1.3.2 空间向量运算的坐标表示 课件（共15张PPT） 2023-2024学年高二数学人教A版（2019）选择性必修1

(共15张PPT)
空间向量运算的坐标表示
新授课
1.掌握空间向量线性运算和数量积的坐标表示．
2.掌握向量平行、垂直的坐标表示，并能解决相关的平行、垂直问题．
3.能熟练应用两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式.
任务：类比平面向量线性运算，探索空间向量的线性运算.
目标一：掌握空间向量线性运算和数量积的坐标表示.
(1)在前面的学习中我们已经学面向量的加减、数乘和数量积运算.
如何对平面向量进行坐标运算？
设向量
① ② ③ ④
(2) 类比平面向量运算的坐标表示说说空间向量运算坐标表示是怎样的？如何证明？
设
① ②
③ ④
设{i, j, k}为空间的一个单位正交基底，
所以
因为
所以
则
以数量积的证明为例，证明：
新知讲解
设空间向量 则
① ②
③ ④
练一练
如图，在空间直角坐标系中Oxyz，在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，D1B1的中点.求证EF⊥DA1.
又因为
所以
所以
所以
即
所以
解：因为E(2,2,1)，F(1,1,2)，
目标二：掌握向量平行、垂直的坐标表示，并能解决相关的平行、垂直问题.
任务1：回顾平面向量平行和垂直的坐标表达式，探究空间向量平行和垂直的坐标表达式.
(1)设 若a∥b，则如何用向量坐标表示？
因为a∥b的充要条件是a=λb，λ属于全体实数，
所以可以用坐标表示为(a1,a2)=λ( b1,b2)，得到方程组
消去λ，得到平面向量平行充要条件的坐标表示：a1b2-a2b1=0
当b≠0时，因为a∥b的充要条件是a=λb，λ属于全体实数，
所以可以用坐标表示为(a1,a2,a3)=λ( b1,b2,b3)，得到方程组
这就是空间向量平行的充要条件的坐标表示.
(2)设 若a∥b，如何用向量坐标表示？
思考：这个充要条件能否表示为 ？
空间向量平行的充要条件不等价于 ，
因为b≠0的含义是b的坐标分量b1,b2,b3至少有一个不为零,而非每个坐标分量都不为零.
例如，当b与坐标平面Oxy平行时，b3=0，此时 无意义.
因此只有在b与三个坐标平面均不平行，
即b1,b2,b3均不为零时才能有a∥b .
特殊地，当b=0时，b=(0,0,0)，此时b与任意向量都平行.
归纳总结
设空间向量a=(a1,a2,a3)，b=(b1,b2,b3)
若a∥b，则 .
若a⊥b，则其充要条件为a·b=a1b1+a2b2+a3b3=0.
任务2：探究空间向量模、夹角的坐标表达式.
(1)设a=(a1,a2)，b=(b1,b2)，则平面向量的模长和夹角公式是怎样的？
(2)设a=(a1,a2,a3)，b=(b1,b2,b3)，空间向量的模长和夹角公式怎样用坐标表示 如何证明
证明过程略.
(3)如图所示，建立空间直角坐标系Oxyz，设P1(x1,y1,z1)，P2(x2,y2,z2) ，则 的表达式是怎样的？
由题可知，向量
于是
所以
这就是空间两点间的距离公式.
归纳总结
1.设a=(a1,a2,a3)，b=(b1,b2,b3)， 则
（1） ；
（2）
2.设P1(x1,y1,z1)，P2(x2,y2,z2)，则
练一练
如图，在空间直角坐标系中Oxyz，在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，D1B1的中点，求证AE与CD1所成角的余弦值.
由图可知 ，
所以 ,
所以 ，所以 ，
所以 .
所以AE与CD1所成角为向量 ，向量 夹角的补角.
所以AE与CD1所成角的余弦值是 .
任务：根据空间向量坐标表示的关键词，构建知识导图.
“加、减法”、“数乘”、“数量积”、“平行”、“垂直”、“模长”、“夹角”