数学人教A版（2019）必修第一册3.2.1函数的单调性（共22张ppt）

(共22张PPT)
函数的单调性
中国在近七届奥运会上获得的金牌数
届
枚
情景引入
时间间隔 记忆保持量
刚刚记忆完毕 100%
20分钟之后 58.2%
1小时之后 44.2%
8-9小时之后 35.8%
1天后 33.7%
2天后 27.8%
6天后 25.4%
一个月后 21.1%
… …
德国著名心理学家艾宾浩斯的研究数据
艾宾浩斯记忆遗忘曲线
记忆保持量（百分数）
天数
O
20
40
60
80
100
3
2
1
4
5
6
1
x
y
o
x
观察下列函数的图象，回答当自变量 的值增大时,函数值 是如何变化的？
0
y
1
1
2
4
-1
-2
-1
学习新课
1
(-∞,0]上当x增大时f(x)随着减小
x
y
o
-1
x
O
y
1
1
2
4
-1
-2
1
当x增大时f(x)随着增大
函数在R上是增函数
函数在(-∞,0]上是减函数
(0,+∞)上当x增大时f(x)随着增大
函数在(0,+∞)上是增函数
1
函数 f(x)=x2 :
则f(x1)= , f(x2)=
x12
x22
∴函数 f(x)=x2 在(0,+∞)上是增函数.
任意
,都有
任意
,都有
x
0
x1
x2
y
f (x1)
f (x2)
在(0,+∞)上任取 x1、x2 ,
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 x1 、x2 ，当 x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数.
定义
一般地，设函数 f(x)的定义域为I:
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 x1 、x2 ，当 x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.
某个区间D
某个区间D
任意
任意
x
o
y
y=f(x)
x1
x2
f(x2)
f(x1)
x
o
y
x1
x2
f(x1)
f(x2)
y=f(x)
x1、x2的三大特征：
①属于同一区间
②任意性
③有大小: 通常规定 x1＜x2
在(-∞,0)上是____函数
在(0,+∞)上是____函数
减
减
问:能否说 在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数
反比例函数 ：
-2
y
O
x
-1
1
-1
1
2
在(-∞,0)上是____函数
在(0,+∞)上是____函数
减
减
函数 ：
y
O
x
在 (0,+∞) 上任取 x1、 x2
当x1< x2时，都有f(x1) f(x2)
>
y
O
x
-1
1
-1
1
取自变量－1< 1，
而 f(－1) f(1)
因为 x1、x2 不具有任意性.
∴不能说 在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数
<
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 x1 、x2 ，当 x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数.
定义
一般地，设函数 f(x)的定义域为I:
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 x1 、x2 ，当 x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.
如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数f(x)的单调区间.
x
o
y
x1
x2
f(x1)
f(x2)
y=f(x)
x
o
y
y=f(x)
x1
x2
f(x2)
f(x1)
解:函数y=f(x)的单调区间有[－5,－2）,[－2,1) ，[1，3), [3，5].
逗号
隔开
例1. 如图是定义在闭区间[－5,5]上的函数 y = f(x)的图象, 根据图象说出函数的单调区间, 以及在每一单调区间上, 函数是增函数还是减函数？
其中y=f(x)在区间[－2，1)，[3，5]上是增函数；
说明:孤立的点没有单调性,故区间端点处若有定义写开写闭均可.
在区间[－5，－2），[1，3)上是减函数.
-4
3
2
1
5
4
3
1
2
-1
-2
-1
-5
-3
-2
x
y
O
证明函数　　　 在R上是减函数.
即
∵
∴
∴
判断差符号
例2.利用定义：
证明：设 是R上任意两个值，且 ，
∴函数
在R上是减函数．
设值
作差变形
下结论
则
骤
4.下结论:由定义得出函数的单调性.
1.设值:设任意x1、x2属于给定区间,且x1< x2
2.作差变形:作差f(x1)-f(x2)并适当变形；
3.判断差符号:确定f(x1)-f(x2)的正负；
证明函数单调性的步骤：
结
课堂练习
证明函数　 (k为负的常数)
在区间（0,+∞）上是增函数.
结
证明函数　 在区间(0,+∞)上是增函数
证:设 是(0,+∞)上任意两个值且
∴
即
∴
∴
在区间(0,+∞)上是增函数．
设值
作差变形
判断差符号
下结论
∵
且
课堂小结
1.增函数、减函数的定义:
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 x1 、x2 ，当 x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数.
定义
一般地，设函数 f(x)的定义域为I:
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 x1 、x2 ，当 x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.
x
o
y
y=f(x)
x1
x2
f(x2)
f(x1)
x
o
y
x1
x2
f(x1)
f(x2)
y=f(x)
3.(定义法)证明函数单调性的步骤:
设值
判断差符号
作差变形
下结论
课堂小结
2.图象法判断函数的单调性：
增函数的图象从左到右
减函数的图象从左到右
1. 增函数、减函数的定义；
上升
下降
O
x
分析和函数 的图象
2
2
4
4
6
6
8
8
5
1
3
7
猜测：
单调递减区间：
[1，2]
单调递增区间：
[2，5]
y
证明：
确定函数
的单调区间.
减：[1,2]
增：[2,5]