2024年3月高二月考数学试卷
考试时间：120分钟； 试卷满分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单项选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在等差数列中，，，则（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据等差数列的性质求得公差，进而求得.
【详解】设等差数列的公差为，
，
所以.
故选：C
2. 复数满足，则（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先待定结合复数相等求得，结合模长公式即可求解.
【详解】由题意不妨设，所以，
所以，解得，所以.
故选：C.
3. 函数的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据导数的几何意义和割线的斜率可得三者之间的大小关系.
【详解】
设，由图可得，
而，
故，
故选：C.
4. 在四边形中，四个顶点A，B，C，D的坐标分别是，，，，E，F分别为的中点，则（ ）
A. 10 B. 12 C. 14 D. 16
【答案】A
【解析】
【分析】利用中点坐标公式以及向量的坐标表示进行数量积运算.
【详解】由题意，
则，，
.
故选：A
5. 如图是根据某校高三8位同学的数学月考成绩（单位：分）画出的茎叶图，其中左边的数字从左到右分别表示学生数学月考成绩的百位数字和十位数字，右边的数字表示学生数学月考成绩的个位数字，则下列结论正确的是（ ）
A. 这8位同学数学月考成绩的极差是14
B. 这8位同学数学月考成绩中位数是122
C. 这8位同学数学月考成绩的众数是118
D. 这8位同学数学月考成绩的平均数是124
【答案】B
【解析】
【分析】根据一组数据的极差，中位数，众数和平均数定义即可判断或求得.
【详解】学生数学成绩从小到大为，
对于选项A，极差是，故A错误；
对于选项B，中位数是 ，故B正确；
对于选项C，众数是117，故C错误；
对于选项D，平均数是，故D错误.
故选:B.
6. 圆与圆公切线的条数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根据两圆的一般方程求出两圆圆心、半径，求出圆心距.根据圆心距与两半径之间的关系可得两圆外离，即可得出答案.
【详解】根据题意：
圆，，
其圆心为，半径；
圆，，
其圆心为，半径；
两圆的圆心距，所以两圆外离，
所以公切线条数有4条.
故选：D.
7. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线焦点为F，过点F且倾斜角为120°的直线与抛物线C交于A，B两点，其中点A在第一象限，若，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】联立直线与抛物线方程可得韦达定理，即可根据焦点弦求解，进而可得，即可求解面积.
【详解】根据题意得直线，
由得
设，则，
故，
解得，代入（*）式，解得．
将代入直线的方程中，
解得，故，
故选:B．
8. 已知函数的部分图象如下，与其交于A，B两点．若，则（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】首先解方程，结合图象，求得方程的实数根，即可求解的值.
【详解】令，则，，，
则，且，所以.
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题的关键是结合余弦函数的图象，正确求解两点的坐标.
二、多项选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分
9. 给出下列命题，其中正确的是（ ）
A. 任意向量，，满足
B. 在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点是
C. 已知，，，为空间向量的一个基底，则向量，，能共面
D. 已知，，，则向量在向量上的投影向量是
【答案】BC
【解析】
【分析】根据向量的数量积的几何意义，可判定A错误；根据空间直角坐标系的特征，可判定B正确；根据共面向量定理，可判定C正确；根据投影向量的计算方法，可判定D错误.
【详解】对于A中，根据向量的数量积的定义知，
所以与分别表示与向量和向量共线的向量，
又因为向量和不一定共线，所以A不正确；
对于B中，根据空间直角坐标系的特征，点关于坐标平面的对称点是，所以B正确；
对于C中，由向量，，，
设，即，
可得，此时，即，所以向量，，能共面，所以C正确；
对于D中，由，，，
可得，则，
所以向量在向量上的投影向量为，所以D错误.
故选：BC.
10. 关于等差数列和等比数列，下列说法正确的是（ ）
A. 若数列的前项和，则数列为等比数列
B. 若的前项和，则数列为等差数列
C. 若数列为等比数列，为前项和，则成等比数列
D. 若数列为等差数列，为前项和，则成等差数列
【答案】AD
【解析】
【分析】对选项A，利用与的关系判断即可判断，对选项B，利用特值法即可判断，对选项C，利用特值法即可判断，对选项D，根据等差数列公式即可判断.
【详解】对选项A，当时，，
当时，
取时，，此时也满足，
故的通项公式为
所以数列为等比数列，故A正确；
对选项B，，
，不满足数列为等差数列，故B错误；
对选项C，当时，为等比数列，
，
不满足成等比数列，故C错误；
对选项D，设等差数列的公差为，首项是，，
，
，
因此，则成等差数列，故D正确.
故选：AD.
11. 已知圆台的上、下底面直径分别为2，6，高为，则（ ）
A. 该圆台的体积为
B. 该圆台外接球的表面积为
C. 用过任意两条母线的平面截该圆台所得截面周长的最大值为16
D. 挖去以该圆台上底面为底，高为的圆柱后所得几何体的表面积为
【答案】BC
【解析】
【分析】对于A：直接利用公式求解；对于B：先求出外接球半径，再利用体积公式求解；对于C ：通过轴截面的周长最大来求解；对于D：用面积公式求表面积.
【详解】由已知得圆台的上下底面半径分别为，
对于A：圆台的体积为，A错误；
对于B：如图是圆台轴截面，外接球球心为，设外接球半径为，
当球心在梯形内时，，解得，
当球心在梯形外时，，方程无解，
所以外接球的表面积，B正确；
对于C：用过任意两条母线的平面截该圆台所得截面周长，其中轴截面的周长最大，
又母线长为，则最大周长为，C正确；
对于D：如图：挖去以该圆台上底面为底，高为的圆柱后所得几何体的表面积为
，D错误.
故选：BC.
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分
12. 设函数满足，则__________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据导数的定义及极限的运算性质计算可得.
【详解】因为，
所以.
故答案为：
13. ①某班植树小组今年计划植树不少于100棵，若第一天植树2棵，以后每天植树的棵树是前一天的2倍，则需要的最少天数等于_______；
②______
【答案】 ①. 6 ②. ##
【解析】
【分析】①利用等比数列的前项和公式，计算求解；
②利用裂项相消法求和.
【详解】①设每天植树的棵树为，数列是等比数列，首项，公比，
数列的前项和为，，得，
所以至少需要6天；
②
.
故答案为：；.
14. 定义一种新运算：，已知函数，若函数恰有两个零点，则k的取值范围为________.
【答案】
【解析】
【分析】化简，从而作函数与的图象，利用数形结合求解.
【详解】解：由题意得，
，
作函数与的图象如下，
结合图象可知，，
故答案为：.
【点睛】本题考查了根据函数零点的个数求参数的范围，同时考查了数形结合的思想应用，属于中档题.
四、解答题：本题共5小题，共77分.
15. 如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的正方形，平面平面．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】(1)利用面面垂直的性质定理即可证明;(2)建立空间直角坐标系，利用空间角的坐标运算求解方法进行求解.
【小问1详解】
∵四边形是正方形，
∴．
又∵平面平面，平面平面，
且平面
∴平面．
【小问2详解】
由，得，
∴．
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
∴，，．
设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为．
则，令，则，
∴．
，令，则，
∴，
∴．
∴平面与平面夹角的余弦值为．
16. 已知圆经过两点，且圆心在直线上.
（1）求圆的标准方程；
（2）过点的直线被圆截得的弦长为8，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据圆心所在直线设出圆心坐标，结合圆过的点列出方程求解圆心进而求圆的方程；
（2）先求出圆心到直线的距离，再分类讨论直线斜率不存在和存在两种情况求解方程即可.
【小问1详解】
因为圆心在直线上，
所以设，
因为圆经过两点，
所以，
解得，即，半径，
所以圆的标准方程为
【小问2详解】
因为过点的直线被圆截得的弦长为8，
所以到直线距离，
当直线斜率不存时，直线满足题意；
当直线斜率存在时，设直线方程为，即，
所以，解得，
此时直线方程为，即.
综上所述，直线的方程为或
17. 在中，角，，的对边分别为，，，已知．
（1）求；
（2）若，，为的中点，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式得到，即可得解；
（2）由余弦定理求出，再由，根据数量积的运算律计算可得.
【小问1详解】
因为，
由正弦定理得，
在中，，
则有，
，
，又，，
，，又，；
【小问2详解】
根据余弦定理有，
则有，解得或（舍去），
为的中点，则，
，
．
18. 已知数列满足，．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）构造数列，得数列是等差数列，得的通项公式，进而得的通项公式；
（2）用裂项相消法求的前项和.
【小问1详解】
设，则，，
所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列，
所以，．
【小问2详解】
，
．
19. 已知椭圆E：经过点，右焦点为，A，B分别为椭圆E的上顶点和下顶点.
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）已知过且斜率存在的直线l与椭圆E交于C、D两点，直线BD与直线AC的斜率分别为k1和k2，求的值.
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）由已知可得关于，，的方程组，从而可得，的值，从而可得椭圆的方程；
（2）设直线，与椭圆方程联立，可得根与系数的关系，利用两点的斜率公式表示出和，作比，结合根与系数的关系即可求解．
【小问1详解】
由，
，，
椭圆的标准方程为．
【小问2详解】
设直线：，联立直线和椭圆方程，
，
，记，，
则，
由题意知和．
则，，
则
，
所以．2024年3月高二月考数学试卷
考试时间：120分钟； 试卷满分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单项选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在等差数列中，，，则（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 8
2. 复数满足，则（ ）
A. B. 2 C. D.
3. 函数的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 在四边形中，四个顶点A，B，C，D的坐标分别是，，，，E，F分别为的中点，则（ ）
A. 10 B. 12 C. 14 D. 16
5. 如图是根据某校高三8位同学数学月考成绩（单位：分）画出的茎叶图，其中左边的数字从左到右分别表示学生数学月考成绩的百位数字和十位数字，右边的数字表示学生数学月考成绩的个位数字，则下列结论正确的是（ ）
A. 这8位同学数学月考成绩的极差是14
B. 这8位同学数学月考成绩的中位数是122
C. 这8位同学数学月考成绩的众数是118
D. 这8位同学数学月考成绩平均数是124
6. 圆与圆公切线的条数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的焦点为F，过点F且倾斜角为120°的直线与抛物线C交于A，B两点，其中点A在第一象限，若，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数的部分图象如下，与其交于A，B两点．若，则（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
二、多项选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分
9. 给出下列命题，其中正确的是（ ）
A. 任意向量，，满足
B. 在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点是
C. 已知，，，为空间向量的一个基底，则向量，，能共面
D. 已知，，，则向量在向量上的投影向量是
10. 关于等差数列和等比数列，下列说法正确的是（ ）
A. 若数列前项和，则数列为等比数列
B. 若的前项和，则数列为等差数列
C. 若数列为等比数列，为前项和，则成等比数列
D. 若数列为等差数列，为前项和，则成等差数列
11. 已知圆台的上、下底面直径分别为2，6，高为，则（ ）
A. 该圆台的体积为
B. 该圆台外接球表面积为
C. 用过任意两条母线的平面截该圆台所得截面周长的最大值为16
D. 挖去以该圆台上底面为底，高为的圆柱后所得几何体的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分
12 设函数满足，则__________.
13. ①某班植树小组今年计划植树不少于100棵，若第一天植树2棵，以后每天植树的棵树是前一天的2倍，则需要的最少天数等于_______；
②______
14. 定义一种新运算：，已知函数，若函数恰有两个零点，则k的取值范围为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.
15. 如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的正方形，平面平面．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
16. 已知圆经过两点，且圆心在直线上.
（1）求圆的标准方程；
（2）过点的直线被圆截得的弦长为8，求直线的方程.
17. 在中，角，，的对边分别为，，，已知．
（1）求；
（2）若，，为的中点，求．
18. 已知数列满足，．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
19. 已知椭圆E：经过点，右焦点为，A，B分别为椭圆E的上顶点和下顶点.
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）已知过且斜率存在的直线l与椭圆E交于C、D两点，直线BD与直线AC的斜率分别为k1和k2，求的值.
