2023-2024学年广西南宁市兴宁区天桃实验学校九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2023-2024学年广西南宁市兴宁区天桃实验学校九年级（下）月考数学试卷（3月份）
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列实数中，无理数是( )
A. B. C. D.
2.一个正方体截去四分之一，得到如图所示的几何体，其主视图是( )
A.
B.
C.
D.
3.单项式的系数是( )
A. B. C. D.
4.如图，沿射线方向平移到点在线段上，如果，，那么平移距离为( )
A.
B.
C.
D.
5.空气的成分除去水汽、杂质等是：氮气约占，氧气约占，其他微量气体约占要反映上述信息，宜采用的统计图是( )
A. 条形统计图 B. 折线统计图 C. 扇形统计图 D. 频数分布直方图
6.下列各数是不等式的解的是( )
A. B. C. D.
7.光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的如图，，的度数为( )
A.
B.
C.
D.
8.下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
9.若点是二次函数图象的最低点，则点的坐标是( )
A. B. C. D.
10.四元玉鉴是我国古代的一部数学著作该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”，大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为文如果每株椽的运费是文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问文能买多少株椽？设文购买椽的数量为株，则符合题意的方程是( )
A. B.
C. D.
11.中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线即圆弧，高铁列车在转弯时的曲线起点为，曲线终点为，过点，的两条切线相交于点，列车在从到行驶的过程中转角为若圆曲线的半径，则这段圆曲线的长为( )
A. B. C. D.
12.如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是( )
A.
B.
C. 或
D. 或
二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。
13.使分式有意义的的取值范围是______．
14.若一元二次方程的两个根是，，则的值是______．
15.如图，等边三角形是由个大小相等的等边三角形构成，随机地往内投一粒米，落在阴影区域的概率为______．
16.在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则的值是______．
17.如图，用一个卡钳测量某个零件的内孔直径，量得长度为，则等于______．
18.如图，在矩形纸片中，，，点，分别在，上，把，沿，翻折，，的落点是对角线，上的点和，则四边形的面积是______．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
计算：．
20.本小题分
先化简，再求值：，其中．
21.本小题分
如图，在中，，．
用直尺和圆规作的平分线交于点；保留作图痕迹，不要求写作法
在中作出的平分线后，求的度数．
22.本小题分
为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，有名学生报名参加选拔报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分满分分，取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按：：的比例计算出每人的总评成绩．
小悦、小涵的三项测试成绩和总评成绩如表，这名学生的总评成绩频数分布直方图每组含最小值，不含最大值如图．
选手 测试成绩分 总评成绩分
采访 写作 摄影
小悦
小涵
在摄影测试中，七位评委给小涵打出的分数如下：，，，，，，这组数据的中位数是______分，众数是______分，平均数是______分；
请你计算小涵的总评成绩；
学校决定根据总评成绩择优选拔名小记者试分析小悦、小涵能否入选，并说明理由．
23.本小题分
如图，为的直径，交于点，为上一点，延长交于点，延长至，使，连接．
求证：为的切线；
若且，求的半径．
24.本小题分
小亮利用所学的知识对大厦的高度进行测量，他在自家楼顶处测得大厦底部的俯角是，测得大厦顶部的仰角是，已知他家楼顶处距地面的高度为米图中点，，，均在同一平面内．
求两楼之间的距离结果保留根号；
求大厦的高度结果取整数．
参考数据：，，，
25.本小题分
电子体重秤度数直观又便于携带，为人们带来了方便，某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：一个装有踏板踏板质量忽略不计的可变电阻与踏板上人的质量之间的函数关系式为其中，为常数，，其图象如图所示；图的电路中，电源电压恒为伏，定值电阻的阻值为欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的度数为，该度数可以换算为人的质量．
注：导体两端的电压，导体的电阻，通过导体的电流，满足关系式．
串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压．
求出关于的函数解析式．
当伏时， ______欧
若电压表量程为伏，直接写出该电子体重秤可称的最大质量．
26.本小题分
综合与实践
问题提出
某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，为上一点，，动点以每秒个单位的速度从点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形设点的运动时间为，正方形的面积为，探究与的关系．
初步感知
如图，当点由点运动到点时，
当时， ______；
关于的函数解析式为______．
当点由点运动到点时，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图所示的图象请根据图象信息，求关于的函数解析式及线段的长．
延伸探究
若存在个时刻，，对应的正方形的面积均相等．
______；
当时，求正方形的面积．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、是有理数，故此选项不符合题意；
B、是有理数，故此选项不符合题意；
C、是无理数，故此选项符合题意；
D、是有理数，故此选项不符合题意；
故选：．
根据有理数、无理数的定义逐一判断即可．
本题考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，每两个之间依次多个等形式．
2.【答案】
【解析】解：从正面看，可得图形如下：
．
故选：．
找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握简单组合体三视图的形状是正确判断的前提．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查单项式的系数，单项式中数字因数叫做单项式的系数，根据单项式系数的定义来选择即可．
【解答】
解：根据单项式系数的定义，单项式的系数为．
故选A．
4.【答案】
【解析】解：由题意平移的距离为，
故选：．
观察图象，发现平移前后，、对应，、对应，根据平移的性质，易得平移的距离为，，进而可得答案．
本题考查平移的性质，本题关键是要找到平移的对应点．
5.【答案】
【解析】解：氮气约占，氧气约占，其他微量气体约占要反映上述信息，宜采用的统计图是扇形统计图．
故选：．
根据扇形统计图的特点：用扇形的面积表示部分在总体中所占的百分比；易于显示每组数据相对于总数的大小，即可得到答案．
此题考查的是扇形统计图的特点，掌握其特点是解决此题的关键．
6.【答案】
【解析】解：，
，
故选：．
移项即可得出答案．
本题考查不等式的解集，解题的关键是正确理解不等式的解的概念，本题属于基础题型．
7.【答案】
【解析】解：水面和杯底互相平行，
，
．
水中的两条光线平行，
．
故选：．
根据平行线的性质即可得到结论．
本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，同旁内角互补”和“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：、，原式计算错误，故选项不符合题意；
B、，原式计算错误，故选项不符合题意；
C、，原式计算错误，故选项不符合题意；
D、，计算正确，故选项符合题意．
故选：．
根据同底数幂乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂除法以及合并同类项的法则计算即可．
本题考查了同底数幂乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂除法以及合并同类项，解题的关键是熟练掌握相关的定义和法则．
9.【答案】
【解析】解：二次函数，
抛物线开口向上，顶点为，
抛物线的最低点为，
点是二次函数图象的最低点，
点，
故选：．
根据函数解析式可确定顶点坐标，进而可得答案．
此题主要考查了二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：设元购买椽的数量为株，则一株椽的价钱为，
由题意得：，
故选：．
设元购买椽的数量为株，根据单价总价数量，求出一株椽的价钱为，再根据少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可列出分式方程，得到答案．
本题考查了从实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找出等量关系是解题关键．
11.【答案】
【解析】解：过点，的两条切线相交于点，
，
、、、四点共圆，
，
圆曲线的长为：．
故选：．
由圆的切线可得，进而可证明、、、四点共圆，利用圆内接四边形的性质可求得，再根据弧长公式计算可求解．
本题主要考查圆的切线的性质，点与圆的位置关系，圆内接四边形的性质，弧长的计算，证明、、、四点共圆求解的度数是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：在反比例函数图象上，
，
反比例函数解析式为：，
又在图象上，
，
，
点、在一次函数的图象上，
，解得，
一次函数解析式为：．
由图象可知，不等式的解集．
故选：．
求出一次函数和反比例函数的解析式，根据图示直接得出不等式的解集．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数与一次函数交点的坐标满足两个函数关系式．
13.【答案】
【解析】解：当时，分式有意义，
解得，
故答案为：．
根据分式有意义的条件可得，求出的范围即可．
本题考查分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件：分母不为零是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：，是一元二次方程的两个根，
，
故答案为：．
根据根与系数的关系直接可得答案．
本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系．
15.【答案】
【解析】解：总面积为个大小相等的等边三角形的面积，其中阴影区域面积为个大小相等的等边三角形的面积，
随机地往内投一粒米，落在阴影区域的概率为．
故答案为：．
根据几何概率的求法：落在阴影区域的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率．
16.【答案】
【解析】解：在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则的值是．
故答案为：．
平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即求关于原点的对称点时，横、纵坐标都变成原数的相反数．
本题主要考查了平面直角坐标系内两点关于原点对称，掌握两点关于原点对称时，横、纵坐标均互为相反数是解题的关键．
17.【答案】
【解析】解：，，
∽，
：，
，
，
故答案为：．
根据相似三角形的判定和性质，可以求得的长．
本题考查相似三角形的应用，求出：是解答本题的关键．
18.【答案】
【解析】解：把，沿，翻折，
，，
四边形为矩形，
，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，，
，
由折叠可知，
，
设，则，
在中，，
，
解得，，
，
．
故答案为：．
由折叠的性质得出，，又因为，可得，可得出四边形是平行四边形，则面积公式可求出答案．
本题考查了翻折变换的性质，平行四边形对的判定，勾股定理等知识，熟练掌握翻折变换的性质及方程思想是解题的关键．
19.【答案】解：原式
．
【解析】先算乘方及括号里面的，再算乘除，最后算加法即可．
本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
20.【答案】解：
，
当时，原式．
【解析】利用平方差公式和单项式乘多项式的法则先去掉括号，然后合并同类项，最后代值计算即可．
此题主要考查了整式的化简求值，熟练利用公式去括号并进行合并同类项是解题关键．
21.【答案】解：如图，即为所求；
，
．
是的平分线，
，
答：的度数为．
【解析】利用直尺和圆规作的平分线交于点即可；
根据角平分线的定义和等腰三角形的性质，即可求的度数．
本题考查了作图基本作图、等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握等腰三角形的性质．
22.【答案】
【解析】解：七位评委给小涵打出的分数从小到大排列为：，，，，，，，
所以这组数据的中位数是分，众数是分，平均数是分；
故答案为：，，；
分，
答：小涵的总评成绩为分；
不能判断小悦能否入选，但是小涵能入选，
理由：由名学生的总评成绩频数分布直方图可知，小于分的有人，因为小悦分、小涵分，
所以不能判断小悦能否入选，但是小涵能入选．
分别根据中位数、众数和平均数的定义即可求出答案；
根据加权平均数公式计算即可；
根据名学生的总评成绩频数分布直方图即可得出答案．
本题考查了频数率分布直方图，加权平均数，中位数和众数，解题的关键在于熟练掌握加权平均数，中位数和众数的计算方法．
23.【答案】解：证明：如图，连接，
，
，
，
，
，，
，
即，
，
是半径，
为的切线；
解：设的半径，则，
，
在中，由勾股定理得，
，
，
解得，或舍去，
的半径为．
【解析】连接，根据等边对等角结合对等角相等即可推出结论；
设的半径，则，，在中，由勾股定理得得出方程求解即可．
本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，熟记切线的判定定理是解题的关键．
24.【答案】解：过点作，垂足为，
由题意得：米，，
在中，，
米，
米，
两楼之间的距离为米；
在中，，
米，
米，
米，
大厦的高度约为米．
【解析】过点作，垂足为，根据题意可得：米，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答；
在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
25.【答案】
【解析】解：由图可知：函数的图象经过点，，
，
解得，
即关于的函数解析式是；
，伏，电源电压恒为伏，定值电阻的阻值为欧，
，
解得，
即当伏时，欧，
故答案为：；
，
随的增大而减小，
，
当取得最大值时，取得最小值，
电压表量程为伏，
当时，取得最小值，
当取得最小值时，取得最大值，
即该电子体重秤可称的最大质量是千克．
根据图可知：函数的图象经过点，，然后即可求得关于的函数解析式；
根据伏和题目中的数据，可以计算出此时的值；
根据反比例函数的性质和电压表量程为伏，可以得到该电子体重秤可称的最大质量．
本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
26.【答案】解：；
；
由图可得：当点运动到点处时，，当点运动到点处时，，
抛物线的顶点坐标为，
，，
，
设，将代入，得，
解得：，
，
，
在中，，
，
抛物线的解析式为；
：；
，，，
≌，
，
，
，
，
，
．
【解析】【分析】
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形面积等；解题关键是添加辅助线构造全等三角形和相似三角形．
当时，，运用勾股定理即可求得答案；
由题意得，运用勾股定理可得；
观察图象可得当点运动到点处时，，当点运动到点处时，，抛物线的顶点坐标为，由勾股定理可得，，即，设，将代入，即可求得，再利用勾股定理即可求得线段的长；
过点作于点，可证得∽，得出，可求得，，根据存在个时刻，，对应的正方形的面积均相等，可得，再证得≌，可得，列出等式即可；
证明≌，得出，建立方程求解即可得出答案．
【解答】
解：当时，，
又，，
．
故答案为：；
当点由点运动到点时，，
，，
．
故答案为：；
见答案；
如图，则，
，
∽，
，即，
，，
，，
存在个时刻，，对应的正方形的面积均相等，
，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
．
故答案为：；
见答案．
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