【五环分层导学-课件】2-8 二次函数的应用(1)-北师大版数学九(下)
文档属性
| 名称 | 【五环分层导学-课件】2-8 二次函数的应用(1)-北师大版数学九(下) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.9MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-03-27 10:39:13 | ||
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文档简介
(共12张PPT)
第二章 二次函数
第8课 二次函数的应用(1)
北师大版九年级下册
本套资料以教育部颁布的《数学课程标准（2022）版》为依据，结合新中考改革研究，立足北师大版本教材开发，通过课堂流程的优化设计，内容的层次设计，循序渐进，让不同层次的学生都学有所问，问有所探，探有所获，能力都有不同层次的提高，思维不断生长。
新授课通过激活思维、探究新知、双基巩固、综合运用、分层反馈等环节来完成。
资料简介
求下列二次函数的顶点坐标，并说明y随x的变化情况：
(1)y＝x2－4x－1；
(2)y＝－x2＋3x．
解：y＝x2－4x－1＝(x－2)2－5，
顶点坐标(2，－5)，
当x＞2时，y随x的增大而增大；
当x＜2时，y随x的增大而减小．
解：y＝－x2＋3x＝－(x－3)2＋，
顶点坐标(3，)，
当x＞3时，y随x的增大而减小；
当x＜3时，y随x的增大而增大．
【探究】请用长20米的篱笆设计一个矩形的菜园．怎样设计才能使矩形菜园的面积最大？
解：设矩形的一边长为x米，另一边长为(10－x)米，
∴面积＝x(10－x)＝－(x－5)2＋25，
故当x＝5时，Smax＝25平方米．
变式1：如图，在一个直角三角形的内部画一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上，AN＝40 m，AM＝30 m，
(1)设矩形的一边AB＝x m，那么AD边的长度如何表示？
(2)设矩形的面积为y m2，当x取何值时，y的最大值是多少？
解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC，DC∥AN，
∵AN＝40 m，AM＝30 m，AB＝x m，∴CD＝x m，
∵CD∥AN，∴△MDC∽△MAN，
∴＝，∴＝，∴DM＝x m，∴AD＝(30－x)m；
(2)∵矩形铁皮的面积：
y＝AD×AB＝x×(30－x)＝－(x－20)2＋300(0＜x＜40)，
∴x＝20时，最大面积y为300 m2．
变式2：在上一个问题中，如果把矩形改为如图所示的位置，其顶点A和点D分别在两直角边上，BC在斜边上．其它条件不变，那么矩形的最大面积是多少？
解：(1)∵AD∥BC，∴tan∠PAD＝tan∠ANB＝＝，
∴sin∠ANB＝，cos∠PAD＝，设BC＝x，则AD＝x，
∴PA＝AD cos∠PAD＝x，∴AN＝40－x，
∴AB＝AN sin∠ANB＝(40－x)＝24－x；
(2)设矩形的面积为y平方米，则y＝AB BC＝(24－x)x＝－x2＋24x，
当x＝－＝－＝25时，y有最大值为300 cm2．
变式3：如图，已知△ABC是一等腰三角形铁板余料，AB＝AC＝20 cm，BC＝24 cm．若在△ABC上截出一矩形零件DEFG，使得EF在BC上，点D、G分别在边AB、AC上．问矩形DEFG的最大面积是多少？
解：过A作AM⊥BC于M，交DG于N，∵△ABC是等腰三角形，AM⊥BC，
∴BM＝CM＝BC(三线合一)，则AM＝16(cm)．
设DE＝x cm，S矩形＝y cm2，∵四边形DGFE是矩形，∴DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，故＝，即＝，故DG＝(16－x)．
∴y＝DG DE＝(16－x)x＝－(x2－16x)＝－(x－8)2＋96，
从而当x＝8时，y有最大值96．
答：矩形DEFG的最大面积是96 cm2．
解: 设下半部矩形的宽为 , 窗户面积为 ,
则 ,
当 时,窗户透过的光线最多.
此时, 窗户面积是 .
1.某建筑物的窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15 m．当x等于多少时，窗户通过的光线最多(精确到0.01 m)？此时，窗户面积是多少？(只列关系式)
2.(中考真题)一个矩形周长为56厘米．
(1)当矩形面积为180平方厘米时，长宽分别为多少？
(2)能围成面积为200平方厘米的矩形吗？请说明理由．
解：(1)设矩形的长为x厘米，
则另一边长为(28﹣x)厘米，依题意有
x(28﹣x)＝180，
解得x1＝10(舍去)，x2＝18，
28﹣x＝28﹣18＝10．
故长为18厘米，宽为10厘米；
(2)设矩形的长为x厘米，则宽为(28﹣x)厘米，
依题意有x(28﹣x)＝200，
即x2﹣28x+200＝0，
则Δ＝282﹣4×200＝784﹣800＜0，原方程无实数根，
故不能围成一个面积为200平方厘米的矩形．
3.(★)(中考真题)如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝12 cm，点P从点A出发沿AB边向点B以1 cm/秒的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2 cm/秒的速度移动．如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，设运动时间为t秒(0＜t＜6)，回答下列问题：
(1)运动开始后第几秒时，△PBQ的面积等于8 cm2；
(2)设五边形APQCD的面积为S cm2，写出S与t的函数关系式，t为何值时S最小？求出S的最小值．
解：(1)由题意得AP＝t，BQ＝2t，
∵AB＝6，∴BP＝6－t，
∵BP×BQ＝8，
∴×(6－t)×2t＝8，解得t＝2或4，
∴P、Q两点开始运动后第2或4秒时，
三角形PBQ的面积等于8 cm2；
(2)∵五边形APQCD的面积＝正方形ABCD的面积－△BPQ的面积，
∴S＝6×12－(6－t)×2t＝t2－6t＋72(0≤t≤6)；
∴当t＝－＝3时，S最小，S的最小值为＝63．
第二章 二次函数
第8课 二次函数的应用(1)
北师大版九年级下册
本套资料以教育部颁布的《数学课程标准（2022）版》为依据，结合新中考改革研究，立足北师大版本教材开发，通过课堂流程的优化设计，内容的层次设计，循序渐进，让不同层次的学生都学有所问，问有所探，探有所获，能力都有不同层次的提高，思维不断生长。
新授课通过激活思维、探究新知、双基巩固、综合运用、分层反馈等环节来完成。
资料简介
求下列二次函数的顶点坐标，并说明y随x的变化情况：
(1)y＝x2－4x－1；
(2)y＝－x2＋3x．
解：y＝x2－4x－1＝(x－2)2－5，
顶点坐标(2，－5)，
当x＞2时，y随x的增大而增大；
当x＜2时，y随x的增大而减小．
解：y＝－x2＋3x＝－(x－3)2＋，
顶点坐标(3，)，
当x＞3时，y随x的增大而减小；
当x＜3时，y随x的增大而增大．
【探究】请用长20米的篱笆设计一个矩形的菜园．怎样设计才能使矩形菜园的面积最大？
解：设矩形的一边长为x米，另一边长为(10－x)米，
∴面积＝x(10－x)＝－(x－5)2＋25，
故当x＝5时，Smax＝25平方米．
变式1：如图，在一个直角三角形的内部画一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上，AN＝40 m，AM＝30 m，
(1)设矩形的一边AB＝x m，那么AD边的长度如何表示？
(2)设矩形的面积为y m2，当x取何值时，y的最大值是多少？
解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC，DC∥AN，
∵AN＝40 m，AM＝30 m，AB＝x m，∴CD＝x m，
∵CD∥AN，∴△MDC∽△MAN，
∴＝，∴＝，∴DM＝x m，∴AD＝(30－x)m；
(2)∵矩形铁皮的面积：
y＝AD×AB＝x×(30－x)＝－(x－20)2＋300(0＜x＜40)，
∴x＝20时，最大面积y为300 m2．
变式2：在上一个问题中，如果把矩形改为如图所示的位置，其顶点A和点D分别在两直角边上，BC在斜边上．其它条件不变，那么矩形的最大面积是多少？
解：(1)∵AD∥BC，∴tan∠PAD＝tan∠ANB＝＝，
∴sin∠ANB＝，cos∠PAD＝，设BC＝x，则AD＝x，
∴PA＝AD cos∠PAD＝x，∴AN＝40－x，
∴AB＝AN sin∠ANB＝(40－x)＝24－x；
(2)设矩形的面积为y平方米，则y＝AB BC＝(24－x)x＝－x2＋24x，
当x＝－＝－＝25时，y有最大值为300 cm2．
变式3：如图，已知△ABC是一等腰三角形铁板余料，AB＝AC＝20 cm，BC＝24 cm．若在△ABC上截出一矩形零件DEFG，使得EF在BC上，点D、G分别在边AB、AC上．问矩形DEFG的最大面积是多少？
解：过A作AM⊥BC于M，交DG于N，∵△ABC是等腰三角形，AM⊥BC，
∴BM＝CM＝BC(三线合一)，则AM＝16(cm)．
设DE＝x cm，S矩形＝y cm2，∵四边形DGFE是矩形，∴DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，故＝，即＝，故DG＝(16－x)．
∴y＝DG DE＝(16－x)x＝－(x2－16x)＝－(x－8)2＋96，
从而当x＝8时，y有最大值96．
答：矩形DEFG的最大面积是96 cm2．
解: 设下半部矩形的宽为 , 窗户面积为 ,
则 ,
当 时,窗户透过的光线最多.
此时, 窗户面积是 .
1.某建筑物的窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15 m．当x等于多少时，窗户通过的光线最多(精确到0.01 m)？此时，窗户面积是多少？(只列关系式)
2.(中考真题)一个矩形周长为56厘米．
(1)当矩形面积为180平方厘米时，长宽分别为多少？
(2)能围成面积为200平方厘米的矩形吗？请说明理由．
解：(1)设矩形的长为x厘米，
则另一边长为(28﹣x)厘米，依题意有
x(28﹣x)＝180，
解得x1＝10(舍去)，x2＝18，
28﹣x＝28﹣18＝10．
故长为18厘米，宽为10厘米；
(2)设矩形的长为x厘米，则宽为(28﹣x)厘米，
依题意有x(28﹣x)＝200，
即x2﹣28x+200＝0，
则Δ＝282﹣4×200＝784﹣800＜0，原方程无实数根，
故不能围成一个面积为200平方厘米的矩形．
3.(★)(中考真题)如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝12 cm，点P从点A出发沿AB边向点B以1 cm/秒的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2 cm/秒的速度移动．如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，设运动时间为t秒(0＜t＜6)，回答下列问题：
(1)运动开始后第几秒时，△PBQ的面积等于8 cm2；
(2)设五边形APQCD的面积为S cm2，写出S与t的函数关系式，t为何值时S最小？求出S的最小值．
解：(1)由题意得AP＝t，BQ＝2t，
∵AB＝6，∴BP＝6－t，
∵BP×BQ＝8，
∴×(6－t)×2t＝8，解得t＝2或4，
∴P、Q两点开始运动后第2或4秒时，
三角形PBQ的面积等于8 cm2；
(2)∵五边形APQCD的面积＝正方形ABCD的面积－△BPQ的面积，
∴S＝6×12－(6－t)×2t＝t2－6t＋72(0≤t≤6)；
∴当t＝－＝3时，S最小，S的最小值为＝63．