北师大版八年级数学下册第六章 平行四边形 单元复习题(含解析）

第六章 平行四边形 单元复习题 北师大版八年级数学下册
一、选择题
1．如图，平地上A、B两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，测量得DE＝16米，则A、B两点间的距离为（　　）
A．30米 B．32米 C．36米 D．48米
2．如图， ABCD的对角线AC、BD交于点O， ABCD的周长为30，直线EF过点O，且与AD，BC分别交于点E．F，若OE＝5，则四边形ABFE的周长是（　　）
A．30 B．25 C．20 D．15
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCO是平行四边形，若A，C两点的坐标分别为(3，0)，(1，2)，则 ABCO的周长为（　　）
A． B． C．4 D．
4．如图，在 ABCD中，BE⊥CD，BF⊥AD，∠EBF=45°.若CE=3，DF=1，则 ABCD的面积为（　　）
A． B． C． D．
5．下列四组条件中，不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　）
A．AB=CD，AD=BC B．AB∥CD，AB=CD
C．AB=CD，AD∥BC D．AB∥CD，AD∥BC
6．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连结AF，CE，有下列结论：①CF=AE；②OE=OF；③DE=BF；④图中共有10对全等三角形.其中正确的是（　　）
A．③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
7．如图，已知 ABCD，点 E，F 在对角线AC 上，且AE=CF，连结 DE，DF，BE，BF.求证：四边形DEBF 为平行四边形.以下是排乱的证明过程：
①∴四边形DEBF 为平行四边形.
②∵四边形ABCD为平行四边形，∴OD=OB，OA=OC.
③连结 BD，交 AC 于点O.
④∵AE=CF，∴OA-AE=OC-CF，即OE=OF.
证明步骤正确的顺序是 （　　）
A．①②③④ B．③④②① C．③②④① D．④③②①
8．如图，已知点D，E，F分别是的中点，的周长为，则的周长是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．
9．一个多边形的内角和是它的外角和的6倍，则这个多边形是几边形？（　　）
A．十一边形 B．十二边形 C．十三边形 D．十四边形
10．如图，、、，是六边形的四个外角，延长交于点若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，在平行四边形ABCD中，，，以点C为圆心，以任意长为半径作弧，分别交CB，CD于点E，F，再分别以E，F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点P，连接CP并延长交AD于点Q，连接BQ．若时，则与的周长之差为　 　．
12．如图，在 ABCD中，E为CD的中点，连结AE，过点 B作BF⊥AE，垂足为 F.若AD=AE=1，∠DAE=30°，则EF的长为　 　.
13．如图，在 ABCD中，BF平分∠ABC，交 AD 于点F，CE平分∠BCD，交 AD于点E.若AB=8，EF=1，则BC长为　 　.
14．如图，在 ABCD 中，AC，BD 相交于点O，点E，F在对角线BD上，有下列条件：①BF=DE；②AE=CF；③∠EAB=∠FCD；④AF∥CE.其中一定能判定四边形AECF 是平行四边形的有　 　(填序号).
15．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为边 AB 上一点，连结CD，E为CD的中点，连结BE 并延长至点F，使得EF=EB，连结DF 交AC 于点G，连结CF.若∠A=30°，BC=2，CF=3，则CD的长为　 　.
16．如图，等边的边长为1，第一次取点、、分别是边、、的中点，连接、、得到第一个等边；第二次取点、、分别是边、、的中点，连接、、得到第二个等边；第三次取点、、分别是边、、的中点，连接、、得到第三个等边；…；按此做法依次进行下去，则得到的第个等边的边长为　 　.
17．如图，是五边形的一个外角．若，则的度数为　 　．
18．已知一个多边形的边数恰好是从一个顶点出发的对角线条数的1.5倍，则这个多边形的内角和为　 　.
三、解答题
19．如图，在中，E，F是对角线AC上的两点，且．求证：AE＝CF．
20．如图，在平行四边形ABCD中，AB=6cm，AD=10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动点Q在CB边上以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动，同时点Q也停止运动．设运动时间为ts，当t为何值时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形？
21．如图，在ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E，F在对角线AC上， 且AE=CF．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）连结BD交AC于点O，若BD= 10，AE+CF=EF ，求EG的长．
22．如图，在△ABC中，AB=AC，D，E分别为边AB，AC的中点，连结DE，BE，F，G，H分别为BE，DE，BC的中点，连结FG，FH.
（1）求证：FG=FH，
（2）若∠A=90°，求证：FG⊥FH.
（3）若∠A=80°，求∠GFH的度数.
23．小红在求一个凸n边形的内角和时，多算了一个角，求得的内角和为1920°.求多算进去的内角的度数及n的值.
24．在□ABCD 中，∠ABC = 45°，对角 线 AC ⊥CD.
（1）如图1，若 AD=6，求□ABCD的面积.
（2）如图2，连结 BD交 AC 于点O，过点 A 作AE⊥BD于点 E，连结 EC.求证：ED=AE+EC.
25． 如图：是边长为的等边三角形，是边上一动点．由点向点运动与点，不重合，是延长线上一点，与点同时以相同的速度由点向延长线方向运动点不与点重合，过点作于点，连接交于点．
（1）若设的长为，则　 　，　 　；
（2）当时，求的长；
（3）过点作交延长线于点，则，有怎样的数量关系？说明理由．
（4）点，在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化，请说明理由．
26．如图，OC平分∠AOB，P为OC上的一点，∠MPN的两边分别与OA、OB相交于点M、N．
（1）如图1，若∠AOB＝90°，∠MPN＝90°，过点P作PE⊥OA于点E，作PF⊥OB于点F，请判断PM与PN的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，若∠AOB＝120°，∠MPN＝60°，求证：OP＝OM+ON．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：∵点M、N是分别是AC和BC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，，
∴，
∴（米）．
故答案为：B．
【分析】三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。据此求解。
2．【答案】B
【解析】【解答】解：∵在平行四边形中，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴，，
∴，，
∵平行四边形的周长为，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】利用平行四边形的性质证，可得OE=OF，AE=CF，进而可得，最后求出 四边形ABFE的周长即可．
3．【答案】D
【解析】【解答】解：过C作CE⊥OA于E，
∵C（1，2），
∴OE=1，CE=2，
∴，
∵A（3，0），∴OA=3，
∵四边形ABCO是平行四边形 ，
∴AB=OC=，BC=OA=3，
∴ ABCO的周长=2（OA+OC）=6+2.
故答案为：D.
【分析】过C作CE⊥OA于E，在Rt△OCE中，用勾股定理求出OC的值，然后根据平行四边形的性质并结合四边形的周长等于相邻两边之和的2倍可求解.
4．【答案】A
【解析】【解答】解：
四边形ABCD是平行四边形
同理：
又
在中，
又
．
故答案为： A．
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理．利用可推出： ，再结合可得：，进而推出：，可求出BC的长，得出AD的长，因此根据求出AF的长.利用可推出： ，再结合可得：，进而推出：，代入平行四边形的面积公式：可求出面积.
5．【答案】C
【解析】【解答】解：A、∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，此选项不符合题意；
B、∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，此选项不符合题意；
C、∵AB=CD，AD∥BC，∴四边形ABCD不一定是平行四边形，此选项符合题意；
D、∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的判定定理“①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；②两组对角分别相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别平行的四边形是平行四边形；④两组对边分别相等的四边形是平行四边形”并结合各选项即可判断求解.
6．【答案】B
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD，
∴OA=OC，OB=OD，DC=AB，DC∥AB，
∴∠CDF=∠ABE，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CD，∠DFC=∠AEB=90°，
在△CDF和△ABE中
∴△CDF≌△ABE（AAS），
∴CF=AE，DF=BE，故①正确；
∴DE=BF，故③正确；
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴OE=OF，AF=CE，故②正确；
在△COF和△AOE中
∴△COF≌△AOE（SAS），同理可证△AOF≌△COE，△DOC≌△AOB，△AOD≌△COB，
在△CFE和△AEF中
∴△CFE≌△AEF（SSS）
同理可证△CFA≌△AEC，△ABD≌△CDB，△ADC≌△CBA，△CBF≌△ADE，△ADF≌△CBE，△ABF≌△CDE，
一共有12对全等三角形，故④错误；
综上所述，正确结论的序号为①②③ .
故答案为：B.
【分析】利用平行四边形的性质和平行线的性质可证得OA=OC，OB=OD，DC=AB，DC∥AB，∠CDF=∠ABE，利用垂直的定义可知AE∥CD，∠DFC=∠AEB=90°，利用AAS证明△CDF≌△ABE，可证得CF=AE，DF=BE，可对①作出判断；同时可证得DE=BF，可对③作出判断；利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形AFCE是平行四边形，利用平行四边形的性质可推出OE=OF，AF=CE，可对②作出判断；利用SAS证明△COF≌△AOE，同理可证△AOF≌△COE，△DOC≌△AOB，△AOD≌△COB；利用SSS可知△CFE≌△AEF，同理可证△CFA≌△AEC，△ABD≌△CDB，△ADC≌△CBA，△CBF≌△ADE，△ADF≌△CBE，△ABF≌△CDE，可对④作出判断；综上所述，可得到正确结论的序号.
7．【答案】C
【解析】【解答】解：如图：连接BD 交 AC 于点O.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OD=OB，OA=OC.
∵AE=CF，
∴OA-AE=OC-CF，即OE=OF.
∴四边形DEBF 为平行四边形.
故答案为：C.
【分析】连接BD 交 AC 于点O. 由平行四边形的性质可得OD=OB，OA=OC.结合AE=CF，可推出OE=OF，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即证结论.
8．【答案】A
【解析】【解答】∵点D，E，F分别是的中点，
∴EF、DE和FD均是△ABC的中位线，
∴EF=AB，DE=AC，DF=BC，
∵△ABC的周长为12，
∴AB+BC+AC=12，
∴△DEF的周长=EF+DE+DF=（AB+BC+AC）=6，
故答案为：A.
【分析】先证出EF、DE和FD均是△ABC的中位线，再利用三角形中位线的性质可得EF=AB，DE=AC，DF=BC，最后利用三角形的周长公式及等量代换求解即可.
9．【答案】D
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数是n，
则（n-2）×180°=6×360°，
解得：n=14，
即这个多边形是十四边形；
故答案为：D.
【分析】设这个多边形的边数是n，根据多边形内角和定理：（n-2）·180° 与多边形的外角和等于360°列方程，求解即可得出答案.
10．【答案】C
11．【答案】5
【解析】【解答】根据题干中的作图方法CQ平分∠BCD，
∴∠BCQ=∠DCQ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=5，AD//BC，
∴∠BCQ=∠DQC，
∴∠DCQ=∠DQC，
∴DQ=DC=5，
∴与的周长之差=（BC+BQ+CQ）-（DC+DQ+CQ）=8+7+CQ-5-5-CQ=5，
故答案为：5.
【分析】利用平行四边形的性质可得CD=AB=5，∠BCQ=∠DQC，再利用角平分线的定义可得∠BCQ=∠DCQ，再利用等量代换可得∠DCQ=∠DQC，再利用等角对等边的性质可得DQ=DC=5，再利用三角形的周长公式求解即可.
12．【答案】
【解析】【解答】解：如图，延长AE交BC的延长线于点G，
在 ABCD中 ，AD=BC=1，AD∥BC，
∴∠D=∠ECG，
∵ E为CD的中点，
∴DE=CE，
∵∠AED=∠CEG，
∴△AED≌△GEC（ASA）
∴AD=CG=1，AE=EG=1，∠DAE=∠G=30°，
∴BG=2，
∵ BF⊥AE ，
∴BF=BG=1，
∴GF===，
∴EF=GF-EG=-1.
故答案为：-1.
【分析】延长AE交BC的延长线于点G，由平行四边形的性质可得AD=BC=1，AD∥BC，再证△AED≌△GEC（ASA）可得AD=CG=1，AE=EG=1，∠DAE=∠G=30°，利用直角三角形的性质可得BF=BG=1，由勾股定理求出GF，利用EF=GF-EG即可求解.
13．【答案】15
【解析】【解答】解：四边形为平行四边形，，
，，
，
平分，
，
，
，
同理，
，
，
，
故答案为：15．
【分析】本题主要考查平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质．已知四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质可得：和；又知平分，根据角平分线的定义得∠ABF=∠AFB，∠DCE=∠CED，进而推断出AB=AF，DC=DE，根据图形可得：,先求出，代入可求出BC.
14．【答案】①③④
【解析】【解答】解： 在 ABCD 中，AB∥CD，AB=CD，OB=OD，OA=OC，
①∵ BF=DE ，
∴ BF-OA=DE-OD，即OF=OE，
∴ 四边形AECF 是平行四边形 ，故符合题意；
②∵AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF，
由AB=CD， AE=CF，根据SSA不能判定△ABE≌△CDF，
则不能证明四边形AECF 是平行四边形 ，故不符合题意；
③∵∠ABE=∠CDF，AB=CD， ∠EAB=∠FCD ，
∴△ABE≌△CDF（ASA）
∴AE=CF，∠AEB=∠CFD ，
∴∠AEF=∠CFE ，
∴AE∥CF，
∴ 四边形AECF 是平行四边形 ，故符合题意；
④∵ AF∥CE.
∴∠AFB=∠CED ，
∵∠ABF=∠CDE ，AB=CD，
∴△ABF≌△CDE（AAS）
∴BFDE，
∴OF=OE，
∵OA=OC，
∴ 四边形AECF 是平行四边形 ，故符合题意.
故答案为：①③④.
【分析】根据全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质逐一判断即可.
15．【答案】
【解析】【解答】解：∵E是CD的中点，EF=EB
∴四边形CFDB是平行四边形
∴DF=BC=2，CF∥DB，DF∥BC
∴∠A=∠FCA=30°，∠FGC=∠ACB=90°
∴FG＝CF＝
∴CG＝
∴DG＝2－＝
∴CD＝＝
故答案为：.
【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定四边形CFDB是平行四边形；根据平行四边形的性质，可得DF=BC=2，CF∥DB，DF∥BC；根据两直线平行，内错角相等，可得∠A=∠FCA=30°，∠FGC=∠ACB=90°，根据含30°角直角三角形的性质，可得FG＝CF＝；根据勾股定理，可得CD的长.
16．【答案】
【解析】【解答】解： 、、分别是边、、的中点 ，
∴，
即是边长为的等边三角形；
同理，第二个等边的边长为；
第三个等边的边长为；
……
第n个等边的边长为．
故答案为：．
【分析】根据中位线定理，得出是边长为的等边三角形，的边长为， 的边长为，则第n个等边三角形的边长为．
17．【答案】
【解析】【解答】∵∠1=70°，
∴∠AED=110°，
又 +∠AED=（5-2）×180°，
∴=430°。
故答案为：430°。
【分析】首先根据邻补角求得∠AED=110°，再根据多边形内角和定理求得 +∠AED=（5-2）×180°，进而得出=430°。
18．【答案】1260°
【解析】【解答】解：设多边形边数为n，则从一个顶点出发的对角线条数为(n-3)条，
由题意得：，
解得，
这个多边形的内角和为.
故答案为：．
【分析】设多边形边数为n，则从一个顶点出发的对角线条数为(n-3)条，“ 一个多边形的边数恰好是从一个顶点出发的对角线条数的1.5倍 ”列出方程，解出n的值，然后根据多边形内角和公式即可求解．
19．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在△AEB和△CFD中，
∴；
∴．
【解析】【分析】根据平行四边形的性质得AB=CD，AB∥CD，由平行线的性质得到：，，然后利用"AAS"证明，最后根据全等三角形的对应边相等即可求解.
20．【答案】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴PD∥BQ．
若要以P ，D，Q，B四点组成的四边形为平行四边形，则PD=BQ．设运动时间为t s．
当0≤t<时，AP=tcm， PD=(10-t)cm， CQ=4t cm， BQ=( 10-4t)cm，∴10-t=10-4t，解得t=0；
当∴10-t=4t-10，解得t=4；
当5当∴10-t=4t-30，解得t=8．
综上所述，当t的值为0秒或4秒或秒或8秒时，以P，D，Q，B为顶点的四边形为平行四边形．
【解析】【分析】若要以P ，D，Q，B四点组成的四边形为平行四边形，则PD=BQ，则分四种情况讨论，第一种情况：当Q第一次从C到达B点前，即0≤t＜时，第二种情况：Q点从B到达C前，即＜t≤5时，第三种情况：Q点再次从C到达B前，即5＜t≤时，第四种情况：Q点再次从B点到达C点，即21．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠GAE=∠HCF．
∵点G，H分别是AB ，CD的中点，AB= CD，∴AG=CH．∵AE=CF，
∴△AGE≌△CHF ( SAS)，∴GE= HF， ∠AEG= ∠CFH，∴∠GEF =∠HFE，∴GE∥HF．又∵GE=HF，∴四边形EGFH是平行四边形．
（2）解：连结BD交AC于点O，如图．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA = OC， OB=0D． BD= 10，
∴ OB=OD=5．∵AE= CF ，OA=OC，
∴ OE=OF．∵AE+CF= EF，
∴2AE= EF=20E，∴AE=OE．又∵点G是AB的中点，∴EG是△ABO
的中位线，∴EG=OB=2.5，∴EG的长为2.5．
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可证出△AGE≌△CHF ( SAS)，再根据全等三角形的性质可得出GF=HF且GF∥HF，从而证出四边形EGFH是平行四边形；
（2）根据平行四边形的性质和已知 AE+CF=EF ，可知E是OA的中点，所以EG是△ABO的中位线，根据中位线的性质可求出EG的长度.
22．【答案】（1）证明：∵ D，E分别为边AB，AC的中点，
∴DE=BC，AD=DB=AB，AE=EC=AC，
∵AB=AC，
∴BD=CE，
∵ F，G，H分别为BE，DE，BC的中点，
∴FG=BD，FH=EC，
∴FG=FH；
（2）证明：∵ F，G，H分别为BE，DE，BC的中点，
∴FG∥BD，FH∥EC，
∵∠A=90°，
∴FG⊥AC，
∴FG⊥FH；
（3）解：延长FG交AC于点K，
∵FG∥BD，∠A=80°，
∴∠FKC=∠A=80° ，
∵FH∥EC，
∴∠GFH=180°-∠FKC=100°.
【解析】【分析】（1）由三角形的中位线定理和线段中点的性质可求解；
（2）由三角形的中位线定理可得：FG∥BD，FH∥EC，结合已知∠A=90°可求解；
（3）延长FG交AC于点K，由平行线的性质可求得∠FKC=∠A的度数，然后根据两直线平行同旁内角互补可求解.
23．【答案】解：由题意列不等式组：
，
解得：，
∵边长为正整数，
∴n=12，
∴多算进去的内角的度数=1920°-（12-2）×180°=120°.
【解析】【分析】根据题意可列关于n的不等式组，解不等式组求出n的范围，根据边长为正整数求得n的值，然后用1920减去原12边形的内角和即可求解.
24．【答案】（1）解：∵AC⊥CD，
∴∠ACD=90°，
∵∠ABC=45°，平行四边形ABCD，
∴AB∥CD，
∴∠ABC=∠D=∠DAC=45°，
∴AC=CD，
∵AC2+CD2=AD2即2AC2=36，
∴AC2=18，
∴平行四边形ABCD的面积为AC2=18
（2）证明：过点C作CF⊥CE交BD于点F，
∴∠ECF=90°，
∵AE⊥BD，
∴∠ACD=∠AED=90°，
∴∠ACF+∠FCD=∠ACF+∠ACE=90°，
∴∠ACE=∠FCD，
∵平行四边形ABCD，
∴AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF，
∵∠ABD+∠BAE=∠BAE+∠EAC=90°，
∴∠ABE=∠EAC=∠CDF，
在△ACE和△DCF中
∴△ACE≌△DCF（SAS），
∴CE=CF，DF=AE
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴EF2=CE2+CF2=2CE2，
∴，
∵DE=EF+DF，
∴
【解析】【分析】（1）利用垂直的定义可证得∠ACD=90°，利用平行四边形的性质及平行线的性质可证得AC=CD，利用勾股定理求出AC2的值，即可求出平行四边形ABCD的面积.
（2）过点C作CF⊥CE交BD于点F，利用垂直的定义和余角的性质可推出∠ACE=∠FCD，∠ABE=∠EAC=∠CDF，利用SAS证明△ACE≌△DCF，利用全等三角形的性质可证得CE=CF，DF=AE，可推出△CEF是等腰直角三角形，利用勾股定理可证得，然后根据DE=EF+DF，可证得结论.
25．【答案】（1）6-x；6+x
（2）解：因为，，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
（3）解：，
理由如下：
如图，
点、速度相同，
，
是等边三角形，
，
，，，
在和中
≌，
．
（4）解：的长度不变．
连接，，
≌
，
，
．
，，
，且，
四边形是平行四边形，
．
【解析】【解答】（1）解：是边长为6的等边三角形，
设，则，
故答案为∶；
【分析】（1）根据等边三角形的性质，由线段和差关系可求解；
（2）根据直角三角形的性质列方程，解方程即可求的长；
（3）根据等边三角形的性质，由""证明，可得；
（4）连接，利用全等三角形的性质证明，再证四边形是平行四边形，可得。
26．【答案】（1）解：PM＝PN，
理由如下：
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB，
∴PE＝PF，∠PEM＝∠PFN＝90°
∵∠AOB＝90°，∠MPN＝90°，
∴∠PMO+∠PNO＝180°，
∵∠PMO+∠PMA＝180°，
∴∠PMA＝∠PNO，
∴在△PEM和△PFN中，
，
∴△PEM≌△PFN（AAS），
∴PM＝PN；
（2）解：证明：过点P作PE⊥OA于点E，过点P作PF⊥OB于点F，如图所示
∵OC平分∠AOB，
∴PE＝PF，∠PEM＝∠PFN＝90°，
∵∠AOB＝120°，∠MPN＝60°，
∴∠PMO+∠PNO＝180°，
∵∠PNO+∠PNF＝180°，
∴∠PMO＝∠PNF，
在△PME和△PNF中，
，
∴△PME≌△PNF（AAS）
∴EM＝FN，
∵∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，
∴∠AOP＝∠BOP＝60°，
∴∠EPO＝∠FPO＝30°，
∴OP＝2OE，OP＝2OF，
∴OP＝OE+OF＝OM+ON
【解析】【分析】（1）由角平分线的性质可得PE＝PF，根据AAS证明△PEM≌△PFN，可得PM=PN.
（2）过点P作PE⊥OA于点E，过点P作PF⊥OB于点F，证明△PME≌△PNF（AAS），可得EM＝FN，易求∠EPO＝∠FPO＝30°，利用直角三角形的性质可得OP＝2OE，OP＝2OF，继而得解.
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