2023-2024学年福建省福州市鼓楼区屏东中学八年级（下）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年福建省福州市鼓楼区屏东中学八年级（下）开学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.冬季奥林匹克运动会是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届．第届冬奥会将于年在北京和张家口举办．下列四个图分别是四届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为( )
A. B. C. D.
2.下列各式中，是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
3.一种细菌的半径是厘米，用科学记数法表示为厘米．( )
A. B. C. D.
4.如图，在菱形中，，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
5.如果是一个完全平方式，那么的值是( )
A. B. C. D.
6.若，则分式( )
A. B. C. D.
7.如图，在中，，，，，则长是( )
A. B. C. D.
8.已知关于的方程的解为正数，则的取值范围是( )
A. 且 B. C. 且 D.
9.如图，将长方形沿对角线折叠，使点落在点处，交于，，，则重叠部分即的面积为( )
A.
B.
C.
D.
10.已知分式为常数满足下列表格中的信息：则下列结论中错误的是( )
的取值
分式的值 无意义
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.点关于轴的对称点坐标是______．
12.在中，、分别是边、的中点，若，则______．
13.已知，，则 ．
14.如图，平行四边形的对角线相交于点，且，过点作交于点，若的周长为，则平行四边形的周长为______．
15.已知实数满足，则的值为______．
16.在平面直角坐标系中，已知 的顶点，，对角线，相交于点，是边上的一个动点，连接，，有下列结论： 是菱形；是等腰直角三角形；点的坐标为；的最小值为；其中正确的是______只填写序号
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：；
因式分解：．
18.本小题分
计算：．
19.本小题分
先化简，再求值：，其中．
20.本小题分
已知：如图，在 中，、是对角线上的两点，且求证：四边形是平行四边形．
21.本小题分
为落实“全民健身国家战略，推动健康中国建设”我市体育局组织了系列的体育赛事，其中半程马拉松公里是我市众多市民热爱的一项运动．小林和小李经常参加半程马拉松比赛．某周六下午，他们约好一起去公园长跑训练，跑完后，他们查看自己的运动手表上的跑步记录的信息，发现小林用分钟跑的路程和小李用分钟跑的路程一样多，而小林的平均配速比小李的平均配速小分钟公里，问这次训练小林和小李的平均配速各是多少分钟公里？说明：“配速”是速度的一种，指每公里所花的时间，它是长跑者关注的一项重要指标
22.本小题分
如图，已知，，为射线上两点，且．
求作菱形，使得点在射线上；要求；尺规作图，不写作法，保留作图痕迹
在的条件下，连接，若，，，求的长．
23.本小题分
如图，在，于点，于点，点，分别是，的中点．
求证：；
若，求的值．
24.本小题分
阅读材料：我们知道，任意一个正整数都可以进行这样的分解：是正整数，且，在的所有这种分解中，如果，两因数之差的绝对值最小，我们就称是的最佳分解，并规定：例如：可以分解成，或，因为，所以是的最佳分解，所以：计算： ______．
若，其中是正整数，求的值．
如果一个两位正整数，为自然数，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为，那么我们称这个数为“吉祥数”，求所有“吉祥数”中的最大值．
25.本小题分
如图，正方形中，，在边的左侧作等腰，使得，连接，，过点作，垂足为，垂线与的一边交于点．
求证：为等腰直角三角形；
求证：、、三点共线；
当时，求的面积．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：．
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】
【解析】解：、是最简二次根式，故A符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不能含有分母，分母中不含有根号，即可解答．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：，
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
4.【答案】
【解析】解：四边形是菱形，
，，
，
，
故选：．
根据菱形的性质得出，，，即可求解．
本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：因为是一个完全平方式，
所以，
故选D．
利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
6.【答案】
【解析】原式进行通分计算，然后代入求值．
解：原式，
，
原式，
故选：．
本题考查分式的化简求值，理解异分母分式加减法运算法则，利用整体思想代入求值是解题关键．
7.【答案】
【解析】解：，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
故选：．
根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，可以求得的长，再根据等腰三角形的性质即可求得的长．
本题考查解直角三角形、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
8.【答案】
【解析】解：原方程整理得：，
解得：，
因为，所以，即
又因为原式是分式方程，所以，即，所以
由可得，的取值范围为且．
故选：．
先解关于的分式方程，求得的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求的取值范围．
本题考查了分式方程的解，由于我们的目的是求的取值范围，根据方程的解列出关于的不等式，另外，解答本题时，易漏掉分母不等于这个隐含的条件，这应引起足够重视．
9.【答案】
【解析】解：四边形是矩形，
，
，
由折叠的性质得：，
，
，
设，则，
在中，，
即，
解得：，
则，，
则，
故选：．
由折叠的性质和矩形的性质可证，设，则，在直角中利用勾股定理即可列方程求得的值，然后根据三角形面积公式求解．
本题考查了翻折变换折叠问题、矩形的性质以及勾股定理，正确利用勾股定理求得的长是解决本题的关键．
10.【答案】
【解析】解：由表格中数据可知：
A、当时，分式无意义，
，
．
故A不符合题意；
B、当时，分式的值为，
，
，
故B不符合题意；
C、当时，分式的值为，
，
，
故C不符合题意；
D、当时，分式的值为，
，
，
故D错误，从而符合题意．
故选：．
将表格中的数据依次代入已知分式中进行计算即可．
本题考查二楼分式的值的计算，熟练掌握分式计算的运算法则是解题的关键．
11.【答案】
【解析】根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答．
解：点关于轴的对称点坐标是，
故答案为：．
本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
12.【答案】
【解析】解：、分别是边、的中点，
，
故答案为：．
根据三角形中位线定理计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：，，
，
故答案为：．
根据同底数幂的乘法，即可解答．
本题考查了同底数幂的乘法，解决本题的关键是熟记同底数幂的乘法法则．
14.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
，
的周长，
即，
平行四边形的周长为：．
故答案为：．
由四边形是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分、对边相等，即可得，，，又由，即可得是的垂直平分线，然后根据线段垂直平分线的性质，即可得，又由的周长为，即可求得平行四边形的周长．
此题考查了平行四边形的性质与线段垂直平分线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．
15.【答案】
【解析】解：实数满足，
，
故，
，
，
，
．
故答案为：．
先根据二次根式的定义求出，再去掉绝对值符号，整理后两边平方，即可求出答案．
本题考查了二次根式有意义的条件和绝对值，能求出的范围是解此题的关键．
16.【答案】
【解析】解：如图所示， 的顶点，，对角线，相交于点，
则点的坐标为，故正确，
，
四边形是菱形，故正确
，则，
，
是等边三角形，故错误，
如图所示，作点关于的对称点，则，
，故正确．
故答案为：．
根据题意，画出图形，根据中点坐标公式求得点的坐标即可判断，进而勾股定理求得，即可判断，根据勾股定理求得，进而可得是等边三角形，即可判断，作点关于的对称点，根据轴对称的性质可得，进而勾股定理求得，即可求解．
本题考查了坐标与图形，菱形的性质与判定，等边三角形的判定，勾股定理求两点距离，轴对称的性质求线段和的最值问题，熟练掌握以上知识并画出图形是解题的关键．
17.【答案】解：
；
．
【解析】根据整式的运算法则进行运算即可；
提取公因式后用完全平方公式分解即可．
本题考查了整式的运算和分解因式，熟练掌握整式的运算法则是关键．
18.【答案】解：原式
．
【解析】先算零指数幂，负整数指数幂，去绝对值，算二次根式除法，再算加减．
本题考查二次根式混合运算，解题的关键是掌握实数运算相关的法则．
19.【答案】解：原式
，
当时，原式．
【解析】先把括号内通分，再计算括号内的减法运算和把除法运算化为乘法运算，然后把分母因式分解后进行约分得到原式，再把的值代入计算即可．
本题考查了分式的化简求值：先把分式的分子或分母因式分解，再进行通分或约分，得到最简分式或整式，然后把满足条件的字母的值代入计算得到对应的分式的值．
20.【答案】证明：连接，交于，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形．
【解析】先连接，交于，由于四边形是平行四边形，易知，，而，根据等式性质易得，再根据两组对角线互相平分的四边形是平行四边形可证之．
本题考查了平行四边形的判定和性质，解题的关键是作辅助线，使其中出现对角线相交的情况．
21.【答案】解：设这次训练小林的平均配速为分钟公里，则这次训练小李的平均配速为分钟公里，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：这次训练小林的平均配速为分钟公里，小李的平均配速为分钟公里．
【解析】设这次训练小林的平均配速为分钟公里，则这次训练小李的平均配速为分钟公里，利用路程时间配速，结合小林用分钟跑的路程和小李用分钟跑的路程一样多，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可求出这次训练小林的平均配速，再将其代入中即可求出这次训练小李的平均配速．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
22.【答案】解：如图，菱形为所求作的图形．

如图所示，
，，
，
，
是直角三角形，且，
在中，．
【解析】以点为圆心，长为半径画圆，交于点，再分别以，为圆心长为半径画，相交于点，即可得出答案；
根据已知条件得出是直角三角形，进而勾股定理即可求解．
本题考查了作菱形，勾股定理与勾股定理的逆定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
23.【答案】证明：，，点是的中点，
，，
，又点是的中点，
；
解：，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
．
【解析】根据直角三角形的性质得到，根据等腰三角形的三线合一证明结论；
根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出，得到是等边三角形，根据等边三角形的性质计算即可．
本题考查的是直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
24.【答案】
【解析】解：可以分解为或，，
；
故答案为：．
，
设，
，
，
，
解得：或舍去，
故答案是：．
设交换的个位上数与十位上的数得到的新数为，则，
根据题意得，
，
，
，，为正整数，
满足条件的为：，，，，，，，
，，，，，，．
的最大值是：．
把进行分解即可求出；
由比值是可以确定是两个相同的数，设，变形为，进行因式分解转化为二元一次方程组求出值即可．
设交换的个位上数与十位上的数得到的新数为，求出，分情况讨论即可．
本题主要考查的是因式分解，再根据阅读材料进行归类转化，理解材料非常关键．
25.【答案】证明：，，
，
，
，，
，
，
，
，，
是等腰直角三角形；
证明：如图，连接，
四边形为正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
又，
、、三点共线；
解：过点作于点，连接，
四边形为正方形，
，，
，
由知，，，
在中，，
，
，
，
，，
，
在中，，
．
【解析】由直角三角形的性质可求，可得结论；
由等腰三角形的性质可求，即可得结论；
由正方形的性质可求的长，由勾股定理可求的长，的长，再根据三角形面积公式即可求解．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
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