1.4.1.3 空间中直线、平面的垂直 课件（共17张PPT） 2023-2024学年高二数学人教A版（2019）选择性必修1

(共17张PPT)
空间中直线、平面的垂直
新授课
1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.
2.能用向量方法证明直线与平面、平面与平面的垂直关系.
任务：结合线线、线面、面面垂直的定义，探索用向量表述线线、线面、面面的垂直关系.
目标一：用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.
1.如何用直线的方向向量表示两直线平行？
2.如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面的法向量之间是怎样的关系？如何用代数式表示？
3.如果两个平面相互垂直，那么用平面法向量如何表示这种位置关系？
归纳总结
直线与直线垂直，就是两直线的方向向量垂直；
即设u1，u2分别是直线l1,l2的方向向量，则

归纳总结
直线与平面垂直，就是直线的方向向量与平面的法向量平行；
即设直线 l 的方向向量为 u，平面 α 的法向量为 n，则
使得

归纳总结
即设平面 α，β 的法向量为 n1，n2，则


平面与平面垂直，就是两平面的法向量垂直
思考：若设u=(u1,u2,u3)，u1=(a1,a2,a3)，u2=(b1,b2,b3)，n=(n1,n2,n3)，n1=(c1,c2,c3)，n2=(d1,d2,d3)，则上述关系如何用坐标表示？
使得
平面与平面垂直：
直线与直线垂直：
直线与平面垂直：
归纳总结
使得
练一练
已知v为直线l的方向向量，n1,n2分别为平面α，β 的法向量(α，β 不重合)，那么下列说法中正确的有（ ）.
① ③
② ④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
B
目标二：能用向量方法证明直线与平面、平面与平面的垂直关系.
任务1：用向量方法证明线面垂直.
在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1，∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°，求证：直线A1C⊥平面BDD1B1.
(1)结合线面垂直的定义，如何证明直线A1C⊥平面BDD1B1？
要证明直线A1C⊥平面BDD1B1，就等价于证明直线A1C要垂直平面BDD1B1的任何一条直线.
(2)根据平面向量基本定理，如何用向量表示面的任何一条直线？
在平面BDD1B1上，取 为基向量，
则对于平面BDD1B1上任意一点P，存在唯一的有序实数对（λ, μ），使得
所以向量 可表示平面BDD1B1的任何一条直线
在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1，∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°，求证：直线A1C⊥平面BDD1B1.
(3)结合线面垂直的向量表示，证明直线A1C⊥平面BDD1B1.
在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1，∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°，求证：直线A1C⊥平面BDD1B1.
因为AB=AD=AA1=1，∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°，
证明: 设 则{a,b,c}为空间的一个基底，且
所以
(3)结合线面垂直的向量表示，证明直线A1C⊥平面BDD1B1.
在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1，∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°，求证：直线A1C⊥平面BDD1B1.
在平面BDD1B1上，取 为基向量，则对于平面BDD1B1上任意一点P，存在唯一的有序实数对（λ, μ），使得
所以
所以直线A1C⊥平面BDD1B1.
所以 是平面BDD1B1的法向量.
任务2：用向量方法证明面面垂直的判断定理.
面面垂直的判定定理：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
(1)面面垂直的判定定理是什么？
(2)将面面垂直的判定定理转化为数学符号语言，并用向量方法证明.
已知：如图,
求证：
证明：取直线l的方向向量u，平面β的法向量n.
因为 所以u是平面α的法向量.
因为 而n是平面β的法向量，所以u⊥n.
所以
思考：如何利用向量证明空间直线、平面垂直问题？
归纳总结
应用向量证明垂直问题的基本步骤：
(1)建立空间图形与空间向量的关系（可以建立空间直角坐标系，也可以不建系，选取适当的基底），用空间向量表示问题中涉及的点、直线和平面；
(2)通过向量运算研究垂直问题；
(3)根据运算结果解释相关问题.
任务：根据空间向量坐标表示的关键词，构建知识导图.
1.空间线线、线面、面面垂直如何用向量表示？
2.如何利用向量法证明空间线线线、线面、面面垂直？