑)
小球在细绳作用下在竖直平面内做圆周运动，如图甲所示；小球沿竖直光滑轨道内侧做圆周运动，如图乙所示，都称为“轻绳模型”。
(2)“轻杆模型”(有支撑)
小球在轻杆作用下在竖直平面内做圆周运动，如图甲所示；小球在竖直放置的光滑细管内做圆周运动，如图乙所示，都称为“轻杆模型”。
2．两种模型对比
模型 “轻绳模型” “轻杆模型”
情景图示
弹力特征 弹力可能向下，也可能等于0 弹力可能向下，可能向上，也可能等于0
典例1 如图所示，长度为L＝0.4 m的轻绳，系一小球在
竖直平面内做圆周运动，小球的质量为m＝0.5 kg，小球半径不计，
g取10 m/s2，求：
(1)小球刚好通过最高点时的速度大小；
(2)小球通过最高点时的速度大小为4 m/s时，绳的拉力大小；
(3)若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球速度的最大值。
典例2 长L＝0.5 m的轻杆一端连接着一个零件A，A的质量
m＝2 kg。现让A在竖直平面内绕O点做匀速圆周运动，如图所示。
在A通过最高点时，求下列两种情况下A对轻杆的作用力：
(g取10 m/s2)
(1)A的速率为1 m/s。
(2)A的速率为4 m/s。
[答案] (1)16 N，向下的压力
(2)44 N，向上的拉力
解答竖直平面内物体的圆周运动问题的两个关键
(1)确定其属于轻“绳”模型，还是轻“杆”模型；
(2)注意区分两者在最高点的最小速度的要求，区分绳与杆的施力特点。
【集训提能】
1．如图所示，某公园里的过山车驶过轨道的最高点时，乘客
在座椅里面头朝下，人体颠倒，若轨道半径为R，人体受
重力为mg，要使乘客经过轨道最高点时对座椅的压力等
于自身的重力，则过山车在最高点时的速度大小为 ( )
答案：C
2．如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间的弹力大小为FN，小球在最高点的速度大小为v，其FN-v2图像如图乙所示，则
( )
答案：A
3．(多选)如图所示，一个固定在竖直平面上的光滑圆形管道，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内做圆周运动，下列说法中正确的是 ( )
A．小球通过管道最低点时，小球对管道的压力向下
B．小球通过管道最低点时，小球对管道的压力向上
C．小球通过管道最高点时，小球对管道的压力可能向上
D．小球通过管道最高点时，小球对管道可能无压力
答案：ACD
综合提能(二) 圆周运动的临界问题
【知识贯通】
圆周运动的临界问题，主要涉及临界速度与临界力，常常与绳的拉力、接触面的弹力和摩擦力等相关。在这类问题中，要特别注意分析物体做圆周运动所需的向心力来源，考虑达到临界条件时物体所处的状态，即临界速度、临界角速度等，然后分析该状态下物体的受力特点，结合圆周运动知识，列方程求解。常见情况有以下几种：
(1)与绳的弹力有关的圆周运动临界问题。
①绳子断与不断的临界条件：绳中张力等于它所能承受的最大张力；
②绳子松弛的临界条件：绳子的张力F＝0。
(2)因静摩擦力存在最值而产生的圆周运动临界问题。
相对滑动的临界条件：静摩擦力达到最大值。
(3)与接触面有关的圆周运动临界问题。
接触与脱离的临界条件：弹力FN＝0。
[答案] ABC
典例4 如图所示，水平转盘上放有质量为m的物块，物块到转轴的距离为r，物块和转盘间的动摩擦因数为μ，设物块受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，已知重力加速度为g。
典例5 如图所示，用一根长为l＝1 m的细线，一端系一质
量为m＝1 kg的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体
顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°，当小球在水平面内绕
锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为FT。
(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，结果可用根式表示)
(1)若要小球离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？
(2)若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大？
【集训提能】
答案：A
5．一质量为2．0×103 kg的汽车在水平公路上行驶，路面对轮胎的
径向最大静摩擦力为1.4×104 N，当汽车经过半径为80 m的弯道时，
下列判断正确的是 ( )
A．汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力和向心力
B．汽车转弯的速度为20 m/s时，所需的向心力为1.4×104 N
C．汽车转弯的速度为20 m/s时，汽车会发生侧滑
D．汽车能安全转弯的向心加速度不超过7.0 m/s2
答案：D
6． 如图所示，内壁光滑的竖直圆桶绕中心轴做匀速圆周运动，
一物块用细绳系着，绳的另一端系于圆桶上表面圆心，且
物块贴着圆桶内表面随圆桶一起转动，则 ( )
A．绳的拉力可能为0
B．桶对物块的弹力不可能为0
C．若它们以更大的角速度一起转动，则绳的张力一定增大
D．若它们以更大的角速度一起转动，则绳的张力仍保持不变
解析：因为桶的内壁光滑，桶不能提供给物块竖直向上的摩擦力，所以绳子的拉力一定不能等于0，故A错误。绳子沿竖直方向的分力与物块重力大小相等，若绳子沿水平方向的分力恰好提供向心力，则桶对物块的弹力为0，故B错误。由题图可知，绳子与竖直方向的夹角不会随桶的角速度的增大而增大，因此绳子的拉力也不会随角速度的增大而增大，故C错误，D正确。
答案：D
