6.2.2 向量的减法运算
已知向量是向量与向量x的和,如图所示。指出表示x的有向线段;向量x的模与||,||有什么关系 借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量的减法运算及运算法则,理解向量减法的几何意义。
1.相反向量
定义 我们规定,与向量a长度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量
性质 ①对于相反向量有:a+(-a)=0
②若a,b互为相反向量,则a=-b,a+b=0
③零向量的相反向量仍是零向量
2.向量的减法
(1)定义:求两个向量差的运算叫做向量的减法。
a-b=a+(-b),减去一个向量就相当于加上这个向量的相反向量。
(2)几何意义:a-b表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量。
微提醒
(1)两个向量的差仍是一个向量。
(2)向量的减法可以转化为向量的加法,减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量。
微思考
1.有人说:相反向量即方向相反的向量,定义中“长度相等”是多余的,对吗
提示:不对,相反向量要从“模长”与“方向”两个方面去理解,不仅是方向相反,还必须长度相等。
2.代数运算中的移项法则,在向量中是否仍然成立
提示:含有向量的等式称为向量等式,在向量等式的两边都加上或减去同一个向量仍得到向量等式,移项法则对向量等式也是适用的。
类型一 向量减法运算及其几何意义
【例1】 (1)四边形ABCD中,若=a,=b,=c,则=(A)
A.a-b+c
B.b-(a+c)
C.a+b+c
D.b-a+c
解析 =-=(+)-=a+c-b。
(2)如图,已知向量a,b,c不共线,求作向量a+b-c。
解 解法一:如图①所示,在平面内任取一点O,作=a,=b,则=a+b,再作=c,则=a+b-c。
① ②
解法二:如图②所示,在平面内任取一点O,作=a,=b,则=a+b,再作=c,连接OC,则=a+b-c。
求作两个向量差向量的2种思路:
(1)直接用向量减法的三角形法则,即把两向量的起点重合,则差向量为连接两个向量的终点,指向被减向量的终点的向量。
(2)转化为向量的加法来进行,如a-b,可以先作-b,然后作a+(-b)即可。
【变式训练】 (1)(多选)如图,在△ABC中,D为BC的中点,则下列结论正确的是(ABD)
A.-=
B.-=
C.-=0
D.-=
解析 ,是相反向量,它们的和是零向量,但-=≠0。C错误,ABD正确。
(2)已知=a,=b,若||=12,||=5,且∠AOB=90°,则|a-b|= 13 。
解析 因为||=12,||=5,∠AOB=90°,所以||2+||2=||2,所以||=13。因为=a,=b,所以a-b=-=,所以|a-b|=||=13。
类型二 向量减法的运算律
【例2】 化简:(1)+--;
(2)(++)-(--)。
解 (1)+--=(-)+(-)=+=。
(2)(++)-(--)=+-+=+++=+=0。
向量减法的三角形法则的内容是:两向量相减,表示两向量起点的字母必须相同,这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点,以被减向量的终点的字母为终点。
【变式训练】 化简下列各式:
(1)-+-;
(2)(-)+(-)。
解 (1)-+-=+-=-=。
(2)(-)+(-)=+++=+(++)=+0=。
类型三 用已知向量表示未知向量
【例3】 如图所示,四边形ACDE是平行四边形,B是该平行四边形外一点,且=a,=b,=c,试用向量a,b,c表示向量,,。
解 因为四边形 ACDE是平行四边形,
所以==c,=-=b-a,
故=+=b-a+c。
用向量表示其他向量的方法:
(1)解决此类问题要充分利用平面几何知识,灵活运用平行四边形法则和三角形法则。
(2)表示向量时要考虑以下问题:它是某个平行四边形的对角线吗 是否可以找到由起点到终点的恰当途径 它的起点和终点是否是两个有共同起点的向量的终点？
(3)必要时可以直接用向量求和的多边形法则。
【变式训练】 如图所示,解答下列各题:
(1)用a,d,e表示;
(2)用b,c表示;
(3)用a,b,e表示;
(4)用c,d表示。
解 (1)=++=d+e+a=a+d+e。
(2)=-=--=-b-c。
(3)=++=e+a+b。
(4)=-=-(+)=-c-d。
||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|的应用
【典例】 已知||=10,||=7,则||的取值范围是 。
【解析】 从题目中所给向量的起点与终点容易看出,所给向量与所求向量的关系为+=,然后根据向量的和的模与各向量模的和的关系,分为与是否共线两种情况,可以得出答案。
|||-|||≤||≤||+||,
即|10-7|≤||≤10+7,
即3≤||≤17。
【答案】 3≤||≤17
解答此题的关键是由题目中所给出的向量的起点与终点得出未知向量与已知向量的关系。
1.在△ABC中,若=a,=b,则等于(D)
A.a B.a+b
C.b-a D.a-b
解析 =-=a-b。
2.化简-++等于(B)
A. B.
C. D.
解析 原式=(+)+(+)=+0=。
3.已知在四边形ABCD中,-=-,则四边形ABCD一定是(A)
A.平行四边形 B.菱形
C.矩形 D.正方形
解析 由-=-,可得=,所以四边形ABCD一定是平行四边形。
4.若菱形ABCD的边长为2,则|-+|的长度为 2 。
解析 |-+|=|++|=||=2。
5.已知点B是平行四边形ACDE内一点,且=a,=b,=c,试用a,b,c表示向量,,,及。
解 因为四边形ACDE为平行四边形,
所以==c;=-=b-a;
=-=c-a;
=-=c-b;
=+=b-a+c。
课时达标检测(三) 向量的减法运算
基础达标
一、单项选择题
1.化简-+所得的结果是(C)
A. B. C.0 D.
解析 -+=+=0。
2.如图,点O是平行四边形ABCD两条对角线的交点,则下列等式一定成立的是(C)
A.+=
B.-=0
C.-=
D.+=
解析 +=,故A错误;+=0,故B错误;-=+=,故C正确;+==,故D错误。
3.如图,D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中点,则-等于(D)
A. B. C. D.
解析 -=-==。故选D。
4.O是四边形ABCD所在平面内任一点,且∥,|-|=|-|,则四边形ABCD一定是(D)
A.菱形 B.任意四边形
C.矩形 D.平行四边形
解析 由|-|=|-|知||=||,又∥,故四边形ABCD是平行四边形。
5.在边长为1的正三角形ABC中,|-|的值为(D)
A.1 B.2 C. D.
解析 如图,作菱形ABCD,则|-|=|-|=||=。故选D。
6.设点M是线段BC的中点,点A在线段BC外,||2=16,|+|=|-|,则||=(C)
A.8 B.4 C.2 D.1
解析 以,为邻边作平行四边形ACDB,则由向量加、减法的几何意义可知=+,=-。因为|+|=|-|,所以||=||。又因为四边形ACDB为平行四边形,所以四边形ACDB为矩形,故AC⊥AB。则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线,因此||=||=2。
二、多项选择题
7.下列结果恒为零向量的是(BCD)
A.-(+) B.-+-
C.-+ D.++-
解析 A项,-(+)=-=+;B项,-+-=+=0;C项,-+=+=0;D项,++-=+=0。
8.已知a,b为非零向量,则下列命题中正确的是(ABD)
A.若|a|+|b|=|a+b|,则a与b方向相同
B.若|a|+|b|=|a-b|,则a与b方向相反
C.若|a|+|b|=|a-b|,则a与b有相等的模
D.若||a|-|b||=|a-b|,则a与b方向相同
解析 当a,b方向相同时,有|a|+|b|=|a+b|,||a|-|b||=|a-b|;当a,b方向相反时,有||a|-|b||=|a+b|,|a|+|b|=|a-b|。因此A,B,D正确。
三、填空题
9.如图,在正六边形ABCDEF中,与-+相等的向量是 ,与+相等的向量是 。
解析 -+=+=,+=。
10.梯形ABCD中,AB∥DC,AC与BD交于点O,则-+-+= 0 。
解析 -+-+=+++-=+=0。
11.如图所示,已知正方形ABCD的边长为1,=a,=b,=c,则|a-b+c|= 2 。
解析 作=,连接CF(图略),则+=,而=-=-=a-b,所以a-b+c=+=且||=2。所以|a-b+c|=2。
四、解答题
12.如图,已知=a,=b,=c,=d,=f,试用a,b,c,d,f表示以下向量:
(1);
(2);
(3)-;
(4)+;
(5)-。
解 (1)=-=c-a。
(2)=-=d-a。
(3)-==-=d-b。
(4)+=-+-=b-a+f-c。
(5)-==-=f-d。
13.如图,四边形ABCD的边AD,BC的中点分别为E,F,求证:=(+)。
证明 =(+)=(+++)=(+)。(因为+=0)
素养提升
14.已知点P是边长为2的正方形ABCD所在平面内一点,若|--|=1,则||的最大值是(C)
A.2-1 B.2
C.2+1 D.2+2
解析 依题意,--=-(+)=-=,因为|--|=1,所以||=1,即点P在以点C为圆心,1为半径的圆上,所以||的最大值为+1=2+1。
15.三个大小相同的力a,b,c作用在同一物体P上,使物体P沿a方向做匀速运动,设=a,=b,=c,判断△ABC的形状。
解 由题意,得|a|=|b|=|c|。
由于合力作用后做匀速运动,故合力为0,
即a+b+c=0,所以a+c=-b。
如图,作平行四边形APCD,则 APCD为菱形。
=a+c=-b,即||=|b|,
所以||=||=||,所以∠APC=120°。
同理∠APB=∠BPC=120°。
又|a|=|b|=|c|,所以△ABC为等边三角形。6.2.2 向量的减法运算
已知向量是向量与向量x的和,如图所示。指出表示x的有向线段;向量x的模与||,||有什么关系 借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量的减法运算及运算法则,理解向量减法的几何意义。
1.相反向量
定义 我们规定,与向量a长度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量
性质 ①对于相反向量有:a+(-a)=0
②若a,b互为相反向量,则a=-b,a+b=0
③零向量的相反向量仍是零向量
2.向量的减法
(1)定义:求两个向量差的运算叫做向量的减法。
a-b=a+(-b),减去一个向量就相当于加上这个向量的相反向量。
(2)几何意义:a-b表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量。
微提醒
(1)两个向量的差仍是一个向量。
(2)向量的减法可以转化为向量的加法,减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量。
微思考
1.有人说:相反向量即方向相反的向量,定义中“长度相等”是多余的,对吗
2.代数运算中的移项法则,在向量中是否仍然成立
类型一 向量减法运算及其几何意义
【例1】 (1)四边形ABCD中,若=a,=b,=c,则=( )
A.a-b+c
B.b-(a+c)
C.a+b+c
D.b-a+c
(2)如图,已知向量a,b,c不共线,求作向量a+b-c。
求作两个向量差向量的2种思路:
(1)直接用向量减法的三角形法则,即把两向量的起点重合,则差向量为连接两个向量的终点,指向被减向量的终点的向量。
(2)转化为向量的加法来进行,如a-b,可以先作-b,然后作a+(-b)即可。
【变式训练】 (1)(多选)如图,在△ABC中,D为BC的中点,则下列结论正确的是( )
A.-=
B.-=
C.-=0
D.-=
类型二 向量减法的运算律
【例2】 化简:(1)+--;
(2)(++)-(--)。
向量减法的三角形法则的内容是:两向量相减,表示两向量起点的字母必须相同,这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点,以被减向量的终点的字母为终点。
【变式训练】 化简下列各式:
(1)-+-;
(2)(-)+(-)。
类型三 用已知向量表示未知向量
【例3】 如图所示,四边形ACDE是平行四边形,B是该平行四边形外一点,且=a,=b,=c,试用向量a,b,c表示向量,,。
用向量表示其他向量的方法:
(1)解决此类问题要充分利用平面几何知识,灵活运用平行四边形法则和三角形法则。
(2)表示向量时要考虑以下问题:它是某个平行四边形的对角线吗 是否可以找到由起点到终点的恰当途径 它的起点和终点是否是两个有共同起点的向量的终点？
(3)必要时可以直接用向量求和的多边形法则。
【变式训练】 如图所示,解答下列各题:
(1)用a,d,e表示;
(2)用b,c表示;
(3)用a,b,e表示;
(4)用c,d表示。
||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|的应用
【典例】 已知||=10,||=7,则||的取值范围是 。
解答此题的关键是由题目中所给出的向量的起点与终点得出未知向量与已知向量的关系。
1.在△ABC中,若=a,=b,则等于( )
A.a B.a+b
C.b-a D.a-b
2.化简-++等于( )
A. B.
C. D.
3.已知在四边形ABCD中,-=-,则四边形ABCD一定是( )
A.平行四边形 B.菱形
C.矩形 D.正方形
4.若菱形ABCD的边长为2,则|-+|的长度为 。
5.已知点B是平行四边形ACDE内一点,且=a,=b,=c,试用a,b,c表示向量,,,及。
课时达标检测(三) 向量的减法运算
基础达标
一、单项选择题
1.化简-+所得的结果是( )
A. B. C.0 D.
2.如图,点O是平行四边形ABCD两条对角线的交点,则下列等式一定成立的是( )
A.+=
B.-=0
C.-=
D.+=
3.如图,D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中点,则-等于( )
A. B. C. D.
4.O是四边形ABCD所在平面内任一点,且∥,|-|=|-|,则四边形ABCD一定是( )
A.菱形 B.任意四边形 C.矩形 D.平行四边形
5.在边长为1的正三角形ABC中,|-|的值为( )
A.1 B.2 C. D.
6.设点M是线段BC的中点,点A在线段BC外,||2=16,|+|=|-|,则||=( )
A.8 B.4 C.2 D.1
二、多项选择题
7.下列结果恒为零向量的是( )
A.-(+) B.-+- C.-+ D.++-
8.已知a,b为非零向量,则下列命题中正确的是( )
A.若|a|+|b|=|a+b|,则a与b方向相同
B.若|a|+|b|=|a-b|,则a与b方向相反
C.若|a|+|b|=|a-b|,则a与b有相等的模
D.若||a|-|b||=|a-b|,则a与b方向相同
三、填空题
9.如图,在正六边形ABCDEF中,与-+相等的向量是 ,与+相等的向量是 。
10.梯形ABCD中,AB∥DC,AC与BD交于点O,则-+-+= 。
11.如图所示,已知正方形ABCD的边长为1,=a,=b,=c,则|a-b+c|= 。
四、解答题
12.如图,已知=a,=b,=c,=d,=f,试用a,b,c,d,f表示以下向量:
(1);
(2);
(3)-;
(4)+;
(5)-。
13.如图,四边形ABCD的边AD,BC的中点分别为E,F,求证:=(+)。
素养提升
14.已知点P是边长为2的正方形ABCD所在平面内一点,若|--|=1,则||的最大值是( )
A.2-1 B.2
C.2+1 D.2+2
15.三个大小相同的力a,b,c作用在同一物体P上,使物体P沿a方向做匀速运动,设=a,=b,=c,判断△ABC的形状。
