(共27张PPT)
8.1 二元一次方程组
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
二元一次方程
二元一次方程组
二元一次方程的解
二元一次方程组的解
知识点
二元一次方程
知1－讲
感悟新知
1
1. 定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程，叫做二元一次方程.
特别警示
“含有未知数的项的次数都是1”不可理解为两个未知数的次数都是1， 例如2xy+1=0，含有两个未知数，且未知数的次数都是1，但含未知数的项2xy 的次数是2，所以不是二元一次方程.
知1－讲
感悟新知
2. 二元一次方程应满足的条件：
原方程：(1)整式方程；(2)只含有两个未知数；
化简后的方程：(1)两个未知数的系数都不为0；
(2)含有未知数的项的次数都是1.
3. 关于x，y 的二元一次方程的一般形式：ax＋by=c(a ≠ 0，b ≠ 0).
感悟新知
知1－练
有下列方程： ① xy =1； ② 2x=3y； ③ x－=2；
④ x2＋y=3；⑤ =3y－1. 其中，二元一次方程有( )
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
例 1
解题秘方：紧扣二元一次方程必备的条件去识别.
感悟新知
知1－练
方法点拨：判断一个方程是不是二元一次方程的
方法：一看原方程是不是整式方程且只含有两个未知数；二看化简整理后的方程是否具备两个未知数的系数都不为0，且含未知数的项的次数都是1 的条件.
解：根据二元一次方程的定义进行判断.
①含未知数的项xy 的次数是2；③不是整式方程；
④含未知数的项x2，y 中，x2 的次数不是1.
②⑤满足二元一次方程的定义.
答案：B
感悟新知
知1－练
1-1.[中考·温州] 一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的1.5 倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30 g. 设蛋白质、脂肪的含量分别为x(g)，y(g)，可列出方程为( )
A. x＋y=30 B. x＋y=30
C. x＋y=30 D. x＋y=30
A
知识点
二元一次方程组
知2－讲
感悟新知
2
1. 定义：
方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组.
特别警示
●判断二元一次方程组时，忽视先整理化简后再进行判断；
●是含有未知数的项的次数是1，而不是每个未知数的次数是1.
知2－讲
感悟新知
2. 二元一次方程组应满足的条件：
(1)两个方程都是整式方程；
(2)共含有两个未知数；
(3)一共有两个方程，每个方程都是一次方程.
不一定每个方程都有两个未知数
感悟新知
知2－练
有下列方程组：
① ② ③ ④
其中二元一次方程组有( )
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
A
例2
xy=1，
x＋y=2；
x－y=3，
＋y=1；
2x＋z=0，
3x－y=；
x=5，
＋=7.
感悟新知
知2－练
解：①方程组中第一个方程含未知数的项xy 的次数不是1；
②方程组中第二个方程不是整式方程；
③方程组中共有3 个未知数.
只有④满足.
解题秘方：紧扣二元一次方程组应满足的条件去识别.
感悟新知
知2－练
2-1. 下列方程组中，不是二元一次方程组的是_______.(填序号)
x＋y=10， x＋y=5， x＋2y=4， x2＋y=3
4x－y=25； y－z=3； ＋y=2； 2x－y=5.
②③④
①
②
③
④
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知2－练
某中学组织七年级学生春游，原计划租用45 座的客
车若干辆，但有15 人没有座位；若租用同样数量的60 座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满，试问七年级学生人数是多少？原计划租用45 座客车多少辆？(只列方程组)
例 3
解题秘方：分析出题意中蕴含的等量关系，用未知量表示出等量关系.
感悟新知
知2－练
解：设七年级学生有x 人，原计划租用y 辆45 座客车. 根据题意，得 45y＋15=x，
60(y－1)=x.
感悟新知
知2－练
3-1.[中考·荆州] 我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5 尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1 尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y 尺，那么可列方程组为( )
A. y=x＋4.5 B. y=x＋4.5 C.y=x－4.5，D.y=x－4.5，
0.5y=x－1 y=2x－1 0.5y=x＋1 y=2x－1
A
知识点
二元一次方程的解
知3－讲
感悟新知
3
1. 二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.
特别解读
二元一次方程只要给定其中的一个未知数的值，就可以相应地求出另一个未知数的值，因此二元一次方程有无数组解.
知3－讲
感悟新知
2. 判断一组数值是不是二元一次方程的解的方法：
判断一组数值是不是二元一次方程的解，只需将这组数值分别代入方程的左右两边，
若左边= 右边，则这组数值是这个方程的解；
若左边≠右边，则这组数值不是这个方程的解.
感悟新知
知3－练
已知 是关于x，y 的二元一次方程ax－(2a－3)y=7 的一组解，求a 的值.
例4
解题秘方：紧扣二元一次方程的解的定义，将解代入方程中求字母参数的值.
x=2，
y=－3
解: 把 代入方程 ax－(2a－3)y=7 中，
可得2a＋3(2a－3)=7，解得a=2.
x=2，
y=－3
感悟新知
知3－练
4-1.[中考·无锡] 下列4 组数中，不是二元一次方程2x＋y=4 的解的是( )
x=1， x=2， x=0.5， x=－2，
y=2 y=0 y=3 y=4
D
A.
B.
C.
D.
知识点
二元一次方程组的解
知4－讲
感悟新知
4
1. 二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
特别解读
方程组的解一定是方程组中每个方程的解，而方程组中某个方程的解不一定是方程组的解.
知4－讲
感悟新知
2. 判断一组数值是不是二元一次方程组的解的方法：将这组数值分别代入方程组中的每一个方程进行检验，若满足每一个方程，则这组数值就是这个方程组的解；只要不满足其中任何一个方程，则这组数值就不是这个方程组的解.
感悟新知
知4－练
[母题教材P89 探究]根据下表所给出的x 的值及关于x，y的二元一次方程，求出相应的y 的值，并填入表内.
例 5
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y=2x
y=x＋5
感悟新知
知4－练
解题秘方：根据二元一次方程组的解的定义，找出同时满足两个二元一次方程的公共解，即为二元一次方程组的解.
感悟新知
知4－练
解：填表如下：
从表中可知 既是二元一次方程y=2x 的解，也是二元一次方程y=x＋5 的解，所以二元一次方程组
的解是
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y=2x 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
y=x＋5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
x=5，
y=10
y=2x，
y=x＋5
x=5，
y=10.
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知4－练
5-1.[中考· 绍兴] 若关于x ，y 的二元一次方程组 的解为 则多项式A 可以是________________ (写出一个即可)
x－y(答案不唯一)
x＋y=2，
A=0
x=1，
y=1，
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知4－练
5-2.[中考· 天津] 方程组 的解是( )
A. B. C. D.
D
3x＋2y=7，
6x－2y=11
x=－1，
y=5
x=1，
y=2
x=3，
y=－1
x=2，
y=
二元一次方程组
二元一次方程
解
组成
二元一次方程组(共35张PPT)
8.2 消元——解二元一次方程组
第八章 二元一次方程组
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
代入消元法解二元一次方程组
加减消元法解二元一次方程组
知识点
代入消元法解二元一次方程组
知1－讲
感悟新知
1
1. 消元思想：
二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为一元一次方程. 先求出一个未知数，然后再求另一个未知数. 这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想 .
知1－讲
感悟新知
2. 代入消元法：
特别提醒
●将方程组中的一个二元一次方程写成用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，是用代入法解二元一次方程组的前提和关键，其方法就是利用等式的性质将其变形为y=ax＋b( 或x=ay＋b) 的形式，其中a，b 为常数，a ≠ 0；
●用含一个未知数的式子表示另一个未知数后，应代入另一个方程来解，否则只能得到一个恒等式，并不能求出方程组的解.
知1－讲
感悟新知
(1)定义：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解. 这种方法叫做代入消元法，简称代入法.
知1－讲
感悟新知
(2)用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤：
步骤 具体做法 目的 注意事项
①变形 用含一个未知数的式子表示另一个未知数. 变形为y=ax＋b( 或x=ay＋b)(a，b 是常数，a ≠ 0)的形式. 一般选未知数系数比较简单的方程变形.
②代入 把y=ax＋b( 或x=ay＋b)代入另一个没有变形的方程. 消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程. 变形后的方程只能代入另一个方程(或另一个方程变形后的方程)
知1－讲
感悟新知
步骤 具体做法 目的 注意事项
③求解 解消元后的一元一次方程. 求出一个未知数的值. 去括号时不能漏乘，移项时所移的项要变号.
④回代 把求得的未知数的值代入步骤①中变形后的方程中. 求出另一个未知数的值. 一般代入变形后的方程.
⑤写解 把两个未知数的值用大括号联立起来. 表示为 的形式. 用“｛” 将未知数的值联立起来.
感悟新知
知1－练
[母题 教材P91 例1]用代入法解方程组：
例 1
解题秘方：紧扣用代入消元法解二元一次方程组的步骤解方程组.
①②
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知1－练
解：由②，得x=1－5y. ③
把③代入①，得2(1－5y)＋3y=－19.
解这个方程，得y=3.
把y=3 代入③，得x=－14.
所以这个方程组的解是
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知1－练
1-1. 用代入法解方程组：
(1)
①②
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知1－练
(2)[中考·连云港]
知识点
加减消元法解二元一次方程组
知2－讲
感悟新知
2
1. 加减消元法的定义：
当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程. 这种方法叫做加减消元法，简称加减法.
知2－讲
感悟新知
2. 用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：
步骤 具体做法 目的 注意事项
①变形 根据同一个未知数的系数的绝对值的最小公倍数，将方 程的两边都乘适当的数. 使某一个未知数在两个方程中的系数相等或互为相反数. (1)选择消元对象：未知数的系数相等或互为相反数或有倍数关系；
(2)把某个方程乘一个数时，方程两边的每一项都要和这个数相乘.
知2－讲
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步骤 具体做法 目的 注意事项
②加减 同一个未知数的系数互为相反数时，相加；相等时，相减. 消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程. 把两个方程相加(减)时，一定要把两个方程两边分别相加(减).
知2－讲
感悟新知
步骤 具体做法 目的 注意事项
③求解 解消元后的一元一 次方程. 求出一个未知数的值.
④回代 把求得的未知数的 值代入方程组中某 个较简单的方程中. 求出另一个未知数的值. 回代时选择系数较简单的方程.
⑤写解 把两个未知数的值 用大括号联立起来. 表示为 的形式. 用“｛”将未知数的值联立起来.
知2－讲
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特别解读
1. 两个方程同一未知数的系数的绝对值相等或成倍数关系时，解方程组应考虑用加减消元法；
2. 如果同一未知数的系数的绝对值既不相等又不成倍数关系，我们应设法将一个未知数的系数的绝对值转化为相等关系；
3. 用加减法时，一般选择系数比较简单( 同一未知数的系数的绝对值相等或成倍数关系) 的未知数作为消元对象.
感悟新知
知2－练
用加减法解方程组：
例2
①②
解题秘方：方程组的两个方程中，x 的系数相同，y 的系数互为相反数，这样可以把两个方程相加消去y，或者把两个方程相减消去x.
解：①＋②，得6x=12，解得x=2.
把x=2 代入②，得3×2＋7y=13，解得y=1.
所以原方程组的解为
感悟新知
知2－练
2-1. 解方程组① ② 比较简便的方法是( )
A. 都用代入法
B. 都用加减法
C. ①用代入法，②用加减法
D. ①用加减法，②用代入法
C
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知2－练
用加减法解方程组：
①②
解题秘方：方程组的两个方程中x，y 的系数的绝对值成倍数关系，方程②乘3 后就可与方程①相加消去y.
例 3
感悟新知
知2－练
解：② ×3，得51x－9y=222. ③
①＋③，得59x=295，解得x=5.
把x=5 代入①，得8×5＋9y=73，解得y= .
所以原方程组的解为
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知2－练
3-1. 用加减法解方程组：
(1)[中考·台州]
①②
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知2－练
(2)
①②
感悟新知
知2－练
[母题 教材P95 例3]用加减法解方程组：
例4
①②
解题秘方：方程①和②中x，y 的系数的绝对值既不相等又不成倍数关系，应取系数的绝对值的最小公倍数6，可以先消去x，也可以先消去y.
感悟新知
知2－练
解：① ×3，得6x＋9y=9. ③ ② ×2，得6x＋4y=22. ④
③ － ④，得5y=－13，解得y=－ .
把y=－ 代入①，得x= .
所以这个方程组的解为
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知2－练
4-1. 解下列方程组：
(1)
①②
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知2－练
(2) (用代入消元法)
感悟新知
知2－练
感悟新知
知2－练
(3) (用加减消元法)
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知2－练
(4)
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知2－练
感悟新知
知2－练
[中考·吉林] 被誉为“最美高铁”的长春至珲春城际铁路途经许多隧道和桥梁，其中隧道累计长度与桥梁累计长度之和为342 km，隧道累计长度的2 倍比桥梁累计长度多36 km. 求隧道累计长度与桥梁累计长度.
解题秘方：紧扣等量关系“隧道累计长度+ 桥梁累计长度=342 km”和“2× 隧道累计长度= 桥梁累计长度＋36 km”列方程组求解.
例 5
感悟新知
知2－练
解：设隧道累计长度为x km，桥梁累计长度为y km.
依题意，得
解这个方程组，得
答：隧道累计长度为126 km，桥梁累计长度为216 km.
感悟新知
知2－练
5-1.[中考· 海南] 某村经济合作社决定把22吨竹笋加工后再上市销售，刚开始每天加工3 吨，后来在乡村振兴工作队的指导下改进加工方法，每天加工5 吨，前后共用6 天完成全部加工任务，问该合作社改进加工方法前后各用了多少天？
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知2－练
消元——解二元一次方程组
解二元一次方程组
消元
代入法
加减法
转化
一元二次方程(共69张PPT)
8.3 实际问题与二元一次方程组
第八章 二元一次方程组
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
列二元一次方程组解应用题的基本步骤
列方程组解应用题的常见题型
建立二元一次方程组的模型对实际问题进行判断或方案设计
知识点
列二元一次方程组解应用题的基本步骤
知1－讲
感悟新知
1
1. 基本思想方法：
(1)列方程组解应用题是把“未知”转化成“已知”的过程；它的关键是把未知量与已知量联系起来，找出题目中的等量关系列方程组.
知1－讲
感悟新知
(2)一般情况下，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相等 .
知1－讲
感悟新知
2. 列二元一次方程组解应用题的一般步骤：
(1)审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题；
(2)设：分析已知量和未知量，并用字母表示其中的两个未知量(设元)；
(3)找：找出能表示题意的两个等量关系；
(4)列：根据等量关系列出方程组；
(5)解：解这个方程组，求出未知数的值；
(6)答：检验所求解是否符合实际意义，写出答案.
知1－讲
感悟新知
特别解读
找等量关系的方法：
1. 抓住题目中的关键词，常见的关键词有：“比”“是”“等于”等；
2.根据常见的数量关系，如体积公式、面积公式等，找等量关系；
3. 挖掘题目中的隐含条件，如飞机沿同一航线航行，顺风航行与逆风航行的路程相等；
4. 借助列表格、画线段示意图等方法找等量关系.
感悟新知
知1－练
某船的载质量为300 吨，容积为1 200 立方米，现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为6 立方米，乙种货物每吨体积为2 立方米，要充分利用这艘船的载质量和容积，甲、乙两种货物应各装多少吨？
例 1
解题秘方：分析题目中已知量和未知量，找准题目中的等量关系，列出方程组解决问题.
感悟新知
知1－练
解：设甲种货物应装x 吨，乙种货物应装y 吨.
由题意，得
解得
答：甲、乙两种货物应各装150 吨.
感悟新知
知1－练
1-1. 某校决定组织全校600 名师生去郊游，租用10 辆大客车和8辆小客车，恰好全部坐满. 已知每辆大客车的座位数比每辆小客车多15 个. 若设每辆大客车有x 个座位，每辆小客车有y 个座位，则可列方程组为
______________ .
知识点
列方程组解应用题的常见题型
知2－讲
感悟新知
2
根据在实际问题中等量关系的不同类型，归纳出应用题的几种常见题型：
(1)和、差、倍、分问题；(2)数字问题；
(3)配套问题；(4)销售问题；(5)行程问题；
(6)百分比问题；(7)古代算术问题；(8)几何图形问题.
知2－讲
感悟新知
特别提醒
不同类型的问题中都有各自的代表性词语，如配套问题中的“配套”，销售问题中的“售价”“标价”“折扣”等等.
感悟新知
知2－练
某中学七年级甲、乙两班共有93 人，其中参加数学
课外兴趣小组的共有27 人，已知甲班有的学生、乙班有的学生参加数学课外兴趣小组，求这两个班各有多少人.
例2
解题秘方：紧扣人数之间的数量关系，关键是和、差、倍、分关系，建立已知量与未知量的等量关系.
感悟新知
知2－练
解： 设甲班有x 人， 乙班有y 人，
根据题意， 得
解得
答：甲班有48 人，乙班有45 人.
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2-1. 某学校举行的知识竞赛共有60 道题，曾浩同学答对了x 道题，答错了y 道题(不答视为答错)，且答对题数比答错题数的7 倍还多4 道，则下面列出的方程组中正确的是( )
A
感悟新知
知2－练
[母题 教材P106 习题T3]有一个三位数，现将最左边的数字移到最右边，则比原来的数小45；又知原百位数字的9 倍比原三位数去掉百位数字后的两位数小3，求原三位数.
例 3
解题秘方：设出数位上的数字，利用数位上的数字表示出数，根据题目中的等量关系列出方程组.
感悟新知
知2－练
解：设原百位数字为x，原三位数去掉百位数字后的两位数为y，由题意得
解得
所以4×100＋39=439.
答：原三位数为439.
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知2－练
3-1. 一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是5，若这个两位数加上9，所得的两位数的数字顺序与原来两位数的数字顺序恰好颠倒，求原两位数.
感悟新知
知2－练
[母题 教材P102 习题T4]某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2 m 的某种布料可做衣身3 个或衣袖5 只，现计划用132 m 这种布料生产这批秋装(不考虑布料的损耗)，应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？
例4
解题秘方：紧扣配套规则列方程，如本题衣身与衣袖(恰好配套)的数量比是1 ∶ 2.
感悟新知
知2－练
解：设用x m 布料做衣身，用y m 布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套.
根据题意，得 解得
答：用60 m 布料做衣身，用72 m 布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套.
感悟新知
知2－练
4-1.[中考·巴中] 某学校课后兴趣小组在开展手工制作活动中，美术老师要求用14 张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面. 已知每张卡纸可以裁出2 个侧面，或者裁出3 个底面， 如果1 个侧面和2 个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为( )
A.6 B.8 C.12 D.16
C
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知2－练
某商场购进甲、乙两种商品后，甲商品加价
50%，乙商品加价40% 作为标价，适逢元旦，商场举办促销活动，甲商品打八折销售，乙商品打八五折销售. 某顾客购买甲、乙商品各1 件，共付款538 元，已知商场共盈利88 元，求甲、乙两种商品的进价各是多少元.
例 5
解题秘方：紧扣销售问题中，每个量的意义及各个量之间的数量关系列出方程组，解决问题.
感悟新知
知2－练
解：设甲商品的进价为x 元，乙商品的进价为y 元，
根据题意，得
化简，得 解得
答：甲商品的进价为250 元，乙商品的进价为200 元.
感悟新知
知2－练
5-1. 一件商品如果按定价打九折出售可以盈利20%，如果按定价打八折出售每件可以盈利10元. 问：此商品每件的定价是多少？
感悟新知
知2－练
张明沿公路匀速前进，每隔4 min 就迎面开来一辆公
共汽车，每隔6 min 就有一辆公共汽车从背后超过他. 假定公共汽车的速度不变，而且迎面开来的相邻两车的距离和从背后开来的相邻两车的距离都是1 200 m，求张明前进的速度和公共汽车的速度.
例6
解题秘方：分析相遇或追及问题中两者运动的路程与相隔路程之间的关系，列出方程组，解决问题.
感悟新知
知2－练
解：设张明前进的速度是x m/min，公共汽车的速度是y m/min.
根据题意，得 解得
答：张明前进的速度是50 m/min，公共汽车的速度是250 m/min .
感悟新知
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6-1. 育才中学新建的塑胶操场跑道的一圈长为400 m. 甲、乙两名运动员从同一起点同时出发，相背而跑，40 s 后首次相遇；从同一起点同时出发，同向而跑，200 s后甲首次追上乙. 求甲、乙两名运动员的速度.
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[母题 教材P102习题T6 ]某人骑自行车从A 地出发去B 地，先以每小时12 km 的速度下坡，再以每小时9 km 的速度在平路上行驶至B 地，共用55 min；回来时他以每小时8 km 的速度通过平路后，再以每小时4 km 的速度上坡至A 地，共用1.5 h. 求A，B 两地之间的路程.
例 7
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解题秘方：解决有上、下坡路程的往返问题时，虽然每段路程不变，但速度发生了改变. 根据时间总量列出方程组解决问题.
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解：设从A 地到B 地的下坡路程为x km，平路路程为y km.
由题意，得 解得
x＋y=3＋6=9.
答：A，B 两地之间的路程为9 km.
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7-1. 小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路，假设他始终保持平路每分钟走60 米，下坡路每分钟走80 米，上坡路每分钟走40 米，从家里到学校需10 分钟，从学校到家里需15 分钟.请问小华家离学校多远？
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[母题 教材P101 习题T2 ]A，B 两码头相距140 km，一艘轮船在其间航行，顺水航行用了7 h，逆水航行用了10 h，求这艘轮船在静水中的速度和水流速度.
例8
解题秘方：本题关键是找到各速度之间的关系：顺速= 静速＋水速，逆速= 静速－水速，再结合公式“路程= 速度×时间”列方程组求解.
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解：设轮船在静水中的速度为x km/h，水流速度为y km/h.
由题意，得 解得
答：这艘轮船在静水中的速度为17 km/h，水流速度为
3 km/h.
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8-1. 如果一艘轮船从甲地到乙地顺流航行需4 h，从乙地到甲地逆流航行需6 h，那么一只木筏由甲地漂流到乙地需多长时间？
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在当地农业技术部门的指导下，李明家增加种
植菠萝的投资，使今年的菠萝喜获丰收. 如图8.3-1 是李明和他的爸爸、妈妈的一段对话.
请你用所学过的知识帮助李明算出他家今年菠萝的
收入.
例 9
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解题秘方：紧扣今年与去年的收入和投资之间的数量关系解题.
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解：设李明家去年种植菠萝的收入为x 元，投资为y 元.
由题意，得
解得
所以(1＋35%)x=1.35×12 000=16 200.
答：李明家今年菠萝的收入为16 200 元.
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9-1.[中考·安徽] 根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨10%，乙地降价5 元，已知销售单价调整前甲地比乙地少10 元，调整后甲地比乙地少1 元，求调整前甲、乙两地该商品的销售单价.
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列方程组解古算题：
“巍巍古寺在山林，不知寺内几多僧.
三百六十四只碗，看看用尽不差争.
三人共食一碗饭，四人共吃一碗羹.
请问先生明算者，算来寺内几多僧？”
例10
解题秘方：先将古算题用通俗的文字叙述，然后再找等量关系，列方程组解决问题. 此题如果直接将僧人的人数设为x，那么求解较复杂，因此需采用间接设元法.
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解：设饭碗有x 只，汤碗有y 只.
由题意，得 解得
所以3x=3×208=624.
答：寺庙内共有624 位僧人.
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10-1.[中考·连云港] 我国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八 ，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”其大意是：今有几个人共同出钱购买一件物品．每人出8钱，剩余3钱；每人出7 钱，还缺4 钱．问人数、物品的价格各是多少？请你求出以上问题中的人数和物品价格.
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小敏做拼图游戏时发现：8 个一样大小的小长方形恰好可以拼成一个大的长方形，如图8.3-2 所示. 小颖看见了，也来试一试，结果拼成了如图8.3-3 所示的正方形，不过中间留下一个空白，
恰好是一个边长为2 cm 的小正
方形，你能算出每个小长方形
的长和宽各是多少吗？
例 11
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解题秘方：根据拼图方式找出小长方形的长和宽之间的数量关系.
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解：设小长方形的长为x cm，宽为y cm.
依题意，得 整理，得
①－② ×3，得y=6，将y=6 代入②，得x=10.
因此，这个方程组的解是
答：每个小长方形的长为10 cm，宽为6 cm.
①
②
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11-1. [期中·重庆江北区] 学校为了提高绿化品位，美化环境，准备将一块周长为76 m 的长方形草地，设计成长和宽分别相等的9 个小长方形，(放置位置如图所示)，种上各种花卉. 经市场预测，绿化每平方米造价约为108 元.
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(1)求出每一个小长方形的长和宽.
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(2)请计算完成这项绿化工程预计投入资金多少元？
解：10×4×9×108＝38 880(元)．
答：完成这块绿化工程预计投入资金为38 880元．
知识点
建立二元一次方程组的模型对实际问题进行判断或方案设计
知3－讲
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3
建立二元一次方程组的模型就是为了解决实际问题. 对某
个问题要进行判断或设计方案时，关键之处在于：
(1)要分析解决此问题时需要解决哪几个未知量，然后根据需要设未知数；
(2)方程组的解是否符合实际问题的限制条件.
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特别提醒
设计方案问题应从不同角度去考虑，先考虑多种可能的方案，再根据结果合理地选择方案.
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[母题 教材P102 习题T8]我市某超市举行店庆活动，对甲、乙两种商品实行打折销售. 打折前，购买3 件甲商品和1 件乙商品需要190 元；购买2 件甲商品和3 件乙商品需要220 元. 而店庆期间，购买10 件甲商品和10 件乙商品仅需735 元，这比打折前少花多少钱？
例12
解题秘方：分析解决问题的关键是求打折前甲、乙两商品的单价，采取间接设未知数的方法解决问题.
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解：设打折前，甲商品的单价为x 元，
乙商品的单价为y 元，
由题意得 解得
打折前，购买10 件甲商品和10 件乙商品需要
10×(50＋40)=900(元).
因为打折后实际花费735 元，所以这比打折前少花900－735=165 (元).
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12-1. 某天，一蔬菜经营户用180 元钱从蔬菜批发市场批发了西红柿和豆角共40 kg到菜市场去卖，西红柿和豆角这天的批发价与零售价如表所示：
品名 西红柿 豆角
批发价(单位：元/kg) 5 3
零售价(单位：元/kg) 7 5.6
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问：(1)批发的西红柿和豆角的质量各是多少？(列二元一次方程组求解)
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(2)他当天卖完这些西红柿和豆角能赚多少钱？
解：他当天赚的钱＝(7－5)×30＋(5.6－3)×10＝86(元)．
答：他当天卖完这些西红柿和豆角能赚86元．
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某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨
利润为1 000 元；经粗加工后销售，每吨利润可达4 500 元；经精加工后销售，每吨利润涨至7 500 元. 当地一家公司收购这种蔬菜140 吨，该公司的加工生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16 吨；
例 13
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如果进行精加工，每天可加工6 吨，但两种加工方式不能同时进行，并且受季节条件的限制，公司必须在15 天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司设计了三种加工方案：
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方案一：将蔬菜全部进行粗加工；
方案二：尽可能多地对蔬菜进行精加工，并将没有来得及加工的蔬菜在市场上全部销售；
方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好在15 天内完成.
你认为哪种方案获利最多？为什么？
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解题秘方：分别求出三种方案的利润，进行比较选择，求利润时，找出与利润相关的未知量去设未知数.
方法点拨
解决优化方案问题，首先要列举出所有可能的方案，再按题中的要求分别求出每种方案的具体结果，从中选择最优方案.
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解：方案一：获利为4 500×140=630 000(元).
方案二： 获利为7 500×6×15＋1 000×(140－6×15)=725 000(元).
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方案三：设将x 吨蔬菜进行精加工，y 吨蔬菜进行粗加工.
由题意，得 解得
所以获利为7 500×60＋4 500×80=810 000(元).
因为630 000 元<725 000 元<810 000 元，所以方案三获利最多.
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13-1. 一家商店进行装修，若请甲、乙两人同时施工，8 天可以完成，需付给两人费用共3 520元；若先请甲单独做6 天，再请乙单独做12 天可以完成，需付给两人费用共3 480 元，问：
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(1)甲、乙两人单独工作一天，商店应各付费用多少元？
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(2)已知甲单独完成需要12 天，乙单独完成需要24 天，单独请谁，商店应付费用较少？
解：请甲单独工作需付费用300×12＝3 600(元)，请乙单独工作需付费用140×24＝3 360(元)．因为3 600元＞3 360元，所以请乙单独做，商店应付费用较少．
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(3)若装修完后，商店每天可盈利200 元，你认为如何安排施工有利于商店经营？说说你的理由.
解：①由(2)知，甲单独做12天完成，需付款3 600元，乙单独做24天完成，需付款3 360元，由于甲装修完比乙装修完商店早开张12天，12天可以盈利200×12＝2 400(元)，即选择甲装修相当于只付装修费用3 600－2 400＝1 200(元)，所以选择甲单独工作比选择乙单独工作合算．
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②由题知，甲、乙两人合作需8天完成，需付款
3 520元，又比甲单独工作少用4天，4天可以盈利200×4＝800(元)，即选择甲、乙两人合作相当于只付装修费用3 520－800＝2 720(元)，这又比甲单独工作12天合算．综上所述，选择甲、乙两人合作的方案最佳．
实际问题与二元一次方程组
实际问题
建模
设、列
二元一次
方程组
解二元一次方程组
检验(答)(共31张PPT)
*8.4 三元一次方程组的解法
第八章 二元一次方程组
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
三元一次方程组
解三元一次方程组
列三元一次方程组解决问题
知识点
三元一次方程组
知1－讲
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1
1. 三元一次方程：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次
数都是1 的整式方程，像这样的方程叫做三元一次方程.
必备条件：(1)是整式方程；(2)含有三个未知数；
(3)是一次方程.
知1－讲
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2. 三元一次方程组：含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.
必备条件：(1)是整式方程；(2)含有三个未知数；
(3)三个方程；(4)都是一次方程.
特别警示
易误认为三元一次方程组中每个方程都必须是三元一次方程. 实际上只需方程组中共有三个未知数即可.
▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲
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知1－练
下列方程组中，是三元一次方程组的是( )
例 1
D
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解题秘方：紧扣三元一次方程组的必备条件进行识别.
解：A 选项中，方程x2－y=1 与xz=2 中有含未知数的项的次数为2 的，不符合三元一次方程组的定义，故A 选项不是；
B 选项中， ， ，不是整式，故B 选项不是；
C 选项中，方程组含有四个未知数，故C 选项不是；
D 选项符合三元一次方程组的定义.
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1-1. 下列方程组不是三元一次方程组的是( )
B
知识点
解三元一次方程组
知2－讲
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2
1. 解三元一次方程组的基本思路：通过“代入法”或“加减法”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程.
2. 求解方法：加减消元法和代入消元法 .
知2－讲
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3. 解三元一次方程组的一般步骤：
(1)消元：利用代入法或加减法消去三元一次方程组的一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；
(2)求解：解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；
(3)回代：将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程中，得到一个一元一次方程；
(4)求解：解这个一元一次方程，求出未知数的值；
(5)写解：将求得的三个未知数的值用符号“{”联立在一起.
知2－讲
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特别解读
解三元一次方程组时，消去哪个“元”都是可以的，得到的结果都一样，我们应该根据方程组中各方程的特点选择最为简便的解法，灵活地确定消元步骤和消元方法，不要盲目消元.
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[母题 教材P104 例1] 解方程组：
例2
①②③
解题秘方：紧扣解三元一次方程组的步骤求解，解题的关键是进行消元.
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解：① ×2＋ ②，得5x＋8y=7. ④
③与④组成二元一次方程组
解得
把x=3，y=－1 代入①，得3＋3×(－1) ＋2z=2，解得z=1.
所以这个三元一次方程组的解为
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①②③
解题秘方：紧扣解三元一次方程组的步骤求解，解题的关键是进行消元.
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解：① ＋ ③，得3x＋5y=11. ④
③ ×2＋ ②，得3x＋3y=9，即x＋y=3. ⑤
④与⑤组成二元一次方程组 解得
把x=2，y=1 代入③，得2＋2－z=5，解得z=－1.
所以这个三元一次方程组的解为
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2-1. 解下列方程组：
①②③
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①②③
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①②③
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①②③
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知识点
列三元一次方程组解决问题
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3
列三元一次方程组解决实际问题的步骤：
(1)弄清题意和题目中的数量关系，用三个未知数表示题目中的数量关系；
(2)找出能够表达应用题全部含义的三个等量关系；
(3)根据等量关系列出方程，建立方程组；
(4)解出方程组求出未知数的值；
(5)写出答案，包括单位名称.
知3－讲
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特别解读
●一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组；
●“设”、“答”两步都要写清单位名称，应该注意单位是否统一.
▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲
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[母题 教材P112 复习题T11]某汽车在相距70 km 的甲、乙两地往返行驶，行驶中有一坡度均匀的小山. 该汽车从甲地到乙地需要2.5 h，从乙地到甲地需要2.3 h. 假设该汽车在平路、上坡路、下坡路的平均行驶速度分别是30 km/h，20 km/h，40 km/h，则从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路的长度各是多少？
例 3
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知3－练
解题秘方：紧扣题目中的条件，找出三个等量关系，解题的关键是设出合适的未知数.
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知3－练
解：设从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、
下坡路的长度分别是x km，y km，z km.
由题意，得 解得
答：从甲地到乙地的过程中，上坡路的长度是12 km，平路的长度是54 km，下坡路的长度是4 km.
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3-1. 某农场300 名职工耕种51 公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植农作物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备资金如下表：
农作物 品种 每公顷需劳动力人数 每公顷需投入的设备资金
水稻 4人 1 万元
棉花 8人 1 万元
蔬菜 5人 2 万元
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知3－练
已知该农场计划投入设备资金67 万元，应该怎样安排这三种农作物的种植面积，才能使所有的职工有工作，而且投入的设备资金正好够用？
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知3－练
三元一次方程组的解法
三元一次方程组
建立三元
一次方程
组的模型
应用
解法
消元
二元一次方程组
