1.3.1 空间直角坐标系 课件（共20张PPT） 2023-2024学年高二数学人教A版（2019）选择性必修1

(共20张PPT)
空间直角坐标系
新授课
1.在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，并掌握空间直角坐标系的画法，感受建立空间直角坐标系的必要性.
2.会用空间直角坐标系刻画点的坐标及空间向量.
任务1：类比平面直角坐标系，探究空间直角坐标系的相关概念.
目标一：在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，并掌握空间直角坐标系的画法，感受建立空间直角坐标系的必要性.
（1）平面直角坐标系包含哪些要素？类比到空间直角坐标系，它包括哪些要素？这些要素需要满足什么条件？
坐标系三要素 平面直角坐标系 空间直角坐标系
坐标原点O
单位长度
三条互相垂直的坐标轴
坐标原点O
互相垂直的两条坐标轴x轴和y轴
单位长度
原点
坐标轴
单位长度
（2）利用单位正交基底概念，我们可以这样理解平面直角坐标系(如下表)，类比平面直角坐标系，给出空间直角坐标系的定义.
平面直角坐标系 空间直角坐标系
在平面内选定一点O和一个单位正交基底{i, j }，
以O为原点，分别以i,j的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立两条数轴：x轴、y轴.
在空间选定一点O和一个正交基向量{i, j, k}.
以O为原点，分别以i,j,k的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴.
归纳总结
建立空间直角坐标系：
在空间选定一点O和一个单位正交基底{ i, j, k }，以点O为
原点，分别以i, j, k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立
三条数轴：x轴、y轴、z轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz，如图.
(1)x轴、y轴、z轴都叫做坐标轴；(2)O叫做原点；(3)i, j, k都叫做坐标向量；
(4)通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，zOx平面，它们把空间分成八个部分.
任务2：结合斜二测画法，探究空间直角坐标系画法.
（1）平面直角坐标系是怎么画的？回忆学习立体几何时用到的斜二测画法，想想该如何画空间坐标系？
平面直角坐标系Oxy的画法：在平面内画两条与单位正交基底向量i, j方向相同的数轴x轴和y轴，它们互相垂直、原点重合.
拓展到空间中，在x、y轴的基础上添加与x、y轴都垂直的z轴.
借鉴斜二测画法，在画空间直角坐标系Oxy时，让x轴与y轴所成的角为135°(或45°)，即∠xOy=135°(或45°)，画z轴和y轴垂直，即∠yOz=90°.如图所示，
归纳总结
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.
目标二：会用空间直角坐标系刻画点的坐标及空间向量.
任务1：探究空间中，点和向量的坐标表示.
问题：在平面直角坐标系中，每一个点和向量都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示，类比平面向量，空间直角坐标系中的每一个点和向量该如何用坐标表示？
平面直角坐标系内 空间直角坐标系内
取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i, j为基底，由平面向量基本定理，有且只有一对实数x, y，使得a=xi+yj.我们把有序数对(x, y)叫做a的坐标，记作a=(x, y)
取与x轴、y轴、z轴方向相同的单位向量i, j, k为基底，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x, y, z)，使得a=xi+yj+zk.
归纳总结
i
j
k
在单位正交基底{i, j, k}下与向量 对应的有序实数组(x,y, z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，
横坐标
竖坐标
纵坐标
记作A(x, y, z).
归纳总结
由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x,y, z)，使得
空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，可以作
a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标
a=(x, y, z)
简记
注：符号(x,y, z)具有双重意义，它既可以表示向量，也可以表示点，在表述时要注意区分.
任务2：利用几何直观，确定空间向量坐标.
如图所示，过点A分别作垂直于x轴、y轴、z轴的平面，依次交x轴、y轴、z轴于点B(x,0,0)，C(0,y,0)和D(0,0,z).
问题1：如何用向量 表示向量
问题2： 的坐标是多少？
在x、y、z轴上的投影向量分别为 由向量加法意义得
根据 ，所以 =xi+yj+zk，即点A或者向量 的坐标就是(x, y, z).
归纳总结
确定空间中一个点A或任意一个向量a的坐标的方法：
点A的坐标
给定的向量 的坐标
的坐标


应用空间向量基本定理确定坐标
根据几何直观确定 在各坐标轴上的投影向量，从而求得坐标
任务3：求下列空间向量坐标.
在长方体OABC-D'A'B'C'中，OA=3,OC=4,OD'=2,以 为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.
（1）写出D'，C，A'，B'四点的坐标；
（2）写出向量 的坐标.
解：（1）为点D'在z轴上，且OD'=2，所以
所以点D'的坐标是（0,0,2）.
同理点C的坐标是（0,4,0）.
点A'在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A,O,D',它们在坐标轴上的坐标分别为3,0,2,所以点A'的坐标是(3,0,2).
点B'在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A,C,D,它们在坐标轴上的坐标分别为3,4,2,所以点B'的坐标是(3,4,2).
（2）
1.坐标面上和坐标轴上的点M的坐标的特征是什么？
2.点P(x,y,z)关于坐标平面对称的点的坐标特征是什么？
思考
归纳总结
1.（1）若点M在Oyz平面上，则x＝0；
若点M在Ozx平面上，则y＝0；
若点M在Oxy平面上，则z＝0；
（2）若点M在x轴上，则y＝z＝0；
若点M在y轴上，则x＝z＝0；
若点M在z轴上，则x＝y＝0.
归纳总结
2.P(x,y,z)关于坐标平面xOy的对称点为P1(x,y,-z)；
P(x,y,z)关于坐标平面yOz的对称点为P2(-x,y,z)；
P(x,y,z)关于坐标平面xOz的对称点为P3(x,-y,z)．
练一练
已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|=|BC|=2，|D1D|=3，点N是AB的中点，点M是B1C1的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，写出点D，N，M的坐标.
由于D为坐标原点，所以D(0,0,0).
由|AB|=|BC|=2，|D1D|=3，得：
A(2,0,0)B(2,2,0)C(0,2,0)B1(2,2,3)C1(0,2,3)
因为点N是AB的中点，点M是B1C1的中点，所以N(2,1,0)，M(1,2,3).
任务：回答下列问题，构建知识导图.
1.什么是空间直角坐标系？如何构建？
2.如何求解空间直角坐标系下点和向量的坐标？