1.12用计算器做有理数的混合运算
名师导学
典例分析
例 用计算器计算：
(3.2－4.5)×32－
思路分析：按照用计算器做有理数混合运算的一般步骤进行操作即可.
解：(1)打开计算器；
(2)清除计算器中原有数据；
(3)输入数据；
按键
( 3.2 － 4.5 ) × 3 ∧ 2 － 2 Ab/c 5 =
(4)显示结果为：－12.1.
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规律总结
善于总结☆触类旁通
方法点拨：本例主要说明用计算器做有理数混合运算的一般步骤，实际操作以同学们手中的计算器和教材介绍的方法为准.另外，大家还可以自己试着探索计算器的其他用法.
要注意输入数据的准确无误，还要注意按键的顺序，千万不能按错键.1.9 有理数的乘方
名师导学
典例分析
例1 对于(－5)4与－54，下列说法正确的是 ( )
A.它们的意义相同 B.它们的结果相等
C.它们的意义相同，结果相等 D.它们的意义不同，结果不等
思路分析：由乘方的意义得，(－5)4的意义是－5的4次幂，表示(－5)×(－5)×(－5)×(－5)，结果是625；而－54的意义是5的4次幂的相反数，表示－(5×5×5×5)，结果是－625，所以它们的意义不同，结果也不等.故选D.
答案：D
例2 计算：(1)(－1)2 006；(2)；(3)；(4).
思路分析：一个负数的幂的计算，应根据乘方的意义先确定符号，再进行计算.如果底数是小数或带分数，一般应把小数化成分数，带分数化成假分数，然后再进行计算.
解：(1)(－1)2 006=12 006=1；
(2)
(3)
(4)
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1 方法点拨：该题着重利用乘方的意义去分析判断，结合本题可归结这类题的规律：即(－a)n(n为偶数，a是正数)的结果是正数，而－an(n为偶数，a是正数)的结果是负数.
2 方法点拨：本类题在计算时应该根据乘方的意义先得出乘方的符号法则：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0，然后再去计算，并且注意：负数的乘方和分数的乘方要用括号.角及其分类
典例分析
例1 如图4—8—4，(1)写出能用一个字母表示的角；
(2)写出以点B为顶点的角；(3)图中共有几个角
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思路分析：角的表示方法有以下几种：①用三个大写字母表示角时，顶点字母要写在中间.②用一个大写字母表示时，必须是以该字母为顶点的角只有一个.③用希腊字母或数字表示时，应在角的内部画一条弧线，标上字母或数字.
解：(1)能用一个字母表示的角有∠A、∠C；(2)以B为顶点的角有三个：∠ABC、∠ABE、∠EBC；(3)图中有角∠A、∠C、∠ABC、∠ABE、∠EBC、∠AEB、∠CEB共7个角.
例2 如图4—8—5，O是直线AB上的一个点，∠AOC、∠DOE都是直角.
(1)把下列角∠AOB、∠COB、∠AOD、∠AOE按从小到大的顺序排列下来.
(2)指出图中所有的锐角和钝角.
(3)写出∠AOD、∠AOC、∠COD、∠COE、∠BOE中某些角之间的等量关系(写3个).
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思路分析：本题考查 ( http: / / www.21cnjy.com )的是平角、锐角、直角、钝角的定义，读图可知∠AOB是一个平角，它是最大的一个角.因为1平角=2直角、∠AOC是一个直角，所以∠COB也是一个直角.
因为∠AOE=∠AOC+∠COE，
所以∠AOE是一个钝角.
解：(1)∠AOD<∠COB<∠AOE<∠AOB；
(2)锐角有：∠AOD、∠DOC、∠COE、∠EOB；
钝角有：∠AOE、∠BOD；
(3)如：∠AOD=∠COE；∠DOC=BOE；
∠AOD+∠COD=∠AOC(答案不唯一).
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1 方法点拨：此例图中∠ABE与∠EBA有共同的一个顶点B，两条边BE、BA也相同，因此是同一个角.
∠CEB一定要用三 ( http: / / www.21cnjy.com )个字母表示，而不能写成∠E，因为在顶点E处有∠AEB、∠CEB、∠AEC三个角，其中∠AEC是一个平角，以后如果在没有特别说明的情况下，我们所说的角都是小于平角的角，因此，在数角的个数时没有把∠AEC算进去.∠ABE也可以表示为∠β.
2 方法点拨：本例考查的是平角、直角、锐角、钝角之间的关系：
1平角=2直角，
平角>钝角>直角>锐角.
变式引申：如图4—8—6，请把∠AOC、∠AOB、∠AOD、∠AOE按从大到小的顺序排列下来.
( http: / / www.21cnjy.com )3.2 某些立体图形的展开图
名师导学
典例分析
例1 图4—2—5是一个正方体，它的侧面展开图有几种 动手试一试，发挥你的想象力，看谁得到的展开图最多.
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思路分析：本题考查的是同学们的空间想象力和动手操作的能力.展开的方法有多种，我们可以用分类讨论的思想分别说清楚.
解：第一种类型：在这类展开图中，正方形有三行，第一行有1个正方形，第二行有4个正方形，第三行有1个正方形，如图4—2—6.
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第二种类型：在这类展开图中，正方形有三行，第一行有1个正方形，第二行有3个正方形。第三行有2个正方形，如图4—2—7.
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第三种类型：在这类展开图中,正方形有三行，每一行均有2个正方形，如图4—2—8.
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第四种类型：在这类展开图中，正方形有两行，每一行均有3个正方形,如图4—2—9.共有11种展开图.
例2 如图4—2—11是一个几何体的平面展开图，请回答下列问题：
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(1)该图是什么几何体的平面展开图
(2)与A面相对的面是哪个面
(3)如果D面在左面，则F面在哪
(4)如果A在后面，B在右面，则哪个面会在上面
思路分析：从图4—2—10中我们看到，A、B、C、D、E、F的六个面都是长方形，可以断定这个展开图折叠后应属于柱体.其中A面与C面、B面与E面，D面与F面大小形状相同，故可确定该几何体是长方体.
解：(1)该图是长方体的平面展开图；
(2)A面与C面形状、大小相同，由其在图中位置可知A面和C面是相对的面;
(3)由图中D面、F面的形状、大小、位置知二者是相对的面，所以如果D面在左面时，则F面在右面；
(4)A在后面，B在右面时，D面在上面.
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1方法点拨：通过例1的11种展开图，我们可以看出，在不同行之间的小正方形有：“日”字形，但没有“田”字形，并且展开图的面也是相对应的，例如图4—2—10所示的两个图形.
图4—2—10
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对于立体图形的展开图，解决的方法是多观察、多动手、善于动脑，在操作中体验立体图形与平面图形的关系.例如正方体就可以用不同的剪拼方式来得到它的各种展开图，从而掌握拼接规律，识别立体图形.
变式引申：长方体的展开图有几种，你能把它的展开图全部画出来吗
2方法点拨：本题是立体图形的展开与折叠问题.解决这种问题的关键是:首先弄清给出的平面展开图形中都包含了哪几种平面图形;其次展开图折叠后属于柱体、锥体、球体中的哪一种;最后应知道柱体、锥体、球体的展开图的大致情况.例如：棱柱底面边数应与侧面数相同;圆柱上下两底都是圆形，且大小相同，侧面展开图可以是长方形;圆锥底面是圆，侧面展开图是扇形等等.立体图形的展开与折叠属于操作性较强的问题，因此要求细观察、多动脑、勤动手，将三者有机地结合起来，以培养空间观念，为学好几何打下坚实的基础.1.2 用数轴上的点表示有理数
名师导学
典例分析
例1 指出数轴上A、B、C、D点各表示什么数.
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思路分析：解决此题的关键是准确地判断出D点表示的数是什么，D点在－4与－3中间，是－4.5还是－3.5 这时就要看数轴上从0向左数字的排列规律－1，－2，－3，－4，－5，…，再具体些－1，－1.5，－2，－2.5，－3…，从而得出D点表示的是－3.5.
解：点A表示5；点B表示－2；点C表示1.5；点D表示－3.5.
例2 把下面的有理数对应的点画在数轴上，并把这些有理数按从小到大的顺序用不等号连接起来.
－4，－2.5，0，4，.
思路分析：画数轴要根据它的 ( http: / / www.21cnjy.com )定义，三要素缺一不可，并且根据本题数据的需要，选择适当的单位长度及分点个数，注意－2.5是在－2与－3中间.
解：
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－4<－2.5<0<<4
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1 方法点拨：指出数轴上已知点表示的有理数，是由“形”到“数”的思维过程。体现了数学中数形结合的思想.
2 方法点拨：该题关键是根据数轴的定义，正确画出数轴，并在数轴上用点表示相应的有理数，是“数”到“形”的思维过程.结合本题可以总结出比较有理数大小的规律：数轴上右边的点表示的有理数总比左边的点表示的有理数大.2.2 同类项与合并同类项
名师导学
典例分析
例1 若4xm2－1y2n和3x3y4是同类项，求3m+2n的值.
思路分析：根据同类项的特征：m2－1=3，2n=4.从而可解得答案.
解：由题意得：m2－1=3，2n=4；
解得m=2或m=－2，n=2；
∴3m+2n=10或－2.
例2 合并同类项
(1);
(2)4ax+a2－6ax+8ax+4+5a2－3.
思路分析：由合并同类项的法则求解.
解：(1)
(2)4ax+a2－6ax+8ax+4+5a2－3
=(4－6+8)ax+(1+5)a2+(4－3)
=6a2+6ax+1
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1 方法点拨：
解决这类题需要满足以下两个条件：
(1)所含字母相同，
(2)相同字母的指数也分别相同.
2 方法点拨：
合并同类项的方法是先找同类项再合并.
合并同类项的法则是：一变两不变.一变是指系数变(系数为各系数的代数和)，两不变是指字母与字母的指数不变.3.1 平面图形与立体图形
名师导学
典例分析
例1 生活中我们见过许多美丽的图案，在图4—1—5中你能找到哪些熟悉的图形
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思路分析：在小学里我们学过三角形、长方形、正方形、圆等多种基本图形，认真
观察图形，不难看出许多熟悉的面孔.
解：比较熟悉的图形有三角形、梯形、长方形、圆、半圆等.
例2 将图4—1—6中的几何体进行分类，并说明理由.
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思路分析：要将图4—1—6中的6个图形进行分类，必须先选择分类标准，我们可以看到这些几何体的外形是不同的，围成几何体的面也是有区别的，因此我们就按几何体外形和面的不同进行分类.
解：按柱体、锥体、球体来分：(1)、(2)、(5)为柱体；(3)、(6)为锥体；(4)为球体.若按几何体的面的平或曲来分：(1)、(5)、(6)是一类，组成它们的面都是平面；(2)、(3)、(4)是一类，组成它们的面中至少有一个面是曲的.
例3 生活中你会见到很多实物，由图4—1—7中的实物你能想象出哪些熟悉的几何体？
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思路分析：先观察实际物体，与学过的长方体、正方体、圆等几何体的特征结合起来，而对各种几何体的不同点要仔细区别.
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1 方法点拨：我们可以看到本例的两个图形都是分别由几个最基本的平面图形构成的，在观察图形时要与已学过的图形结合起来，对各个图形的不同特点仔细区别.观察图形的形状，与图形的大小没有关系.
2 方法点拨：对几何体进行简单的分类，要把图形进行对比，认识几何体的本质特征，再选择分类标准进行分类.
3方法点拨：几何体与实物有着密切的联系，又与实物不同.几何体反映了实物的形状，是从具体实物中抽象出来的几何图形.例如：砖、牙膏盒等是生活中的实物，其形状具有共同特征(具有六个面：相对的两个而是大小相等的长方形；有12条棱、8个顶点等).我们就把砖、牙膏盒等具有相同形状的实物归为一类，抽象出来，命名为长方体，简而言之，这种实物的形状是长方体.同学们要利用生活经验.充分发挥想象能力，来正确地识别物体的形状.角的度量与角的换算
典例分析
例1 度、分、秒的互化：
(1)用度、分、秒表示48.26°；
(2)用度表示30°9'36".
思路分析：①度、分、秒的互 ( http: / / www.21cnjy.com )化是六十进制的，1°=60'，1'=60"；②在进行单位互化时，在计算中，要逐级运算，步骤合理，计算正确；③要注意符号“∵”(因为)和“∴”(所以)的应用格式.
解：(1) ∵60'×0.26=15.6'，60"×0.6=36"，
∴48.26°=48°15'36"；
(2)∵36"=()'=0.6'，9.6'=()°=0.16°，
∴30°9'36"=30.16°.
例2 计算：
(1)90°－36°12'15"；
(2) 32°17'53"+42°42'7"；
(3)25°12'35"×5；
(4)53°÷6.
思路分析：①在度、分、秒的计算中，一定要掌握六十进制的计算方法，可以类比时间进制进行换算，不要算成十进制，必要时可以写成竖式；②在进行加减运算或乘除运算时，要按级进行计算.
解：(1)90°－36°12'15" (2)32°17'53"+42°42'7"
=89°59'60"－36°12'15" =74°59'60"
=53°47'45"； =75°；
(3)25°12'35"×5 (4)53°÷6
=125°60'175" =8°50'
=126°2'55"; ∵300'÷6=50'，
∴53°÷6=8°50'
例3：如图4—1—1，(1)钟表在下午3：00时，时钟的时针与分针的夹角是多少度
(2)下午4：40时，时钟的时针与分针的夹角是多少度
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思路分析：要求时针与分针的夹角，必须理解以下知识：时针12小时转360°，1小时转360°÷12=30°，即一大格为30°；分针60分钟转360°，1分钟转360°÷60=6°，即一小格为6°.
解：(1)3×30°=90°；
(2)3×30°+(30°－30°×)=100°.
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1 方法点拨：(1)将度化为度、分、秒时，依次将度的余数乘以60化为分，分的余数乘以60化为秒；
(2)将度、分、秒化为度时正好相反，先将秒除以60化为分，再把分除以60化为度.
2 方法点拨：(1)角度相减时，按度、分、秒的顺序分别相减，不够减时，向高一位借1当60；
(2)角的度数相加或相乘时，也按度、分、秒的顺序分别相加或相乘，但应满60向高一位进位；
(3)角的除法应先从度开始，余数由度化为分再除，依此类推.
3 方法点拨：时钟面上共有12个格，把周角12等分，每个格对应是30°的角.要求时钟上时针与分针所成的角的大小，实际上是将它转化为平面图形中角的和、差计算.如本例中，第(1)题中3：00时，时针指3，分针指12，则夹角为3×30°=90°；第(2)题中4：40时，分针指8，时针指4与5之间， 40分时，时针在一大格中走过，到5还有10°，再加上3个大格，这样就可以求出时针与分针的夹角.且如果没有特别说明，不求大于平角的角的度数.1.7 有理数的乘法
名师导学
典例分析
例1 计算：(1)；
(2).
思路分析：几个不等于0的数相乘，首先确定积的符号，然后把绝对值相乘.一般是小数的要化成分数，是带分数的要化成假分数，这样便于约分.
解：(1)；
(2)
例2 用简便方法计算：
(1)；
(2)
思路分析：(1)题中(－36)是括号中各分母的公倍数，所以可以直接利用分配律去做.(2)题中都含有相同因数，所以可以想到逆用乘法的分配律来简化计算.
解：(1)
=－28+30－27+14=－11;
(2)
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1 方法点拨：两个以上的有理数相乘，需要分两步走：一先确定符号，二再确定绝对值，同时注意能用运算律时尽量用运算律.注意做(2)题时一定要细心，按部就班地做，同时养成边做边检查的习惯，以免前功尽弃.
2 方法点拨：本题重点体现乘法分配律的应用.在应用分配律时，一定要注意各项的符号问题，即要把括号中的每一项都要与括号外的项相乘，它们之间的符号就用原来的符号.如若此种方法易出错，还可以采取下面的思路：先把36与括号里面的各项相乘，“－”先留在括号外面.即：角平分线
典例分析
例1 如图4—12—5，直线AB、CD相交于点O，且∠BOC=80°，OE平分∠BOC，OF为OE的反向延长线.
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(1)求∠BOD和∠FOD的度数；
(2)OF平分∠AOD吗
思路分析:①首先要弄清反向延长的含义：OE、OF在同一条直线上；②直线AB、CD相交于点O，则构成了两个平角∠A0lB、∠COD；③要说明OF为∠AOD的平分线，就是要根据已知的条件得到∠FOD=∠AOF或∠FOD=∠AOD或∠AOD=2∠FOD=2∠AOF即可.
解：(1)∵∠BOC=80°，OE平分∠BOC，
∴∠BOE=∠BOC=×80°=40°，
又∵CD为直线，∴∠BOD+∠BOC=180°，
∴∠BOD=180°－80°=100°；
∵OF为OE的反向延长线，
∴∠BOE+∠BOD+∠FOD=180°，
∴∠FOD=180°－40°－100°=40°.
(2)同理∠BOD+∠AOD=180°，
∴∠AOD=180°－100。=80°，
∴∠AOF=∠AOD－∠FOD=80°－40°=40°，
∴∠AOF=∠FOD，
∴OF为∠AOD的平分线.
例2 如图4－12－6，OC是∠AOD的平分线，OE是∠BOD的平分线.
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(1)如果∠AOB=130°，那么∠COE是多少度
(2)如果∠COD=20°，那么∠BOE是多少度
思路分析：本题的关键是依据图形和已知条件，灵活运用角的和差倍分代换，特别注意角平分线的应用；本题要求∠COE是多少度，直接求不出∠COD和∠EOD的度数，但是我们可以根据角平分线的定义得到∠COD=∠AOD，∠EOD=∠BOD，即∠COE=∠AOB，把∠COD、∠EOD这两个未知量的和当作一个整体看待，这种思想叫整体思想，以后我们会经常用到这种数学思想.
解：(1)∵OC是∠AOD的平分线，
∴∠COD=∠AOD，
∵OE是∠BOD的平分线，
∴∠EOD=∠BOD，
∴∠COD+∠EOD=(∠AOD+∠BOD)，
∵∠COD+∠EOD=∠COE，∠AOD+∠BOD=∠AOB，
∴∠COE=∠AOB=×130°=65°
(2)∵∠COE=65°，∠COD=20°，
∴∠EOD=∠COE－∠COD=65°－20°=45°，
∵OE是∠BOD的平分线，
∴∠BOE=∠EOD=45°.
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1方法点拨：角平分线应满足以下两个条件：(1)是从角的顶点引出的射线，即角的平分线与该角有共同的顶点，且在角的内部；(2)把已知的角分成了两个角，且这两个角相等.角平分线定义有以下两层含义：
如图4—12—5，(1)角平分线把这个角分成两个相等的角，即∵OE平分∠BOC，∴∠BOE=∠COE.
(2)把一个角分成两个相等的角的射线是角的平分线，
即∵∠AOF=∠FOD，
∴OF为∠AOD的平分线.
2 变式引申：如图4—12—7，OM、OB、ON是∠AOC内的三条射线，0M、ON分别是∠AOB、∠BOC的平分线，∠NOC是∠AOM的3倍，∠BON比∠MOB大20°.
求∠AOC的度数.
( http: / / www.21cnjy.com )1.6 有理数加减法的混合运
名师导学
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例1 把下列各算式写成代数和的形式，并求出计算结果，再用计算器验证结果是否正确.
(1)(+8)－(－5)+(－9)－(+13)；
(2).
思路分析:此题可以运用去括号法则去掉括号后变成代数和的形式.计算时可以采用比较简便的方法，先把同号分别相加，再进行异号相加.
解：(1)(+8)－(－5)+(－9)－(+13)
=8+5－9－13
=13－13－9=－9；
(2)
例2 用简便方法计算：
思路分析：通过观察，发现和互为相反数，若把它们结合在一起，则可以使计算简便.
解：
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1 方法点拨：此题巩固了化成代数和的方法，加深了对代数和的理解.通过计算器验证，熟练了计算器的使用方法.化成代数和时，可以先把算式化成加法运算的形式，再省略加号，但不如直接去括号简便.
2 方法点拨：关于去括号，一般是按照先去小括号，再去中括号，最后去大括号的方法由内向外逐一去掉括号.但是，在特殊情况下，根据计算的需要，一反常规，按由外向内的方法去括号，往往能使计算简便.去括号的时候把里面的括号及括号内的算式看作一个整体.如例题2中先去掉中括号时，就要把看成一个整体.渗透数学中的整体思想.2.6 列方程解应用问题
名师导学
典例分析
例 甲步行上午6时从A地出发，于下午5时到达B地，乙骑自行车上午10时从A地出发，于下午3时到达B地，问乙是在什么时间追上甲的
思路分析:可以设全程的路程为a，然后找等量关系，是乙追上甲时他们走的路程相等.
解：设乙出发x小时可追上甲，此时甲走了(x+4)小时，由题意得：
∵a≠0,∴
解得
即乙出发小时后可追上甲，此时正好是下午l点20分.
答：乙在下年1点20分钟追上甲
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方法点拨：解应用题的关键是找到等量关系。然后根据等量关系来建立方程，对于这种追及问题等量关系一般是路程和时间、速度之间的关系.1.11 有效数字和科学记数法
名师导学
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例1 按括号内的要求，用四舍五入法对下列各数取近似值：
(1)0.015 8(精确到0.001)；(2)30 415(保留3个有效数字)；
(3)1.305(保留两个有效数字)；(4)28 631(精确到十位).
思路分析:将一个数不管用什么样的精确度来取近似值，关键是确定所精确到的数位，然后将其后面的数四舍五入.
解：(1)0.015 8≈0.016； (2)30 415≈3.04×104；
(3)1.305≈1.3; (4)28 631≈2.863×104.
例2 下列四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位 各有哪几个有效数字
(1)0.020 10；(2)9.68万；(3)13亿；(4)6.258×104.
思路分析:(1)0.020 10与0.020 1的精确度是不同的,0.020 10是精确到十万分位,而0.0201是精确到万分位，它们的有效数字也不一样，因此末尾的0是不能忽略不计的.(2)9.68万不是精确到个位，应把原数还原成96 800，其中8是精确的数位，它处于百位上，所以应该是精确到百位.(3)(4)与(2)相同.
解：(1)0.020 10精确到十万分位，有4个有效数字：2，0，1，0；
(2)9. 68万精确到百位，有3个有效数字：9，6，8；
(3)13亿精确到亿位，有2个有效数字：1,3；
(4)6.258×104精确到十位，有4个有效数字：6，2，5，8.
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1 方法点拨：对于 ( http: / / www.21cnjy.com )一些大数按要求取近似值，往往要采用科学记数法.比如数字63 400,要精确到万位，不能写成60 000，这样写是精确到个位的，不符合要求，而应写成6×104.
2 方法点拨：对于一个用科学记数法，即a×10n的形式表示的近似数.(1)要想知道它是精确到哪一位，必须将其还原，看前面数a的最后一位是哪个数.它处于还原后的什么数位上，就是原来的那个数a×10n精确到什么数位.(2)关于有效数字的问题.只要看a中有几个有效数字，则原数就有几个有效数字.因为根据有效数字的定义.从第一个不是0的数字起，到精确到的数位为止，所有的数字都称为这个数的有效数字，这时还原与不还原就都一样了.3.3 从不同方向观察立体图形
名师导学
典例分析
例1 图4—3—9是由7块小正方体木块堆成的积木，请画出它的主视图、左视图和俯视图.
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思路分析：我们从不同的方向看几何体，看到的是一个平面，而不是几何体的全部.当几个小正方体组合时，就会遮挡住一部分，而一个正方体从一个面看到的视图是一个正方形.本例题图形从正面看到四个正方形，从左面看到六个正方形，从上面看到四个正方形.
解析:如图4—3—10.
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例2图4—3—11是由几个小立方体块在桌面上所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置小立方体的个数，请画出这个几何体的主视图和左视图.
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思路分析：本题考查主视图、左视图、俯视图的有关概念及理解，可采取两种方法：一是根据俯视图摆出几何体，观察它的位置，然后再画出左视图和主视图；二根据俯视图确定主视图、左视图的列数，再根据数字确定每列方块的个数，然后画出图形.
解：如图4—3—12.
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例3 用小立方体块搭一个几何体，使得它的主视图和俯视图如图．4—3—14所示
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思路分析：这样搭建的几何体不止一种，先根据主视图和俯视图确定列数，然后再动手搭建，观察搭建的几何体的主视图和俯视图是否满足要求．如图4—3—15中搭建的几何体的俯视图(小正方形内的数字表示该位置小立方体的个数)时．最少要10个小立方体；而如图4—3—16中搭建的几何体的俯视图，则需要16个小立方体．
解：如图4—3—15，4—3—16所示．(答案不唯一，还有多种)
突破易错☆挑战零失误
规律总结
善于总结☆触类旁通
1 方法点拨：解此类题目的关键点有两个，一是观察物体的方向；二是小立方体的位置和数量.要认真仔细地观察，特别注意看不见的小立方体的数目和位置．对于几何体图形的观察．我们应该学会多角度的观察，然后多方位的思考．这样才能正确认识几何体．
2 方法点拨：此例要求同学们一要有动手实践的能力，并认真观察；二要提高山己空间想象力．这类题目的规律是．主视图和俯视图的长相等，主视图和左视图的高相等，俯视图和左视图的宽相等．
变式引申：4—3—13由几个小立方体块所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置小立方体的个数，请画山这个几何体的主视图和左视图．
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3 方法点拨：搭 ( http: / / www.21cnjy.com )建几何体时．先依据题意搭建小立方体块数目最少的几何体．然后再在不影响原题意要求的前提下增加小立方体的个数．勤于思考．培养自己空间思维能力是解这类题目的关键．点、线、面、体
典例分析
例1 如图4—4—2，利用这个图形说明：(1)AB这条线是怎么形成的 (2)ABCD这个面是怎么形成的 (3)这个正方体是怎么形成的
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思路分析:本题所考查的知识点就是点、线、面这三者之间的关系，点动成线、线动成面、面动成体.
解：AB这条线是由点A向右运动或点B向左运动得到的，ABCD这个面是由线AB向后运动得到的(也可以由线AD、DC、BC移动得到)，这个正方体是由ABCD这个面向下运动得到的(也可以由另外五个面平行移动得到).
例2如图4—4—3，观察图形，回答下列问题：
(1)长方体是由几个面围成的 圆柱体是由几个面围成的 球是由几个面围成的 它们都是什么面
(2)圆柱的侧面和底面相交成几条线 它们是直的还是曲的
(3)长方体有几个顶点 经过每个顶点有几条边 共有多少条边
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思路分析:本题考查的是几何体的构成，根据观察，由点、线、面、体的概念及点、线、面、体的关系，线和线相交的地方是点、面与面相交的地方是线，结合图形可以得出答案.
解：(1)长方体是由六个面围成的，且都是平面；圆柱是由两个底面和一个侧面围成的，其中两个底面是平面，一个侧面是曲面；球有一个面，是曲面.
(2)圆柱的侧面和两个底面相交成两条线，它们都是曲的.
(3)长方体有8个顶点，经过每个顶点有3条边，共有12条边.
突破易错☆挑战零失误
规律总结
善于总结☆触类旁通
1 方法点拨：几何图形是由点、线、面、体构成的，其中点是构成几何体的最基本元素.点、线、面、体之间是互相联系的，点动成线、线动成面、面动成体.但是本例中得到的线、面、体并非是只能由固定的一个图形移动得到的，要注意有多种答案.
2 方法点拨：面有平面和曲面，线有直线和曲线.面与面相交成线，平面和平面相交成直线，平面和曲面相交成曲线；圆柱、圆锥、圆台等几何体有曲面、有曲线.像长方体、正方体、五棱柱等柱体和三棱锥、四棱锥等锥体都是由平面构成的，只有直线.1.3 相反数和绝对值
名师导学
典例分析
例1 化简：(n是 大于0的自然数).
思路分析:因为n是大于0的自然数，所以2n是偶数，根据两个“－”可以化成一个“+”，从而得出最终结果为1.
解:==1.
例2 比较－5和－8的大小.
思路分析：根据“一个负数的绝对值越小，数轴上表示它的点离原点越近”.得出同一数轴上表示－5的点比表示－8的点离原点近(即－5在－8的右边).再根据“数轴上表示两个负数的点，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大”可得出－5比－8大.
解：由于有｜－5｜=5，｜－8｜=8，又因为｜－5｜<｜－8｜，所以－5>－8.
突破易错☆挑战零失误
规律总结
善于总结☆触类旁通
1 方法点拨：例l的关键在于确定负号有奇数个还是有偶数个.而2n又表示偶数，所以能得出正确答案为1.如果把2n换成m(m是大于0的自然数)就要分两种情况：当m为偶数时和当m为奇数时，答案分别为1和－1.
2 方法点拨：该题是比较两个负数的大小，通过分析可以得出一种更简单的比较两个负数大小的方法.即：两个负数比较，绝对值大的反而小.例如－11与－20比较，－20的绝对值大，根据“两个负数比较，绝对值大的反而小”直接得出－20小于－11负数的引入
名师导学
典例分析
例1 东、西为两个相反方向，如果一4米表示一个物体向西运动4米，那么+2米表示什么 物体原地不动记作什么
思路分析：因为向东与向西为相反方向，所表示的量为相反意义的量，所以+2米就表示向东运动2米，而原地不动则表示既没有向东运动也没有向西运动，因此记作“0米”.
解： “+2米”表示向东运动2米；“0米”表示原地不动.
例2 我们原来认为“0”表示“没有”.在我们引入“负数”后，它是否又有了新的意义 请举实例说明.
思路分析:“0”不仅仅表示“没有”，在实际问题中它可以代表不同的意义.
解：引入“负数”后，0是有了新的意义.
如：(1)气温达到0℃时表示水将结成冰，决不意味着此时“没有温度”，它表示的是 “+”与“－”的分界点；
(2)在知识竞赛电视节目中，如果每人都已 ( http: / / www.21cnjy.com )回答了几个问题，若用+10分表示加10分，那么显示0分则表示回答正确所得的分数与回答错误所得的分数抵消了
突破易错☆挑战零失误.
规律总结
善于总结☆触类旁通
1 方法点拨：该题通过人们都比较熟悉的实例，解释正负数在实际问题中表示的意义。结合本题可以总站出这一类题的一般解法：先找出“基准”(本题的基准是0米，表示原地不动.注意，并不是所有的基准都必须为零.)，然后再根据规定(此题中规定向东为正)进行解答.
2 方法点拨：此例题旨在通过实例，来明确“0”不再仅仅表示原来未引入负数时的“没有”了，它在具体的问题中可以表示很广泛的意义.
本题渗透着数学知识来源于生活实践又运用于生活实践的思想.2.3-2.4 等式与方程等式的基本性质
名师导学
典例分析
例1 当m为何值时，是方程，mx－3=0的解.
思维分析：欲使是方程的解，则把代入方程后，能满足方程成立，代入后即可求出m的值.
解：把代入方程得，
例2 用适当的数或代数式填空，使所得的结果仍是等式.
(1)如果3x=2x+12，那么3x_______=12;
(2)如果4x+3=2x－4，那么2x=_____
(3)如果a=________，那么－3a=3b.
思路分析:(1)根据等式的基本性质1，两边都减去2x；
(2)根据等式的基本性质1，两边都减去2x+3;
(3)等式的基本性质2，两边都除以－3.
解：(1)－2x；(2)－7；(3)－b.
突破易错☆挑战零失误
规律总结
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1 方法点拨：在初中阶段，用代入法来解决此类问题是行之有效的方法，这也体现了数学上的一种转化思想.
2 方法点拨：分析等式，看等式的左右两边如何变化，来确定选取哪种性质来解决.1.5 有理数的减法
名师导学
典例分析
例 先用笔算，再用计算器检验：
0－(－2.51)－(+1.51)－(－3)
思路分析：此题是有理数的减法运算，要先按照有理数减法法则，将减法转化为加法.然后按加法法则计算.用计算器时要注意运算符号与的区别.
解：0－(－2.51)－(+1.51)－(－3)
=0+(+2.51)+(－1.51)+(+3)
=1+3=4
计算器检验：02.511.53=4.
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规律总结
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1 方法点拨：有理数减法法则实际上是一种把减法转化成加法的方法.最后还是根据加法法则进行计算.因此，进行有理数减法运算时，必须先转化成加法，再进行计算，这渗透着数学中的转化思想.
不要忽视更不能省略用计算器检验的过程，认真操作对我们今后使用现代化的科学计算工具很有好处.1.8 有理数的除法
名师导学
典例分析
例1 计算下列各题：
(1)(+48)÷(－6)； (2)(－72)÷(－12)；
(3)； (4)
思路分析：有理数的除法可以依据问题的特点，灵活选用除法法则来进行计算.运算时，一般先确定符号，再确定绝对值.
解：(1) (+48)÷(－6)=(48÷6)=－8；
(2)(－72)÷(－12)=72÷12=6；
(3)
(4).
例2 计算：
(1)；(2)；(3)；(4).
思路分析:(1)应用有理数的除法法则来实现分数的化简. (2)做有理数的乘除混合运算时，一定要注意运算顺序，从前向后依次计算，防止出现－9÷3×3=－1的错误.
解：(1)(2)；
(3)；
(4)
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规律总结
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1 方法点拨：在遇到两个有理数相除时，当两个有理数的绝对值正好能整除或容易除尽时，用除法法则(一)，如(1)和(2)；否则，就用除法法则(二)，先将除法转化为乘法，再用乘法法则来计算，如(4)，该题体现了数学中的化归思想.
2 方法点拨：(1)在处理分数的分子、分母及分数本身的符号问题时，可这样来记忆：一个负号朝前撂，两个负号都去掉.
(2)做有理数的乘除混合运算时，应注意以下几点：①先将除法转化为乘法；②确定积(或商)的符号；③适时运用运算律；④带分数要化为假分数，小数可化为分数；⑤注意运算顺序.相交线与平行线
典例分析
例1 如图4—14—4，∠ABC为钝角.
(1)画出点C到AB的垂线，垂足为D；
(2)过点B作AC的垂线，垂足为E；
(3)过点A作BC的垂线，垂足为F.
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思路分析：画垂线首先要明确是过哪点作的直线的垂线，作线段或射线的垂线即是作线段或射线所在直线的垂线，因此，线段或射线若不够，可以延长后再作，并注意垂线与垂线段的区别.
解：如图4—14—5所示.
例2 下列各种说法中正确的个数为( )
①过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线；②与同一条直线垂直的两条直线必垂直；③不相交的两条直线叫平行线；④与同一条直线相交的两条直线必相交.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
思路分析：①与垂线的性质一致，是正确的；②可画出图4—14—6，由图形知道是平行而不是垂直；③忽略了“在同一平面内”这个条件；④可以借助②的图形知是错误的.故选B
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答案：B
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1 方法点拨：用三角板过一点作一条直线的垂线的具体方法是：先让三角板的一条直角边与已知直线重合，并使它能沿着已知直线移动，使另一条直角边经过已知点，再沿着此直角边画直线，即可得到要画的垂线.
2 方法点拨：做这类题时一定不要忽视了教材中定义及定理的前提条件，只要将它们深刻理解(包括内涵和外延)，就会以不变应万变.另外画图也很重要，有些判断题，只要一画图就明白了.所以要勤于动手，大胆画图.1.4 有理数的加法
名师导学
典例分析
例1 计算(表示出应用法则的过程)
(1)(+ 32)+(+19)；(2)(－15)+(－23)；
(3)(－3.8)+(+2.9)；(4)()+0.
思路分析：本题是有理数加法法则的应用，(1)属于同号两数相加，取相同的符号(“+”)，再把绝对值相加.紧扣法则，另外3题类似.
解：(1)(+32)+(+19)=+(32+19)=+51
(2)(－15)+(－23)=－(15+23)=－38
(3)(－3.8)+(+2.9)=－(3.8－2.9)=－0.9
(4)
例2 利用计算器计算：.
思路分析：此题关键是会输入分数和负数.输入时先输入再输入21→→4即可.
解：3.25+134+214=－5.25；
∴.
例3 运用加法交换律和结合律做简便运算.
(1)(－8)+(－10)+(+12)+(－1)；
(2)；
(3)(－22)+13+26+(－13)+25+(－4).
思路分析:(1)题把3个负数先相加再与+12相加；(2)与，与先分别相加，再把它们的和相加；(3)13与－13，－22、－4与26相加，再与其他数相加.
解：(1)(－8)+(－10) +(+12)+(－1)
=[(－8)+(－10)+(－1)]+(+12)
=(－19)+(+12)=－7
(2)
(3)(－22)+13+26+(－13)+25+(－4)
=［13+(－13)]+[(－22)+(－4)+26］+25
=0+0+25=25
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1方法点拨：该类题关键是明确每一道题该用哪种加法法则运算，根据法则先确定“和”的符号(同号取相同的符号；异号取绝对值较大的加数的符号)，再计算绝对值相加(同号时)或相减(异号时).与0相加的，直接得原数.
2 方法点拨：注意分数的输入法为：→分子→→分母即可.负数的输入法：→→数字.
3 方法点拨：此类题是在熟练地进行有理数加法运算的基础上，先观察出题目的特点，再运用加法交换律和结合律，这样计算可以使运算简便.总结起来有如下规律：
(1)可以先把同号相加(即正数与正数相加，负数与负数相加)，再把所得结果相加.
(2)如果有互为相反数的先把它们相加.
(3)分数计算时，一般是先把同分母分数相加.两条直线的位置关系
典例分析
例 如图4—13—l，正方体中与棱AA'相交的棱有哪些 与棱AA'不相交的棱有哪些 它们与棱AA'都在同一平面吗
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思路分析：本题只要认真观察图形，并按一定的规律来找，做到不重、不漏，即可找出来.
解：与棱AA'相交的棱有：AB,A'B'，AD，A'D'；与棱AA'不相交的棱有：BB'，CC'，DD'， CD，C'D'，BC，B'C'.
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规律总结
善于总结☆触类旁通
方法点拨：做此类题目时，可以以身边的文具盒、粉笔盒等为例来说明，可以同桌之间互相交流，多举几个生活中的例子就容易理解了.通过此题应明确：两条直线不相交，有两种情况：(1)在同一平面内就平行，(2)不在同一平面内，就既不平行，也不相交，也称为异面直线.
B
D
C
A
图4-13-1直线、射线、线段
典例分析
例1 用一个钉子，把一根细木条钉在墙上，木条可以绕着钉子转动，当用两个钉子把
木条钉在墙上时，木条就被固定了，这是为什么
思路分析：用一个钉子 ( http: / / www.21cnjy.com )钉木条，木条可以绕钉子转动到任一位置，把钉子看作点，木条看作直线，那么对于木条的每一个位置来说，相当于有无数条直线经过这个点；而用两个钉子钉木条，木条就固定不动，也就是说只有一条直线经过这两点.
解：因为过一点有无数条直线，过两点有且只有一条直线.
例2 判断“直线MN的长度是50米”这句话是否正确.
思路分析：直线是向两方无限延伸的，因此它没有具体的长度.
解：这种说法是错误的.
例3 平面上，点和直线的位置关系有_______种，它们是_______.
思路分析：点与直线的位置关系有两种：
(1)点在直线上或直线经过该点，如图4—5—4，点A在直线l上或直线l经过点A.
(2)点在直线外或直线不经过该点，如图4—5—5，点B在直线外或直线l不经过点B.
解：两点在直线上或点在直线外.
例4 描述如图4—5—6的几何意义.
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思路分析：(1)从点与点之间的位置关系来说，点A、B、C三点不在同一直线上.(2)从点与直线的位置关系来说，点A、B在直线a上，点C不在直线a上.点B、C在直线b上，点A不在直线b上，点C、A在直线c上，点B不在直线c上；或者说直线a过点A、B，直线b过点B、C，直线C过点A、C.
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规律总结
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1 方法点拨：此例题是用直线的性质来解释一个实际的问题，其实质在于过一点有无数条直线，过两点有且只有一条直线.
2 方法点拨：直线的概念告诉我们：
(1)直线没有长度，不可度量；
(2)直线没有粗细；
(3)它是“直的”且向两方无限延伸.
3 方法点拨：点与直线的位置关系有两种，在运用时要先判断是哪一种情况，再说明.
直线的性质：经过两点有且只有一条直线.“有且只有”包含两层含义，第一个“有”指的是直线的存在性，第二个“只有”说明直线的唯一性.
4 方法点拨：同学们要善于从不同角度去观察研究几何图形，并能正确进行几何图形语言与符号语言的互译.例3和例4都是运用了分类讨论的思想，同学们要善于用这种思想去分析问题，各种情况都要考虑全面，做到不重不漏.1.10 有理数的混合运算
名师导学
典例分析
例1 计算：
思路分析：本例中有乘方，也有乘除，应按照混合运算的顺序依次进行.
解：
例2 计算：
思路分析:本例应先考虑中括号内的运算.中括号内是求幂与商的差，而且幂与商的运算可以同时进行，再把中括号内的部分看成一个整体.原式就可以看成求中括号内运算结果与括号外幂的积.
解：
.
突破易错☆挑战零失误
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1 方法点拨：本例重点考查有理数的混合运算顺序.一般地，有理数的混合运算顺序是：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号的，就先算括号里边的，一定不要随意安排顺序.
2 方法点拨：做有理数的混合运算时应注意：(1)顺序：先算乘方，后算乘除，再算加减；
(2)巧用运算律；
(3)出现带分数的，应把带分数化成假分数；
(4)处理好运算符号加减号“+、－”与性质符号正负号“+、－”的关系.2.5 一元一次方程
名师导学
典例分析
例1解方程：.
思路分析:首先去分母，方程两边同时乘以6，注意不要漏乘，然后按一元一次方程的一般解法去解.
解：去分母，得
9(x+1)－(x－1)=6；
去括号，得
9x+9－x+1=6；
移项、合并同类项，得
8x=－4；
系数化1，得
.
例2 解方程：.
思路分析：首先去分母，然后去绝对值，分情况讨论.
解：去分母.得
｜2x－1｜=21；
所以2x－1=±21；
所以解得，x=11或x=－10；
原方程的解是x=11或x=－10.
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1 方法点拨：解一元一次方程的步骤：
(1)去分母；
(2)去括号；
(3)移项，合并同类项；
(4)系数化1.
2 方法点拨：对于含绝对值的这一类题型，去掉绝对值后，应取正、负值.2.1 字母表示数
名师导学
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例1 指出下列各式中，哪些是代数式，哪些不是代数式
(1)S=πr2;(2)3；(3)a+b+c；(4)0；(5)m；(6)3m－2n=12.
思路分析：代数式是用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子.
解：(2)、(3)、 (4)、(5)是代数式.
(1)、(6)不是代数式.
例2 某公园门票的价格为：成人为10元，学生为5元，一个旅游团有成人x人，学生
的人数比成人少3人.
(1)那么该旅游团应付多少元门票
(2)当x=9时，应付多少元门票
思路分析：应由题意列出代数式，其次代入求值.
解：(1)设成人有x人，则学生有(x－3)人，因此，应付门票[10x+5(x－3)]元；
(2)当x=9时，
［10x+5(x－3)]=10×9+5×(9－3)=120(元)，
所以，应该付120元.
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1 方法点拔：
该题目是对代数式概念的理解.
注意：代数式中不含等号，也不含不等号.
2 方法点拨：
本题考查了列代数式的能力和求值的能力，需要注意：正确的理解题意是列对代数式的前提.
