2023-2024学年上海市建平中学高一年级下学期
3月月考数学试卷
2024.3
一、填空题 (本大题共有12小题，满分36分)
1.已知点，则的坐标为______.
【答案】
【解析】
2.函数的最小正周期是______.
【答案】
【解析】
3.函数的值域是______.
【答案】
【解析】
4.已知，则______.
【答案】
【解析】
5.已知等边三角形边长为4，则在方向上的数量投影为______.
【答案】2
【解析】在方向上的数量投影为
6.已知是实数，向量不平行，若，则______.
【答案】3
【解析】由题意得
7.在中，分别是的内角所对的边，，则______.
【答案】
【解析】由正弦定理可得
8.如图，点是线段及的延长线，的延长线所围成的区域内（不含边界）运动，且，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】点是线段及的延长线，的延长线所围成的区域内（不含边界）运动
且，由向量加法的平行四边形法则，
为平行四边形的对角线，
该四边形应是以和的反向延长线为两邻边，
的取值范围是
9.函数，若，则______.
【答案】0
【解析】，
10.已知函数是定义在上的奇函数，且，则______.
【答案】4
【解析】由题意得函数的对称中心为，对称轴为，则函数的周期为4
11.已知函数，将图像上每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的倍，得到的图像，的部分图像如图所示，若，则______.
【答案】
【解析】由题意知
函数的周期为
设
12.已知，若存在、，使得与夹角为，且，则的最小值为______.
【答案】
【解析】由题意，，
令，
，
故有，，，共线，
为定值，
在△中，由余弦定理可得，
，
当且仅当时，取最大值1，此时△面积最大，
则到距离最远，
即当且仅当、关于轴对称时，最小，
此时到的距离为，
二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13.若，则（ ）.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由三角求值的知识点即可得
故选B
14.已知向量，则“”是“”的（ ）
A.充分非必要 B.必要非充分 C.充分必要 D.既非充分又非必要
【答案】A
【解析】故必要性不成立
故选A
15.剪纸是中国古老的传统民间艺术之一，剪纸时常会沿着纸的某条对称轴对折．将一张纸片先左右折叠，再上下折叠，然后沿半圆弧虚线裁剪，展开得到最后的图形，若正方形的边长为4，点在四段圆弧上运动，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如图所示的平面直角坐标系，
设点，
易知，以为直径的左半圆：点的横坐标
以为直径的右半圆：点的横坐标，
所以点的横坐标的取值范围是
由数量积的几何意义可知
故选B
16.已知函数，已知定义在上的函数依次是严格增函数、严格减函数与周期函数，记. 则对于下列命题
①若是严格增函数，则；
②若是严格减函数，则；
③若是周期函数，则.
正确都有（ ）
A. 无一正确 B. ①②③ C. ①②③ D. ①②③
【答案】D
【解析】①是严格增函数，则有任意且，有，
又因为，分别为严格减函数与周期函数，不符合题意，为严格增函数，符合题意，所以；
②是严格减函数，则有任意且，有，又因为，分别是严格增函数与周期函数，不符合题意，为严格减函数，符合题意，所以；
③是周期函数，设其周期为，则对任意，，，都有，又因为，分别是严格增函数和严格减函数，不符合题意，为周期函数，符合题意，所以；
故选①②③，即选D.
三、解答题 (本大题满分52分) 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17.（本题满分8分）
已知平面向量的夹角为，且
（1）若，求
（2）当，求
【答案】（1）1；（2）2
【解析】
（1）
（2）
18.（本题满分10分）
某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如表：
0
0 5 0
（1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数的解析式
（2）当时，求的解集
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）
0
0 5 0 0
由表格可得，函数的最大值为5，最小值为，可得，
，．
结合五点法作图，可得，，
故
（2）
19.（本题满分10分）
如图，在中，．
（1）用，表示，；
（2）若点满足，证明：，，三点共线．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
（Ⅰ），
，
，
，；
（Ⅱ），
，
，
，，三点共线．
20.（本题满分12分）
“但又一枝堪比玉，何须九畹始征兰”。盛开的白玉兰是上海的春天最亮丽的风景线，除白玉兰外，上海还种植木兰科的其他栽培种，如黄玉兰和紫玉兰等，某种植园准备将如图扇形空地分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰；已知扇形的半径为70米，圆心角为，动点在扇形的弧上，点在上，且
（1）求扇形空地的周长和面积
（2）当米时，求分隔栏的长；
（3）综合考虑到成本和美观等原因，要使白玉兰种植区的面积尽可能的大，设，求的面积的最大值．
【答案】（1）周长为，面积为；（2）80；（3）
【解析】
（1）扇形的半径，
则扇形的周长为
扇形的面积为
（2）因为圆心角为，所以，又，
在中，由余弦定理可得，
即
所以的长为80米．
（3）设，，
在中，由正弦定理得，
所以
所以的面积为
当，即时，的面积最大为平方米，
所以此时种植白玉兰的最大面积是平方米
21.（本题满分12分）
对于一组向量，令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“长向量”．
（1）设，且，若是向量组的“长向量”，求实数的取值范围；
（2）若，且，向量组是否存在“长向量”？给出你的结论并说明理由；
（3）已知、、均是向量组的“长向量”，其中，．设在平面直角坐标系中有一点列满足：为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与关于点对称，求的最小值
【答案】（1）；（2）存在，或6时存在；（3）2024
【解析】
（1）由题意，得，则
即实数的取值范围是
（2）是向量组的“长向量”，且
又
（3）由题意，得，，即，
即，同理，，
三式相加并化简，得，
即，，所以，
设，则，
设，则依题意得，
得，，，，，
故，，，，，，，，，
所以
当且仅当时等号成立，
故的最小值为2024．2023-2024学年上海市建平中学高一年级下学期
3月月考数学试卷
2024.3
一、填空题 (本大题共有12小题，满分36分)
1.已知点，则的坐标为______.
2.函数的最小正周期是______.
3.函数的值域是______.
4.已知，则______.
5.已知等边三角形边长为4，则在方向上的数量投影为______.
6.已知是实数，向量不平行，若，则______.
7.在中，分别是的内角所对的边，，则______.
8.如图，点是线段及的延长线，的延长线所围成的区域内（不含边界）运动，且，则的取值范围是______.
9.函数，若，则______.
10.已知函数是定义在上的奇函数，且，则______.
11.已知函数，将图像上每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的倍，得到的图像，的部分图像如图所示，若，则______.
12.已知，若存在、，使得与夹角为，且，则的最小值为______.
二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13.若，则（ ）.
A. B. C. D.
14.已知向量，则“”是“”的（ ）
A.充分非必要 B.必要非充分 C.充分必要 D.既非充分又非必要
15.剪纸是中国古老的传统民间艺术之一，剪纸时常会沿着纸的某条对称轴对折．将一张纸片先左右折叠，再上下折叠，然后沿半圆弧虚线裁剪，展开得到最后的图形，若正方形的边长为4，点在四段圆弧上运动，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
16.已知函数，已知定义在上的函数依次是严格增函数、严格减函数与周期函数，记. 则对于下列命题
①若是严格增函数，则；
②若是严格减函数，则；
③若是周期函数，则.
正确都有（ ）
A. 无一正确 B. ①②③ C. ①②③ D. ①②③
三、解答题 (本大题满分52分) 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17.（本题满分8分）
已知平面向量的夹角为，且
（1）若，求
（2）当，求
18.（本题满分10分）
某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如表：
0
0 5 0
（1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数的解析式
（2）当时，求的解集
19.（本题满分10分）
如图，在中，．
（1）用，表示，；
（2）若点满足，证明：，，三点共线．
20.（本题满分12分）
“但又一枝堪比玉，何须九畹始征兰”。盛开的白玉兰是上海的春天最亮丽的风景线，除白玉兰外，上海还种植木兰科的其他栽培种，如黄玉兰和紫玉兰等，某种植园准备将如图扇形空地分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰；已知扇形的半径为70米，圆心角为，动点在扇形的弧上，点在上，且
（1）求扇形空地的周长和面积
（2）当米时，求分隔栏的长；
（3）综合考虑到成本和美观等原因，要使白玉兰种植区的面积尽可能的大，设，求的面积的最大值．
21.（本题满分12分）
对于一组向量，令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“长向量”．
（1）设，且，若是向量组的“长向量”，求实数的取值范围；
（2）若，且，向量组是否存在“长向量”？给出你的结论并说明理由；
（3）已知、、均是向量组的“长向量”，其中，．设在平面直角坐标系中有一点列满足：为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与关于点对称，求的最小值
