6.4.1平面几何中的向量方法 课件(共18张PPT)数学人教A版（2019）必修第二册

(共18张PPT)
6.4.1 平面几何中的向量方法
第六章 平面向量
教学目标：
会用向量方法解决简单的平面几何问题，体会向量在解决数学问题中的作用
教学重点：用向量及运算解决平面几何问题
教学难点：选择恰当的方法将平面几何问题转化为向量问题
环节一 回顾概念 提出问题
引导语 前面我们学面向量的概念和运算，并通过平面向量基本定理，把向量的运算化归为实数的运算。本单元我们将学习运用向量方法解决平面几何、物理中的问题，感受向量在解决数学和实际问题中的作用。
回顾向量的基本内容，你觉得哪些知识点和平面几何有什么联系呢？
向量的数量积及其公式变形使用
夹角、垂直、模长（距离）
向量的线性运算及数量积运算具有鲜明的几何背景，因此平面几何中的许多问题都可以用向量的方法加以解决。这节课我们就举例说明向量方法在平面几何中的应用
环节二 推理论证 获得方法
例1：如图，是的中线，用向量方法证明：
证明：延长DE至点F,使DE=EF,连结CF
F
C
A
B
D
E
问题1：用初中的方法如何证明？
∵E为AC中点，∴AE=EC
∴BC=DF=2DE,且DE∥BC
∴四边形DBCF为平行四边形
又∵AD=BD,∴BD=CF
∴AB∥CF,即BD∥CF
∴AD=CF,∠ADE=∠F
∴△AED≌△CEF(SAS)
又∵DE=EF,∠AED=∠CEF
环节二 推理论证 获得方法
例1：如图，是的中线，用向量方法证明：
C
A
B
D
E
问题2：如何利用向量证明？
（1）请用向量将条件和结论分别表示出来。
求证：
（2）如何在待证的两个向量之间建立联系？
基底法
环节二 推理论证 获得方法
转 化
用向量表示问题中涉及的几何元素，把几何问题转化为向量问题
通过向量运算研究几何元素之间的关系
把运算结果“翻译”成几何关系
运 算
翻 译
问题3：请根据例题总结利用向量法解决平面几何问题的基本思路是什么？
环节二 推理论证 获得方法
补例
在直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于点E，M为CE的中点，用向量的方法证明：
(1)DE∥BC；
(2)D，M，B三点共线.
环节二 推理论证 获得方法
建系
根据条件建立合适的直角坐标系
根据条件找到目标点坐标
根据问题进行相应的坐标运算
找点
运算
问题2：请根据例题总结利用向量坐标法解决平面几何问题的基本思路是什么？
翻译
把运算结果翻译成几何关系
环节二 推理论证 获得方法
问题4：请思考在用向量法解决平面几何问题时，基底法和坐标法应如何选择？
基底法：能选取到适当的基底（作为基底的向量尽量有模长和夹角）
坐标法：图形中有明显垂直关系或边角条件丰富，可计算点的坐标时可用
坐标法其实是选择了特殊的基底，其有点是运算简洁，但建系受图形限制，能建系找点时就用坐标法，否则用基底法
环节三 互动探究 动态生成
解：第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的几何元素，
如图，取为基底，设，，
则，.
第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系：
，.
上面两式相加，得.
第三步，把运算结果“翻译”成几何关系：
.
课本例2：如图，已知平行四边形，你能发现对角线和的长度与两条邻边和的长度之间的关系吗？
环节三 互动探究 动态生成
问题3：你能用自然语言叙述这个关系式的意义吗？
平行四边形对角线的平方和=邻边平方和的2倍
环节四 变式练习 强化运用
如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2－AC2＝DB2－DC2，求证：AD⊥BC.
练习1
则a＝e＋c，b＝e＋d，
所以a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－d2，
由条件知a2＝c2－d2＋b2，
所以e·c＝e·d，即e·(c－d)＝0，
所以AD⊥BC.
环节四 变式练习 强化运用
练习2
在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长.
＝1＋4＋2a·b＝6，
环节四 变式练习 强化运用
练习3
正方形OABC的边长为1，点D，E分别为AB，BC的中点，则cos∠DOE＝________.
以O为原点，以OA，OC所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图所示.
环节五 小结提升 形成结构
方法技巧：平面几何中利用向量证明的常见问题及方法
(1)常见的利用向量证明的问题
①利用共线向量定理证明线段平行或点共线；
②利用向量的模证明线段相等；
③利用向量的数量积为0证明线段垂直.
(2)常用的两个方法
①基向量法：选取已知的不共线的两个向量作为基向量，用基向量表示相关向量，用基向量表示相关向量，转化为基向量之间的向量运算进行证明.
②坐标法：先建直角坐标系，写出点、向量的坐标，利用坐标运算进行证明.
环节六 目标检测 布置作业
课本39-40页 练习1、2、3
2、如图所示，正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，求的余弦值.
环节六 目标检测 布置作业
课本39-40页 练习1、2、3
3、如图，中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点、，若，，求的值.
环节六 目标检测 布置作业
作业：（作业本）
课本52页：2、3、12题