【五环分层导学-课件】1-8 单元复习 直角三角形的边角关系-北师大版数学九(下)
文档属性
| 名称 | 【五环分层导学-课件】1-8 单元复习 直角三角形的边角关系-北师大版数学九(下) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 3.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-03-27 10:39:13 | ||
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文档简介
(共22张PPT)
第一章 直角三角形的边角关系
第8课 单元复习
北师大版九年级下册
第一环节
【问题1】锐角三角函数有哪些？是怎么定义的？
锐角三角函数有正切、正弦、余弦.
①如图，我们把∠A的对边与∠A的邻边的比，
叫做∠A的 ，记作 ，即tanA＝．
②如图，在Rt△ABC中，锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的 ，
记作 ，即：sinA＝ ．
③如图，在Rt△ABC中，锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的 ，
记作 ，即：cosA＝ ．
正切
tanA
正弦
sinA
余弦
cosA
问题导思
第一环节
【问题2】已知锐角，如何用计算器求它的三角函数值？已知三角函数值，如何用计算器求它的对应锐角？
【问题3】如何解直角三角形？
【问题4】如何测量一座楼的高度？你能想出几种方法？
问题导思
第二环节
【问题5】梳理本章内容，用适当的方式(可以用表格、思维导图、列要点)呈现全章知识结构．
成果展示
第三环节
【例题1】如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为(%////%)
A． B．
C． D．
D
考点聚焦
【例题2】(☆)如图所示，矩形ABCD中，BC＝2，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转90°，点A、C分别落在点A′、C′处．如果点A′、C′、B在同一条直线上，那么tan∠ABA′的值为%// //%．
第三环节
考点聚焦
第三环节
【例题3】(1)计算sin245°＋cos30° tan60°，其结果是(%////%)
A．2 B．1 C． D．
(2)计算：tan60°＋2sin45°－2cos30°的结果是(%////%)
A．2 B． C． D．1
A
C
考点聚焦
第三环节
【例题4】(中考真题)如图，在△ABC中，∠C＝150°，AC＝4，tanB＝．
(1)求BC的长；
(2)(选做)利用此图形求tan15°的值(精确到0.1，参考数据：＝1.4，＝1.7，＝2.2)
考点聚焦
第三环节
(2)在BC边上取一点M，使得CM＝AC，连接AM，如图②所示：
∵∠ACB＝150°，
∴∠AMC＝∠MAC＝15°，
tan15°＝tan∠AMD＝＝＝＝2－≈0.3．
解：(1)过A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，如图①所示：
在Rt△ADC中，AC＝4，∵∠C＝150°，∴∠ACD＝30°，
∴AD＝AC＝2，CD＝AC cos30°＝4×＝2，
在Rt△ABD中，tanB＝＝＝，∴BD＝16，
∴BC＝BD－CD＝16－2；
考点聚焦
第三环节
【例题5】(中考真题)如图，某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼CD的高度．该楼底层为车库，高2.5米；上面五层居住，每层高度相等．测角仪支架离地1.5米，在A处测得五楼顶部点D的仰角为60°，在B处测得四楼顶部点E的仰角为30°，AB＝14米．求居民楼的高度(精确到0.1米，参考数据：≈1.73)
考点聚焦
第三环节
解：设每层楼高为x米，由题意得：
MC′＝MC－CC′＝2.5－1.5＝1米，
∴DC′＝5x＋1，EC′＝4x＋1，
在Rt△DC′A′中，∠DA′C′＝60°，∴C′A′＝＝(5x＋1)，
在Rt△EC′B′中，∠EB′C′＝30°，∴C′B′＝＝(4x＋1)，
∵A′B′＝C′B′－C′A′＝AB，∴(4x＋1)－(5x＋1)＝14，
解得：x≈3.17，∴5×3.17＋2.5≈18.4，
则居民楼高约为18.4米．
考点聚焦
第三环节
【例题6】(★)如图，轮船甲位于码头O的正西方向A处，轮船乙位于码头O的正北方向C处，测得∠CAO＝45°，轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们的速度分别为45 km/h和36 km/h，经过0.1 h，轮船甲行驶至B处，轮船乙行驶至D处，测得∠DBO＝58°，此时B处距离码头O多远？(参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60)
第三环节
解：设B处距离码头Ox km，
在Rt△CAO中，∠CAO＝45°，∵tan∠CAO＝，
∴CO＝AO tan∠CAO＝(45×0.1＋x) tan45°＝4.5＋x，
在Rt△DBO中，∠DBO＝58°，
∵tan∠DBO＝，
∴DO＝BO tan∠DBO＝x tan58°，
∵DC＝DO－CO，
∴36×0.1＝x tan58°－(4.5＋x)，
∴x＝≈＝13.5．
因此，B处距离码头O大约13.5 km．
第四环节
易错点1：考虑问题不全
(1)(★)在Rt△ABC中，两边的长分别为3和4，求此三角形中
最小角的正弦值为%// //%．
(2)(★)在Rt△ABC中，tanB＝，求sin＝%// //%．
(3)(★)在△ABC中，AB＝4，AC＝，∠B＝60°，求BC的长是%// //%．
或
或
1或者3
易错突破
第四环节
易错点2：正确理解方位角
(1)(★)(中考真题)如图，某校的教室A位于工地O的正西方向，且OA＝200 m，一台拖拉机从O点出发，以每秒5 m的速度沿北偏西53°的方向行驶，设拖拉机的噪声污染半径为130 m，则教室A是否在拖拉机的噪声污染范围内？
若不在，请说明理由；若在，
求出教室A受噪声污染的时间有
几秒．(参考数据：sin53°≈0.80，
sin37°≈0.60，tan37°≈0.75)
易错突破
第四环节
解：如图，过点A作AB⊥OM于点B，∵∠MON＝53°，
∴∠AOM＝90°－53°＝37°．
在Rt△ABO中，∠ABO＝90°，∵sin∠AOB＝，
∴AB＝AO sin∠AOB＝200×sin37°≈120( m )．∵120 m＜130 m．
∴教室A在拖拉机的噪声污染范围内．
根据题意，在OM上取C，D两点，
连接AC，AD，使AC＝AD＝130 m，
∵AB⊥OM，
∴B为CD的中点，即BC＝DB，
∴BC＝50( m )，
∴CD＝2BC＝100( m )．
即影响的时间为＝20( s )．
易错突破
第五环节
1.分类讨论思想：在解直角三角形时，我们总是先画出图形，再结合图形分析已知元素和未知元素之间的关系，但当按照所给条件画图情况不唯一时，就要分不同的情况来讨论．
【例题1】(★)(中考真题)如图，在△ABC中，AB＝BC＝4，AO＝BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为%// //%．
2或2或2
思想方法
第五环节
2.数形结合思想：从概念的引出、公式的推导、计算化简到解决实际问题，都是通过画图构造直角三角形，找出已知元素和未知元素，从而使问题得以解决．
【例题2】(★)(中考真题)如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC、CD，测得BC＝6米，CD＝4米，∠BCD＝150°，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，电线杆的高度为%// //%(结果保留根号)
(2＋4)米
思想方法
第五环节
3.转化思想：转化思想贯穿于数学学习的始终，例如，利用三角函数定义可以实现边与角的转化，通过添加辅助线可以将非直角三角形转化为直角三角形来解决．此外，在实际应用时，首先将实际问题转化为数学模型，再借助于解直角三角形的知识求解．
【例题3】(★)(中考真题)小明上学途中要经过A，B两地，由于A，B两地之间有一片草坪，所以需要走路线AC，CB，如图，在△ABC中，AB＝63 m，∠A＝45°，∠B＝37°，求AC，CB的长．(结果保留小数点后一位)(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，取1.414．)
思想方法
第五环节
解：过点C作CD⊥AB垂足为D，在Rt△ACD中，
tanA＝tan45°＝＝1，CD＝AD，
sinA＝sin45°＝＝，AC＝CD ．
在Rt△BCD中，
tanB＝tan37°＝≈0.75，BD＝；
sinB＝sin37°＝≈0.60，CB＝．
∵AD＋BD＝AB＝63，∴CD＋＝63，
解得CD≈27，AC＝CD≈1.414×27＝38.178≈38.2，
CB＝≈＝45.0，
答：AC的长约为38.2 m，CB的长约等于45.0 m．
思想方法
第五环节
4.方程思想：方程思想是代数教学的核心内容之一．解直角三角形时，若直角三角形可解，则利用边角关系直接求解；若直角三角形不可解，一般要依据三角函数构建相应的方程，解决问题．
【例题4】(★)(中考真题)如图，垂直于地面的灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成45°夹角(∠CDB＝45°)；为了使灯柱更牢固，在C点上方2米处再新加固另一条钢线ED，ED与地面成53°夹角(∠EDB＝53°)，求线段ED的长．(结果精确到0.1米，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33)
思想方法
第五环节
解：设BD＝x米，则BC＝x米，BE＝(x＋2)米，
在Rt△BDE中，tan∠EDB＝＝，即≈1.33，
解得，x≈6.06，
∵sin∠EDB＝，即0.8＝，解得：ED≈10.1，
即钢线ED的长度约为10.1米．
思想方法
第一章 直角三角形的边角关系
第8课 单元复习
北师大版九年级下册
第一环节
【问题1】锐角三角函数有哪些？是怎么定义的？
锐角三角函数有正切、正弦、余弦.
①如图，我们把∠A的对边与∠A的邻边的比，
叫做∠A的 ，记作 ，即tanA＝．
②如图，在Rt△ABC中，锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的 ，
记作 ，即：sinA＝ ．
③如图，在Rt△ABC中，锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的 ，
记作 ，即：cosA＝ ．
正切
tanA
正弦
sinA
余弦
cosA
问题导思
第一环节
【问题2】已知锐角，如何用计算器求它的三角函数值？已知三角函数值，如何用计算器求它的对应锐角？
【问题3】如何解直角三角形？
【问题4】如何测量一座楼的高度？你能想出几种方法？
问题导思
第二环节
【问题5】梳理本章内容，用适当的方式(可以用表格、思维导图、列要点)呈现全章知识结构．
成果展示
第三环节
【例题1】如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为(%////%)
A． B．
C． D．
D
考点聚焦
【例题2】(☆)如图所示，矩形ABCD中，BC＝2，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转90°，点A、C分别落在点A′、C′处．如果点A′、C′、B在同一条直线上，那么tan∠ABA′的值为%// //%．
第三环节
考点聚焦
第三环节
【例题3】(1)计算sin245°＋cos30° tan60°，其结果是(%////%)
A．2 B．1 C． D．
(2)计算：tan60°＋2sin45°－2cos30°的结果是(%////%)
A．2 B． C． D．1
A
C
考点聚焦
第三环节
【例题4】(中考真题)如图，在△ABC中，∠C＝150°，AC＝4，tanB＝．
(1)求BC的长；
(2)(选做)利用此图形求tan15°的值(精确到0.1，参考数据：＝1.4，＝1.7，＝2.2)
考点聚焦
第三环节
(2)在BC边上取一点M，使得CM＝AC，连接AM，如图②所示：
∵∠ACB＝150°，
∴∠AMC＝∠MAC＝15°，
tan15°＝tan∠AMD＝＝＝＝2－≈0.3．
解：(1)过A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，如图①所示：
在Rt△ADC中，AC＝4，∵∠C＝150°，∴∠ACD＝30°，
∴AD＝AC＝2，CD＝AC cos30°＝4×＝2，
在Rt△ABD中，tanB＝＝＝，∴BD＝16，
∴BC＝BD－CD＝16－2；
考点聚焦
第三环节
【例题5】(中考真题)如图，某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼CD的高度．该楼底层为车库，高2.5米；上面五层居住，每层高度相等．测角仪支架离地1.5米，在A处测得五楼顶部点D的仰角为60°，在B处测得四楼顶部点E的仰角为30°，AB＝14米．求居民楼的高度(精确到0.1米，参考数据：≈1.73)
考点聚焦
第三环节
解：设每层楼高为x米，由题意得：
MC′＝MC－CC′＝2.5－1.5＝1米，
∴DC′＝5x＋1，EC′＝4x＋1，
在Rt△DC′A′中，∠DA′C′＝60°，∴C′A′＝＝(5x＋1)，
在Rt△EC′B′中，∠EB′C′＝30°，∴C′B′＝＝(4x＋1)，
∵A′B′＝C′B′－C′A′＝AB，∴(4x＋1)－(5x＋1)＝14，
解得：x≈3.17，∴5×3.17＋2.5≈18.4，
则居民楼高约为18.4米．
考点聚焦
第三环节
【例题6】(★)如图，轮船甲位于码头O的正西方向A处，轮船乙位于码头O的正北方向C处，测得∠CAO＝45°，轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们的速度分别为45 km/h和36 km/h，经过0.1 h，轮船甲行驶至B处，轮船乙行驶至D处，测得∠DBO＝58°，此时B处距离码头O多远？(参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60)
第三环节
解：设B处距离码头Ox km，
在Rt△CAO中，∠CAO＝45°，∵tan∠CAO＝，
∴CO＝AO tan∠CAO＝(45×0.1＋x) tan45°＝4.5＋x，
在Rt△DBO中，∠DBO＝58°，
∵tan∠DBO＝，
∴DO＝BO tan∠DBO＝x tan58°，
∵DC＝DO－CO，
∴36×0.1＝x tan58°－(4.5＋x)，
∴x＝≈＝13.5．
因此，B处距离码头O大约13.5 km．
第四环节
易错点1：考虑问题不全
(1)(★)在Rt△ABC中，两边的长分别为3和4，求此三角形中
最小角的正弦值为%// //%．
(2)(★)在Rt△ABC中，tanB＝，求sin＝%// //%．
(3)(★)在△ABC中，AB＝4，AC＝，∠B＝60°，求BC的长是%// //%．
或
或
1或者3
易错突破
第四环节
易错点2：正确理解方位角
(1)(★)(中考真题)如图，某校的教室A位于工地O的正西方向，且OA＝200 m，一台拖拉机从O点出发，以每秒5 m的速度沿北偏西53°的方向行驶，设拖拉机的噪声污染半径为130 m，则教室A是否在拖拉机的噪声污染范围内？
若不在，请说明理由；若在，
求出教室A受噪声污染的时间有
几秒．(参考数据：sin53°≈0.80，
sin37°≈0.60，tan37°≈0.75)
易错突破
第四环节
解：如图，过点A作AB⊥OM于点B，∵∠MON＝53°，
∴∠AOM＝90°－53°＝37°．
在Rt△ABO中，∠ABO＝90°，∵sin∠AOB＝，
∴AB＝AO sin∠AOB＝200×sin37°≈120( m )．∵120 m＜130 m．
∴教室A在拖拉机的噪声污染范围内．
根据题意，在OM上取C，D两点，
连接AC，AD，使AC＝AD＝130 m，
∵AB⊥OM，
∴B为CD的中点，即BC＝DB，
∴BC＝50( m )，
∴CD＝2BC＝100( m )．
即影响的时间为＝20( s )．
易错突破
第五环节
1.分类讨论思想：在解直角三角形时，我们总是先画出图形，再结合图形分析已知元素和未知元素之间的关系，但当按照所给条件画图情况不唯一时，就要分不同的情况来讨论．
【例题1】(★)(中考真题)如图，在△ABC中，AB＝BC＝4，AO＝BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为%// //%．
2或2或2
思想方法
第五环节
2.数形结合思想：从概念的引出、公式的推导、计算化简到解决实际问题，都是通过画图构造直角三角形，找出已知元素和未知元素，从而使问题得以解决．
【例题2】(★)(中考真题)如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC、CD，测得BC＝6米，CD＝4米，∠BCD＝150°，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，电线杆的高度为%// //%(结果保留根号)
(2＋4)米
思想方法
第五环节
3.转化思想：转化思想贯穿于数学学习的始终，例如，利用三角函数定义可以实现边与角的转化，通过添加辅助线可以将非直角三角形转化为直角三角形来解决．此外，在实际应用时，首先将实际问题转化为数学模型，再借助于解直角三角形的知识求解．
【例题3】(★)(中考真题)小明上学途中要经过A，B两地，由于A，B两地之间有一片草坪，所以需要走路线AC，CB，如图，在△ABC中，AB＝63 m，∠A＝45°，∠B＝37°，求AC，CB的长．(结果保留小数点后一位)(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，取1.414．)
思想方法
第五环节
解：过点C作CD⊥AB垂足为D，在Rt△ACD中，
tanA＝tan45°＝＝1，CD＝AD，
sinA＝sin45°＝＝，AC＝CD ．
在Rt△BCD中，
tanB＝tan37°＝≈0.75，BD＝；
sinB＝sin37°＝≈0.60，CB＝．
∵AD＋BD＝AB＝63，∴CD＋＝63，
解得CD≈27，AC＝CD≈1.414×27＝38.178≈38.2，
CB＝≈＝45.0，
答：AC的长约为38.2 m，CB的长约等于45.0 m．
思想方法
第五环节
4.方程思想：方程思想是代数教学的核心内容之一．解直角三角形时，若直角三角形可解，则利用边角关系直接求解；若直角三角形不可解，一般要依据三角函数构建相应的方程，解决问题．
【例题4】(★)(中考真题)如图，垂直于地面的灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成45°夹角(∠CDB＝45°)；为了使灯柱更牢固，在C点上方2米处再新加固另一条钢线ED，ED与地面成53°夹角(∠EDB＝53°)，求线段ED的长．(结果精确到0.1米，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33)
思想方法
第五环节
解：设BD＝x米，则BC＝x米，BE＝(x＋2)米，
在Rt△BDE中，tan∠EDB＝＝，即≈1.33，
解得，x≈6.06，
∵sin∠EDB＝，即0.8＝，解得：ED≈10.1，
即钢线ED的长度约为10.1米．
思想方法