21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系课件1 （新版）新人教版

课件19张PPT。21.2.4 一元二次方程的根与系数
的关系2018-12-22018-12-2一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式： X=(b2-4ac≥ 0)2018-12-21.???? 填表，观察、猜想 问题：你发现什么规律？
①用语言叙述你发现的规律；
② x2+px+q=0的两根x1,, x2用式子表示你发现的规律。 2018-12-2根与系数关系 如果关于x的方程的两根是 , ,则:如果方程二次项系数不为1呢?2018-12-2问题：上面发现的结论在这里成立吗？请完善规律；
①用语言叙述发现的规律；
② ax2+bx+c=0的两根x1,, x2用式子表示你发现的规
律：
2018-12-2一元二次方程的根与系数的关系：如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1 , x2 ,那么x1 + x2 = x1 x2= -（韦达定理）注：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac≥02018-12-2韦达（1540－1603） 韦达是法国十六世纪最有影响的数学家之一。第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进。 他生于法国的普瓦图。年青时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码。韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）。 韦达在欧洲被尊称为“代数学之父”。 2018-12-2一元二次方程根与系数关系的证明：x1 + x2 =+==-x1 x2 =●===2018-12-21、 x2 - 2x - 1=02、 2x2 - 3x + =03、 2x2 - 6x =04、 3x2 = 4x1+x2=2x1x2=-1x1+x2=x1+x2=3x1+x2=0x1x2=x1x2=0x1x2= -示例2018-12-2典型题讲解：例1、已知3x2+2x-9=0的两根是x1 , x2 。
求：(1) (2) x12+x22解：由题意可知x1+x2= - , x1 · x2=-3(1)= ==(2)∵ (x1＋x2)2＝ x12+x22 ＋2x1x2∴x12+x22 ＝(x1＋x2)2 -2x1x2＝(- )2 -2×(-3)＝62018-12-2变式 练习：设x1，x2是方程2x2+4x- 3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值。（2） （1）（３）（x1- x2）22018-12-2典型题讲解：例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 ,
求它的另一个根及k的值。解：设方程的另一个根为x1.把x=2代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0解这方程，得 k= - 2由根与系数关系，得x1●2＝3k 即 2 x1 ＝－6∴ x1 ＝－3答：方程的另一个根是－3 , k的值是－2。2018-12-2典型题讲解：例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 ,
求它的另一个根及k的值。解二：设方程的另一个根为x1.由根与系数的关系，得x1 ＋2= k+1x1 ●2= 3k解这方程组，得x1 =－3 k =－2答：方程的另一个根是－3 , k的值是－2。2018-12-2试一试1、已知方程3x2－19x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值。2、设x1,x2是方程2x2＋4x－3=0的两个根，求(x1+1)(x2+1)的值。解：设方程的另一个根为x1,则x1+1= ,∴ x1= ,又x1●1= ,∴ m= 3x1 = 16 解：由根与系数的关系，得x1+x2= -2 , x1 · x2=∴ (x1+1)(x2+1) = x1 x2 + (x1+x2)+1 =-2+( )+1=2018-12-2拓广探索1、当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1∵ (x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2解得k1=9,k2= -3当k=9或-3时，由于△≥0，∴k的值为9或-3。2018-12-22、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值。拓广探索解：由方程有两个实数根，得即-8k+4≥0由根与系数的关系得x1+x2= 2(k-1) , x1x2=k2∴ x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4由x12+x22 =4，得2k2-8k+4＝4解得k1=0 , k2=4经检验， k2=4不合题意，舍去。∴ k=02018-12-2归纳小结： 通过本节课的学习你学到了那些知识？一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）： 两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项于二次项系数的比。2018-12-2作业：课本P17 习题21.2 第7题。2018-12-2