24.4.1《弧长和扇形面积》达标训练
达标训练
基础·巩固·达标
1．在半径为1的⊙O中，1°的圆心角所对的弧长是__________.
提示：半径为1的⊙O的周长为2π，所以1°的圆心角所对的弧长是.?
答案：?
2.⊙O中，半径 r=30 cm，的长度是8π cm，则所对的圆心角是_________.
提示：利用公式l=解方程.?
答案：48°
3.在半径为6 cm的圆中，圆心角为40°的扇形面积是__________cm2.
提示：由扇形面积公式直接可得.?
答案：4π
4.扇形的面积是5π cm2，圆心角是72°，则扇形的半径为___________cm.
提示：因为S扇形=πR2，所以R==5(cm).?
答案：5?
5.一段铁路弯道成圆弧形，圆弧的半径是2 ( http: / / www.21cnjy.com ) km，一列火车以每小时28 km的速度经过10s?通过弯道，那么弯道所对的圆心角的度数为________度.（π取3.14，结果精确到0.1度）
提示：由弧长公式得28×，解得n=≈2.2.?
答案：2.2?
6.在半径为1的⊙O中，弦AB=1，则的长是（）
? A. ?B. C.? D.
提示：易知△OAB是等边三角形，故圆心角是60°.?
答案：?C?
7.已知100°的圆心角所对的弧长l=5π，则该圆的半径r等于（）
? A.7? B.8? C.9? D.10
提示：利用l=解方程即可.?
答案：?C
8.如果扇形的圆心角为150°，扇形面积为240π cm2，那么扇形的弧长为（）? A.5π cm? B.10π cm? C.20π cm??D.40π cm?
提示：由πr2=240π，解得r=24.又由S=lr，得240π=l×24，得l=20πcm.??答案：?C
9.如图24-4-6，正三角形ABC内接于⊙O，边长为4 cm，求图中阴影部分的面积.
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图24-4-6
.提示：图中阴影部分为弓形，因此应求出扇形AOC的面积和△AOC的面积，所以关键是求圆心角及⊙O的半径.本题考查组合图形的求法，扇形面积公式等.?
解：连接BO，并延长交AC于E，则BE⊥AC，AE=AC=2 cm，连接OA、OC.
∵△ABC为正三角形，∴∠AOC==120°，∠AOE=60°.?
在Rt△AEO中，OA=（cm），OE=OA=（cm），?
∴S扇形AOC=.
∴S阴影=S扇形AOC-S△AOC=cm2.
10.如图24-4-7，等腰直角三角形ABC的斜边AB=4，O是AB的中点，以O为圆心的半圆分别与两直角边相切于点D、E，求图中阴影部分的面积.
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图24-4-7
提示：阴影部分面积可以看成是一个小直角三角形与一个扇形面积的差的2倍；或者是大直角三角形与半圆面积的差.?
解法一：由题意知，AC=AB·cos45°=2，连接OE，则OE⊥BC.?
∵∠C=90°，∴OE∥AC.?
又∵OA=OB，∴OE=BE=EC=AC=. ∴S阴=2（S△OBE-S扇形OEF）=2-.?
解法二：由对称性知，S阴=（S正方形-S⊙O），∴S阴=［(2)2-π()2］=2-.?综合·应用·创新
11．（经典回放)如图24-4-8，在两个同心圆中，两圆半径分别为2、1，∠AOB=120°，则阴影部分面积是（）
A.4π??B.2π??C.43?π??D.π?
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图24-4-8 图24-4-9
提示：S阴影=π（R2-r2）=π×（4-1）=2π.?
答案：?B?
12．如图24-4-9，是赛跑跑道的一部分，它是由两条直线和中间半圆形弯道组成的.若内外两条跑道的终点在一直线上，则外跑道起点往前移，才能使两跑道有相同的长度，如果跑道宽1.22米，则外跑道的起点应前移_________米.（π取3.14，结果精确到0.01米）
提示：本题是一个实际应用题，应将其转变为几何图形.事实上，外跑道中间的弯道比内跑道的弯道长的长度，即为外跑道的起点应前移的长度.理解题意，求出两弯道的长度差即可.?解：因弯道为半圆形，所以外弯道比内弯道长的距离为πR外-πR内=π（R外-R内）=1.22π≈3.83（米），所以外跑道的起点应前移3.83米.?
回顾·热身·展望
13．（经典回放）半径为3 cm，圆心角为120°的扇形的面积为（）
? A.6π cm2?? B.5π cm2?
? C.4π cm2?? D.3π cm2?
提示：直接利用扇形面积公式计算.?
答案：?D??
14． 如果圆锥底面圆的半径是8，母线的长是20，那么这个圆锥侧面展开图扇形的圆心角的度数是___________.
提示：利用扇形面积公式.?
答案：144°
15.( 甘肃平凉模拟) 如图24-4-10，三个圆是同心圆，图中阴影部分的面积为__________.
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图24-4-10
提示：三个阴影部分可拼成一个圆心角为90°，半径为1的扇形，求这个扇形的面积即可.答案：?
16.(辽宁大连模拟) 图24-4-11， ( http: / / www.21cnjy.com )在两个同心圆中，三条直径把大圆分成相等的六部分，若大圆的半径为2，则图中阴影部分的面积是_________.
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图24-4-11
提示：因为在两个同心圆中，三条直径把大圆分成相等的六部分，则把阴影部分拼在一起构成一个大半圆（如图），而大圆的半径为2，所以阴影部分的面积为：π×22=2π.?
? ( http: / / www.21cnjy.com )
答案：2π
17.(福建泉州省级课改试验区模拟 )下面让我们来探究生活中有关粉刷墙壁时，刷具扫过面积的问题（π≈3.14）（如图24 -4-12）.
（1）甲工人用的刷具是一根细长的棍子（如图①），长度AB为20 cm（宽度忽略不计），他用刷具绕A点旋转90°，则刷具扫过的面积是多少？
（2）乙工人用的刷具形状是圆形（如图②）， ( http: / / www.21cnjy.com )直径CD为20 cm，点O、C、D在同一直线上，OC=30 cm，他把刷具绕O点旋转90°，则刷具扫过的面积是多少？
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图24-4-12
提示：甲工人刷的面积是一个 ( http: / / www.21cnjy.com )半径为20 cm，圆心角为90°的扇形的面积；乙工人刷的面积是两个半径分别为50 cm和30 cm，圆心角为90°的扇形面积的差.?
解：（1）甲工人用刷具扫过的面积是：=314（cm2）.?
（2）乙工人用刷具扫过的面积是：=1 256（cm2）.?24.4.2 圆锥的侧面积和全面积
一、
1.圆锥的底面积为25π，母线长为13 ( http: / / www.21cnjy.com ) cm，这个圆锥的底面圆的半径为________ cm，高为________ cm，侧面积为________ cm2.
思路解析：圆的面积为S=πr2，所以r==5(cm)；圆锥的高为=12(cm)；侧面积为×10π·13=65π(cm2).
答案：5 12 65π
2.圆锥的轴截面是一个边长为10 cm的正三角形，则这个圆锥的侧面积为________ cm2，锥角为_________，高为________ cm.
思路解析：S侧面积=×10π×10=50π(cm2)；锥角为正三角形的内角，高为正三角形的高.
答案：50π 60° 5
3.已知Rt△ABC的两直角边AC=5 c ( http: / / www.21cnjy.com )m，BC=12 cm，则以BC为轴旋转所得的圆锥的侧面积为__________ cm2，这个圆锥的侧面展开图的弧长为__________ cm，面积为___________ cm2.
思路解析：以BC为轴旋转所得圆锥的底面半径为5 cm，高为12 cm，母线长为13 cm.利用公式计算.
答案：65π 10π 65π
4.如图24-4-2-1，已知圆锥的底面直径为4，母线长为6，则它的全面积为__________.
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图24-4-2-1
思路解析：圆锥的全面积为侧面积加底面积.
答案：16π
二、
1.粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面直径是4 m，母线长为3 m，为防雨需在粮仓的顶部铺上油毡，那么这块油毡的面积至少为( )
A.6 m2 B.6π m2 C.12 m2 D.12π m2
思路解析：侧面积=底面直径·π·母线长=×4×π×3=6π(m2).21世纪教育网
答案：B
2.若圆锥的侧面展开图是一个半径为a的半圆，则圆锥的高为( )
A.a B. a C.3a D.a
思路解析：展开图的弧长是aπ，故底面半径是，这时母线长、底面半径和高构成直角三角形.
答案：D
3.用一张半径为9 cm、圆 ( http: / / www.21cnjy.com )心角为120°的扇形纸片，做成一个圆锥形冰淇淋的侧面(不计接缝)，那么这个圆锥形冰淇淋的底面半径是_________ cm.
思路解析：扇形的弧长为 =6π(cm)，所以圆锥底面圆的半径为=3(cm).
答案：3
4.如图24-4-2-2，已知圆锥的母线长OA=8，地面圆的半径r=2.若一只小虫从A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，则小虫爬行的最短路线的长是_________(结果保留根式).
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图24-4-2-2
思路解析：如图，圆锥的侧面展开图是扇形，它的圆心角是 =90°，连结AB，则△AOB是等腰直角三角形，OA=OB=8，所以AB==8.
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答案：8
5.一个圆锥的高为3 cm，侧面展开图是半圆，
求：(1)圆锥母线与底面半径的比；
(2)锥角的大小；
(3)圆锥的全面积.
思路分析：圆锥的母线在侧面展开图中是扇形的半径，底面周长是展开扇形的弧长.锥角是轴截面的等腰三角形的顶角.知道圆锥母线和底面半径，就可由扇形面积公式求侧面积，底面积加侧面积就得圆锥全面积.
解：如图，AO为圆锥的高，经过AO的截面是等腰△ABC，则AB为圆锥母线l，BO为底面半径r.
(1)因圆锥的侧面展开图是半圆，所以2πr=πl，则=2.
(2)因=2，则有AB=2OB，∠BAO=30°，所以∠BAC=60°，即锥角为60°.
(3)因圆锥的母线l，高h和底面半径r构成直角三角形，所以l2=h2＋r2；又l=2r，h=3 cm，则r=3 cm，l=6 cm.
所以S表=S侧＋S底=πrl＋πr2=3·6π＋32π=27π(cm2).
三、
1.已知圆锥的母线与高的夹角为30°，母线长为4 cm，则它的侧面积为_________ cm2(结果保留π).
思路解析：S圆锥侧=×2×π××4×4=8π.
答案：8π
2.如图24-4-2-3，有一圆锥形粮 ( http: / / www.21cnjy.com )堆，其主视图是边长为6 m的正三角形ABC，母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，小猫从B处沿圆锥表面去偷袭老鼠，则小猫经过的最短路程是___________ m.(结果不取近似数)
( http: / / www.21cnjy.com )
图24-4-2-3
思路解析：小猫经过的最短路程是圆锥侧面展开图中的PB(如图).
( http: / / www.21cnjy.com )
则扇形的圆心角为=180°,因为P在AC的中点上，
所以∠PAB=90°.在Rt△PAB中，PA=3，AB=6，
则PB==3.
答案：3
3.若圆锥的底面直径为6 cm，母线长为5 cm，则它的侧面积为___________.(结果保留π)
思路解析：已知底面直径和母线长直接代入圆锥侧面积公式即可.
设圆锥底面半径为r，母线为l，则r=3 cm，l=5 cm，∴S侧=πr·l=π×3×5=15π(cm2).
答案：15π cm2
4.在Rt△ABC中，已知AB=6，A ( http: / / www.21cnjy.com )C=8，∠A=90°.如果把Rt△ABC绕直线AC旋转一周得到一个圆锥，其全面积为S1；把Rt△ABC绕直线AB旋转一周得到另一个圆锥，其全面积为S2.那么S1∶S2等于( )
A.2∶3 B.3∶4 C.4∶9 D.5∶12
思路解析：根据题意分别计算出S1和S2即得答案.在求S1和S2时，应分清圆锥侧面展开图(扇形)的半径是斜边BC，弧长是以AB(或AC)为半径的圆的周长.
∵∠A=90°，AC=8，AB=6，∴BC===10.
当以AC为轴时，AB为底面半径，S1=S侧＋S底=πAB·BC＋πAB2=π×6×10＋π×36=96π.21世纪教育网
当以AB为轴时，AC为底面半径，S2=S侧＋S底=80π＋π×82=144π.
∴S1∶S2=96π∶144π=2∶3，故选A.
答案:A
5.如图24-4-2-4是小芳学习时使用 ( http: / / www.21cnjy.com )的圆锥形台灯灯罩的示意图，则围成这个灯罩的铁皮的面积为____________ cm2(不考虑接缝等因素，计算结果用π表示).
( http: / / www.21cnjy.com )
图24-4-2-4
思路解析：由题意知：S侧面积=×30π×20=300π(cm2).
答案：300π
6.制作一个底面直径为30 cm、高为40 cm的圆柱形无盖铁桶,所需铁皮至少为( )
A.1 425π cm2 B.1 650π cm2 C.2 100π cm2 D.2 625π cm2
思路解析:由题意知S铁皮=底面积+侧面积=π×152+40×2π×15=15×95π=1 425π.
答案:A
7.在半径为27 m的广场中央，点O的上空安装了一个照明光源S，S射向地面的光束呈圆锥形，其轴截面SAB的顶角为120°(如图24-4-2-5)，求光源离地面的垂直高度SO.(精确到0.1 m；=1.414，=1.732，=2.236，以上数据供参考)
( http: / / www.21cnjy.com )
图24-4-2-5
思路分析：利用勾股定理和30°的角所对的直角边等于斜边的一半解题.
解：在△SAB中，SA=SB，∠ASB=120°.
∵SO⊥AB，∴O为AB的中点，且∠ASO=∠BSO=60°，∠SAO=30°.
在Rt△ASO中，OA=27 m，设SO=x，则AS=2x，∴272+x2=(2x)2.∴x=9≈15.6(m).
答：光源离地面的垂直高度SO为15.6 m.
8.如图24-4-2-6，在小学，我们曾用试验归纳出圆锥的体积等于三分之一底面积乘以高.现在我们的试验是，取一个半径为R的半球面，再取一个半径和高都是R的圆锥容器.两次将圆锥容器装满细沙，并倒入半球内，发现半球恰好被装满.试根据这一试验猜想半径为R的球的体积公式.
图24-4-2-6
思路分析：数学试验是获得一些结论的重要途径，同时在获取知识培养能力、增强毅力等方面有很大益处.
解：V球=πR3，试验结果表明：2V圆锥=V半球，即V半球=πR3，∴V球=πR3.
