人教版九年级上册（新）第24章《24.3正多边形和圆》同步练习（word版 含答案）

24.3《正多边形和圆》练习基础·巩固·达标
1．正五边形共有________条对称轴，正六边形共有________条对称轴.
提示：正 n边形的对称轴与它的边数相同.?
答案：5　6
2.中心角是45°的正多边形的边数是___________.
提示：因为正n边形的中心角为，所以45°=，所以 n=8.?
答案：8?
3.若正 n边形的一个外角是一个内角的23时，此时该正n边形有_________条对称轴.?
提示：因为正n边形的外角为，一个内角为，?
所以由题意得=· ，解这个方程得 n=5.?
答案：5?
4.圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正n边形的边长与半径之比（）
? A. 扩大了一倍?B. 扩大了两倍?C. 扩大了四倍?D.?没有变化
提示：由题意知圆的半径扩大一倍，则相应的圆内接正n边形的边长也扩大一倍，所以相应的圆内接正n边形的边长与半径之比没有变化.?
答案：?D
5.正三角形的高，外接圆半径、边心距之比为（）
? A. 3∶2∶1?B.4∶3∶2?C. 4∶2∶1?D. 6∶4∶3
提示：如右图，设正三角形的边长为 a，则高AD=a， OA=a，OC=a，
所以AD∶OA∶OC=3∶2∶1.
( http: / / www.21cnjy.com )?
答案：?A
6.同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是()
? A.62 ? B.34? C. 63 ?D.43
提示：分别求出正三角形、正方形的边长，知应选A.?
答案：?A
7. 周长相等的正三角形、正四边形、正六 ( http: / / www.21cnjy.com )边形的面积S3、S4、S6之间的大小关系是（） ? A.S3＞S4＞S6　　?B.S6＞S4＞S3　　?C.S6＞S3＞S4　　? D.S4＞S6＞S3
提示：周长相等的正多边形的面积是边数越多面积越大.?
答案：?B??
8.正六边形的两条平行边之间的距离为1，则它的边长为（）
? A.? B. ?C. ?D.
提示：正六边形的两条平行边之间的距离为1，所以边心距为0.5，则边长为.?
答案：?D
9.已知⊙O和⊙O上的一点A（如图24-3-2）.
（1）作⊙O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH；
（2）在（1）题的作图中，如果点E在上，求证：DE是⊙O内接正十二边形的边.
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图24-3-2
提示：求作⊙O的内接正六边形和正方形，依据 ( http: / / www.21cnjy.com )定理应将⊙O的圆周六等分、四等分，而正六边形的边长等于半径；互相垂直的两条直径由垂直于弦的直径的性质知把圆四等分.要证明DE是⊙O内接正十二边形的一边，由定理知，只需证明DE所对圆心角等于360°÷12=30
（1）作法：?
①作直径AC；?
②作直径BD⊥AC；?
③依次连接A、B、C、D四点.?
四边形ABCD即为⊙O的内接正方形.?
①分别以A、C为圆心，OA的长为半径作弧，交⊙O于E、H、F、G；?
②顺次连接A、E、F、C、G、H各点;?
六边形AEFCGH为⊙O的内接正六边形.?
（2）证明：连接OE、DE.?
∵∠AOD==90°，∠AOE==60°，?
∴∠DOE=∠AOD-∠AOE=30°.?
∴DE为⊙O的内接正十二边形的一边.
综合·应用·创新
10．某正多边形的每个内角比其外角大100°，求这个正多边形的边数.
提示：由正多边形的内角和与外角公式可求.?
解：设此正多边形的边数为n，则各内角为，外角为，依题意得-=100°.解得n=9.
11．如图24-3-3，在桌面上有半径为2　cm的三个圆形纸片两两外切，现用一个大圆片把这三个圆完全覆盖，这个大圆片的半径最小应为多少？
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图24-3-3
提示：设三个圆的圆心为O1、O2、O3，连 ( http: / / www.21cnjy.com )接O1O2、O2O3、O3O1，可得边长为4 cm的正△O1O2O3，设大圆的圆心为O，则点O是正△O1O2O3的中心，求出这个正△O1O2O3的半径，再加上⊙O1的半径即为所求.?
解：设三个圆的圆心为O1、O2、O3，连接O1O2、O2O3、O3O1，可得边长为4 cm的正△O1O2O3，则正△O1O2O3的半径为 cm，所以大圆的半径为 +2= (cm).?
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12．如图24-3-4，两相交圆的公共弦AB，在⊙O1中为内接正三角形的一边，在⊙O2?中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比.
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图24-3-4
提示：欲求两圆的面积之比，根据圆的面积计算公式，只需求出两圆的半径R3与R6的平方比即可.?
解：设正三角形外接圆⊙O1的半径为R3，正六边形外接圆⊙O2的半径为 R6，由题意得 R3=AB，R6=AB，∴R3∶R6=∶3.∴⊙O1的面积∶⊙O2的面积=1∶3.
回顾·热身·展望
13．（江苏连云港模拟）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图24-3-5，△ABC是等边三角形，⊙O过点B、C，且与BA、CA的延长线分别交于点D、E.弦DF∥AC， EF的延长线交 BC的延长线于点G.
（1）求证：△BEF是等边三角形；
（2）若 BA=4，CG=2，求 BF的长.
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图24-3-5
（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BCA=∠BAC=60°.?
∵ DF∥AC，∴∠D=∠BAC=60°,∠BEF=∠D=60°.?
又∵ ∠BFE=∠BCA=60°，∴△BEF是等边三角形.?
（2）∵∠ABC=∠EBF=60°,∴∠FBG=∠ABE.?
又 ∠BFG=∠BAE=120°，∴△BFG∽△BAE.?
∴ =BGBE.又BG=BC+CG=AB=CG=6，BE=BF， ?
∴ BF2=AB·BG=24，可得BF=2（舍去负值）.
14．（辽宁大连模拟） 如图24 ( http: / / www.21cnjy.com )-3-6①、②、③、○n、…、M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE…的边AB、BC上的点，且BM=CN，连接OM、ON.
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图24-3-6
（1）求图24-3-6①中∠MON的度数；
（2）图24-3-6②中∠MON的度数是_________，图24-3-6③中∠MON的度数是___________；?
（3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系（直接写出答案）.
（1）解法一：连接OB、OC.?
∵正△ABC内接于⊙O，∴∠OBM=∠OCN=30°，
∠BOC=120°.?
又∵BM=CN，OB=OC，∴△OBM≌△OCN.?
∴∠BOM=∠OCN.?
∴∠MON=∠BOC=120°.?
解法二：连接OA、OB.?
∵正△ABC内接于⊙O，∴AB=AC，∠OAM=∠OBN=30°，∠AOB=120°.?
又∵BM=CN，∴AM=BN.?
又∵OA=OB，?
∴△AOM≌△BON.?
∴∠AOM=∠BON.?
∴∠AON=∠AOB=120°.?
（2）90°　72°?
（3）∠MON=.?
15.(辽宁大连模拟) 将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后（如图24-3-7），其他条件不变.探究：线段MD、MF的关系，并加以证明.
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图24-3-7
证法一：延长DM到N，使MN=MD，连接FD、FN、EN，延长EN与DC延长线交于点H.?
∵MA=ME，∠1=∠2，MD=MN，?
∴△AMD≌△EMN.?
∴∠3=∠4，AD=NE.?
又∵正方形ABCD、CGEF，?
∴CF=EF，AD=DC，∠ADC=90°，?
∠CFE=∠ADC=∠FEG=∠FCG=90°,
∴DC=NE,?
∵∠3=∠4，∴AD∥EH.
∴∠H=∠ADC=90°,?
∵∠G=90°，∠5=∠6，∴∠7=∠8,?
∵∠7＋∠DCF=∠8＋∠FEN=90°，?
∴∠DCF=∠FEN.?
∵FC=FE，∴△DCF≌△NEF.?
∴FD=FN，∠DFC=∠NFE.?
∵∠CFE=90°，?
∴∠DFN=90°.?
∴FM⊥MD，MF=MD.?
证法二：如右图，过点E作AD的平行线分别交DM、DC的延长线于N、H，连接DF、FN.?
∴∠ADC=∠H，∠3=∠4.∵AM=ME，∠1=∠2，?
∴△AMD≌△EMN.?
∴DM=NM，AD=EN.?
∵正方形ABCD、CGEF，
∴AD=DC，FC=FE，∠ADC=∠FCG=∠CFE=90°.?
∴∠H=90°，∠5=∠NEF，DC=NE.?
∴∠DCF＋∠7=∠5＋∠7=90°.?
∴∠DCF=∠5=∠NEF.?
∵FC=FE，∴△DCF≌△NEF.?
∴FD=FN，∠DFC=∠NFE.∵∠CFE=90°，?
∴∠DFN=90°.?
∴FM⊥MD，MF=MD.
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