6.2 平面向量的运算
6.2.1 向量的加法运算
《西游记》中唐僧取经的路线是从东土大唐出发,先绕到火焰山,再往西天,若孙悟空单独前往,可以直接飞往西天。如果把位移看成向量,我们就引入了向量的运算。 1.借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量加法运算及运算法则,理解其几何意义。 2.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义。
1.向量的加法
(1)定义:求两个向量 。
(2)运算法则:
图示 几何意义
已知非零向量a,b,在平面内取任意一点A,作=a,=b,则向量叫做a与b的和,记作 ,即a+b=+=
以同一点O为起点的两个已知向量a,b,以OA,OB为邻边作 OACB,则以O为起点的向量(OC是 OACB的对角线)就是向量a与b的和
(3)规定:对于零向量与任意向量a,规定a+0=0+a=a。
(4)位移的合成可以看作向量加法 的物理模型;力的合成可以看作向量加法 的物理模型。
(5)一般地,我们有|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当a,b 时等号成立。
2.向量加法的运算律
(1)交换律:a+b=b+a。 (2)结合律:a+(b+c)=(a+b)+c。
微提醒：用向量加法的三角形法则时要注意“首尾相接”的条件。而向量加法的平行四边形法则应用的前提是共起点。
微思考：向量a+b与非零向量a,b的模及方向的关系
类型一 向量加法运算及其几何意义
【例1】 (1)如图,已知两个不共线的非零向量a,b,求作a+b。
(2)如图,已知正方形ABCD,=a,=b,=c,试作向量a+b+c。
(1)向量的三角形法则中强调“首尾相接”,向量的平行四边形法则中强调的是“共起点”。
(2)向量的三角形法则适用于任意两个非零向量求和,而向量的平行四边形法则仅适用于不共线的两个非零向量求和。
(3)当两个非零向量不共线时,向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的。
【变式训练】 如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,F为线段DE延长线上一点,DE∥BC,AB∥CF,连接CD,那么(在横线上只填上一个向量):
(1)+= ;
(2)+= ;
(3)++= 。
类型二 向量加法的运算律
【例2】 (1)下列向量的运算结果为零向量的是( )
A.+ B.++
C.+++ D.+++
(2)++++等于( )
A. B.0 C. D.
向量加法运算律的意义和应用原则:
(1)意义:向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据,实现了恰当运用向量加法法则运算的目的。实际上,由于向量的加法满足交换律和结合律,故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行。
(2)应用原则:利用代数方法通过向量加法的交换律,使各向量“首尾相连”,通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序。
【变式训练】 如图所示,在 ABCD中,++=( )
A. B. C. D.
类型三 向量加法的实际应用
【例3】 长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡进行运输。如图,一艘船从长江南岸A地出发,垂直于对岸航行,航行速度的大小为15 km/h,同时江水的速度为向东6 km/h。
(1)用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度;
(2)求船实际航行的速度的大小(结果保留小数点后一位)与方向
(用与江水速度间的夹角表示,精确到1°)
用向量知识研究物理问题的基本思路和方法:
(1)通过抽象、概括,把物理现象转化为与之相关的向量问题;
(2)利用向量知识获得向量问题的解;(
3)利用这个结果对物理现象作出合理的解释。
【变式训练】 一条小船要渡过一条两岸平行的小河,河的宽度d=100 m,船在静水中的航行速度大小为|v1|=4 m/s,水流的速度大小为|v2|=2 m/s,试问当船头与水流方向的夹角θ为多大时,小船行驶到对岸所用的时间最少 此时小船的实际航行方向与水流方向的夹角的正切值是多大
1.向量加法的性质应用
【典例1】 设|a|=8,|b|=12,则|a+b|的最大值与最小值分别为 , 。
2.向量加法的多边形法则
向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则,即把每个向量平移,使这些向量首尾相连,则由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量就是这些向量的和向量。
即:+++…+=。
这是一个极其简单却非常有用的结论(如图)。
利用向量加法的多边形法则化简多个向量的和有时非常有效。
【典例2】 如图,已知向量a,b,c,d，求作a+b+c+d。
1.++等于( )
A. B.
C. D.
2.如图所示,在四边形ABCD中,=+,则四边形为( )
A.矩形 B.正方形
C.平行四边形 D.菱形
3.(多选)已知D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中点,则下列等式中正确的是( )
A.+= B.++=0
C.+= D.+=
5.如图,D,E,F分别为△ABC三边的中点,试画出+,+。
课时达标检测(二) 向量的加法运算
基础达标
一、单项选择题
1.++++等于( )
A. B.
C. D.
2.若向量a表示“向东航行1 km”,向量b表示“向北航行 km”,则向量a+b表示( )
A.向东北方向航行2 km
B.向北偏东30°方向航行2 km
C.向北偏东60°方向航行2 km
D.向东北方向航行(1+) km
3.如图,在正六边形ABCDEF中,++等于( )
A.0 B.
C. D.
4.向量(+)+(++)=( )
A. B.
C. D.
5.在矩形ABCD中,||=4,||=2,则向量++的长度为( )
A.2 B.4
C.12 D.6
6.若在△ABC中,AB=AC=1,|+|=,则△ABC的形状是( )
A.正三角形 B.锐角三角形
C.斜三角形 D.等腰直角三角形
二、多项选择题
7.给出下面四个命题,其中是真命题的是( )
A.+=0 B.+=
C.+= D.0+=0
8.设a=(+)+(+),b是一个非零向量,则下列结论正确的有()
A.a∥b B.a+b=a
C.a+b=b D.|a+b|<|a|+|b|
三、填空题
9.如图,在 ABCD中,O是AC和BD的交点。++= ;++= 。
10.已知点G是△ABC的重心,则++= 。
11.在边长为1的等边三角形ABC中,|+|= ,|+|= 。
四、解答题
12.如图,已知 ABCD,O是两条对角线的交点,E是CD的一个三等分点(靠近D点),求作:
(1)+; (2)+。
13.如图,小船要从A处沿垂直河岸AC的方向到达对岸B处,此时水流的速度为6 km/h,测得小船 正以8 km/h的速度沿垂直水流的方向向前行驶,求小船在静水中速度的大小及方向。
素养提升
14.若|a|=2,e为单位向量,则|a+e|的最大值是 。
15.如图所示,在平行四边形ABCD的对角线BD的反向延长线及延长线上取点E,F,使BE=DF,用向量方法证明:四边形AECF是平行四边形。6.2 平面向量的运算
6.2.1 向量的加法运算
《西游记》中唐僧取经的路线是从东土大唐出发,先绕到火焰山,再往西天,若孙悟空单独前往,可以直接飞往西天。如果把位移看成向量,我们就引入了向量的运算。 1.借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量加法运算及运算法则,理解其几何意义。 2.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义。
1.向量的加法
(1)定义:求两个向量和的运算。
(2)运算法则:
图示 几何意义
已知非零向量a,b,在平面内取任意一点A,作=a,=b,则向量叫做a与b的和,记作a+b,即a+b=+=
以同一点O为起点的两个已知向量a,b,以OA,OB为邻边作 OACB,则以O为起点的向量(OC是 OACB的对角线)就是向量a与b的和
(3)规定:对于零向量与任意向量a,规定a+0=0+a=a。
(4)位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型;力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型。
(5)一般地,我们有|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当a,b方向相同时等号成立。
2.向量加法的运算律
(1)交换律:a+b=b+a。 (2)结合律:a+(b+c)=(a+b)+c。
微提醒：使用向量加法的三角形法则时要注意“首尾相接”的条件。而向量加法的平行四边形法则应用的前提是共起点。
微思考：向量a+b与非零向量a,b的模及方向的关系
提示:①当a与b不共线时,a+b的方向与a,b都不相同,且|a+b|<|a|+|b|。
②当a与b同向时,a+b,a,b的方向相同,且|a+b|=|a|+|b|。
③当a与b反向时,若|a|≥|b|,则a+b与a的方向相同,且|a+b|=|a|-|b|。
若|a|<|b|,则a+b与b的方向相同,且|a+b|=|b|-|a|。
类型一 向量加法运算及其几何意义
【例1】 (1)如图,已知两个不共线的非零向量a,b,求作a+b。
解 解法一:在平面内任取一点O,作=a,=b,则=a+b。
解法二:在平面内任取一点O,作=a,=b,以OA,OB为邻边作 OACB,连接OC,则=+=a+b。
(2)如图,已知正方形ABCD,=a,=b,=c,试作向量a+b+c。
解 由已知,得a+b=+=,又=c,所以延长AC至点E,使||=||,则a+b+c=,即所求,如图。
(1)向量的三角形法则中强调“首尾相接”,向量的平行四边形法则中强调的是“共起点”。
(2)向量的三角形法则适用于任意两个非零向量求和,而向量的平行四边形法则仅适用于不共线的两个非零向量求和。
(3)当两个非零向量不共线时,向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的。
【变式训练】 如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,F为线段DE延长线上一点,DE∥BC,AB∥CF,连接CD,那么(在横线上只填上一个向量):
(1)+= ;
(2)+= ;
(3)++= 。
解析 由已知可得四边形DFCB为平行四边形。
(1)易知=。由向量的三角形法则,得+=+=。
(2)易知=,所以+=+=。
(3)++=++=。
类型二 向量加法的运算律
【例2】 (1)下列向量的运算结果为零向量的是(D)
A.+
B.++
C.+++
D.+++
解析 +=+=;++=+=;+++=++=;
+++=+++=0。故选D。
(2)++++等于(B)
A. B.0
C. D.
解析 ++++=(++)+(+)=0+0=0。故选B。
向量加法运算律的意义和应用原则:
(1)意义:向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据,实现了恰当运用向量加法法则运算的目的。实际上,由于向量的加法满足交换律和结合律,故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行。
(2)应用原则:利用代数方法通过向量加法的交换律,使各向量“首尾相连”,通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序。
【变式训练】 如图所示,在 ABCD中,++=(A)
A. B.
C. D.
解析 ++=++=+=。故选A。
类型三 向量加法的实际应用
【例3】 长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡进行运输。如图,一艘船从长江南岸A地出发,垂直于对岸航行,航行速度的大小为15 km/h,同时江水的速度为向东6 km/h。
(1)用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度;
(2)求船实际航行的速度的大小(结果保留小数点后一位)与方向(用与江水速度间的夹角表示,精确到1°)。
解 (1)如图所示,表示船速,表示江水速度,以AD,AB为邻边作 ABCD,则表示船实际航行的速度。
(2)在Rt△ABC中,||=6,||=15,于是||===≈16.2。因为tan∠CAB==,所以利用计算工具可得∠CAB≈68°。因此,船实际航行速度的大小约为16.2 km/h,方向与江水速度间的夹角约为68°。
用向量知识研究物理问题的基本思路和方法:
(1)通过抽象、概括,把物理现象转化为与之相关的向量问题;
(2)利用向量知识获得向量问题的解;
(3)利用这个结果对物理现象作出合理的解释。
【变式训练】 一条小船要渡过一条两岸平行的小河,河的宽度d=100 m,船在静水中的航行速度大小为|v1|=4 m/s,水流的速度大小为|v2|=2 m/s,试问当船头与水流方向的夹角θ为多大时,小船行驶到对岸所用的时间最少 此时小船的实际航行方向与水流方向的夹角的正切值是多大
解 设小船行驶到对岸所用的时间为t(s),如图①,设表示水流的速度,表示船在静水中的航行速度,以AD,AB为邻边作平行四边形ABCD,则就是船实际航行的速度。设∠BAC=α,∠BAD=θ,则相对于垂直对岸的速度为v=·sin θ,小船行驶到对岸所用的时间为t====,θ∈(0,π)。故当sin θ=1,即θ=90°时,小船行驶到对岸所用的时间最少,为25 s。如图②,在Rt△ABC中,||=2,BC|=AD|=4,tan α=2。故当船头与水流方向的夹角为90°时,小船行驶到对岸所用的时间最少,为25 s,此时小船的实际航行方向与水流方向的夹角的正切值为2。
① ②
1.向量加法的性质应用
【典例1】 设|a|=8,|b|=12,则|a+b|的最大值与最小值分别为 , 。
【解析】 当a,b共线同向时,|a+b|=|a|+|b|=8+12=20,当a,b共线反向时,|a+b|=||a|-|b||=4。当a,b不共线时,||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|,即4<|a+b|<20,综上知,4≤|a+b|≤20,所以最大值为20,最小值为4。
【答案】 20 4
2.向量加法的多边形法则
向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则,即把每个向量平移,使这些向量首尾相连,则由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量就是这些向量的和向量。
即:+++…+=。
这是一个极其简单却非常有用的结论(如图)。
利用向量加法的多边形法则化简多个向量的和有时非常有效。
【典例2】 如图,已知向量a,b,c,d。
求作a+b+c+d。
【解】 在平面内任取一点O,作=a,=b,=c,=d,则=a+b+c+d。
1.++等于(C)
A. B.
C. D.
解析 ++=++=。
2.如图所示,在四边形ABCD中,=+,则四边形为(C)
A.矩形 B.正方形
C.平行四边形 D.菱形
解析 因为=+,所以=+=++=++=,即=,所以AB=DC,AB∥DC,所以四边形ABCD为平行四边形。故选C。
3.(多选)已知D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中点,则下列等式中正确的是(ABC)
A.+= B.++=0
C.+= D.+=
解析 由向量加法的平行四边形法则可知,+=≠。
4.已知向量a表示“向东航行 3 km”,b表示“向南航行3 km”,则a+b表示 向东南航行3 km 。
解析 根据题意由于向量a表示“向东航行3 km”,向量b表示“向南航行3 km”,那么可知a+b表示“向东南航行3 km”。
5.如图,D,E,F分别为△ABC三边的中点,试画出+,+。
解 如图,+=+=,因为四边形DEAF为平行四边形,所以+=。
课时达标检测(二) 向量的加法运算
基础达标
一、单项选择题
1.++++等于(C)
A. B.
C. D.
解析 ++++=(+)+(+)+=++
=(+)+=+=。故选C。
2.若向量a表示“向东航行1 km”,向量b表示“向北航行 km”,则向量a+b表示(B)
A.向东北方向航行2 km
B.向北偏东30°方向航行2 km
C.向北偏东60°方向航行2 km
D.向东北方向航行(1+) km
解析 如图,易知tan α==,所以α=30°。故a+b的方向是北偏东30°。
又|a+b|==2(km)。故选B。
3.如图,在正六边形ABCDEF中,++等于(D)
A.0 B.
C. D.
解析 ++=++=+=。
4.向量(+)+(++)=(C)
A. B.
C. D.
解析 根据向量的运算法则,可得(+)+(++)=(+)+(+)+=++
=+-=。故选C。
5.在矩形ABCD中,||=4,||=2,则向量++的长度为(B)
A.2 B.4
C.12 D.6
解析 因为+=,所以++的长度为的模的2倍。又||==2,所以向量++的长度为4。
6.若在△ABC中,AB=AC=1,|+|=,则△ABC的形状是(D)
A.正三角形 B.锐角三角形
C.斜三角形 D.等腰直角三角形
解析 以AB,AC为邻边作 ABDC,因为AB=AC=1,AD=,所以∠ABD为直角,该四边形为正方形,所以∠BAC=90°,△ABC为等腰直角三角形。故选D。
二、多项选择题
7.给出下面四个命题,其中是真命题的是(AB)
A.+=0 B.+=
C.+= D.0+=0
解析 根据向量加法的三角形法则,知A,B正确。
8.设a=(+)+(+),b是一个非零向量,则下列结论正确的有(AC)
A.a∥b B.a+b=a
C.a+b=b D.|a+b|<|a|+|b|
解析 由条件得(+)+(+)=0=a。故选AC。
三、填空题
9.如图,在 ABCD中,O是AC和BD的交点。++= ;++= 0 。
10.已知点G是△ABC的重心,则++= 0 。
解析 如图所示,连接AG并延长交BC于点E,则点E为BC的中点,延长AE到点D,使GE=ED,则+=,+=0,所以++=0。
11.在边长为1的等边三角形ABC中,|+|= 1 ,|+|= 。
解析 易知|+|=||=1,以AB,AC为邻边作平行四边形ABDC,则|+|=||=2||×sin 60°=2×1×=。
四、解答题
12.如图,已知 ABCD,O是两条对角线的交点,E是CD的一个三等分点(靠近D点),求作:
(1)+;(2)+。
解 (1)延长AC,在延长线上截取CF=AO,则向量即为所求。
(2)在AB上取点G,使AG=AB,则向量即为所求。
13.如图,小船要从A处沿垂直河岸AC的方向到达对岸B处,此时水流的速度为6 km/h,测得小船 正以8 km/h的速度沿垂直水流的方向向前行驶,求小船在静水中速度的大小及方向。
解 如图,设表示小船垂直于河岸行驶的速度,表示水流的速度,连接BC,过点B作AC的平行线,过点A作BC的平行线,两条直线交于点D,则四边形ACBD为平行四边形,所以就是小船在静水中的速度。在Rt△BAC中,||=8 km/h,||=6 km/h,所以||=||==10 km/h。因为∠DAB=∠ABC,所以tan∠DAB=tan∠ABC==。所以小船在静水中的速度的大小为10 km/h,方向与水流方向的夹角为+∠DAB,其中tan∠DAB=,∠DAB∈。
素养提升
14.若|a|=2,e为单位向量,则|a+e|的最大值是 3 。
解析 在平面内任取一点O,作=a,=e,则a+e=+=,因为e为单位向量,所以点B在以点A为圆心的单位圆上(如图所示),由图可知当点B在点B1时,O,A,B1三点共线,||即|a+e|的最大值,最大值是3。
15.如图所示,在平行四边形ABCD的对角线BD的反向延长线及延长线上取点E,F,使BE=DF,用向量方法证明:四边形AECF是平行四边形。
证明 因为=+,=+,又=,=,所以=,即AE与FC平行且相等。所以四边形AECF是平行四边形。
