2023-2024学年甘肃省定西市临洮县高一（下）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年甘肃省定西市临洮县高一（下）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.终边在第二象限的角的集合可以表示为( )
A.
B.
C.
D.
2.下列语句不是全称量词命题的是( )
A. 任何一个实数乘以零都等于零 B. 自然数都是正整数
C. 高一班绝大多数同学是团员 D. 每一个实数都有大小
3.幂函数的图象经过点，则的值为( )
A. B. C. D.
4.棉花的纤维长度是衡量棉花质量的重要指标在一批棉花中随机抽测根棉花的纤维长度单位：，按从小到大排序结果如下：
请你估计这批棉花的第百分位数是( )
A. B. C. D.
5.不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
6.已知，那么的值为( )
A. B. C. D.
7.函数的零点一定位于的区间是( )
A. B. C. D.
8.若函数在区间上递减，且有最小值，则的值可以是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设函数，且，若，则( )
A. B. C. D.
10.下列命题中正确的是( )
A. 当时， B. 当时，
C. 当时， D. 当时，
11.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 函数的单调递增区间是 B. 不等式的解集是
C. 函数的图象关于对称 D. 函数的值域是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数是减函数，则实数的取值范围为______．
13.已知函数的图象关于原点对称，且当时，，则在上的表达式为______．
14.已知函数，定义域为的函数满足，若函数与图象的交点为，，，，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知全集为，集合，．
求；
若，且“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围．
16.本小题分
已知函数，，求的最大值及最小值．
17.本小题分
从某校参加高二年级学业水平模拟考试的学生中抽取名，将其数学成绩分成段：，，，，，后，画出如图的频率分布直方图根据图形信息，解答下列问题：
估计这次考试成绩的众数，中位数，平均数；
估计这次考试成绩的及格率分及其以上为及格．
18.本小题分
已知在中，．
求；
判断是锐角三角形还是钝角三角形；
求的值．
19.本小题分
已知函数的部分图像如图所示．
求的解析式及对称中心；
先将的图像纵坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位后得到的图像，求函数在上的单调减区间和最值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查象限角的表示法，是基础题型．
直接写出终边在第二象限的角的集合，然后逐一核对四个选项得答案．
【解答】
解：终边在第二象限的角的集合可以表示为．
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】
根据全称量词命题与存在量词命题的定义，直接判断即可．
本题考查了全称量词命题与存在量词命题的定义，属于基础题．
【解答】
解：，，中含有“任何一个”“都是”“每一个”，是含有全称量词的全称量词命题，而中命题可以改写为：高一班存在部分同学是团员，所以不是全称量词命题，
故选：．
3.【答案】
【解析】【试题解析】
解：设幂函数为：．
幂函数的图象经过点，
，
，
．
则的值为：．
故选B．
先设出幂函数解析式来，再通过经过点，解得参数，从而求得其解析式，再代入求的值．
本题主要考查幂函数求解析式和求函数值问题．幂函数要求较低，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为一共有个数据，，
所以第百分位数为．
故选：．
根据百分位数的定义求解．
本题主要考查了百分位数的定义，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：不等式可化为，
解得；
所以该不等式的解集是
故选：．
把不等式化为，即可求出它的解集．
本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题目．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查同角三角函数的基本关系．
已知条件给的是三角分式形式，且分子和分母都含正弦和余弦的一次式，因此，分子和分母都除以角的余弦，变为含正切的等式，解方程求出正切值．
【解答】
解：由题意可知：，分子分母同除以，
得，
．
故选：．
7.【答案】
【解析】解：设，
，
，
函数的零点一定位于的区间．
故选B．
由，得，分别作出，与的图象，由图知，零点所在区间，即答案．
本题考查零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有那么，函数在区间内有零点，即存在，使得这个也就是方程的根．
8.【答案】
【解析】解：在上是递减的，且有最小值为，
，即
．
检验各数据，得出项符合．
故选：．
根据函数在此区间上的单调性且有最小值求得的值，进而求得的值的集合，对四个选项逐一验证即可．
本题主要考查了三角函数的单调性及最值问题．考查了考生的分析问题的能力．
9.【答案】
【解析】解：由题意，，
故，
故，可得函数为偶函数；
故，，，，
故选：．
由题意得，从而求得，依次代入即可求得结论．
本题考查了函数的定义，是基础题．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查应用基本不等式时等号成立的条件．
利用基本不等式逐个选项检验正误，即可得到正确选项．
【解答】
解：当时，，所以成立，选项A正确；
又当时，，，当且仅当时取““，，即，故选项B正确；
，当且仅当时取““，，成立，则故选项C正确；
又，当且仅当时取““，故选项D正确，
故选ABCD．
11.【答案】
【解析】解：对：令，解得或，故的定义域为，在定义域内单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故在上单调递减，在上单调递增，A错误；
对：，且在定义域内单调递增，
可得，解得或，
故不等式的解集是，B错误．
对：，即，故函数的图象关于对称，C正确；
对：，即的值域，，故函数的值域是，D正确．
故选：．
由题意利用复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
本题主要考查复函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：由已知，在以及上分别单调递减，且．
要使函数是减函数，
则应满足，时，恒成立．
只需要，，即．
故答案为：．
分段函数具有单调性，应满足：在各段上具有相同的单调性；端点处的函数值应满足要求．
本题主要考查了分段函数性质的应用，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：函数的图象关于原点对称，为上的奇函数，
，
当时，则，
，
又为奇函数，，
，
，
在上的表达式为．
故答案为：．
由题意可知为上的奇函数，从而，当时，则，所以，再结合奇函数的性质可求出的解析式，最后写成分段函数的形式即可．
本题主要考查了利用函数的奇偶性求函数解析式，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为，
由，可得，，
即函数的定义域为，
又因为，
所以为奇函数，
故关于对称；
又因为，
所以，
所以为上的奇函数，关于对称，
所以与的交点也关于对称，不妨设关于点对称的点的坐标为，，
所以，，
所以，，
同理可得，，，，
所以．
故答案为：．
根据题意判断出与均为奇函数，从而得交点关于对称，代入计算即可得答案．
本题考查了奇函数的性质，难点在于得出两函数的交点关于对称，属于中档题．
15.【答案】解：，
．
是的必要不充分条件，
，
，，
的取值范围为．
【解析】利用交集的定义求解．
利用充分必要条件的定义列出不等式组即可求解．
本题考查了不等式的解法和充分必要条件的应用，属于基础题．
16.【答案】解：令，
，在定义域递减有
，
，
当时，取最小值 ；
当时，取最大值．
【解析】利用换元法，把函数变为闭区间上的二次函数，然后求出函数的最值．
本题是基础题，考查换元法的应用，二次函数闭区间上的最值的求法，考查计算能力．
17.【答案】解：由众数概念知，众数是出现次数最多的，
在直方图中，高度最高的小矩形的中间值的横坐标即为众数，
由频率分布直方图知，这次测试数学成绩的众数约为；
数学成绩在的频率为，
数学成绩在的频率为，
故中位数在区间，设中位数为，
则有，
解得，
即中位数为；
这次考试成绩的平均数约为：；
这次考试成绩的及格率约为．
【解析】在直方图中，高度最高的小矩形的中间值的横坐标即为众数；由中位数定义求解中位数；平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．
由频率分布直方图，求出不及格率，即可求得这次考试成绩的及格率．
本题考查利用频率分布直方图求众数、平均数、中位数、及格率的方法，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的性质的合理运用，是基础题．
18.【答案】解，
两边平方得，
．
由，且，
可知，
为钝角，
是钝角三角形．
，
，，
，
，，
．
【解析】，两边平方得，可得的值；
即可判断．
利用同角三角函数关系式即可求解；
本题考查了三角形内角和定理和同角三角函数关系式的运用．属于基础题．
19.【答案】解：易知，，解得，所以，
故，，即，，
又，故时，即为所求，
故，
的对称中心为，．
易知，
要求的单调递减区间，只需，，
解得，，令可得函数的一个单调递减区间为，显然在单调递增，
故在上的单调减区间为，
而，，，
故在上的最小值为，最大值为．
【解析】根据零点、最高点的坐标，结合图像求出、最小正周期、的值，再令求出对称中心的坐标；
根据图像变换的规律，即可求出的解析式，进而求出函数的单调减区间、最值．
本题考查三角函数的据图求式、以及三角函数的图像与性质，属于中档题．
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