8.4.1平面 课件（共29张ppt）2023-2024学年高中数学人教A版（2019）必修第二册

(共29张PPT)
8.4.1平面
前面在学习棱柱、棱锥、棱台等多面体的过程中，我们初步认识了简单几何体的组成元素，知道了顶点、棱(直线段)、平面多边形是构成棱柱、棱锥等多面体的基本元素，我们以直观感知的方式认识了这些基本元素之间的相互关系，从而得到了多面体的一些结构特征.为了进一步认识立体图形的结构特征，需要对点、直线、平面之间的位置关系进行研究.本节我们先研究平面及其基本性质，在此基础上，研究空间点、直线、平面之间的位置关系.
教学目标
1.了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法.
2.掌握关于平面基本性质的三个基本事实.(重点)
3.会用符号表示点、直线、平面之间的位置关系.(难点)
问题1 闪闪的星星给我们以点的形状，点有位置但没有大小；拉紧的细线给我们以直线段的形象，直线段向两个相反方向无限延伸成为直线，直线是没有粗细的.类似地，生活中哪些事物给我们以平面的直观感觉呢？
追问1 我们知道，直线有“直”和向两端“无限延伸”的特征，类似地，平面会有怎样的特征呢？
“平”
“无限延展”
追问2 直线是如何用图形和符号表示的？如何用图形和符号表示平面？
图形表示：
平面水平放置
平面竖直放置
符号表示：
常用希腊字母等表示平面，如平面，平面，平面等，并将它写在代表平面的平行四边形的一个角内；
用代表平面的平行四边形的四个顶点表示平面，如平面ABCD；
用相对的两个顶点的大写英文字母表示平面，如平面AC、平面BD.
例1　(多选)下列说法正确的是
A.平面是处处平的面
B.平面是无限延展的
C.平面的形状是平行四边形
D.一个平面的厚度可以是0.001 cm
平面是无限延展的，但是没有大小、形状、厚薄，AB两种说法是正确的；
CD两种说法是错误的.
√
√
跟踪训练1　下列说法正确的是
A.平行四边形是一个平面
B.任何一个平面图形都是一个平面
C.平静的太平洋面就是一个平面
D.一个平面可以将空间分成两部分
√
问题2 我们知道，两点可以确定一条直线，那么几点可以确定一个平面？经过一个点、两个点、三个点……能确定一个平面吗？请举例说明.
基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面.
存在性
唯一性
追问1 如何将基本事实1用图形表示？用符号语言表示？
文字语言：
过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面.
图形语言：
符号语言：
不在一条直线上的三点A,B,C所确定的平面，可以记作平面ABC.
追问2 阅读教科书，如何用符号表示点和平面的位置关系？如何从集合的角度理解？
点A在直线上，记作A；
点B在直线外，记作B；
点A在平面内，记作A；
点B在平面外，记作B.
直线上有无数个点，平面内有无数个点，直线、平面都可以看作点的集合.
问题3 基本事实1用点和平面的关系刻画了平面的基本特征，接下来你认为可以用什么图形的关系刻画平面的基本特征？
直线与平面的位置关系
追问1 如果直线与平面有一个公共点P，直线是否在平面内？如果直线与平面有两个公共点呢？可以用你手中的直尺、笔、本和桌面进行操作，之后进行归纳.
基本事实2：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
追问2 如何将基本事实2用图形表示？用符号语言表示？
文字语言：
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
图形语言：
符号语言：
且
追问3 基本事实2的作用是什么？
可以判断直线是否在平面内.
追问4 根据基本事实2，如何用直线的“直”“无限延伸”刻画平面的“平”“无限延展”？请你先思考，然后借助直尺、桌面予以解释.
问题4 如图，把三角尺的一个角立在桌面上，三角尺所在平面与课桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？
追问1 你还能举出生活中哪些实例说明上述现象？
追问2 类比基本事实1和基本事实2的学习过程，阅读教科书并完成以下任务：
（1）从刚才操作实验中抽象出的基本事实（基本事实3）是什么？请用文字语言描述；
（2）如何用图形语言表示基本事实3？画图时要注意什么？
（3）如何用符号语言表示基本事实3？
基本事实3
文字语言：
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么有且只有一条过该点的公共直线.
图形语言：
符号语言：
画图时需要注意：
在画两个平面相交时，如果其中一个平面的一部分被另一个平面挡住，通常把被挡住的部分画成虚线或者不画，如图所示，这样可使画出的图形立体感更强一些.
追问3 基本事实3是从哪个角度刻画平面的？作用是什么？
从两个平面的相交关系的角度刻画平面的.
作用一：
判断两个平面是否相交，只需要判断两个平面是否有公共点；
作用二：
判断点是否在直线上，只需要判断这个点是这两个平面的公共点，那么它就在这两个平面的交线上.
追问4 前面我们接触过的几何体既有多面体又有旋转体.多面体的任何两个面所在的平面的交线都是一条直线，这体现了平面的什么特征？旋转体，比如圆柱，它的侧面与底面所在平面的交线是直线吗？这又说明了什么？
“平”和“无限延展”
问题5 我们知道，平面是点的集合，基本事实1从点与平面的关系角度给出了确定平面的充要条件.由基本事实2可知，我们也可以把平面看成是由点组成的.数学研究中，我们经常通过建立相关知识的联系而形成对研究对象或问题的进一步认识.联系基本事实1,2，你能给出确定一个平面的其他条件吗？
基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面.
推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.
例2　用符号表示下列语句，并画出图形.
(1)平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B.
用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图1.
图1
(2)点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上.
用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C AB，如图2.
图2
跟踪训练2　(1)(多选)若点A在直线b上，直线b在平面β内，则点A，直线b，平面β之间的关系可以记作
A.A∈b B.b β C.A∈β D.A β
√
√
√
(2)如图所示，用符号语言可表述为
A.α∩β＝m，n α，m∩n＝A
B.α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A
C.α∩β＝m，n α，A m，A n
D.α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n
√
如图所示，
∵a∥b，
∴过a，b有且只有一个平面α.
设a∩l＝A，b∩l＝B，
∴A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l，
∴l α，即过a，b，l有且只有一个平面.
例3　已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面.
跟踪训练3　如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内.
方法一　(纳入法)
∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.
又∵l2 α，∴B∈α.同理可证C∈α.
∵B∈l3，C∈l3，∴l3 α.
∴直线l1，l2，l3在同一平面内.
方法二　(同一法)
∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴l2和l3确定一个平面β.
∵A∈l2，l2 α，∴A∈α.∵A∈l2，l2 β，
∴A∈β.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内，
∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内.
例4　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中“E，F分别为AB，AA1上的点，且D1F∩CE＝M”，求证：点D，A，M三点共线.
因为D1F∩CE＝M，且D1F 平面A1D1DA，
所以M∈平面A1D1DA，
同理M∈平面BCDA，
从而M在两个平面的交线上，
因为平面A1D1DA∩平面BCDA＝AD，
所以M∈AD成立.所以点D，A，M三点共线.
跟踪训练4　如图，已知平面α，β，且α∩β＝l，设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB α，CD β.求证：AB，CD，l共点.