2024年云南省中考数学试卷（样卷）（含解析）

2024年云南省中考数学试卷（样卷）
一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著九章算术中如果把收入元记作元，那么支出元记作( )
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
2.年月日，我国自主研发的国产大飞机商业首航取得圆满成功可储存约升燃油，将数据用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
3.下列出版社的商标图案中，是轴对称图形的为( )
A. B.
C. D.
4.如图，直线，被直线所截，，，则等于( )
A.
B.
C.
D.
5.如图，在中，，点，分别为，的中点，则( )
A.
B.
C.
D.
6.为庆祝中国共产主义青年团建团周年，某校团委组织以“扬爱国精神，展青春风采”为主题的合唱活动，下表是九年级一班的得分情况：
评委 评委 评委 评委 评委
数据，，，，的中位数是( )
A. B. C. D.
7.已知，，则( )
A. B. C. D.
8.若，则( )
A. B. C. D.
9.下列图形是正方体展开图的个数为( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
10.已知反比例函数的图象上有两点，，当，时，有，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
11.若表示一个整数，则整数可取值的个数是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
12.某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木．该活动开始后，实际每天比原计划每天多植树棵，实际植树棵所需时间与原计划植树棵所需时间相同．设实际每天植树棵，则下列方程正确的是( )
A. B. C. D.
13.如图，在中，按以下步骤作图：
分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于，两点；
作直线交于点；
以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，．
若，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
14.如图是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间不含两端点则下列结论：
；
；
；；
一元二次方程没有实数根．
其中正确结论的个数是( )
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
15.如图，在等腰中，，，同时与边的延长线、射线相切，的半径为将绕点按顺时针方向旋转，、的对应点分别为、，在旋转的过程中边所在直线与相切的次数为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分。
16.若式子在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______．
17.化简： ______．
18.如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形若母线长为，扇形的圆心角，则圆锥的底面圆半径为______．
19.周髀算经中记载了“偃矩以望高”的方法“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺即图中的“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点测得，，，则树高 ______
三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.本小题分
计算：．
21.本小题分
如图，平分，，，垂足分别为，．
求证：≌．
22.本小题分
为庆祝中国共产党成立周年，某市组织该市七、八两个年级学生参加演讲比赛，演讲比赛的主题为“追忆百年历程，凝聚青春力量”该市一中学经过初选，在七年级选出名同学，其中名女生，分别记为、，名男生，记为；在八年级选出名同学，其中名女生，记为，名男生，分别记为、现分别从两个年级初选出的同学中，每个年级随机选出一名同学组成代表队参加比赛．
用列表法或树状图法树状图也称树形图中的一种方法，求所有可能出现的代表队总数；
求选出的代表队中的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率．
23.本小题分
为庆祝伟大的中国共产党成立周年，发扬红色传统，传承红色精神，某学校举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛，一共有道题，满分分，每一题答对得分，答错扣分，不答得分．
若某参赛同学只有一道题没有作答，最后他的总得分为分，则该参赛同学一共答对了多少道题？
若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于分才可以被评为“学党史小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“学党史小达人”？
24.本小题分
如图，在 中，对角线，相交于点，．
求证：；
若点，分别为，的中点，连接，，，求的长及四边形的周长．
25.本小题分
如图，在中，，，连接，，过点作，交的延长线于点，与的延长线相交于点，与相交于点．
求证：是的切线；
若的半径为，求线段的长．
26.本小题分
若关于的函数，当时，函数的最大值为，最小值为，令函数，我们不妨把函数称之为函数的“共同体函数”．
若函数，当时，求函数的“共同体函数”的值；
若函数为常数，求函数的“共同体函数”的解析式；
若函数，求函数的“共同体函数”的最大值；
若函数，是否存在实数，使得函数的最大值等于函数的“共同体函数“的最小值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：把收入元记作元，
根据收入和支出是一对具有相反意义的量，
支出元就记作元．
故答案为．
本题考查负数的概念问题，负数和正数是具有相反意义的量，收入和支出是一对具有相反意义的量，进而作答．
本题考查负数和正数是具有相反意义的量，收入和支出是一对具有相反意义的量，解题的关键是理解相反意义的含义，进而作答．
2.【答案】
【解析】解：将用科学记数法表示为：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
3.【答案】
【解析】解：选项B，，中的图形都不能确定一条直线，使图形沿这条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，不是轴对称图形，选项A中的图形沿某条直线对折后两部分能完全重合，是轴对称图形，
故选：．
利用轴对称图形的定义进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
4.【答案】
【解析】解：，，
，
故选：．
两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．即：两直线平行，同位角相等．
本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．
5.【答案】
【解析】解：点，分别为，的中点，，
是的中位线，
，
故选：．
由题意可得是的中位线，再根据三角形中位线的性质即可求出的长度．
本题考查了三角形中位线，熟练掌握三角形中位线的定义和性质是解决问题的关键．
6.【答案】
【解析】解：将数据从小到大排序：，，，，，
中位数为，
故选：．
根据中位数的定义即可得出答案．
本题考查了中位数，掌握将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数是解题的关键．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
分别根据幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法法则解答即可．
【解答】
解：，，
．
故选D．
8.【答案】
【解析】解：由题意得，，，
解得，，
所以，．
故选：．
根据非负数的性质列方程求出、的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为时，这几个非负数都为．
9.【答案】
【解析】解：由正方体的四个侧面和底面的特征可知，可以拼成正方体的是下列三个图形：
故这些图形是正方体展开图的个数为个．
故选：．
由平面图形的折叠及正方体的展开图的特征解答即可．
本题考查了几何体的展开图．解题时勿忘记正方体展开图的各种情形．
10.【答案】
【解析】解：，
．
故选：．
由题意可得：双曲线在第一，三象限，反比例系数大于，据此可列出不等式，求解即可．
本题考查反比例函数系数，掌握反比例函数的图象性质是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：表示一个整数且是整数，
或或或．
当，则．
当，则．
当，则不合题意，故舍去．
当，则不合题意，故舍去．
当，则．
当，则．
当，则不合题意，故舍去．
当，则不合题意，故舍去．
综上，整数的取值有、、、．
故选：．
由表示一个整数且为整数，则或或或，进而求出的值．
本题主要考查分式，熟练掌握分式的基本性质是解决本题的关键．
12.【答案】
【解析】解：由题意可得，
，
故选：．
根据实际植树棵所需时间与原计划植树棵所需时间相同，可以列出相应的分式方程，本题得以解决．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．
13.【答案】
【解析】【分析】
根据作图得到是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质即可得到答案．
【解答】
解：由作图可知，是的垂直平分线，
，，
以点为圆心，长为半径画弧，交于点，
，
是等腰直角三角形，
，
，
．
故选：．
【点评】
本题考查尺规作图中的相关计算问题，解题的关键是根据作图得到是等腰直角三角形．
14.【答案】
【解析】解：图象开口向下，
，
取，得，
又对称轴为，
，
，
正确，
抛物线顶点坐标为，
抛物线对称轴为直线，
图象与轴的一个交点在，之间，
图象与轴另一交点在，之间，
时，，
即，
故错误．
抛物线对称轴为直线，
，
，
时，，
当时，，
故错误．
抛物线顶点坐标为．
的最大函数值为，
没有实数根，
故正确，符合题意．
故选：．
根据图象得出，，的符号，即可判断，根据二次函数的对称性可知，函数与轴的另一个交点在和之间，由此即可判断，由再根据和即可判断，由函数的最大值即可判断．
本题主要考查二次函数的图象与性质，要熟记二次函数的对称轴，顶点公式，知道最大值或最小值的计算方法，还有抛物线关于对称轴对称等基本的知识点要全部掌握，中考喜欢出现在最后一道选择题或填空题．
15.【答案】
【解析】【分析】
此题重点考查等腰三角形的性质，圆的切线的性质与判定，数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，画出图形并且正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
设与边的延长线、射线分别相切于点、点，连接交于点，连接，作于点，于点，先求得，，则，再证明，则，可证明直线与相切，再求得，则，作于点，由旋转得，，直线与相切存在三种情况，一是绕点旋转到点与点重合，二是绕点旋转到，三是绕点旋转到与重合，即旋转角，分别加以说明即可．
【解答】
解：如图，由题意可知同时与边的延长线、射线相切，的半径为，设与边的延长线、射线分别相切于点、点，连接交于点，连接，
，，
作于点，于点，则，
，，，
，，
，
，
，
，
，
，
直线与相切，
，
，
，
作于点，由旋转得，，
如图，绕点旋转到点与点重合，
，
，
为的半径，
与相切；
如图，绕点旋转到，作交的延长线于点，
，
与相切，
当绕点旋转到与重合，即旋转角，则与相切，
综上所述，在旋转的过程中边所在直线与相切次，
故选：．
16.【答案】
【解析】【分析】
根据二次根式，可得，然后解不等式即可．
【解答】
解：由题意得：，
解得：．
故答案为：．
【点评】
本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
17.【答案】
【解析】解：原式
，
故答案为：．
根据完全平方公式将原式展开后合并同类项即可．
本题考查完全平方公式及合并同类项，此为整式运算的基础且重要知识点，必须熟练掌握．
18.【答案】
【解析】【分析】
利用扇形的弧长公式求得弧长，然后利用底面周长等于弧长列式求得底面半径即可．
考查了圆锥的计算，解题的关键是了解底面周长等于扇形的弧长，难度不大．
【解答】
解：扇形的圆心角为，母线长为，
扇形的弧长为，
设圆锥的底面半径为，
则，
解得：，
故答案为．
19.【答案】
【解析】解：由题意可得，
，，，，
∽，
，
即，
解得，
树高，
故答案为：
根据题意可知：∽，从而可以得到，然后代入数据计算，即可得到的长．
本题考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20.【答案】解：
．
【解析】原式分别根据绝对值的代数意义、负整数指数幂、二次根式的乘方以及零指数幂运算法则化简各项后，再算加减即可．
本题考查了实数的运算，掌握各部分的运算法则是解答本题的关键．
21.【答案】证明：平分，
，
，，
，
在和中，
，
≌．
【解析】由角平分线定义得到，由垂直的定义得到，又，即可证明≌．
本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法．
22.【答案】解：树状图如下图所示：
由上可得，出现的代表队一共有种可能性；
由可知，一共种可能性，其中一男一女出现有种，
故选出的代表队中的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率．
【解析】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是画出相应的树状图，求出相应的概率．
根据题意和题目中的数据，可以画出相应的树状图，并写出一共有多少种可能性；
根据中的结果和树状图，可以得到选出的代表队中的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率．
23.【答案】解：设该参赛同学一共答对了道题，则答错了道题，
依题意得：，
解得：．
答：该参赛同学一共答对了道题．
设参赛者需答对道题才能被评为“学党史小达人”，则答错了道题，
依题意得：，
解得：．
答：参赛者至少需答对道题才能被评为“学党史小达人”．
【解析】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元一次方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
设该参赛同学一共答对了道题，则答错了道题，根据总得分答对题目数答错题目数，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；
设参赛者需答对道题才能被评为“学党史小达人”，则答错了道题，根据总得分答对题目数答错题目数，结合总得分大于或等于分，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
24.【答案】解：证明：四边形是平行四边形，，
是菱形，
；
点，分别为，的中点，，
是的中位线，
，
由可知四边形是菱形，
，，，
在中，由勾股定理得：，
菱形的周长．
【解析】【分析】
由菱形的判定得 是菱形，再由菱形的性质即可得结论；
由三角形中位线定理得，再由菱形的性质得，，，然后由勾股定理得，即可求出菱形的周长．
【解答】
解：证明：四边形是平行四边形，，
是菱形，
；
点，分别为，的中点，，
是的中位线，
，
由可知四边形是菱形，
，，，
在中，由勾股定理得：，
菱形的周长．
【点评】
本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，三角形中位线定理以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
25.【答案】解：如图，连接，
，
，
又，，
≌，
，
、是等边三角形，
，
四边形是菱形，
，
又，
，
是的切线；
由得，，，
在中，，，
，，
在中，由勾股定理得，
，
，
∽，
，
又，，
，
，
即．
【解析】由，可得，进而可证出≌，从而得出四边形是菱形，由，，可得出，得出是切线；
根据特殊锐角的三角函数值，可求出、，进而在中，由勾股定理求出，再根据∽，可得，进而得到即可．
本题考查切线的判定和性质，证出，是判断是圆的切线的关键．
26.【答案】解：，
，
函数，
当时，函数的最大值，最小值，
；
当时，函数在上有最大值，有最小值，
；
当时，函数在上有最大值，有最小值，
．
综上可得：当时，；当时，；
当时，，
函数的最大值，最小值，
，
当时，有最大值；
当，，即时，
函数的最大值，最小值，
，
，即，
综上可知的最大值为；
存在实数，使得函数的最大值等于函数的“共同体函数“的最小值，理由如下：
，
函数的对称轴为直线，最大值为，
当，即时，
此时，，
；
当，即时，
此时，，
；
当，即时，
此时，，
；
当，即时，
此时，，
．
综上所述，
画图可知当时，的最小值为，
，
解得．
【解析】【分析】
由题意求出，，再由定义可求的值；
分两种情况讨论：当时，，，；当时，，，；
分两种情况讨论：当时，，，则，所以有最大值；当，时，，，则，可求的取值为，从而可得的最大值为；
分四种情况讨论：当，即时，；当，即时，；当，即时，；当，即时，画图可知当时，的最小值为，所以，解得的值即可．
【点评】
本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，理解新定义，根据新定义结合所学的一次函数，反比例函数综合解题，分类讨论是解题的关键．
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