【五环分层导学-课件】3-12 单元复习 圆-北师大版数学九(下)
文档属性
| 名称 | 【五环分层导学-课件】3-12 单元复习 圆-北师大版数学九(下) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 8.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-03-27 10:39:13 | ||
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文档简介
(共32张PPT)
第三章 圆
第12课 单元复习
北师大版九年级下册
本套资料以教育部颁布的《数学课程标准（2022）版》为依据，结合新中考改革研究，立足北师大版本教材开发，通过课堂流程的优化设计，内容的层次设计，循序渐进，让不同层次的学生都学有所问，问有所探，探有所获，能力都有不同层次的提高，思维不断生长。
资料简介
【问题1】举例说明圆在生活中的应用．
【问题2】在同圆或等圆中，圆心角及其所对的弧、弦之间有什么关系？
【问题3】圆周角定理及其推论包含哪些内容？你会证明它们吗？证明过程应用了哪些数学思想方法？
解：车轮、盆子、桶、钥匙扣、各种盖子、戒指、风扇、杯子、摩天轮、桌子等．
解：同圆或等圆，相同的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．
解：圆周角定理：圆周角的度数等于它所对的弧上的圆心角度数的一半；推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；证明略．
【问题4】圆内接四边形的对角有什么关系？你是怎么得到的？
【问题5】点与圆有哪些位置关系？怎样判断？直线与圆呢？
【问题6】你对圆内接正多边形有哪些认识？
【问题7】举例说明如何计算弧长，如何计算扇形的面积？略
解：圆内接四边形的对角互补；证明略．
解：点与圆有三种位置关系：点在圆内、点在圆上、点在圆外；通过点到圆心的距离与半径的关系判断；直线与圆的位置关系通过圆心到直线的距离与半径的关系进行判断．
概念：顶点都在同一个圆上的正多边形叫做圆内接正多边形，这个圆叫做该正多边形的外接圆．
【问题8】梳理本章内容，用适当的方式(可以用表格、思维导图、列要点)呈现全章知识结构．
考点1：圆的对称性
【例题1】如图所示，在⊙O中，若点C是弧AB的中点，∠A＝50°，则∠BOC等于(%////%)
A．50° B．45°
C．40° D．35°
C
考点2：圆心角与圆周角
【例题2】如图所示，在⊙O中，＝，∠AOB＝40°，则∠ADC的度数是(%////%)
A．40° B．30°
C．20° D．15°
C
【例题3】如图所示，C、D是以线段AB为直径的⊙O上两点，若CA＝CD，且∠ACD＝40°，则∠CAB＝(%////%)
A．10° B．20° C．30° D．40°
B
考点3：直线与圆的位置关系
【例题4】如图所示，AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，连接BC ．若∠P＝40°，则∠ABC的度数为(%////%)
A．20° B．25°
C．40° D．50°
B
【例题5】如图所示，给定一个半径长为2的圆，圆心O到水平直线l的距离为d，即OM＝d．我们把圆上到直线l的距离等于1的点的个数记为m．如d＝0时，l为经过圆心O的一条直线，此时圆上有四个到直线l的距离等于1的点，即m＝4，由此可知：
(1)当d＝3时，m＝%////%；
(2)当m＝2时，d的取值范围是%// //%．
1
1＜d＜3
【例题6】如图所示，已知⊙O的直径AB＝10，弦AC＝6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)求DE的长．
(1)证明：连接OD，
∵AD平分∠BAC，∴∠DAE＝∠DAB，
∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠DAO，
∴∠ODA＝∠DAE，∴OD∥AE，
∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O切线．
(2)解：过点O作OF⊥AC于点F，∴AF＝CF＝3，
∴OF＝＝4．
∵∠OFE＝∠DEF＝∠ODE＝90°，
∴四边形OFED是矩形，∴DE＝OF＝4．
考点4：圆内接正多边形
【例题7】如图所示是由两个长方形组成的工件平面图(单位： mm)，直线l是它的对称轴，能完全覆盖这个平面图形的圆的最小半径是多少 mm？
解：如图，设圆心为O，连接AO，CO，
∵直线l是它的对称轴，
∴CM＝30，AN＝40，
∵CM2＋OM2＝AN2＋ON2，
∴302＋OM2＝402＋(70－OM)2，
解得：OM＝40，∴OC＝50，
∴能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是50 mm．/
考点5：弧长公式
【例题8】(中考真题)如图所示，在□ABCD中，AB为⊙O的直径，⊙O与DC相切于点E，与AD相交于点F，已知AB＝12，∠C＝60°，则的长为(%////%)
A． B．
C．π D．2π
C
【例题9】如图所示，已知⊙O的半径为2，A为⊙O外一点，过点A作⊙O的一条切线AB，切点是B，AO的延长线交⊙O于点C，若∠BAC＝30°，则劣弧的长为%//// %．
考点6：扇形面积公式
【例题10】如图所示，在⊙O中，半径OA⊥OB，过点OA的中点C作FD∥OB交⊙O于D、F两点，且CD＝，以O为圆心，OC为半径作，交OB于E点．
(1)求⊙O的半径OA的长；
(2)计算阴影部分的面积．
解：(1)连接OD，∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，
∵CD∥OB，∴∠OCD＝90°，在Rt△OCD中，
∵C是AO中点，CD＝，∴OD＝2CO，
设OC＝x，∴x2＋()2＝(2x)2，
∴x＝1，∴OD＝2，∴⊙O的半径为2．
(2)∵sin∠CDO＝＝，∴∠CDO＝30°，
∵FD∥OB，∴∠DOB＝∠ODC＝30°，
∴S阴＝S△CDO＋S扇形OBD－S扇形OCE
＝×1×＋－＝＋．
易错点1：概念不清
(1)下列说法正确的个数是(%////%)
①直径是圆中最长的弦；②弧是半圆；③过圆心的直线是直径；④半圆不是弧；⑤长度相等的弧是等弧．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
(2)在同圆或等圆中，如果弧AB等于弧CD，那么AB与CD的关系是(%////%)
A．AB＞CD B．AB＝CD C．AB＜CD D．AB＝2CD
(3)在同圆或等圆中，如果弦AB等于弦CD，那么它们所对应的弧是等弧吗？
A
B
在同圆或等圆中，如果弦AB等于弦CD，那么它们所对应的弧是等弧/
解：当AB、AC在圆心O的同侧时，
如图①所示：过点O作OD⊥AB于D，连接OA，∴AD＝AB＝，OA＝1，
∴cos∠OAB＝＝．∴∠OAB＝30°，同理可求：∠OAC＝45°，
∴∠BAC＝∠OAC－∠OAB＝45°－30°＝15°；
当AB、AC在圆心O的异侧时，如图②所示：
同理可求：∠OAB＝30°，∠OAC＝45°．
∴∠BAC＝∠OAC＋∠OAB＝45°＋30°＝75°．
答：∠BAC的度数为15°或75°．
易错点2：考虑问题不全面
(1)已知△ABC的三个顶点均在⊙O上，且AB＝，AC＝，⊙O的半径为1，求∠BAC的度数．
(2)知等腰三角形ABC内接于半径为5的⊙O中，如果底边BC的长为8，那么底角的正切值是%// //%．
2或
(3)如图所示，在半径为10 cm的⊙O中，弦AB的长为10 cm，求点O到弦AB的距离及所对劣弧的长度．
解：过点O作OC⊥AB于点C，如图所示：
∵OA＝OB＝AB＝10 cm，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴OC＝OA sin60°＝10×＝5(cm)，
的长度＝＝；
即点O到弦AB的距离为5cm，弧AB的长度为cm．
1.分类思想：分类讨论可以使解题过程清晰明了，使解答更为严密完整．在分类时，要注意不重复不遗漏，其关键是确定分类标准．
【例题1】(★)(中考真题)对于一个矩形ABCD及⊙M给出如下定义：在同一平面内，如果矩形ABCD的四个顶点到⊙M上一点的距离相等，那么称这个矩形ABCD是⊙M的“伴侣矩形”．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，直线l:y＝x－3交x轴于点M，⊙M的半径为2，矩形ABCD沿直线l运动(BD在直线l上)，BD＝2，AB∥y轴，当矩形ABCD是⊙M的“伴侣矩形”时，点C的坐标为 ．
解：如图所示，矩形在这两个位置时就是⊙M的“伴侣矩形”，
此时⊙M上的点到矩形各个顶点的距离是1，
根据直线l:y＝x－3得：OM＝，ON＝3，
由勾股定理得：MN＝＝2，
①矩形在x轴下方时，分别过A、D作两轴的垂线AH、DG，
由cos∠ABD＝cos∠ONM＝＝，
∴＝，AB＝，则AD＝1，∵DG∥y轴，
∴△MDG∽△MNO，∴＝，∴，∴DG＝，
∴CG＝＋＝，同理可得：＝，∴＝，
∴DH＝－，∴C(－，－)；
②矩形在x轴上方时，同理可得：C(，)；
故答案为：(－，－)或(，)．
2.转化思想：化未知为已知，化繁为简，化难为易，全面将无求解的问题转化成可以求解的问题，获得解决问题的捷径．本章的转化思想主要体现在：①化“曲面”为“平面”；②将不规则图形面积的求解转化为规则图形面积的求解．
【例题2】(★)(中考真题)如图所示，半圆O的直径AB＝2，弦CD∥AB，∠COD＝90°，则图中阴影部分的面积为// //%．
3.方程思想：由于圆中涉及的等量关系较多，我们依据已知条件，从“等线“等角”“等积”等方面去建立方程，达到解决问题的目的．
【例题3】(★)(中考真题)如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以CB为半径作⊙C，交AC于点D，交AC的延长线于点E，连接BD，BE．
(1)求证：△ABD∽△AEB；
(2)当＝时，求tanE；
(3)在(2)的条件下，作∠BAC
的平分线，与BE交于点F，
若AF＝2，求⊙C的半径．
解：(1)∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD＝90°－∠DBC，
由题意知：DE是直径，
∴∠DBE＝90°，
∴∠E＝90°－∠BDE，
∵BC＝CD，
∴∠DBC＝∠BDE，∴∠ABD＝∠E，
∵∠A＝∠A，∴△ABD∽△AEB；
(2)∵AB:BC＝4:3，∴设AB＝4x，BC＝3x，
∴AC＝＝5x，
∵BC＝CD＝3x，
∴AD＝AC－CD＝5x－3x＝2x，
由(1)可知：△ABD∽△AEB，
∴＝＝，
∴AB2＝AD AE，
∴(4x)2＝2x·AE，∴AE＝8x，
在Rt△DBE中，tanE＝＝＝；
(3)过点F作FM⊥AE于点M，∵AB:BC＝4:3，∴设AB＝4x，BC＝3x，
∴由(2)可知；AE＝8x，AD＝2x，∴DE＝AE－AD＝6x，
∵AF平分∠BAC，∴＝，∴＝＝，∵tanE＝，
∴cosE＝，sinE＝，∴＝，∴BE＝x，
∴EF＝BE＝x，∴sinE＝＝，∴MF＝x，
∵tanE＝，∴ME＝2MF＝x，
∴AM＝AE－ME＝，
∵AF2＝AM2＋MF2，
∴4＝(x)2＋(x)2，∴x＝，
∴⊙C的半径为：3x＝．
第三章 圆
第12课 单元复习
北师大版九年级下册
本套资料以教育部颁布的《数学课程标准（2022）版》为依据，结合新中考改革研究，立足北师大版本教材开发，通过课堂流程的优化设计，内容的层次设计，循序渐进，让不同层次的学生都学有所问，问有所探，探有所获，能力都有不同层次的提高，思维不断生长。
资料简介
【问题1】举例说明圆在生活中的应用．
【问题2】在同圆或等圆中，圆心角及其所对的弧、弦之间有什么关系？
【问题3】圆周角定理及其推论包含哪些内容？你会证明它们吗？证明过程应用了哪些数学思想方法？
解：车轮、盆子、桶、钥匙扣、各种盖子、戒指、风扇、杯子、摩天轮、桌子等．
解：同圆或等圆，相同的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．
解：圆周角定理：圆周角的度数等于它所对的弧上的圆心角度数的一半；推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；证明略．
【问题4】圆内接四边形的对角有什么关系？你是怎么得到的？
【问题5】点与圆有哪些位置关系？怎样判断？直线与圆呢？
【问题6】你对圆内接正多边形有哪些认识？
【问题7】举例说明如何计算弧长，如何计算扇形的面积？略
解：圆内接四边形的对角互补；证明略．
解：点与圆有三种位置关系：点在圆内、点在圆上、点在圆外；通过点到圆心的距离与半径的关系判断；直线与圆的位置关系通过圆心到直线的距离与半径的关系进行判断．
概念：顶点都在同一个圆上的正多边形叫做圆内接正多边形，这个圆叫做该正多边形的外接圆．
【问题8】梳理本章内容，用适当的方式(可以用表格、思维导图、列要点)呈现全章知识结构．
考点1：圆的对称性
【例题1】如图所示，在⊙O中，若点C是弧AB的中点，∠A＝50°，则∠BOC等于(%////%)
A．50° B．45°
C．40° D．35°
C
考点2：圆心角与圆周角
【例题2】如图所示，在⊙O中，＝，∠AOB＝40°，则∠ADC的度数是(%////%)
A．40° B．30°
C．20° D．15°
C
【例题3】如图所示，C、D是以线段AB为直径的⊙O上两点，若CA＝CD，且∠ACD＝40°，则∠CAB＝(%////%)
A．10° B．20° C．30° D．40°
B
考点3：直线与圆的位置关系
【例题4】如图所示，AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，连接BC ．若∠P＝40°，则∠ABC的度数为(%////%)
A．20° B．25°
C．40° D．50°
B
【例题5】如图所示，给定一个半径长为2的圆，圆心O到水平直线l的距离为d，即OM＝d．我们把圆上到直线l的距离等于1的点的个数记为m．如d＝0时，l为经过圆心O的一条直线，此时圆上有四个到直线l的距离等于1的点，即m＝4，由此可知：
(1)当d＝3时，m＝%////%；
(2)当m＝2时，d的取值范围是%// //%．
1
1＜d＜3
【例题6】如图所示，已知⊙O的直径AB＝10，弦AC＝6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)求DE的长．
(1)证明：连接OD，
∵AD平分∠BAC，∴∠DAE＝∠DAB，
∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠DAO，
∴∠ODA＝∠DAE，∴OD∥AE，
∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O切线．
(2)解：过点O作OF⊥AC于点F，∴AF＝CF＝3，
∴OF＝＝4．
∵∠OFE＝∠DEF＝∠ODE＝90°，
∴四边形OFED是矩形，∴DE＝OF＝4．
考点4：圆内接正多边形
【例题7】如图所示是由两个长方形组成的工件平面图(单位： mm)，直线l是它的对称轴，能完全覆盖这个平面图形的圆的最小半径是多少 mm？
解：如图，设圆心为O，连接AO，CO，
∵直线l是它的对称轴，
∴CM＝30，AN＝40，
∵CM2＋OM2＝AN2＋ON2，
∴302＋OM2＝402＋(70－OM)2，
解得：OM＝40，∴OC＝50，
∴能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是50 mm．/
考点5：弧长公式
【例题8】(中考真题)如图所示，在□ABCD中，AB为⊙O的直径，⊙O与DC相切于点E，与AD相交于点F，已知AB＝12，∠C＝60°，则的长为(%////%)
A． B．
C．π D．2π
C
【例题9】如图所示，已知⊙O的半径为2，A为⊙O外一点，过点A作⊙O的一条切线AB，切点是B，AO的延长线交⊙O于点C，若∠BAC＝30°，则劣弧的长为%//// %．
考点6：扇形面积公式
【例题10】如图所示，在⊙O中，半径OA⊥OB，过点OA的中点C作FD∥OB交⊙O于D、F两点，且CD＝，以O为圆心，OC为半径作，交OB于E点．
(1)求⊙O的半径OA的长；
(2)计算阴影部分的面积．
解：(1)连接OD，∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，
∵CD∥OB，∴∠OCD＝90°，在Rt△OCD中，
∵C是AO中点，CD＝，∴OD＝2CO，
设OC＝x，∴x2＋()2＝(2x)2，
∴x＝1，∴OD＝2，∴⊙O的半径为2．
(2)∵sin∠CDO＝＝，∴∠CDO＝30°，
∵FD∥OB，∴∠DOB＝∠ODC＝30°，
∴S阴＝S△CDO＋S扇形OBD－S扇形OCE
＝×1×＋－＝＋．
易错点1：概念不清
(1)下列说法正确的个数是(%////%)
①直径是圆中最长的弦；②弧是半圆；③过圆心的直线是直径；④半圆不是弧；⑤长度相等的弧是等弧．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
(2)在同圆或等圆中，如果弧AB等于弧CD，那么AB与CD的关系是(%////%)
A．AB＞CD B．AB＝CD C．AB＜CD D．AB＝2CD
(3)在同圆或等圆中，如果弦AB等于弦CD，那么它们所对应的弧是等弧吗？
A
B
在同圆或等圆中，如果弦AB等于弦CD，那么它们所对应的弧是等弧/
解：当AB、AC在圆心O的同侧时，
如图①所示：过点O作OD⊥AB于D，连接OA，∴AD＝AB＝，OA＝1，
∴cos∠OAB＝＝．∴∠OAB＝30°，同理可求：∠OAC＝45°，
∴∠BAC＝∠OAC－∠OAB＝45°－30°＝15°；
当AB、AC在圆心O的异侧时，如图②所示：
同理可求：∠OAB＝30°，∠OAC＝45°．
∴∠BAC＝∠OAC＋∠OAB＝45°＋30°＝75°．
答：∠BAC的度数为15°或75°．
易错点2：考虑问题不全面
(1)已知△ABC的三个顶点均在⊙O上，且AB＝，AC＝，⊙O的半径为1，求∠BAC的度数．
(2)知等腰三角形ABC内接于半径为5的⊙O中，如果底边BC的长为8，那么底角的正切值是%// //%．
2或
(3)如图所示，在半径为10 cm的⊙O中，弦AB的长为10 cm，求点O到弦AB的距离及所对劣弧的长度．
解：过点O作OC⊥AB于点C，如图所示：
∵OA＝OB＝AB＝10 cm，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴OC＝OA sin60°＝10×＝5(cm)，
的长度＝＝；
即点O到弦AB的距离为5cm，弧AB的长度为cm．
1.分类思想：分类讨论可以使解题过程清晰明了，使解答更为严密完整．在分类时，要注意不重复不遗漏，其关键是确定分类标准．
【例题1】(★)(中考真题)对于一个矩形ABCD及⊙M给出如下定义：在同一平面内，如果矩形ABCD的四个顶点到⊙M上一点的距离相等，那么称这个矩形ABCD是⊙M的“伴侣矩形”．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，直线l:y＝x－3交x轴于点M，⊙M的半径为2，矩形ABCD沿直线l运动(BD在直线l上)，BD＝2，AB∥y轴，当矩形ABCD是⊙M的“伴侣矩形”时，点C的坐标为 ．
解：如图所示，矩形在这两个位置时就是⊙M的“伴侣矩形”，
此时⊙M上的点到矩形各个顶点的距离是1，
根据直线l:y＝x－3得：OM＝，ON＝3，
由勾股定理得：MN＝＝2，
①矩形在x轴下方时，分别过A、D作两轴的垂线AH、DG，
由cos∠ABD＝cos∠ONM＝＝，
∴＝，AB＝，则AD＝1，∵DG∥y轴，
∴△MDG∽△MNO，∴＝，∴，∴DG＝，
∴CG＝＋＝，同理可得：＝，∴＝，
∴DH＝－，∴C(－，－)；
②矩形在x轴上方时，同理可得：C(，)；
故答案为：(－，－)或(，)．
2.转化思想：化未知为已知，化繁为简，化难为易，全面将无求解的问题转化成可以求解的问题，获得解决问题的捷径．本章的转化思想主要体现在：①化“曲面”为“平面”；②将不规则图形面积的求解转化为规则图形面积的求解．
【例题2】(★)(中考真题)如图所示，半圆O的直径AB＝2，弦CD∥AB，∠COD＝90°，则图中阴影部分的面积为// //%．
3.方程思想：由于圆中涉及的等量关系较多，我们依据已知条件，从“等线“等角”“等积”等方面去建立方程，达到解决问题的目的．
【例题3】(★)(中考真题)如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以CB为半径作⊙C，交AC于点D，交AC的延长线于点E，连接BD，BE．
(1)求证：△ABD∽△AEB；
(2)当＝时，求tanE；
(3)在(2)的条件下，作∠BAC
的平分线，与BE交于点F，
若AF＝2，求⊙C的半径．
解：(1)∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD＝90°－∠DBC，
由题意知：DE是直径，
∴∠DBE＝90°，
∴∠E＝90°－∠BDE，
∵BC＝CD，
∴∠DBC＝∠BDE，∴∠ABD＝∠E，
∵∠A＝∠A，∴△ABD∽△AEB；
(2)∵AB:BC＝4:3，∴设AB＝4x，BC＝3x，
∴AC＝＝5x，
∵BC＝CD＝3x，
∴AD＝AC－CD＝5x－3x＝2x，
由(1)可知：△ABD∽△AEB，
∴＝＝，
∴AB2＝AD AE，
∴(4x)2＝2x·AE，∴AE＝8x，
在Rt△DBE中，tanE＝＝＝；
(3)过点F作FM⊥AE于点M，∵AB:BC＝4:3，∴设AB＝4x，BC＝3x，
∴由(2)可知；AE＝8x，AD＝2x，∴DE＝AE－AD＝6x，
∵AF平分∠BAC，∴＝，∴＝＝，∵tanE＝，
∴cosE＝，sinE＝，∴＝，∴BE＝x，
∴EF＝BE＝x，∴sinE＝＝，∴MF＝x，
∵tanE＝，∴ME＝2MF＝x，
∴AM＝AE－ME＝，
∵AF2＝AM2＋MF2，
∴4＝(x)2＋(x)2，∴x＝，
∴⊙C的半径为：3x＝．