1.4.1.1 空间中点、直线和平面的向量表示 课件（共17张PPT） 2023-2024学年高二数学人教A版（2019）选择性必修1
文档属性
| 名称 | 1.4.1.1 空间中点、直线和平面的向量表示 课件（共17张PPT） 2023-2024学年高二数学人教A版（2019）选择性必修1 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-03-27 21:57:55 | ||
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文档简介
(共17张PPT)
空间中点、直线和平面的向量表示
新授课
1.能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量和平面的法向量.
2.掌握平面法向量的求法.
任务1：探究空间直线的向量表示.
目标一：能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量和平面的法向量.
(1)如图，在空间中，固定平面，如何用向量表示空间中的一个点？
在空间中，取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P可以用 来表示，我们把 称为点P的位置向量.
定点O
P
p
(2)如图，空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线l，如何用移动的向量表示固定直线l
如图，a是直线l的方向向量，在直线l上取 设P是直线l上的任意一点，由向量共线可知：
P
a
B
点P在直线l上
充要条件
存在实数t，使得
即
A
如图，取定空间中的任意一点O，
P
a
A
B
可以得到：P在直线l上的充要条件是存在实数t，使
①
或
②
O
① ②式称为空间直线l的向量表示.
由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.
新知讲解
1.设A是直线上一点，a是直线l的方向向量，在直线l上取 =a，设P是l上任意一点：
(1)点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使 ＝ta，即 ＝t .
(2)取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使 ＝ ＋ta.
(3)取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使 ＝ ＋t .
新知讲解
2. ＝ ＋ta、 ＝ ＋t 都称为空间向量表达式，空间任意直线都可以由直线上一点及直线的方向向量唯一确定．
注意：
(1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备两个条件：
①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合．
(2)与直线l平行的任意非零向量a都是直线的方向向量，且直线l的方向向量有无数个．
练一练
已知直线l的一个方向向量m＝(2，-1,3)，且直线l过A(0,y,3)和B(－1,2,z)两点，则y－z等于( )
A.0 B. 1 C. D.3
A
任务2：探究平面的空间向量表示.
(1)一个定点和一个方向能确定一条直线，那么如图所示一个定点和两个定方向能确定一个平面吗？
如图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得 ＝xa＋yb.
(2)如图所示，如果O不是两条直线的交点，而是平面外的一点，那么如何用向量表示平面呢？
如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使 ＝ ＋x ＋y .我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式．
由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．
如何证明(2)的结论？
设取定空间任意一点O，取平面ABC的任意一点P，则 ，
又根据三角形的加法法则，有 , 所以 ＝ ＋x ＋y .
(3)如图所示，直线l⊥α，A∈α，过一点且与已知直线垂直的平面有多少个？
(4)由前面问题可知，一个定点和两个定方向可以确定一个平面，如果再减少一个条件，即一个定点和一个定方向能否确定一个平面？如果能，这个定方向有什么特点？
新知讲解
直线l⊥α，取直线l的方向向量a，称向量a为平面α的法向量.
给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 .
如果另有一条直线m⊥α，在直线m上任取向量b, b与a有什么关系？
注意点：
(1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量．
(2)一个平面的法向量有无限多个，它们相互平行．
目标二：掌握平面法向量的求法.
任务1：根据线面垂直以及向量垂直的性质，求解平面法向量.
已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1 =2，M为AB中点.以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示空间直角坐标系.
（1）求平面BCC1B1的一个法向量．
（2）求平面MCA1的一个法向量．
解：（1）因为y轴垂直于平面BCC1B1，所以n1=(0,1,0)是平面BCC1B1的一个法向量.
所以
设n2=(x,y,z)是平面MCA1的一个法向量，则
令z=3，则x=2，y=3，所以n2=(2,3,3)是平面MCA1的一个法向量.
所以
（2）因为AB=4,BC=3,CC1=2,M是AB的中点，所以M,C,A1的坐标分别为(3,2,0),(0,4,0),(3,0,2).
因此
思考：如何求解平面法向量？
归纳总结
求解平面法向量的一般步骤：
（1）根据立体几何中线面垂直的判定定理得到法向量；
（2）根据向量运算的坐标表示得到两个三元一次方程，联立方程组；
（3）根据三元一次不定方程组，得到一个法向量.
练一练
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，E是PC的中点，求平面EDB的一个法向量．
解：如图所示建立空间直角坐标系．
依题意可得D(0,0,0)，P(0,0,1)，E ，B(1,1,0)，
于是
于是
取x＝1，则y＝-1，z＝1，
故平面EDB的一个法向量为n＝(1,-1,1)．
设平面EDB的法向量为n＝(x，y，z)，则
任务：回答下列问题，构建知识导图.
1.如何利用向量表示空间的点、直线以及平面？ 2.如何求平面法向量？
空间中点、直线和平面的向量表示
新授课
1.能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量和平面的法向量.
2.掌握平面法向量的求法.
任务1：探究空间直线的向量表示.
目标一：能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量和平面的法向量.
(1)如图，在空间中，固定平面，如何用向量表示空间中的一个点？
在空间中，取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P可以用 来表示，我们把 称为点P的位置向量.
定点O
P
p
(2)如图，空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线l，如何用移动的向量表示固定直线l
如图，a是直线l的方向向量，在直线l上取 设P是直线l上的任意一点，由向量共线可知：
P
a
B
点P在直线l上
充要条件
存在实数t，使得
即
A
如图，取定空间中的任意一点O，
P
a
A
B
可以得到：P在直线l上的充要条件是存在实数t，使
①
或
②
O
① ②式称为空间直线l的向量表示.
由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.
新知讲解
1.设A是直线上一点，a是直线l的方向向量，在直线l上取 =a，设P是l上任意一点：
(1)点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使 ＝ta，即 ＝t .
(2)取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使 ＝ ＋ta.
(3)取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使 ＝ ＋t .
新知讲解
2. ＝ ＋ta、 ＝ ＋t 都称为空间向量表达式，空间任意直线都可以由直线上一点及直线的方向向量唯一确定．
注意：
(1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备两个条件：
①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合．
(2)与直线l平行的任意非零向量a都是直线的方向向量，且直线l的方向向量有无数个．
练一练
已知直线l的一个方向向量m＝(2，-1,3)，且直线l过A(0,y,3)和B(－1,2,z)两点，则y－z等于( )
A.0 B. 1 C. D.3
A
任务2：探究平面的空间向量表示.
(1)一个定点和一个方向能确定一条直线，那么如图所示一个定点和两个定方向能确定一个平面吗？
如图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得 ＝xa＋yb.
(2)如图所示，如果O不是两条直线的交点，而是平面外的一点，那么如何用向量表示平面呢？
如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使 ＝ ＋x ＋y .我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式．
由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．
如何证明(2)的结论？
设取定空间任意一点O，取平面ABC的任意一点P，则 ，
又根据三角形的加法法则，有 , 所以 ＝ ＋x ＋y .
(3)如图所示，直线l⊥α，A∈α，过一点且与已知直线垂直的平面有多少个？
(4)由前面问题可知，一个定点和两个定方向可以确定一个平面，如果再减少一个条件，即一个定点和一个定方向能否确定一个平面？如果能，这个定方向有什么特点？
新知讲解
直线l⊥α，取直线l的方向向量a，称向量a为平面α的法向量.
给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 .
如果另有一条直线m⊥α，在直线m上任取向量b, b与a有什么关系？
注意点：
(1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量．
(2)一个平面的法向量有无限多个，它们相互平行．
目标二：掌握平面法向量的求法.
任务1：根据线面垂直以及向量垂直的性质，求解平面法向量.
已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1 =2，M为AB中点.以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示空间直角坐标系.
（1）求平面BCC1B1的一个法向量．
（2）求平面MCA1的一个法向量．
解：（1）因为y轴垂直于平面BCC1B1，所以n1=(0,1,0)是平面BCC1B1的一个法向量.
所以
设n2=(x,y,z)是平面MCA1的一个法向量，则
令z=3，则x=2，y=3，所以n2=(2,3,3)是平面MCA1的一个法向量.
所以
（2）因为AB=4,BC=3,CC1=2,M是AB的中点，所以M,C,A1的坐标分别为(3,2,0),(0,4,0),(3,0,2).
因此
思考：如何求解平面法向量？
归纳总结
求解平面法向量的一般步骤：
（1）根据立体几何中线面垂直的判定定理得到法向量；
（2）根据向量运算的坐标表示得到两个三元一次方程，联立方程组；
（3）根据三元一次不定方程组，得到一个法向量.
练一练
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，E是PC的中点，求平面EDB的一个法向量．
解：如图所示建立空间直角坐标系．
依题意可得D(0,0,0)，P(0,0,1)，E ，B(1,1,0)，
于是
于是
取x＝1，则y＝-1，z＝1，
故平面EDB的一个法向量为n＝(1,-1,1)．
设平面EDB的法向量为n＝(x，y，z)，则
任务：回答下列问题，构建知识导图.
1.如何利用向量表示空间的点、直线以及平面？ 2.如何求平面法向量？