1.5定积分与微积分基本定理
考点一 定积分的计算
【考点梳理】
1．定积分的定义
如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x02．定积分的几何意义
(1)当f(x)≥0时，定积分f(x) dx表示由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．【来源：21·世纪·教育·网】
(2)当f(x)在[a，b]上有正有负时，如图2－13－1所示，
图2－13－1
则定积分f(x)dx表示介于x轴，曲线y＝f(x)以及直线x＝a，x＝b(a≠b)之间各部分曲边梯形面积的代数和，即f(x)dx＝A1＋A3－A2－A4.2-1-c-n-j-y
3．定积分的性质
(1)kf(x)dx＝kf(x)dx(k为常数)；
(2)[f1(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx；
(3)f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a4．微积分基本定理
一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝
F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．
其中F(x)叫做f(x)的一个原函数．
为了方便，常把F(b)－F(a)记作F(x)，即f(x)dx＝F(x)＝F(b)－F(a)．
【例题分析】
例1.计算下列定积分：
(1)(3x2－2x＋1)dx； (2)dx；(3)(sin x－cos x)dx； (4)|1－x|dx.
【解析】(1)(3x2－2x＋1)dx＝(x3－x2＋x)＝24.
(2)dx＝＝－ln 2.
(3)(sin x－cos x)dx＝sin xdx－cos xdx＝(－cos x)－sin x＝2.
(4)|1－x|dx＝(1－x)dx＋(x－1)dx＝＋
＝－0＋－＝1.
【变式训练】
1．定积分(2x＋ex)dx的值为( )
A．e＋2 B．e＋1
C．e D．e－1
【解析】(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)＝(1＋e)－(0＋e0)＝e，故选C.
2．设f(x)＝，则 f(x)dx的值是( )
A．x2dx B．2xdx
C．x2dx＋2xdx D．2xdx＋x2dx
【解析】 由分段函数的积分公式知选D．
【适应训练】
2．定积分|x2－2x|dx＝( )
A．5 B．6 C．7 D．8
【解析】 |x2－2x|＝
|x2－2x|dx＝ (x2－2x)dx＋ (－x2＋2x)dx
＝＋＝8. 故选D
3．若S1＝x2dx，S2＝dx，S3＝exdx，则S1，S2，S3的大小关系为( )
A．S1【解析】S1＝x2dx＝|＝.S2＝dx＝lnx|＝ln2－ln1＝ln2.
S3＝exdx＝ex|＝e2－e＝e(e－1)．
∵e>2.7，∴S3>3>S1>S2.故选B．
3．设函数f(x)＝(x－1)x(x＋1)，则满足f′(x)dx＝0的实数a＝_______.
【解析】f′(x)dx＝f(a)＝0，得a＝0或1或－1，又由积分性质知a>0，故a＝1.
答案：1
4. ＝________.
【解析】依题意得sindx＝ (sin x＋cos x)dx＝(sin x－cos x) ＝－(sin 0－cos 0)＝2.21教育网
答案：2
5． dx＝________.
【解析】dx表示圆x2＋y2＝a2在第二象限的面积，为.故答案
6.已知，直线交圆于两点，则．
【知识点】定积分 直线与圆的位置关系
【解析】因为，圆心到直线y=2x+1的距离为，所以.故答案
7．若函数f(x)，g(x)满足f(x)g(x)dx＝0，则称f(x)，g(x)为区间[－1,1]上的一组正交函数．给出三组函数：21·世纪*教育网
①f(x)＝sinx，g(x)＝cosx；②f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1；③f(x)＝x，g(x)＝x2.
其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【解析】对于①，sinxcosxdx＝sin xdx＝0，所以①是一组正交函数；对于②， (x＋1)(x－1)dx＝ (x2－1)dx≠0，所以②不是一组正交函数；对于③，x·x2dx＝x3dx＝0，所以③是一组正交函数．故选C.【出处：21教育名师】
8．已知f(x)为二次函数，且f(－1)＝2，f ′(0)＝0，f(x)dx＝－2，
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值．
【解析】 (1)设f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)，
则f ′(x)＝2ax＋B．
由f(－1)＝2，f ′(0)＝0，得
，即，∴f(x)＝ax2＋(2－a)．
又f(x)dx＝[ax2＋(2－a)]dx
＝[ax3＋(2－a)x]|＝2－a＝－2，∴a＝6，
从而f(x)＝6x2－4.
(2)∵f(x)＝6x2－4，x∈[－1,1]．
∴当x＝0时，f(x)min＝－4；当x＝±1时，f(x)max＝2.
考点二 定积分几何意义的应用
【考点梳理】
1、定积分的几何意义
如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么定积分f(x)dx表示由直线x＝a，
x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积．
【注】曲边梯形的面积非负，而定积分的结果可以为负．
【例题分析】
例1. 由曲线y＝，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为________．
【解析】由y＝及y＝x－2可得，x＝4，即两曲线交于点(4,2)．由定积分的几何意义
可知，由y＝及y＝x－2及y轴所围成的封闭图形面积为
(－x＋2)dx＝＝.[答案]
【注】1.求曲边图形面积的方法与步骤,?
1?画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；
?2?对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；
?3?确定被积函数；
?4?求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和.
2.利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数.
当图形的边界不同时，要分不同情况讨论.
【变式训练】
1．求曲线y＝x2与y＝x所围成图形的面积，其中正确的是( )
A．S＝(x2－x)dx B．S＝(x－x2)dx C．S＝(y2－y)dy D．S＝(y－)dy
【解析】 由得或，∴S＝(x－x2)dx，故选B.
2.由曲线y＝，直线y＝－x＋2及x轴所围成的图形的面积为________．
解：如图所示，由y＝及y＝－x＋2可得x＝1.由定积分的几何意义可知，由y＝，y＝－x＋2及x轴所围成的封闭图形的面积为21·cn·jy·com
dx＋ (－x＋2)dx＝x＋
＝.
3. 由曲线y＝，直线y＝m，且由曲线f(x)＝与y轴及直线y＝m(m＞0)围成的图形的面积为，则m的值为________．www.21-cn-jy.com
【解析】S＝(m－)dx＝＝m3－m3＝，所以m＝2.
答案：2
4.求曲线y＝，y＝2－x，y＝－x所围成图形的面积．
【解析】由得交点A(1,1)．
由得交点B(3，－1)．
故所求面积
S＝dx＋dx
＝＋
＝＋＋＝.
【适应训练】
5.如图所示，曲线y＝x2－1，x＝2，x＝0，y＝0围成的阴影部分的面积为( )
A. |x2－1|dx
B.|(x2－1)dx|
C.(x2－1)dx
D.(x2－1)dx＋(1－x2)dx
【解析】 由曲线y＝|x2－1|的对称性，所求阴影部分的面积与如下图形的面积相等，即|x2－1|dx.故选A2·1·c·n·j·y
6．函数y＝x－x2的图象与x轴所围成的封闭图形的面积等于________．
【解析】由x－x2＝0，得x＝0或x＝1.因此所围成的封闭图形的面积为(x－x2)dx＝＝－＝.www-2-1-cnjy-com
答案：
7.如图2－13－2，设OABC是图中边长分别为1和2的矩形区域，则矩形OABC内位于函数y＝(x＞0)图象下方的阴影部分区域面积为( )【版权所有：21教育】
图2－13－2
A．ln 2 B．1－ln 2
C．2－ln 2 D．1＋ln 2
8.曲线y＝x2与直线y＝kx(k＞0)所围成的曲边图形的面积为，则k＝________.
【解析】由得或
则曲线y＝x2与直线y＝kx(k＞0)所围成的曲边梯形的面积为
(kx－x2)dx＝＝－k3＝，
即k3＝8，∴k＝2.
9．已知函数f(x)＝x3－x2＋x＋1，求其在点(1,2)处的切线与函数g(x)＝x2围成的图形的
面积．
【解析】∵(1,2)为曲线f(x)＝x3－x2＋x＋1上的点，设过点(1,2)处的切线的斜率为k，
则k＝f′(1)＝(3x2－2x＋1)＝2，∴过点(1,2)处的切线方程为y－2＝2(x－1)，
即y＝2x.y＝2x与函数g(x)＝x2围成的图形如图：
由可得交点A(2,4)．
∴y＝2x与函数g(x)＝x2围成的图形的面积
S＝ (2x－x2)＝＝4－＝.
考点三 定积分在物理中的应用
【考点梳理】
1．变速直线运动问题
如果做变速直线运动的物体的速度v关于时间t的函数是v＝v(t)(v(t)≥0)，那么物体从时刻t＝a到t＝b所经过的路程为v(t)dt；如果做变速直线运动的物体的速度关于时间的函数是v＝v(t)(v(t)≤0)，那么物体从时刻t＝a到t＝b所经过的路程为－v(t)dt.
2．变力做功问题
物体在变力F(x)的作用下，沿与力F(x)相同方向从x＝a到x＝b所做的功为F(x)dx.
【例题分析】
例1、一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )
A．1＋25ln 5 B．8＋25ln C．4＋25ln 5 D．4＋50ln 2
【解析】由v(t)＝7－3t＋＝0，可得t＝4，因此汽车从刹车到停止一共行驶了4 s，此期间行驶的距离为v(t)dt＝dt＝＝4＋25ln 5. 故选C 21cnjy.com
例2、设变力F(x)作用在质点M上，使M沿x轴正向从x＝1运动到x＝10，已知F(x)＝x2＋1且方向和x轴正向相同，则变力F(x)对质点M所做的功为________J(x的单位：m，力的单位：N)．【来源：21cnj*y.co*m】
【解析】由题意知变力F(x)对质点M所做的功为∫(x2＋1)dx＝＝342.
故答案342
【变式训练】
1.物体A以v＝3t2＋1(m/s)的速度在一直线l上运动，物体B在直线l上，且在物体A的正前方5 m处，同时以v＝10t(m/s)的速度与A同向运动，出发后，物体A追上物体B所用的时间t(s)为( ) 21*cnjy*com
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】利用定积分分别计算出物体A、B行驶的路程，然后利用它们之间的关系求解．
【解析】因为物体A在t秒内行驶的路程为(3t2＋1)dt，物体B在t秒内行驶的路程为10tdt，所以21教育名师原创作品
(3t2＋1－10t)dt＝(t3＋t－5t2)＝t3＋t－5t2＝5?(t－5)(t2＋1)＝0，即t＝5.故选C.
2.一物体在力F(x)＝(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向，从x＝0处运动到x＝4(单位：m)处，则力F(x)做的功为________焦．21*cnjy*com
【解析】由题意知，力F(x)所做的功为W＝F(x)dx＝5dx＋(3x＋4)dx
＝5×2＋＝10＋＝36(焦)．
答案：36
【适应训练】
3．一物体的下落速度为v(t)＝9.8t＋6.5(单位：m/s)，则下落后第二个4s内经过的路程是( )
A．249m B．261.2m
C．310.3m D．450m
[答案] B
[解析] 所求路程为(9.8t＋6.5)dt＝(4.9t2＋6.5t)|
＝4.9×64＋6.5×8－4.9×16－6.5×4
＝313.6＋52－78.4－26＝261.2(m)．
1.5定积分与微积分基本定理
考点一 定积分的计算
【考点梳理】
1．定积分的定义
如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x02．定积分的几何意义
(1)当f(x)≥0时，定积分f(x) dx表示由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．www-2-1-cnjy-com
(2)当f(x)在[a，b]上有正有负时，如图2－13－1所示，
图2－13－1
则定积分f(x)dx表示介于x轴，曲线y＝f(x)以及直线x＝a，x＝b(a≠b)之间各部分曲边梯形面积的代数和，即f(x)dx＝A1＋A3－A2－A4.2-1-c-n-j-y
3．定积分的性质
(1)kf(x)dx＝kf(x)dx(k为常数)；
(2)[f1(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx；
(3)f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a4．微积分基本定理
一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝
F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．
其中F(x)叫做f(x)的一个原函数．
为了方便，常把F(b)－F(a)记作F(x)，即f(x)dx＝F(x)＝F(b)－F(a)．
【例题分析】
例1.计算下列定积分：
(1)(3x2－2x＋1)dx； (2)(sin x－cos x)dx； (3)|1－x|dx. 21*cnjy*com
【变式训练】
1．定积分(2x＋ex)dx的值为( )
A．e＋2 B．e＋1
C．e D．e－1
2．设f(x)＝，则 f(x)dx的值是( )
A．x2dx B．2xdx
C．x2dx＋2xdx D．2xdx＋x2dx
【适应训练】
2．定积分|x2－2x|dx＝( )
A．5 B．6 C．7 D．8
3．若S1＝x2dx，S2＝dx，S3＝exdx，则S1，S2，S3的大小关系为( )
A．S13．设函数f(x)＝(x－1)x(x＋1)，则满足f′(x)dx＝0的实数a＝_______.
4. ＝________.
5． dx＝________.
6.已知，直线交圆于两点，则 ．
7．若函数f(x)，g(x)满足f(x)g(x)dx＝0，则称f(x)，g(x)为区间[－1,1]上的一组正交函数．给出三组函数：21世纪教育网版权所有
①f(x)＝sinx，g(x)＝cosx；②f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1；③f(x)＝x，g(x)＝x2.
其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
8．已知f(x)为二次函数，且f(－1)＝2，f ′(0)＝0，f(x)dx＝－2，
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值．
考点二 定积分几何意义的应用
【考点梳理】
1、定积分的几何意义
如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么定积分f(x)dx表示由直线x＝a，
x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积．
【注】曲边梯形的面积非负，而定积分的结果可以为负．
【例题分析】
例1. 由曲线y＝，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为________．
【变式训练】
1．求曲线y＝x2与y＝x所围成图形的面积，其中正确的是( )
A．S＝(x2－x)dx B．S＝(x－x2)dx C．S＝(y2－y)dy D．S＝(y－)dy
2.由曲线y＝，直线y＝－x＋2及x轴所围成的图形的面积为________．
3. 由曲线y＝，直线y＝m，且由曲线f(x)＝与y轴及直线y＝m(m＞0)围成的图形的面积为，则m的值为________．21教育网
4.求曲线y＝，y＝2－x，y＝－x所围成图形的面积．
【适应训练】
5.如图所示，曲线y＝x2－1，x＝2，x＝0，y＝0围成的阴影部分的面积为( )
A. |x2－1|dx
B.|(x2－1)dx|
C.(x2－1)dx
D.(x2－1)dx＋(1－x2)dx
6．函数y＝x－x2的图象与x轴所围成的封闭图形的面积等于________．
7.如图2－13－2，设OABC是图中边长分别为1和2的矩形区域，则矩形OABC内位于函数y＝(x＞0)图象下方的阴影部分区域面积为( )【来源：21·世纪·教育·网】
图2－13－2
A．ln 2 B．1－ln 2 C．2－ln 2 D．1＋ln 2
8.曲线y＝x2与直线y＝kx(k＞0)所围成的曲边图形的面积为，则k＝________.
9．已知函数f(x)＝x3－x2＋x＋1，求其在点(1,2)处的切线与函数g(x)＝x2围成的图形的
面积．
考点三 定积分在物理中的应用
【考点梳理】
1．变速直线运动问题
如果做变速直线运动的物体的速度v关于时间t的函数是v＝v(t)(v(t)≥0)，那么物体从时刻t＝a到t＝b所经过的路程为v(t)dt；如果做变速直线运动的物体的速度关于时间的函数是v＝v(t)(v(t)≤0)，那么物体从时刻t＝a到t＝b所经过的路程为－v(t)dt.
2．变力做功问题
物体在变力F(x)的作用下，沿与力F(x)相同方向从x＝a到x＝b所做的功为F(x)dx.
【例题分析】
例1、一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )
A．1＋25ln 5 B．8＋25ln C．4＋25ln 5 D．4＋50ln 2
例2、设变力F(x)作用在质点M上，使M沿x轴正向从x＝1运动到x＝10，已知F(x)＝x2＋1且方向和x轴正向相同，则变力F(x)对质点M所做的功为________J(x的单位：m，力的单位：N)．21cnjy.com
【变式训练】
1.物体A以v＝3t2＋1(m/s)的速度在一直线l上运动，物体B在直线l上，且在物体A的正前方5 m处，同时以v＝10t(m/s)的速度与A同向运动，出发后，物体A追上物体B所用的时间t(s)为( )21·cn·jy·com
A．3 B．4 C．5 D．6
2.一物体在力F(x)＝(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向，从x＝0处运动到x＝4(单位：m)处，则力F(x)做的功为________焦．www.21-cn-jy.com
【适应训练】
3．一物体的下落速度为v(t)＝9.8t＋6.5(单位：m/s)，则下落后第二个4s内经过的路程是( )21·世纪*教育网
A．249m B．261.2m C．310.3m D．450m
