【五环分层导学-课件】2-11 单元复习 二次函数-北师大版数学九(下)

(共34张PPT)
第二章 二次函数
第11课 单元复习
北师大版九年级下册
本套资料以教育部颁布的《数学课程标准（2022）版》为依据，结合新中考改革研究，立足北师大版本教材开发，通过课堂流程的优化设计，内容的层次设计，循序渐进，让不同层次的学生都学有所问，问有所探，探有所获，能力都有不同层次的提高，思维不断生长。
资料简介
【问题1】你在哪些情况下见到过抛物线的“身影”？用语言或图形进行描述．
【问题2】小结画二次函数图象的方法．
导弹的运动轨迹、拱桥、隧道口等。
1.列表，2.描点，3.连线./
【问题3】二次函数的图象有哪些性质？如何确定它的开口方向、对称轴和顶点坐标？
性质可以从开口方向和大小、对称轴、顶点坐标、增减性、最值等方面去描述。
二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数且a≠0)，a＞0，开口方向向上，a＜0，开口方向向下；对称轴为直线x=，顶点坐标为(，)./
【问题4】用具体例子说明如何用待定系数法确定二次函数的表达式？
抛物线经过(0,1)，(3,0)，(-2,0)，求抛物线的解析式.
解：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，
则解得，
∴抛物线的解析式为：y=.
【问题5】你能用二次函数的知识解决哪些实际问题？
最大面积问题、最大利润问题等./
【问题6】用自己的语言描述二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的图象与方程ax2＋bx＋c＝0的根之间的关系．
方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况 判别式 Δ＝b2－4ac 抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点情况
2个不相等的实数根 Δ＞0
2个相等的实数根 Δ＝0
无实数根 Δ＜0
%//有两个交点//%
%//有一个交点//%
%//没有交点//%
【问题7】梳理本章内容，用适当的方式(可以用表格、思维导图、列要点)呈现全章知识结构．
考点1：二次函数概念
【例题1】判断下列函数是二次函数的有%// //%．
(1)y＝3x＋2； (2)y＝－x2＋2x； (3)y＝x2－；
(4)y＝3－x2； (5)y＝x＋； (6)y＝3(x＋1)2－3x2；
(7)V＝8πr3； (8)y＝(a2＋1)x2＋bx＋c．
(2)、(4)、(8)
【例题2】函数y＝(m－n)x2＋mx＋n是二次函数的条件是(%////%)
A．m、n是常数，且m≠0
B．m、n是常数，且m≠n
C．m、n是常数，且n≠0
D．m、n可以为任何常数
B
考点2：图象性质与平移
【例题3】如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为(3，0)，其部分图象如图所示，下列结论：
①4ac＜b2；
②方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝－2，x2＝3；
③3a＋c＝0；
④当y＞0时，x的取值范围是－1＜x＜3；
⑤当x＜0时，y随x增大而增大；
其中结论正确的是 ．
①③④⑤
【例题4】将抛物线y＝x2向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得的抛物线解析式为(%////%)
A．y＝(x－1)2＋2 B．y＝(x＋1)2＋2
C．y＝(x－1)2－2 D．y＝(x＋1)2－2
A
【例题5】二次函数y＝ax2＋bx＋c图象如图，下列正确的为 ．
①bc＞0；
②2a－3c＜0；
③2a＋b＞0；
④ax2＋bx＋c＝0有两个解x1，x2，
当x1＞x2时，x1＞0，x2＜0；
⑤a＋b＋c＞0；
⑥当x＞1时，y随x增大而减小．
①③④
考点3：二次函数表达式
【例题6】二次函数y＝x2－2x＋4化为y＝a(x－h)2＋k的形式，下列正确的是(%////%)
A．y＝(x－1)2＋2 B．y＝(x－1)2＋3
C．y＝(x－2)2＋2 D．y＝(x－2)2＋4
B
【例题7】根据条件求函数的关系式．
(1)已知二次函数y＝x2＋bx＋c经过(－2，5)和(2，－3)两点，求该函数的关系式；
(2)已知二次函数的图象以A(－1，4)为顶点，且过点B(2，－5)，求该函数的关系式．
解：(1)根据题意得，解得，
所以该二次函数的解析式为y＝x2－2x－3；
(2)由A(－1，4)为抛物线顶点，设抛物线解析式为y＝a(x＋1)2＋4，
将点B(2，－5)代入，得9a＋4＝－5，解得a＝－1，
所以该函数的关系式为y＝－(x＋1)2＋4，即y＝－x2－2x＋3．
考点4：二次函数与方程的关系
【例题8】(中考真题)已知抛物线y＝(x－m)2－(x－m)，其中m是常数．
(1)求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；
(2)若该抛物线的对称轴为直线x＝．
①求该抛物线的函数解析式；
②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．
(1)证明：y＝(x－m)2－(x－m)＝x2－(2m＋1)x＋m2＋m，
∵△＝(2m＋1)2－4(m2＋m)＝1＞0，
∴不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；
(2)解：①∵x＝－＝，∴m＝2，
∴抛物线解析式为y＝x2－5x＋6；
②设抛物线沿y轴向上平移k个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点，
则平移后抛物线解析式为y＝x2－5x＋6＋k，
∵抛物线y＝x2－5x＋6＋k与x轴只有一个公共点，
∴△＝52－4(6＋k)＝0，∴k＝，
即把该抛物线沿y轴向上平移个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．
考点5：二次函数的实际应用
【例题9】(中考真题)某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x件．已知产销两种产品的有关信息如表：
其中a为常数，且3≤a≤5．
(1)若产销甲、乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元，直接写出y1、y2与x的函数关系式；
(2)分别求出产销两种产品的最大年利润；
(3)为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由．
产品 每件售价(万元) 每件成本(万元) 每年其他费用(万元) 每年最大产销量(件)
甲 6 a 20 200
乙 20 10 40＋0.05x2 80
解：(1)y1＝(6－a)x－20，(0＜x≤200)
y2＝10x－40－0.05x2＝－0.05x2＋10x－40．(0＜x≤80)．
(2)对于y1＝(6－a)x－20，∵6－a＞0，
∴x＝200时，y1的值最大＝(1180－200a)万元．
对于y2＝－0.05(x－100)2＋460，
∵0＜x≤80，∴x＝80时，y2最大值＝440万元．
(3)①1180－200a＝440，解得a＝3.7，
②1180－200a＞440，解得a＜3.7，
③1180－200a＜440，解得a＞3.7，
∵3≤a≤5，
∴当a＝3.7时，生产甲乙两种产品的利润相同．
当3≤a＜3.7时，生产甲产品利润比较高．
当3.7＜a≤5时，生产乙产品利润比较高．
【例题10】(中考真题)如图，抛物线y＝－x2＋x＋2与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为(m，0)，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．
(1)求点A、点B、点C的坐标；
(2)求直线BD的解析式；
(3)当点P在线段OB上运动时，直线l交BD于
点M，试探究m为何值时，四边形CQMD是
平行四边形；
(4)在点P的运动过程中，是否存在点Q，使
△BDQ是以BD为直角边的直角三角形？若
存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明
理由．
解：(1)∵令x＝0得；y＝2，∴C(0，2)．
∵令y＝0得：－x2＋x＋2＝0，解得：x1＝－1，x2＝4．
∴A(－1，0)，B(4，0)．
(2)∵点C与点D关于x轴对称，∴D(0，－2)．
设直线BD的解析式为y＝kx－2．
∵将(4，0)代入得：4k－2＝0，∴k＝．
∴直线BD的解析式为y＝x－2．
(3)如图所示：
∵QM∥DC，
∴当QM＝CD时，四边形CQMD是平行四边形．
设点Q的坐标为(m，－m2＋m＋2)，
则M(m，m－2)，
∴－m2＋m＋2－(m－2)＝4，
解得：m＝2，m＝0(不合题意，舍去)，
∴当m＝2时，四边形CQMD是平行四边形；
(4)存在，设点Q的坐标为(m，－m2＋m＋2)，
∵△BDQ是以BD为直角边的直角三角形，
∴①当∠QBD＝90°时，
由勾股定理得：BQ2＋BD2＝DQ2，
即(m－4)2＋(－m2＋m＋2)2＋20＝m2＋(－m2＋m＋2＋2)2，
解得：m＝3，m＝4(不合题意，舍去)，∴Q(3，2)；
②当∠QDB＝90°时，
由勾股定理得：BQ2＝BD2＋DQ2，
即(m－4)2＋(－m2＋m＋2)2＝20＋m2＋(－m2＋m＋2＋2)2，
解得：m＝8，m＝－1，
∴Q(8，－18)，(－1，0)，
综上所述：点Q的坐标为(3，2)，(8，－18)，(－1，0)．
易错点1：考虑问题不全
【例题1】已知关于x的二次函数y＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1的图象与x轴总有交点，则m的取值范围是%// //%．
m≤－且m≠－6
易错点2：忽略自变量的范围
【例题2】函数y＝x2－3x＋1(x≤2)的最 (填“大”或“小”)值是%// /%．
小
－
【例题3】函数y＝x2，当－1≤x≤2时，y的取值范围是 ．
0≤y≤4
1.数形结合思想：从利用二次函数的图象研究其开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性及其图象的平移变化，到利用二次函数图象求解方程与方程组，再到利用图象求函数表达式和解决实际问题，都现了数形结合的思想．
【例题1】(★)(中考真题)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA＝OC，则下列结论：
①abc＜0；
②b2－4ac＞0；
③ac－b＋1＝0；
④OA OB＝．
其中正确结论的是 ．
①③④
2.函数思想：指用运动变化的观点来研究两个变量之间的相互联系与变化规律，并借助函数关系来思考、解决问题的数学思想．
【例题2】(★)(中考真题)为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80 m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为x m，矩形区域ABCD的面积为y m2．
(1)求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
(2)x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
解：(1)设BE＝a，则AE＝2a，∴8a＋2x＝80，
∴a＝，AB＝3a，
∴y＝3ax＝3 x＝－x2＋30x，
∵a＝10－x＞0，∴x＜40，∴0＜x＜40．
故与之间的函数关系式为.
(2)∵y＝－x2＋30x＝－(x－20)2＋300(0＜x＜40)，且二次项系数为－＜0，
∴当x＝20时，y有最大值，最大值为300平方米．
3.转化思想：转化思想也称化归思想，它是指将未知的、陌生的、复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的熟悉的、简单的问题，从而使问题顺利得到解决的思想．
【例题3】(★)(中考真题)如图，抛物线y＝ax2＋bx－5(a≠0)经过点A(4，－5)，与x轴的负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC＝5OB，抛物线的顶点为点D
(1)求这条抛物线的表达式；
(2)连接AB、BC、CD、DA，求四边形ABCD的面积；
(3)如果点E在y轴的正半轴上，且∠BEO＝∠ABC，
求点E的坐标．
解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx－5与y轴交于点C，
∴C(0，－5)，∴OC＝5．∵OC＝5OB，∴OB＝1，
又点B在x轴的负半轴上，∴B(－1，0)．
∵抛物线经过点A(4，－5)和点B(－1，0)，
∴，解得，
∴这条抛物线的表达式为y＝x2－4x－5．
(2)由y＝x2－4x－5，得顶点D的坐标为(2，－9)．连接AC，
∵点A的坐标是(4，－5)，点C的坐标是(0，－5)，
又S△ABC＝×4×5＝10，S△ACD＝×4×4＝8，
∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝18．
(3)过点C作CH⊥AB，垂足为点H．
∵S△ABC＝×AB×CH＝10，AB＝＝5，
∴CH＝2，
在RT△BCH中，∠BHC＝90°，
BC＝，BH＝＝3，
∴tan∠CBH＝＝．
∵在RT△BOE中，
∠BOE＝90°，tan∠BEO＝，
∵∠BEO＝∠ABC，∴，得EO＝，
∴点E的坐标为(0，)．