昌吉州第一中学 高三年级3月月考
数 学 试 卷
总分150分 考试时间120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先化简集合，再由交集运算可得.
【详解】，
又，则.
故选：B.
2. 若，则（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】
化简复数为，结合复数的除法运算法则，即可求解.
【详解】由题意，复数，可得.
故选：A.
【点睛】本题考查了复数的运算法则的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3. 已知平面向量，，若，则的值为（ ）
A. 2 B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量线性运算的坐标表示与向量垂直的坐标表示求解即可
【详解】因，，
所以，
又因为，
所以，即，
解得，
故选：B
4. 函数在上严格增，设，若，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用函数的单调性首先缩小范围，即得出的范围，然后由的不同取值范围确定的范围，检验不等式是否成立即可得．
【详解】在上严格增，所以，，
，则，，
，即，解得或．
时，，，，不等式不成立，
时，，，
，成立．
所以．
故选：A．
5. 历时天嫦娥五号成功携带月球样品返回地球，标志着中国航天向前迈出一大步．其中年月日晚，嫦娥五号成功进行首次近月制动，进入一个大椭圆轨道．该椭圆形轨道以月球球心为一个焦点，若其近月点(离月球表面最近的点)与月球表面距离为公里，远月点(离月球表面最远的点)与月球表面距离为公里，并且，，在同一直线上．已知月球的半径为公里，则该椭圆形轨道的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析】
由已知可得卫星的近地点、远地点离地心的距离分别为 ，则 ，进而可求解.
【详解】由已知可得卫星的近地点、远地点离地心的距离分别为
设轨道的标准方程为
所以
解得，
所以椭圆形轨道的离心率为
故选：B
6. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由，易得，，从而可求出，即可得出答案.
【详解】解：因为，
所以，即，
所以，
即，
所以，
所以或，
所以或，，
当时，，不合题意，舍去，
当时，，
所以.
故选：C.
7. 如图，抛物线的焦点为，斜率为的直线与轴、抛物线相交于（自下而上），且.记的面积分别为，则是成立的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量垂直的坐标关系得，进而联立直线与抛物线方程，根据韦达定理可得，进而根据面积关系即可求解，进而可判断.
【详解】由题可得，点在抛物线上.设，则.
因为，所以，所以.
设直线的方程为，与抛物线方程联立得①，
所以，
故②，
联立①②可得，则.
又由，
.
又因为，则，解得，所以（舍），
所以是成立的充要条件.
故选：C
8. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的值等于
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由正弦定理及条件得到，于是可得，再根据平方关系可得．
详解】由及正弦定理，得
，
整理得．
又，
所以，
由于，
所以，
所以．
故选C．
【点睛】正余弦定理常与三角变换结合在一起考查，考查综合运用知识解决问题的能力，解题时要注意公式的灵活选择和应用．另外，在三角形中特别要注意三个内角间的关系，再结合诱导公式灵活应用．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】因为，，所以，由均值不等式可判断A；由可判断B；由，由均值不等式可判断C；，令，则，令，对函数求导，得到函数的单调性，可判断D.
【详解】因为，，所以，选项A：因为，所以，
当且仅当时等号成立，故正确；
选项B：因，
当且仅当时等号成立，故不正确；
选项C：因为，
所以，当且仅当时等号成立，故不正确；
选项D：，令，则，
令，所以，所以
在上单调递增，所以，所以，故D正确.
故选：AD.
10. 已知函数，且，则（ ）
A.
B. 为非奇非偶函数
C. 函数的值域为
D. 不等式的解集为
【答案】ACD
【解析】
【分析】由求得可判断A；利用奇偶性定义可判断B；由的范围可得的范围，可判断C；利用的单调性可判断D.
【详解】，求得，A正确；
时，，
∵，∴为奇函数，B不正确；
∵，∴，∴，，
∴，C正确；
，因为是上单调递增函数，是上单调递减函数，
所以是上单调递增函数，
∴，
∴，∴，∴解集为，D正确.
故选：ACD.
11. 新能源汽车相比较传统汽车具有节能环保 乘坐舒适 操控性好 使用成本低等优势，近几年在我国得到越来越多消费者的青睐.某品牌新能源汽车2023年上半年的销量如下表：
月份x 1 2 3 4 5 6
销量y（万辆） 11.7 12.4 13.8 13.2 14.6 15.3
针对上表数据，下列说法正确的有（ ）
A. 销量的极差为3.6
B. 销量的分位数是13.2
C. 销量的平均数与中位数相等
D. 若销量关于月份的回归方程为，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】将销量按升序排列，对于ABC：根据统计相关知识逐项分析判断；对于D：根据回归直线必过样本中心点运算求解.
【详解】将销量按升序排列可得11.7，12.4，13.2，13.8，14.6，15.3，
对于选项A：销量的极差为，故A正确；
对于选项B：因为，所以销量的分位数是第4位数13.8，故B错误；
对于选项C：因为销量的平均数，
销量的中位数，
所以销量的平均数与中位数相等，故C正确；
对于选项D：因为月份的平均数，
可知回归方程为过样本中心点，
即，解得，故D正确；
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分．
12. 已知体育器材室有4个篮球、2个足球和1个排球，某班上体育课要从中选4个球，规定每种球至少选1个，则不同的选法共有__________．（请用数字作答）
【答案】16
【解析】
【分析】分取2个篮球与2个足球两种情况讨论，分别利用组合知识与分步计数乘法原理求出两种情况的不同的选法，然后求和即可.
【详解】选1个排球、1个足球、2个篮球有种选法；
选1个排球、2个足球、1个篮球有种选法，一共有16种选法,故答案为16.
【点睛】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于中档题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.
13. 若圆台的上、下底面圆半径分别为1、2，、分别为圆台上下底面圆心.若该圆台存在内切球，则该圆台的体积为______.
【答案】
【解析】
【分析】作出圆台的轴截面，然后根据题意可求出圆台的母线长，从而可求出圆的高，进而可求出圆台的体积.
【详解】圆台的轴截面如图所示，设内切球的球心为，内切球与母线切于点，则
，
所以，
过点作于，则，
所以，
所以圆台的体积为
，
故答案为：
14. 已知函数，若函数有且仅有两个零点，则实数b的取值范围是_________________．
【答案】
【解析】
【分析】首先画出函数的图象，然后令，有两个不同交点，经分析，只能与的图象有两个不同的交点，利用导数的几何意义可求得答案.
【详解】函数有且仅有两个零点，
函数与函数的图象有且仅有两个交点，
作函数与函数的图象如下，
当时，有一个交点，是一个临界值，
当直线与相切时，令，解得 ，
故切点为，故此时，
结合图象要使函数有且仅有两个零点，
则实数b的取值范围是，
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请根据答题卡题号及分值在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效．
15. 在中，内角的对边分别为，且．
（1）求角的大小；
（2）是线段上的点，且，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示以及正弦定理得出结果；
（2）设，，由正弦定理以及三角形面积公式、两角差的正弦公式，切化弦公式得出结果.
【小问1详解】
因为，
所以，
由正弦定理可得，
即，又，
，
，则，
所以，，又，
因此．
【小问2详解】
设，因为，则，
因为，所以，
在中，由正弦定理可知，即，
即，
化简可得，即，
所以，
所以．
16. 如图，在多面体中，平面平面，四边形为正方形，四边形为梯形，且，.
（1）求直线与平面所成角的余弦值．
（2）线段上是否存在点，使得直线平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）存在；
【解析】
【分析】（1）由题意结合面面垂直的性质可得两两垂直，即可建立空间直角坐标系，得到平面的法向量与直线的方向向量，即可得直线与平面所成角的余弦值；
（2）设，用表示出平面的法向量，由在线段上存在，使得直线平面，等价于存在，使，计算即可得.
【小问1详解】
因为为正方形，所以，
又因为平面平面，且平面平面，
平面，所以平面，所以，
因为，所以两两垂直，
以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，则，
设直线与平面所成的角为，
则，
故，
即直线与平面所成角的余弦值为，
【小问2详解】
设，
则，
，
，
设平面的一个法向量为，
，
则，即，
令，则，
，
在线段上存在，使得直线平面，
等价于存在，使，
，，解得，
线段上存在点，使得平面，且.
17. 设是等比数列，公比大于，其前项和为，是等差数列.已知，，，.
（1）求和的通项公式；
（2）设，求前项和.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用等差数列和等比数列通项公式可构造关于的方程，解方程求得后，利用等差和等比数列通项公式可得结果；
（2）由（1）可得，利用错位相减法可求得结果.
【小问1详解】
设等比数列的公比为，
由得：，解得：，；
设等差数列的公差为，
由得：，即；
由得：，即；
由得：，；
【小问2详解】
由（1）得：；
，
，
两式作差得：，
.
18. 某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比上一年增加的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比上一年增加5千元.两种方案的使用期都是10年，到期一次性归还本息.若银行两种形式的贷款都按年息的复利计算，试比较两种方案中，哪种使该企业获利更多 用数据说明理由.（注:计算过程中可取）
【答案】甲方案更好.
【解析】
【分析】利用等差数列和等比数列求和公式求得企业10年所获利润综合，在求得银行的本息综合，得出两种方案的纯利润，进而得到答案.
【详解】由题意，甲方案是等比数列，乙方案是等差数列，
甲方案获利为：（万元），
银行贷款本息和为：（万元），
所以甲方案纯利润为：（万元），
乙方案获利为：（万元）
银行本息和为：（万元），
所以乙方案的纯利润为：（万元），
综上可得，甲方案更好.
19. 如图，在正三棱柱中，是的中点，是线段上的动点，且.
（1）若，求证：；
（2）求二面角的余弦值；
（3）若直线与平面所成角的大小为，求的最大值
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）取中点，通过线线垂直证明平面，从而得到
（2）取中点，中点，连接，则即为二面角的平面角，再利用余弦定理求出其余弦值.
（3）利用等体积法，求出到平面的距离及的长度，从而表示出关于的函数，求出最大值.
【详解】（1）取中点，联结和，
∵，为中点，又为中点，，
，，
同理，平面，；
（2）取中点，中点，连接，
则，，即为二面角的平面角，
设，则，
，即二面角的余弦值为
（3）设，到平面的距离为，
则，
由等体积法，，即，
可得，
而，
∴
，
当且仅当，即时，等号成立，
即的最大值为.
【点睛】本题考查通过线面垂直证明线线垂直，二面角的求法，以及线面角的正弦值的表示，属于中档题.昌吉州第一中学 高三年级3月月考
数 学 试 卷
总分150分 考试时间120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若，则（ ）
A. B. C. D. 1
3. 已知平面向量，，若，则的值为（ ）
A. 2 B.
C. D.
4. 函数在上严格增，设，若，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
5. 历时天嫦娥五号成功携带月球样品返回地球，标志着中国航天向前迈出一大步．其中年月日晚，嫦娥五号成功进行首次近月制动，进入一个大椭圆轨道．该椭圆形轨道以月球球心为一个焦点，若其近月点(离月球表面最近的点)与月球表面距离为公里，远月点(离月球表面最远的点)与月球表面距离为公里，并且，，在同一直线上．已知月球的半径为公里，则该椭圆形轨道的离心率为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，抛物线的焦点为，斜率为的直线与轴、抛物线相交于（自下而上），且.记的面积分别为，则是成立的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的值等于
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
10. 已知函数，且，则（ ）
A.
B. 为非奇非偶函数
C. 函数值域为
D. 不等式的解集为
11. 新能源汽车相比较传统汽车具有节能环保 乘坐舒适 操控性好 使用成本低等优势，近几年在我国得到越来越多消费者青睐.某品牌新能源汽车2023年上半年的销量如下表：
月份x 1 2 3 4 5 6
销量y（万辆） 11.7 12.4 13.8 13.2 14.6 15.3
针对上表数据，下列说法正确的有（ ）
A. 销量的极差为3.6
B. 销量的分位数是13.2
C. 销量的平均数与中位数相等
D. 若销量关于月份的回归方程为，则
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分．
12. 已知体育器材室有4个篮球、2个足球和1个排球，某班上体育课要从中选4个球，规定每种球至少选1个，则不同选法共有__________．（请用数字作答）
13. 若圆台的上、下底面圆半径分别为1、2，、分别为圆台上下底面圆心.若该圆台存在内切球，则该圆台的体积为______.
14. 已知函数，若函数有且仅有两个零点，则实数b的取值范围是_________________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请根据答题卡题号及分值在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效．
15. 在中，内角的对边分别为，且．
（1）求角的大小；
（2）是线段上的点，且，求的面积．
16. 如图，在多面体中，平面平面，四边形为正方形，四边形为梯形，且，.
（1）求直线与平面所成角的余弦值．
（2）线段上是否存在点，使得直线平面？若存在，求出值；若不存在，请说明理由．
17. 设是等比数列，公比大于，其前项和为，是等差数列.已知，，，.
（1）求和的通项公式；
（2）设，求的前项和.
18. 某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比上一年增加的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比上一年增加5千元.两种方案的使用期都是10年，到期一次性归还本息.若银行两种形式的贷款都按年息的复利计算，试比较两种方案中，哪种使该企业获利更多 用数据说明理由.（注:计算过程中可取）
19. 如图，在正三棱柱中，是的中点，是线段上的动点，且.
（1）若，求证：；
（2）求二面角的余弦值；
（3）若直线与平面所成角大小为，求的最大值
