【五环分层导学-课件】2-7 确定二次函数的表达式-北师大版数学九(下)

(共18张PPT)
第二章 二次函数
第7课 确定二次函数的表达式
北师大版九年级下册
本套资料以教育部颁布的《数学课程标准（2022）版》为依据，结合新中考改革研究，立足北师大版本教材开发，通过课堂流程的优化设计，内容的层次设计，循序渐进，让不同层次的学生都学有所问，问有所探，探有所获，能力都有不同层次的提高，思维不断生长。
新授课通过激活思维、探究新知、双基巩固、综合运用、分层反馈五个环节来完成。
资料简介
第一环节 激活思维 通过回顾与本节新知有关的旧知或熟悉的生活情境，唤醒、激活学生的旧知，为新知生成奠定基础，为知识的形成提供情境。
第二环节 探究新知 通过一系列问题，引领学生通过自主、合作、探究的方式，在解决问题串的过程中，生成新知，积累基本活动经验，提高分析问题和解决问题的能力。
第三环节 双基巩固 通过典型例题，及时巩固基础知识与基本技能，为学生初步应用新知解决问题积累经验。
第四环节 综合运用 以本节知识为核心，设计一道综合题，提高学生综合运用知识的能力，发散思维，渗透数学思想方法。
第五环节 分层反馈 通过由易到难的当堂练习或检测，及时反馈学生掌握情况，给教师课后针对辅导与布置课后作业的量和难度提供数据参考。
五环导学
(1)二次函数的一般式：%// //% ．
(2)二次函数的顶点式：%// //% ．
(3)二次函数的交点式：%// //% ．
(4)在用待定系数法确定一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的关系式时，通常需要%////%个独立的条件；确定反比例函数y＝(k≠0)的关系式时，通常只需要%////%个条件．类似地，如果要确定二次函数的关系式y＝ax ＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)，通常又需要几个条件？
y＝ax2＋bx＋c
y＝a(x－h)2＋k
y＝a(x－)(x－)
2
1
需要3个独立的条件
【探究1】已知抛物线经过三点A(2，6)，B(－1，2)，C(0，1)，求函数解析式．
解：设所求的二次函数解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由这个函数的图象过C(0，1)，可知c＝1．
再由这个函数的图象过点A(2，6)、B(－1，2)，
得，解得，
所以这个二次函数的解析式为：y＝x2＋x＋1．
【探究2】已知抛物线的顶点是A(－1，2)，且经过点(2，3)，求二次函数的表达式．
解：∵抛物线的顶点是A(－1，2)，
∴设所求的二次函数解析式为y＝a(x＋1)2＋2(a≠0)．
又∵这个函数的图象过点(2，3)，可得3＝a(2＋1)2＋2．
∴a＝，
∴这个二次函数的解析式为：y＝(x＋1)2＋2．
【探究3】已知抛物线与x轴交于点M(－1，0)、N(2，0)，且经过点(1，2)，求这个函数的表达式．
解：∵抛物线与x轴交于点M(－1，0)、N(2，0)，
∴设抛物线的解析式为：y＝a(x＋1)(x－2)，
将点(1，2)代入可得：2＝a(1＋1)(1－2)，解得：a＝－1，
故抛物线的解析式为：y＝－(x＋1)(x－2)＝－x2＋x＋2．
【探究4】如何确定二次函数的表达式？一般步骤有哪些？
解：确定二次函数表达式的方法：用待定系数法确定二次函数的表达式；
一般步骤有：
①若无坐标系，应先建立适当的直角坐标系
②设抛物线的表达式；
③写出相关点的坐标；
④列方程(或方程组)
⑤解方程或方程组，求待定系数
⑥写出函数的表达式．
【例题1】根据下列条件，求出二次函数的解析式．
(1)抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(0，1)，(1，3)，(－1，1)三点；
(2)抛物线顶点P(－1，－8)，且过点A(0，－6)；
(3)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过(3，0)，(2，－3)两点，并且以x＝1为对称轴．
解：(1)由这个函数的图象过点(0，1)，可知c＝1．再由这个函数的图象过点(1，3)、B(－1，1)，
得，解得，所以这个二次函数的解析式为：y＝x2＋x＋1．
(2)∵抛物线的顶点是P(－1，－8)，
∴设所求的二次函数解析式为y＝a(x＋1)2－8(a≠0)．
又∵这个函数的图象过点A(0，－6)，可得－6＝a(0＋1)2－8．
∴a＝2，
∴这个二次函数的解析式为：y＝2(x＋1)2＋2．
(3)∵抛物线的对称轴是x＝1，与x轴一个交点是(3，0)，
∴抛物线与x轴的另一个交点是(－1，0)，
∴设抛物线的解析式为：y＝a(x＋1)(x－3)，
∵这个函数的图象过点(2，－3)，
∴－3＝a(2＋1)(2－3)，解得：a＝1，
∴抛物线的解析式为：y＝(x＋1)(x－3)＝x2－2x－3.
【例题2】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过一次函数y＝－x＋3的图象与x轴、y轴的交点；且过(1，1)，求这个二次函数解析式，并把它化为y＝a(x－h)2＋k的形式．
解：当x＝0时，y＝－x＋3＝3，则直线与y轴的交点坐标为(0，3)，
当y＝0时，－x＋3＝0，解得x＝2，则直线与x轴的交点坐标为(2，0)，
设抛物线解析式为y＝ax2＋bx＋c，
把(0，3)，(2，0)，(1，1)代入得，解得，
所以抛物线解析式为y＝x2－x＋3＝(x－)2－．
1.(中考真题)二次函数y＝x2＋mx＋m2－9的图象过原点，则m为 ．抛物线y＝－x2－2x＋m，若其顶点在x轴上，则m＝ ．
±3
－1
2.(中考真题)二次函数y＝x2－5x－6与y轴的交点是 ，与x轴的交点是 ．
(0，－6)
(－1，0)、(6，0)
3.已知，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标与点(2，－3)关于原点成中心对称，且点(－1，5)在这条抛物线上，则这个二次函数表达式为%// //% ．
y＝2(x＋2)2＋3
4.抛物线y＝a(x－2)2经过点(1，－1)．
(1)确定a的值；
(2)求出该抛物线与坐标轴的交点坐标．
解：(1)把点(1，－1)代入y＝a(x－2)2，解得a＝－1；
(2) 拋物线与 轴相交时,
, 解得 ,
该抛物线与 轴的交点是 .
抛物线与 轴相交时,
,
该抛物线与 轴的交点是 .
5.(★)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交于不同的两点：A(x1，0)，B(x2，0)，(x1＜x2)与y轴的负半轴交于点C，若抛物线顶点的横坐标为－1，A、B两点间的距离为10，且△ABC的面积为15．
(1)求出点A和点B的坐标；
(2)求这个二次函数的解析式．
解：(1)因为抛物线过A(x1，0)，B(x2，0)(x1＜x2)，且抛物线顶点的横坐标为－1，所以是1；
又因为A、B两点间的距离为10，且x1＜x2，
所以x2－x1＝10，
因为△ABC的面积为15，所以为(－c)＝15，
组成方程组得，解得，
∴ A(－6，0)，B(4，0)，
(2)把c＝－3，代入y＝ax +bx+c得y＝ax ＋bx－3
再把点A，B的坐标代入，得，解得，
于是函数解析式为yx x－3.