22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c解析式的确定
学习要求
能根据条件运用适当的方法确定二次函数解析式．
一、填空题
1．二次函数解析式通常有三种形式：①一般式________________；②顶点式________
__________；③双根式__________________________(b2－4ac≥0)．
2．若二次函数y＝x2－2x＋a2－1的图象经过点(1，0)，则a的值为______．
3．已知抛物线的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为则它与x轴的另一个交点为______．
二、解答题
4．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，求：
(1)对称轴方程____________；
(2)函数解析式____________；
(3)当x______时，y随x增大而减小；
(4)由图象回答：
当y＞0时，x的取值范围______；
当y＝0时，x＝______；
当y＜0时，x的取值范围______．
5．抛物线y＝ax2＋bx＋c过(0，4)，(1，3)，(－1，4)三点，求抛物线的解析式．
6．抛物线y＝ax2＋bx＋c过(－3，0)，(1，0)两点，与y轴的交点为(0，4)，求抛物线的解析式．
7．抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为(2，4)，且过(1，2)点，求抛物线的解析式．
8．二次函数y＝x2＋bx＋c的图象过点A(－2，5)，且当x＝2时，y＝－3，求这个二次函数的解析式，并判断点B(0，3)是否在这个函数的图象上．
9．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过(0，0)，(12，0)两点，其顶点的纵坐标是3，求这个抛物线的解析式．
10．抛物线过(－1，－1)点，它的对称轴是直线x＋2＝0，且在x轴上截得线段的长度为求抛物线的解析式．
综合、运用、诊断
11．抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为(2，4)，且过原点，求抛物线的解析式．
12．把抛物线y＝(x－1)2沿y轴向上或向下平移后所得抛物线经过点Q(3，0)，求平移后的抛物线的解析式．
13．二次函数y＝ax2＋bx＋c的最大值等于－3a，且它的图象经过(－1，－2)，(1，6)两点，求二次函数的解析式．
14．已知函数y1＝ax2＋bx＋c，它的顶点坐标为(－3，－2)，y1与y2＝2x＋m交于点(1，6)，求y1，y2的函数解析式．
拓展、探究、思考
15．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点为A，B(B在A左侧)，与y轴的交点为C，OA＝OC．下列关系式中，正确的是( )
A．ac＋1＝b B．ab＋1＝c
C．bc＋1＝a D．
16．如图，正方形ABCD的边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形ABCD的顶点上，且它们的各边与正方形ABCD各边平行或垂直，若小正方形边长为x，且0＜x≤10，阴影部分的面积为y，则能反映y与x之间的函数关系的大致图象是( )
17．如图，在直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别为A(0，2)，O(0，0)，B(4，0)，把△AOB绕O点按逆时针方向旋转90°得到△COD．
(1)求C，D两点的坐标；
(2)求经过C，D，B三点的抛物线的解析式；
(3)设(2)中抛物线的顶点为P，AB的中点为M(2，1)，试判断△PMB是钝角三角形，直角三角形还是锐角三角形，并说明理由．第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象及性质
22.1.1 二次函数
1.结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念.
2.能够表示简单变量之间的二次函数关系.
阅读教材第28至29页，理解二次函数的概念及意义.
自学反馈 学生独立完成后集体订正
①一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，且a≠0)的函数叫做二次函数，其中二次项系数、一次项系数和常数项分别为a、b、c.
②现在我们已学过的函数有一次函数、反比例函数、二次函数，它们的表达式分别是y=ax+b(a、b为常数，且a≠0)、y=(k为常数，且k≠0)、y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，且a≠0).
③下列函数中，不是二次函数的是(D)
A.y=1-x2 B.y=(x-1)2-1 C.y=(x+1)(x-1) D.y=(x-2)2-x2
④二次函数y=x2+4x中，二次项系数是1，一次项系数是4，常数项是0.
⑤一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S与半径r之间的关系式.
解：S表=4πr2
⑥n支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，写出比赛的场次数m与球队数n之间的关系式.
解：m=n2-n
判断二次函数关系要紧扣定义.
活动1 小组讨论
例1 若y=(b-1)x2+3是二次函数，则b≠1.
二次项系数不为0.
例2 一个正方形的边长是12 cm，若从中挖去一个长为2x cm，宽为(x+1)cm的小长方形，剩余部分的面积为y cm2.
①写出y与x之间的关系表达式，并指出y是x的什么函数？
②当小长方形中x的值分别为2和4时，相应的剩余部分的面积是什么？
解:①y=122-2x(x+1),即y=-2x2-2x+144. ∴y是x的二次函数；
②当x=2和4时，相应的y的值分别为132和104.
几何图形的面积一般需画图分析，相关线段必须先用x的代数式表示出来.
活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果)
1.如果函数y=(k+2)x是y关于x的二次函数，则k的值为多少？
解：k=2
不要忽视k+2≠0.
2.设y=y1-y2，若y1与x2成正比例，y2与成反比例，则y与x的函数关系是( C )
A.正比例函数 B.一次函数 C.二次函数 D.反比例函数
3.有一个人患流感，经过两轮传染后共有y人患了流感，每轮传染中，平均一个人传染了x人，则y与x之间的函数关系式为y=x2+2x+1.
4.如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD，设AB边长为x米，则菜园的面积y(m2)与x(m)的函数关系式为y=-x2+15x(不要求写出自变量x的取值范围).
5.已知，函数y=(m+1)x+(m-1)x(m是常数).
①m为何值时，它是二次函数？
②m为何值时，它是一次函数？
注意②要分情况讨论.
解：①m=4 ②m=-1或m=或m=.
6.如图，在矩形ABCD中，AB=2 cm，BC=4 cm，P是BC上的一动点， 动点Q仅在PC或其延长线上，且BP=PQ，以PQ为一边作正方形PQRS，点P从B点开始沿射线BC方向运动，设BP=x cm，正方形PQRS与矩形ABCD重叠部分面积为y cm2,试分别写出0≤x≤2和2≤x≤4时，y与x之间的函数关系式.
解：y=x2(0≤x≤2)， y=-2x+8(2≤x≤4).
注意按自变量的取值范围写函数关系式.第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象的性质
1.进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作函数y=a(x-h)2+k的图象.
2.能正确说出y=a(x-h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
3.掌握抛物线y=a(x-h)2+k的平移规律.
阅读教材第35至37页，自学“例3”与“例4”，掌握y=a(x-h)2+k与y=ax2之间的关系，理解并掌握y=a(x-h)2+k的相关性质.
自学反馈 学生独立完成后集体订正
①一般地，抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2的图象形状相同，顶点不同，把抛物线y=ax2向上(下)向左(右)平移，可以得到抛物线y=a(x-h)2+k，平移的方向、距离要根据h、k的值来决定:当h>0时，表明将抛物线y=ax2向右平移h个单位；当k<0时,表明将抛物线y=ax2向下平移-k个单位.
②抛物线y=a(x-h)2+k的特点:当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下；对称轴是直线x=h；顶点坐标是(h,k).
③函数y=4(x+1)2-2的图象是由函数y=4x2的图象先向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的.
④抛物线y=-2(x-1)2-3的开口方向是向下，其顶点坐标是(1，-3)，对称轴是直线x=1，当x>1时，函数值y随自变量x的值的增大而减小.
活动1 小组讨论
例2 填写下表:
解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=-5x2 向下 y轴 (0，0)
y=x2+5 向上 y轴 (0，5）
y=-3(x+4)2 向下 x=-4 (-4，0)
y=4(x+2)2-7 向上 x=-2 (-2，-7)
活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果)
1.将抛物线y=-3x2向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物线解析式是y=-3(x-2)2+5.
抛物线的移动主要看顶点位置的移动.
2.若直线y=3x+m经过第一、三、四象限，则抛物线y=(x-m)2+1的顶点必在第二象限.
此题为一次函数与二次函数简单的综合题，要注意它们的图象与性质的区别.
3.把y=x2-1的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的新抛物线的解析式是y=(x-1)2-3
4.已知A(1,y1)、B(-2,y2)、C(-2,y3)在函数y=a(x+1)2+k(a>0)的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是y1>y3>y2.
活动3 课堂小结
1.本节所学的知识:二次函数y=a(x-h)2+k的图象画法及其性质的总结；平移的规律.
2.所用的思想方法:从特殊到一般.22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
第1课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
1.会画二次函数y=ax2+bx+c的图象，能将一般式化为顶点式，掌握顶点坐标公式，对称轴的求法.
2.能将一般式化为交点式，掌握抛物线与坐标轴交点坐标的求法.
3.会求二次函数的最值，并能利用它解决简单的实际问题.
阅读教材第37至39页，自学“思考”和“探究”，掌握将一般式化成顶点式的方法.
自学反馈 学生独立完成后集体订正
①二次函数y=a(x-h)2+k的顶点坐标是(h,k)，对称轴是x=h，当a>0时，开口向上，此时二次函数有最小值，当x＞h时，y随x的增大而增大，当x＜h时，y随x的增大而减小；当a<0时，开口向下，此时二次函数有最大值，当x＜h时，y随x的增大而增大，当x＞h时，y随x的增大而减小.
②用配方法将y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k的形式，则h=-，k=.则二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点坐标是(-,),对称轴是x=-，当x=-时，二次函数y=ax2+bx+c有最大(最小)值，当a>0时，函数y有最小值，当a<0时，函数y有最大值.
③求二次函数y=2x2+4x-1顶点的坐标，对称轴，最值，并画出其函数图象.
解：顶点坐标为(-1，-3)，对称轴是直线x=-1，当x=-1时，y有最小值-3，图略.
先将此函数解析式化成顶点式，再解其他问题，在画函数图象时，要在顶点的两边对称取点，画出的抛物线才能准确反映这个抛物线的特
活动1 小组讨论
例 将下列二次函数写成顶点式y=a(x-h)2+k的形式，并写出其开口方向，顶点坐标,对称轴.
①y=x2-6x+21; ②y=-2x2-12x-22.
解:①y=x2-6x+21=(x2-12x)+21=(x2-12x+36-36)+21=(x-6)2+3.
∴此抛物线的开口向上，顶点坐标为(6，3)，对称轴是直线x=6.
②y=-2x2-12x-22=-2(x2+6x)-22=-2(x2+6x+9-9)-22=-2(x+3)2-4.
∴此抛物线的开口向下，顶点坐标为(-3，4)，对称轴是直线x=-3.
第②小题注意h值的符号；配方法是数学里的一个重要方法，需多加练习，熟练掌握；抛物线的顶点坐标也可以根据公式直接求解.
活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果)
1.已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最大值是多少？
解：当两条直角边都等于4时，面积最大为8
注意图象的画法，结合图象找出最大值.
2.抛物线y=-x2+4x-7的开口方向是向下，对称轴是x=2，顶点坐标是(2,-3).当x=2时，函数y有最大值，其值为-3.
3.已知二次函数y=ax2+2x+c(a≠0)有最大值，且ac=4，则二次函数的顶点在第四象限.
用顶点公式来解答.
4.抛物线y=ax2+bx+c,与y轴交点的坐标是(0，c)，当b2-4ac=0时，抛物线与x轴只有一个交点(即抛物线的顶点)，交点坐标是(-,0)；当b2-4ac>0时，抛物线与x轴有两个交点，交点坐标是(，0)、(,0)；若抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标为(x1,0),(x2,0),则y=ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2).
与y轴的交点坐标即当x=0时y的值；与x轴交点即当y=0时得到一个一元二次方程，而一元二次方程有无解，两个相等的解和两个不相等的解三种情况，所以二次函数与x轴的交点情况也分三种.
活动3 课堂小结
学生试述:这节课你学到了些什么？第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式
能熟练根据已知点坐标的情况，用适当的方法求二次函数的解析式.
阅读教材第39至40页,自学“探究”，掌握用待定系数法求二次函数的解析式.
自学反馈 学生独立完成后集体订正
①二次函数y=4x2-mx+5，当x<-2时，y随x的增大而减小；当x>-2时，y随x的增大而增大,则当x=1时，y的值为25.
可根据顶点公式用含m的代数式表示对称轴，从而求出m的值.
②抛物线y=-2x2+2x+2的顶点坐标是(,).
③如图所示的抛物线是二次函数y=ax2-3x+a2-1的图象，那么a的值是-1.
可根据图象经过原点求出a的值，再考虑开口方向.
④二次函数y=ax2+bx+c的图象大致位置如图所示，下列判断错误的是( D )
A.a<0 B.b>0 C.c>0 D.b2a>0
第④题图 第⑤题图
⑤如图，抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴是直线x=1，且经过点P(3，0)，则a-b+c的值为( A )
A.0 B.-1 C.1 D.2
根据二次函数图象的对称性得知图象与x轴的另一交点坐标为(-1，0)，将此点代入解析式，即可求出a-b+c的值.
⑥二次函数y=ax2+x+a2-1的图象可能是 ( B )
根据图形确定二次项系数的取值，再找其他特征，直至找到矛盾从而逐一排除.
活动1 小组讨论
例1 已知二次函数的图象经过点A(3,0)，B(2，-3)，C(0，-3)，求函数的解析式和对称轴.
解:设函数解析式为y=ax2+bx+c，因为二次函数的图象经过点A(3,0)，B(2，-3)，C(0，-3)，则有解得
∴函数的解析式为y=x2-2x-3，其对称轴为直线x=1.
已知二次函数图象经过任意三点，可直接设解析式为一般式，代入可得三元一次方程，解之即可求出待定系数.
例2 已知一抛物线与x轴的交点是A(-2，0)、B(1，0)，且经过点C(2，8).试求该抛物线的解析式及顶点坐标.
解:设解析式为y=a(x+2)(x-1)，则有a(2+2)(2-1)=8,∴a=2.∴此函数的解析式为y=2x2+2x-4，其顶点坐标为（-，-）.
因为已知点为抛物线与x轴的交点，解析式可设为交点式，再把第三点代入可得一元一次方程，较一般式所得的三元一次方程简单.而顶点可根据顶点公式求出.
活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果)
1.已知一个二次函数的图象的顶点是(-1,2)，且过点（0,），求这个二次函数的解析式及与x轴交点的坐标.
解：解析式为y=-x2-x+,与x轴交点坐标为(-3,0)、(1，0).
此题只告诉了两个点的坐标，但其中一点为顶点坐标，所以解析式可设顶点式：y=a(x-h)2+k，即可得到一个关于字母a的一元一次方程，再把另一点代入即可求出待定系数.在设解析式时注意h的符号.关于其图象与x的交点，即当y=0时，解关于x的一元二次方程.
2.若二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(1，0)，且关于直线x=对称，那么它的图象还必定经过原点.
3.如图，已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点A(2，0)，B(0，-6)两点.
①求这个二次函数的解析式；
②设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积.
解：①y=-x2+4x-6； ②6
①求解析式一般都用待定系数法；②求底边落在坐标轴上的三角形的面积时第三点纵坐标的绝对值即为三角形的高.
活动3 课堂小结
利用待定系数法求二次函数的解析式，需要根据已知点的情况设适当形式的解析式，可以使解题过程变得更简单第2课时 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
1.进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作函数y=a(x-h)2的图象.
2.能正确说出y=a(x-h)2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
3.掌握抛物线y=a(x-h)2的平移规律.
阅读教材第33至35页，自学“探究”与两个“思考”，掌握y=a(x-h)2与y=ax2之间的关系，理解并掌握y=a(x-h)2的相关性质.
自学反馈 学生独立完成后集体订正
①抛物线y=ax2y=a(x+h)2(h>0)，
抛物线y=ax2y=a(x-h)2(h>0).
②画函数y=-x2、y=-(x+1)2和y=-(x-1)2的图象，观察后两个函数图象与抛物线y=-x2有何关系？它们的对称轴、顶点坐标分别是什么？
解：略
观察图象移动过程，要特别注意特殊点(如顶点)的移动情况.
③二次函数y=a(x-h)2的顶点坐标为(h，0)，对称轴为直线x=h.
④抛物线y=ax2向左平移h个单位，即为抛物线y=a(x+h)2(h>0)；抛物线y=ax2向右平移h个单位，即为抛物线y=a(x-h)2(h>0).
注意y=a(x-h)2中h是非负数.
⑤抛物线y=-(x-1)2的开口向下，顶点坐标是(1，0)，对称轴是直线x=1，通过向左平移1个单位后，得到抛物线y=-x2.
活动1 小组讨论
例1 在直角坐标系中画出函数y=(x+3)2的图象.
①指出函数图象的对称轴和顶点坐标；
②根据图象回答：当x取何值时，y随x的增大而减小？当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y取最大值或最小值？
③怎样平移函数y=x2的图象得到函数y=(x+3)2的图象？
解:①对称轴是直线x=-3，顶点坐标为(-3,0);
②当x<-3时，y随x的增大而减小；当x>-3时，y随x的的增大而增大；当x=-3时，y有最小值.
③将函数y=x2的图象沿x轴向左平移3个单位得到函数y=(x+3)2的图象.
二次函数的增减性以对称轴为分界，画图象取点时以顶点为分界对称取点.
活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果)
1.不画图象，回答下列问题.
①函数y=2(x+1)2的图象可以看成是由函数y=2x2的图象作怎样的平移得到的
②说出函数y=2(x+1)2的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标.
③函数y=2(x+1)2有哪些性质？
④若将函数y=2(x+1)2的图象向左平移3个单位得到哪个函数图象
性质从增减性、最值来说.
解：1.①向左平移1个单位 ②开口向上，对称轴是直线x=-1,顶点坐标(-1，0) ③当x>-1时，y随x的增大而增大；当x<-1时，y随x的增大而减小；当x=-1时，y有最小值0 ④y=2(x+4)2.
2.与抛物线y=2(x+1)2顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线所对应的函数关系式是y=-2(x+1)2.22．1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质(2)
能熟练根据已知点坐标的情况，用适当的方法求二次函数的解析式．
重难点：能熟练根据已知点坐标的情况，用适当的方法求二次函数的解析式．
一、自学指导．(10分钟)
自学：自学课本P39～40，自学“探究、归纳”，掌握用待定系数法求二次函数的解析式的方法，完成填空．
总结归纳：若知道函数图象上的任意三点，则可设函数关系式为y＝ax2＋bx＋c，利用待定系数法求出解析式；若知道函数图象上的顶点，则可设函数的关系式为y＝a(x－h)2＋k，把另一点坐标代入式中，可求出解析式；若知道抛物线与x轴的两个交点(x1，0)，(x2，0)，可设函数的关系式为y＝a(x－x1)(x－x2)，把另一点坐标代入式中，可求出解析式．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7分钟)
1．二次函数y＝4x2－mx＋2，当x<－2时，y随x的增大而减小；当x>－2时，y随x的增大而增大，则当x＝1时，y的值为22．
点拨精讲：可根据顶点公式用含的代数式表示对称轴，从而求出m的值．
2．抛物线y＝－x2＋6x＋2的顶点坐标是(3，11)．
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象大致如图所示，下列判断错误的是( D )
A．a<0 B．b>0 C．c>0 D．ac>0
第3题图 第4题图 第5题图
4．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a>0)的对称轴是直线x＝1，且经过点P(3，0)，则a－b＋c的值为( A )
A．0 B．－1 C．1 D．2
点拨精讲：根据二次函数图象的对称性得知图象与x轴的另一交点坐标为(－1，0)，将此点代入解析式，即可求出a－b＋c的值．
5．如图是二次函数y＝ax2＋3x＋a2－1的图象，a的值是－1．
点拨精讲：可根据图象经过原点求出a的值，再考虑开口方向．
一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(13分钟)
探究1 已知二次函数的图象经过点A(3，0)，B(2，－3)，C(0，－3)，求函数的关系式和对称轴．
解：设函数解析式为y＝ax2＋bx＋c，因为二次函数的图象经过点A(3，0)，B(2，－3)，C(0，－3)，则有
解得
∴函数的解析式为y＝x2－2x－3，其对称轴为x＝1.
探究2 已知一抛物线与x轴的交点是A(3，0)，B(－1，0)，且经过点C(2，9)．试求该抛物线的解析式及顶点坐标．
解：设解析式为y＝a(x－3)(x＋1)，则有
a(2－3)(2＋1)＝9，
∴a＝－3，
∴此函数的解析式为y＝－3x2＋6x＋9，其顶点坐标为(1，12)．
点拨精讲：因为已知点为抛物线与x轴的交点，解析式可设为交点式，再把第三点代入即可得一元一次方程，较之一般式得出的三元一次方程组简单．而顶点可根据顶点公式求出．
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)
1．已知一个二次函数的图象的顶点是(－2，4)，且过点(0，－4)，求这个二次函数的解析式及与x轴
交点的坐标．
2．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(1，0)，且关于直线x＝对称，那么它的图象还必定经过原点．
3．如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过A(2，0)，B(0，－6)两点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求△ABC的面积．
点拨精讲：二次函数解析式的三种形式：1.一般式y＝ax2＋bx＋c；2.顶点式y＝a(x－h)2＋k；3.交点式y＝a(x－x1)(x－x2)．利用待定系数法求二次函数的解析式，需要根据已知点的情况设适当形式的解析式，可使解题过程变得更简单．22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
第1课时 二次函数y=ax2+k的图象和性质
1.会作函数y=ax2和y=ax2+k的图象，并能比较它们的异同；理解a、k对二次函数图象的影响，能正确说出两函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
2.了解抛物线y=ax2上下平移规律.
阅读教材第32至33页，自学“例2”及两个“思考”，理解y=ax2+k中a、k对二次函数图象的影响.
自学反馈 学生独立完成后集体订正
①在抛物线y=x2-4上的一个点是( C
A.(4，4) B.(1，-4) C.(2，0) D.(0，4)
②抛物线y=x2-4与x轴交于B、C两点，顶点为A，则△ABC的周长为
当y等于0时，即可求出与x轴交点的两个坐标,可利用构造直角三角形求出各边的长.
③画出二次函数y=x2-1、=x2和y=x2+1的图象，并观察图象有哪些异同？
解：略
可从开口方向、对称轴、形状大小、顶点、位置去找.
活动1 小组讨论
例1 抛物线y=ax2与y=ax2±k(k>0)有什么关系？
解:①抛物线y=ax2±k的形状与y=ax2的形状完全相同，只是位置不同.
②抛物线y=ax2y=ax2+k，抛物线y=axy=ax2-k.
例2 抛物线y=ax2+k与y=-5x2的形状大小，开口方向都相同，且其顶点坐标是(0，3)，则其表达式为y=-5x2+3，它是由抛物线y=-5x2向上平移3个单位得到的.
①解这类题，必须根据二次函数y=ax2+k的图象与性质来解，a值确定抛物线的形状大小及开口方向，k值确定顶点的位置.
②抛物线平移多少个单位，主要看两顶点坐标，确定两顶点相隔的距离，从而确定平移的方向与单位长.(有时也可以比较两抛物线上横坐标相同的两点相隔的距离，从而确定平移的方向与单位长)
例3 已知抛物线y=ax2+k向下平移2个单位后，所得抛物线为y=-3x2+2，试求a、k的值.
解:根据题意，得解得
此题可以根据规律直接求出a、k.
活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果)
1.若二次函数y=ax2+k，当x取x1、x2(x1≠x2)时函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值为( D )
A.a+k B.a-k C.-k D.k
一个函数值对应两个自变量的值，且它们互为相反数.
2.函数y=ax2-a与y=ax-a(a≠0)在同一坐标系中的图象可能是( D )
3.二次函数y=-2x2+6图象的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，6)，当x<0时，y随x的增大而增大.
4.将抛物线y=3x2-4绕顶点旋转180°，所得抛物线的解析式为y=-3x2-4.
5.已知函数y=ax2+k的图象与函数y=-3x2-2的图象关于x轴对称，则a=3,k=2.
6.如图，抛物线y=x2-1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C.
①求A、B、C三点的坐标；
②过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积.
可将图象分成两个三角形来分别求.
解：①A(-1，0)、B(1，0)、C(0，-1)； ②4.22．1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质(1)
1．会画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，能将一般式化为顶点式，掌握顶点坐标公式，对称轴的求法．
2．能将一般式化为交点式，掌握抛物线与坐标轴交点坐标的求法．
3．会求二次函数的最值，并能利用它解决简单的实际问题．
重点：会画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，能将一般式化为顶点式，掌握顶点坐标公式，对称轴的求法．
难点：能将一般式化为交点式，掌握抛物线与坐标轴交点坐标的求法．
一、自学指导．(10分钟)
自学：自学课本P37～39“思考、探究”，掌握将一般式化成顶点式的方法，完成填空．
总结归纳：二次函数y＝a(x－h)2＋k的顶点坐标是(h，k)，对称轴是x＝h，当a>0时，开口向上，此时二次函数有最小值，当x>h时，y随x的增大而增大，当xh时，y随x的增大而减小；
用配方法将y＝ax2＋bx＋c化成y＝a(x－h)2＋k的形式，则h＝－，k＝；则二次函数的图象的顶点坐标是(－，)，对称轴是x＝－；当x＝－时，二次函数y＝ax2＋bx＋c有最大(最小)值，当a<0时，函数y有最大值，当a>0时，函数y有最小值．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)
1．求二次函数y＝x2＋2x－1顶点的坐标、对称轴、最值，画出其函数图象．
点拨精讲：先将此函数解析式化成顶点式，再解其他问题，在画函数图象时，要在顶点的两边对称取点，画出的抛物线才能准确反映这个抛物线的特征．
一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(13分钟)
探究1 将下列二次函数写成顶点式y＝a(x－h)2＋k的形式，并写出其开口方向、顶点坐标、对称轴．
(1)y＝x2－3x＋21；(2)y＝－3x2－18x－22.
解：(1)y＝x2－3x＋21
＝(x2－12x)＋21
＝(x2－12x＋36－36)＋21
＝(x－6)2＋12
∴此抛物线的开口向上，顶点坐标为(6，12)，对称轴是x＝6.
(2)y＝－3x2－18x－22
＝－3(x2＋6x)－22
＝－3(x2＋6x＋9－9)－22
＝－3(x＋3)2＋5
∴此抛物线的开口向下，顶点坐标为(－3，5)，对称轴是x＝－3.
点拨精讲：第(2)小题注意h值的符号，配方法是数学的一个重要方法，需多加练习，熟练掌握；抛物线的顶点坐标也可以根据公式直接求解．
探究2 用总长为60 m的篱笆围成的矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化，l是多少时，场地的面积S最大？
(1)S与l有何函数关系？
(2)举一例说明S随l的变化而变化？
(3)怎样求S的最大值呢？
解：S＝l(30－l)
＝－l2＋30l(0＜l＜30)
＝－(l2－30l)＝－(l－15)2＋225
画出此函数的图象，如图．
∴l＝15时，场地的面积S最大(S的最大值为225)．
点拨精讲：二次函数在几何方面的应用特别广泛，要注意自变量的取值范围的确定，同时所画的函数图象只能是抛物线的一部分．
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)
1．y＝－2x2＋8x－7的开口方向是向下，对称轴是x＝2，顶点坐标是(2，1)；当x＝2时，函数y有最大值，其值为y＝1．
2．已知二次函数y＝ax2＋2x＋c(a≠0)有最大值，且ac＝4，则二次函数的顶点在第四象限．
3．抛物线y＝ax2＋bx＋c，与y轴交点的坐标是(0，c)，当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴只有一个交点(即抛物线的顶点)，交点坐标是(－，0)；当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点，交点坐标是(，0)；当b2－4ac<0时，抛物线与x轴没有交点，若抛物线与x轴的两个交点坐标为(x1，0)，(x2，0)，则y＝ax2＋bx＋c＝a(x－x1)(x－x2)．
点拨精讲：与y轴的交点坐标即当x＝0时求y的值；与x轴交点即当y＝0时得到一个一元二次方程，而此一元二次方程有无解，两个相等的解和两个不相等的解三种情况，所以二次函数与x轴的交点情况也分三种．
注意利用抛物线的对称性，已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，可先用交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)，x1，x2为两交点的横坐标．22．1.3 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质(2)
1．进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作函数y＝a(x－h)2的图象．
2．能正确说出y＝a(x－h)2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
3．掌握抛物线y＝a(x－h)2的平移规律．
重点：熟悉作函数图象的主要步骤，会作函数y＝a(x－h)2的图象．
难点：能正确说出图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，掌握抛物线y＝a(x－h)2的平移规律．
一、自学指导．(10分钟)
自学：自学课本P33～34“探究”与“思考”，掌握y＝a(x－h)2与y＝ax2之间的关系，理解并掌握y＝a(x－h)2的相关性质，完成填空．
画函数y＝－x2、y＝－(x＋1)2和y＝－(x－1)2的图象，观察后两个函数图象与抛物线y＝－x2有何关系？它们的对称轴、顶点坐标分别是什么？
点拨精讲：观察图象移动过程，要特别注意特殊点(如顶点)的移动情况．
总结归纳：二次函数y＝a(x－h)2的顶点坐标为(h，0)，对称轴为直线x＝h．当a>0时，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，抛物线有最低点，函数y有最小值；当a<0时，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，抛物线有最高点，函数y有最大值．抛物线y＝ax2向左平移h个单位，即为抛物线y＝a(x＋h)2(h>0)；抛物线y＝ax2向右平移h个单位，即为抛物线y＝a(x－h)2(h>0)．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7分钟)
1．教材P35练习题；
2．抛物线y＝－(x－1)2的开口向下，顶点坐标是(1，0)，对称轴是x＝1，通过向左平移1个单位后，得到抛物线y＝－x2.
一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)
探究1在直角坐标系中画出函数y＝(x＋3)2的图象．
(1)指出函数图象的对称轴和顶点坐标；
2)根据图象回答，当x取何值时，y随x的增大而减小？当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y取最大值或最小值？
(3)怎样平移函数y＝x2的图象得到函数y＝(x＋3)2的图象？
解：(1)对称轴是直线x＝－3，顶点坐标(－3，0)；(2)当x<－3时，y随x的增大而减小；当x>－3时，y随x的的增大而增大；当x＝－3时，y有最小值；(3)将函数y＝x2的图象沿x轴向左平移3个单位得到函数y＝(x＋3)2的图象．
点拨精讲：二次函数的增减性以对称轴为分界，画图象取点时以顶点为分界对称取点．
探究2 已知直线y＝x＋1与x轴交于点A，抛物线y＝－2x2平移后的顶点与点A重合．(1)求平移后的抛物线l的解析式；(2)若点B(x1，y1)，C(x2，y2)在抛物线l上，且－解：(1)∵y＝x＋1，∴令y＝0，则x＝－1，∴A(－1，0)，即抛物线l的顶点坐标为(－1，0)，又抛物线l是由抛物线y＝－2x2平移得到的，∴抛物线l的解析式为y＝－2(x＋1)2.
(2)由(1)可知，抛物线l的对称轴为x＝－1，∵a＝－2<0，∴当x>－1时，y随x的增大而减小，又－y2.
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)
1．不画图象，回答下列问题：
(1)函数y＝3(x－1)2的图象可以看成是由函数y＝3x2的图象作怎样的平移得到的？
(2)说出函数y＝3(x－1)2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
(3)函数有哪些性质？
(4)若将函数y＝3(x－1)2的图象向左平移3个单位得到哪个函数图象？
点拨精讲：性质从增减性、最值来说．
2．与抛物线y＝－2(x＋5)2顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线所对应的函数关系式是y＝2(x＋5)2．
3．对于函数y＝－3(x＋1)2，当x>－1时，函数y随x的增大而减小，当x＝－1时，函数取得最大值，最大值y＝0．
4．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象向左平移2个单位长度得到y＝x2－2x＋1的图象，则b＝－6，c＝9．
点拨精讲：比较函数值的大小，往往可根据函数的性质，结合函数图象，能使解题过程简洁明了．22．1.3 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质(1)
INCLUDEPICTURE"学习目标.TIF"
1．会作函数y＝ax2和y＝ax2＋k的图象，能比较它们的异同；理解a，k对二次函数图象的影响，能正确说出两函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
2．了解抛物线y＝ax2上下平移规律．
INCLUDEPICTURE"重点难点.TIF"
重点：会作函数的图象．
难点：能正确说出两函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
INCLUDEPICTURE"预习导学.TIF"
一、自学指导．(10分钟)
自学：自学课本P32～33“例2”及两个思考，理解y＝ax2＋k中a，k对二次函数图象的影响，完成填空．
总结归纳：二次函数y＝ax2的图象是一条抛物线，其对称轴是y轴，顶点是(0，0)，开口方向由a的符号决定：当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向__下__．当a>0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大．抛物线有最__低__点，函数y有最__小__值．当a<0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随x的增大而减小．抛物线有最__高__点，函数y有最__大__值．
抛物线y＝ax2＋k可由抛物线y＝ax2沿__y__轴方向平移__|k|__单位得到，当k>0时，向__上__平移；当k<0时，向__下__平移．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7分钟)
1．在抛物线y＝x2－2上的一个点是( C )
A．(4，4) B．(1，－4)
C．(2，2) D．(0，4)
2．抛物线y＝x2－16与x轴交于B，C两点，顶点为A，则△ABC的面积为__64__．
点拨精讲：与x轴的交点的横坐标即当y等于0时x的值，即可求出两个交点的坐标．
3．画出二次函数y＝x2－1，y＝x2，y＝x2＋1的图象，观察图象有哪些异同？
点拨精讲：可从开口方向、对称轴、形状大小、顶点、位置去找．
INCLUDEPICTURE"合作探究.TIF"
一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(5分钟)
探究1 抛物线y＝ax2与y＝ax2±c有什么关系？
解：(1)抛物线y＝ax2±c的形状与y＝ax2的形状完全相同，只是位置不同；
(2)抛物线y＝ax2向上平移c个单位得到抛物线y＝ax2＋c；
抛物线y＝ax2向下平移c个单位得到抛物线y＝ax2－c.
探究2 已知抛物线y＝ax2＋c向下平移2个单位后，所得抛物线为y＝－2x2＋4，试求a，c的值．
解：根据题意，得解得
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(13分钟)
1．函数y＝ax2－a与y＝ax－a(a≠0)在同一坐标系中的图象可能是( D )
2．二次函数的图象如图所示，则它的解析式为( B )
A．y＝x2－4
B．y＝－x2＋3
C．y＝(2－x)2
D．y＝(x2－2)
3．二次函数y＝－x2＋4图象的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，4)，当x<0，y随x的增大而增大．
4．抛物线y＝ax2＋c与y＝－3x2的形状大小，开口方向都相同，且其顶点坐标是(0，5)，则其表达式为y＝－3x2＋5，它是由抛物线y＝－3x2向__上__平移__5__个单位得到的．
5．将抛物线y＝－3x2＋4绕顶点旋转180°，所得抛物线的解析式为y＝3x2＋4．
6．已知函数y＝ax2＋c的图象与函数y＝5x2＋1的图象关于x轴对称，则a＝__－5__，c＝__－1__．
点拨精讲：1.函数的图象与性质以及抛物线上下平移规律．(可结合图象理解)
2．抛物线平移多少个单位，主要看两顶点坐标，确定两顶点相隔的距离，从而确定平移的方向与单位长，有时也可以比较两抛物线上横坐标相同的两点相隔的距离，从而确定平移的方向与单位长．22．1.3 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质(3)
1．进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作函数y＝a(x－h)2＋k的图象．
2．能正确说出y＝a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
3．掌握抛物线y＝a(x－h)2＋k的平移规律．
重点：熟悉作函数图象的主要步骤，会作函数y＝a(x－h)2＋k的图象．
难点：能正确说出y＝a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，掌握抛物线y＝a(x－h)2＋k的平移规律．
一、自学指导．(10分钟)
自学：自学课本P35～36“例3、例4”，掌握y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2之间的关系，理解并掌握y＝a(x－h)2＋k的相关性质，完成填空．
总结归纳：一般地，抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2的形状相同，位置不同，把抛物线y＝ax2向上(下)向左(右)平移，可以得到抛物线y＝a(x－h)2＋k，平移的方向、距离要根据h，k的值来决定：当h>0时，表明将抛物线向右平移h个单位；当k<0时，表明将抛物线向下平移|k|个单位．
抛物线y＝a(x－h)2＋k的特点是：当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下；对称轴是直线x＝h；顶点坐标是(h，k)．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7分钟
1．教材P37练习题
2．函数y＝2(x＋3)2－5的图象是由函数y＝2x2的图象先向左平移3个单位，再向下平移5个单位得到的；
3．抛物线y＝－2(x－3)2－1的开口方向是向下，其顶点坐标是(3，－1)，对称轴是直线x＝3，当x>3时，函数值y随自变量x的值的增大而减小．
一、小组讨论：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(13分钟)
探究1 填写下表：
解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标
y＝－2x2 向下 y轴 (0，0)
y＝x2＋1 向上 y轴 (0，1)
y＝－5(x＋2)2 向下 x＝－2 (－2，0)
y＝3(x＋1)2－4 向上 x＝－1 (－1，－4)
点拨精讲：解这类型题要将不同形式的解析式统一为y＝a(x－h)2＋k的形式，便于解答．
探究2 已知y＝a(x－h)2＋k是由抛物线y＝－x2向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的抛物线．(1)求出a，h，k的值；(2)在同一坐标系中，画出y＝a(x－h)2＋k与y＝－x2的图象；(3)观察y＝a(x－h)2＋k的图象，当x取何值时，y随x的增大而增大；当x取何值时，y随x的增大而减小，并求出函数的最值；(4)观察y＝a(x－h)2＋k的图象，你能说出对于一切x的值，函数y的取值范围吗
解：(1)∵抛物线y＝－x2向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的抛物线是y＝－(x－1)2＋2，∴a＝－，h＝1，k＝2；
(2)函数y＝－(x－1)2＋2与y＝－x2的图象如图；
(3)观察y＝－(x－1)2＋2的图象可知，当x<1时，y随x的增大而增大；x>1时，y随x的增大而减小；
(4)由y＝－(x－1)2＋2的图象可知，对于一切x的值，y≤2.
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)
1．将抛物线y＝－2x2向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线解析式是y＝－2(x－3)2＋2．
点拨精讲：抛物线的移动，主要看顶点位置的移动．
2．若直线y＝2x＋m经过第一、三、四象限，则抛物线y＝(x－m)2＋1的顶点必在第二象限．
点拨精讲：此题为二次函数简单的综合题，要注意它们的图象与性质的区别．
3．把y＝2x2－1的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的新抛物线的解析式是y＝2(x－1)2－3．
4．已知A(1，y1)，B(－，y2)，C(－2，y3)在函数y＝a(x＋1)2＋k(a>0)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是y2点拨精讲：本节所学的知识是：二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象画法及其性质的总结；平移的规律．所用的思想方法：从特殊到一般．22．1.1 二次函数
INCLUDEPICTURE"学习目标.TIF"
结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念；能够表示简单变量之间的二次函数关系．
INCLUDEPICTURE"重点难点.TIF"
重点：能够表示简单变量之间的二次函数关系．
难点：理解二次函数的有关概念．
INCLUDEPICTURE"预习导学.TIF"
一、自学指导．(10分钟)
自学：自学课本P28～29，自学“思考”，理解二次函数的概念及意义，完成填空．
总结归纳：一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的函数叫做二次函数，其中二次项系数、一次项系数和常数项分别为a，b，c．现在我们已学过的函数有一次函数、二次函数，其表达式分别是y＝ax＋b(a，b为常数，且a≠0)、y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，且a≠0)．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)
1．下列函数中，是二次函数的有__A，B，C__．
A．y＝(x－3)2－1
B．y＝1－x2
C．y＝(x＋2)(x－2)
D．y＝(x－1)2－x2
2．二次函数y＝－x2＋2x中，二次项系数是__－1__，一次项系数是__2__，常数项是__0__．
3．半径为R的圆，半径增加x，圆的面积增加y，则y与x之间的函数关系式为y＝πx2＋2πRx(x≥0)．
点拨精讲：判断二次函数关系要紧扣定义．
INCLUDEPICTURE"合作探究.TIF"
一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟)
探究1 若y＝(b－2)x2＋4是二次函数，则__b≠2__．
探究2 某超市购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每月可售出500个，根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个，如果超市将篮球售价定为x元(x>50)，每月销售这种篮球获利y元．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)超市计划下月销售这种篮球获利8000元，又要吸引更多的顾客，那么这种篮球的售价为多少元？
解：(1)y＝－10x2＋1400x－40000(50(2)由题意得：－10x2＋1400x－40000＝8000，
化简得x2－140x＋4800＝0，∴x1＝60，x2＝80.
∵要吸引更多的顾客，∴售价应定为60元．
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟)
1．如果函数y＝(k＋1)xk2＋1是y关于x的二次函数，则k的值为多少？
2．设y＝y1－y2，若y1与x2成正比例，y2与成反比例，则y与x的函数关系是( A )
A．二次函数 B．一次函数
C．正比例函数 D．反比例函数
3．已知，函数y＝(m－4)xm2－m＋2x2－3x－1是关于x的函数．
(1)m为何值时，它是y关于x的一次函数？
(2)m为何值时，它是y关于x的二次函数？
点拨精讲：第3题的第(2)问，要分情况讨论．
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝2 cm，BC＝4 cm，P是BC上的一动点，动点Q仅在PC或其延长线上，且BP＝PQ，以PQ为一边作正方形PQRS，点P从B点开始沿射线BC方向运动，设BP＝x cm，正方形PQRS与矩形ABCD重叠部分面积为y cm2，试分别写出0≤x≤2和2≤x≤4时，y与x之间的函数关系式．
点拨精讲：1.二次函数不要忽视二次项系数a≠0.
2．有时候要根据自变量的取值范围写函数关系式．
