2023-2024学年人教版初中数学八年级下册 18.1.1 平行四边形的性质同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2023八下·大安期末）如图，在中，，点为垂足，如果，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023九上·长沙月考）如图，在平行四边形中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023九上·广州期中）已知一矩形的两邻边长分别为10cm和15cm，其中一个内角的平分线分长边为两部分，这两部分的长为（ ）
A．6cm和9cm B．5cm和10cm C．4cm和11cm D．7cm和8cm
4．（2022九上·温州开学考）如图， ABCD中，AB＝3，AD＝5，AC⊥AB，E、F为线段BD上两动点（不与端点重合）且EF＝BD，连接AE，CF，当点EF运动时，对AE+CF的描述正确的是（ ）
A．等于定值5- B．有最大值
C．有最小值 D．有最小值
5．（2023八下·武鸣期末）在 ABCD中，AB＝3cm，AD＝4cm，∠A＝120°，则 ABCD的面积是（ ）
A．3 B．6 C．15 D．12
6．（2023八下·温江期末）如图，已知的顶点，，点B在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，作射线交于点G．则点G的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024九上·涪城开学考）如图， ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且
∠ADC=60°，AB=BC，连接OE.下列结论：①AE>CE；②S ABCD=AB·AC；③S△ABE=2S△AOE；④OE=AD，其中成立的有 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2023·南开模拟） 如图， 的顶点坐标分别为、、，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023八下·靖宇期末）在 中，如果，那么的度数是 度．
10．（2024八上·长春期末）如图，在中，BF平分，交AD于点F，CE平分，交AD于点E，，，则EF长为 .
11．（2023八下·双流期末）如图，在中，是对角线上的点，，，则的大小为 ．
12．（2023九上·成都开学考）如图，在中，以点C为圆心，以适当长度为半径作弧，分别交，于点M，N，再分别以，N为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点E，若，，，则的长为 ．
13．（2023八下·黄岛期末）如图，在中，将沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处．若，，则的面积为 ．
三、解答题
14．（2023九上·瑞安开学考）如图，在中，BC＝3AB－6，点E，F分别在边AB，CD上，AE＝CF，直线EF分别交AD，CB的延长线交于点H，G．
（1）求证：DH＝BG．
（2）作HM∥AB，交BC延长线于点M，AM交GH于点O．若BE＝1，GB＝3，AB⊥AM，∠AEH＝45°，求AE的长．
15．（2022九上·叙州开学考） 如图，在 中，是边的中点，直线交的延长线于点．
（1）求证：≌；
（2）连结、，求证：．
四、综合题
16．（2023八下·达川期末）如图，四边形是平行四边形，的平分线交对角线于点E，交于点H，交的延长线于点F，且，．
（1）求的度数；
（2）判断：是否是等腰三角形？并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：在 ABCD中，∠D=55°，
∴∠D=55°，
∵CE⊥AB，
∴∠BEC=90°，
∴∠BCE=90°-∠B=35°．
故答案为：B.
【分析】由平行四边形的对角相等可得∠B，又由CE⊥AB，即可求得∠BCE的度数．
2．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】四边形ABCD是平行四边形，
∠D=∠B，
，
∠D=
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的性质：对角相等即可求解.
3．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝45°，
又∵∠B＝90°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴BE＝AB＝10cm，
∴CE＝BC-AB＝15-10＝5cm，
即这两部分的长为5cm和10cm．
故答案为：B.
【分析】先根据题意画出图形来分析，由角平分线的定义可求出∠BAE＝45°，又∠B=90°，可判断出△ABE是等腰直角三角形，然后求出BE＝AB，再根据CE=BC-AB即可求解．
4．【答案】D
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：记AC交BD于点O，如图：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴
∵
∴
∴
∵AB＝3，AD＝5，AC⊥AB，
∴
∴
∴
当时， AE+CF 的值最小，E为OB中点，
∴，
同理：
∴
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的性质得：结合已知条件得到：然后根据勾股定理求出AC的长，根据当时， AE+CF 的值最小，即可求解.
5．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点A作AE⊥CB于点E，
∵平行四边形ABCD，
∴AB∥CD，
∴∠B=180°-∠BAD=180°-120°=60°，
∴∠BAE=90°-∠B=90°-60°=30°，
∴BE=AB=，
∴
S平行四边形ABCD=.
故答案为：B.
【分析】过点A作AE⊥CB于点E，利用平行四边形的性质和平行线的性质可求出∠B的度数，利用直角三角形的两锐角互余，可求出∠BAE的度数，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出BE的长，利用勾股定理可求出AE的长；然后利用平行四边形的面积公式进行计算，可求出平行四边形ABCD的面积.
6．【答案】C
【知识点】点的坐标；勾股定理；平行四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：根据题意可得：AG平分∠DAB，
∵的顶点，，
∴AO=3，DO=4，AB//CD，
∴，
∵AB//CD，
∴∠DGA=∠BAG，
∵AG平分∠DAB，
∴∠DAG=∠BAG，
∴∠DAG=∠DGA，
∴AD=DG=5，
∴点G的坐标为（5，4），
故答案为：C.
【分析】先利用勾股定理求出AD的长，再利用角平分线和平行线的性质可得∠DAG=∠DGA，利用等角对等边的性质可得AD=DG=5，再求出点G的坐标即可.
7．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=60°，
∴∠ABC=∠ADC=60°，
∴∠BAD=180°-∠ABC=120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAD=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=AB=BE，∠AEB=60°，
∵，
∴，
∴AE=CE，
则结论①错误；
∴∠EAC=∠ACE=30°，
∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=90°，
∴S ABCD=AB·AC，
则结论②正确；
∵BE=EC，
∴E为BC的中点，
∴，
∵AO=OC，
∴，
∴S△ABE=2S△AOE，
则结论③正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=OC，
∵AE=CE，
∴OE⊥AC，
∵∠ACE=30°，
∴，
∵，
∴，
则结论④正确；
综上所述：成立的有3个，
故答案为：C.
【分析】结合图形，利用平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质等对每个结论逐一判断求解即可。
8．【答案】A
【知识点】点的坐标；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：延长AB交x轴于点E，延长DC交x轴于点F，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，
∵、、，
∴BE=1，AE=4，CF=2，
∴AB=AE-BE=3，
∴CD=AB=3，
∴DF=CD+CF=5，
∴点D的坐标为（5，5），
故答案为：A.
【分析】根据平行四边形的性质求出AB//CD，AB=CD，再根据点的坐标求出BE=1，AE=4，CF=2，最后计算求解即可。
9．【答案】80
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD为平行四边形
∴ ∠A=∠C，∠A+∠B=180°
∵ ∠A+∠C=200°
∴ ∠A=100°
∴ ∠B=80°
故答案为：80°.
【分析】本题考查平行四边形性质：对角相等，邻角互补。结合已知条件，可计算出∠A，则∠B可知。
10．【答案】3
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；平行四边形的性质；线段的计算；角平分线的定义
【解析】【解答】
解：
由 得，AB=CD=6，AD=BC=9，AD∥BC，
∴∠AFB=∠CBF，∠DEC=∠BCE，
∵BF平分，CE平分，
∴∠ABF=∠CBF，∠BCE=∠DCE
∴∠ABF=∠AFB，∠DEC=∠DCE
∴AF=AB=6，DE=CD=6
∴EF=AF+DE-AD=6+6-9=3
故答案为：3
【分析】
根据AD∥BC，BF平分，CE平分可推导出∠ABF=∠AFB，∠DEC=∠DCE，从而得出AF=AB=6，DE=CD=6
再根据EF=AF+DE-AD可计算出EF。
11．【答案】38
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵AE=DE，
∴∠ DAE=∠ ADE=19°，
∵DE=CD，
∴∠ DCE= ∠DEC= ∠DAE+ ∠ADE=38°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴ ∠BAC= ∠DCE=38°．
故答案为：38°.
【分析】等边对等角，可以求出∠ DCE= ∠DEC=38°，再利用平行四边形的对边平行即可求解。
12．【答案】
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；平行四边形的性质；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：由作图可知CE平分∠DCB，∴∠DCE=∠BCE，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，AB=DC，
∴∠DEC=∠BCE，
∴∠DCE=∠DEC，
∴DE=DC，∴AB=DC=DE=5，
∵AE=3，BE=4，且，
∴△ABE是直角三角形，∠AEB=90°，
∵AD∥BC，∴∠EBC=∠AEB=90°，
∴Rt△EBC中，BE=4，BC=AD=AE+DE=8，
∴CE=，
故答案为：.
【分析】有作图过程可知作了∠BCD的角平分线，结合平行四边形的性质，判断三角形DEC是等腰三角形，所以可以知道平行四边形的一组对边AB和DC的长，再由勾股定理逆定理判定三角形ABE的形状，进而判定BE和平行四边形一组对边垂直，再利用勾股定理求CE长。
13．【答案】
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：由题意可得AD=AE，∠ACD=∠ACE=90°，
则 S△ADE=DE·AC，△ADE是等边三角形
∵四边形ABCD是平行四边形
∴DC=AB=4
∴AD=DE=2DC=8
在Rt△ACD中
AC=
=
=
=4
∴S△ADE=DE·AC
=×8×4
=16
故答案为：16.
【分析】由题意可得AD=AE，∠ACD=∠ACE=90°，则 S△ADE=DE·AC，△ADE是等边三角形，根据平行四边形的性质可得DC=AB=4，进而可求出DE的长，在Rt△ACD中，利用勾股定理求出AC的长，综上即可求出△ADE的面积。
14．【答案】（1）证明：在中，AD∥BC，∠A＝∠C，AD＝CB，
∵AD∥BC，
∴∠G＝∠H．
∵∠A＝∠C，AE＝CF，
∴△AEH≌△CFG，
∴AH＝CG．
∵AD＝CB，
∴AH－AD＝CG－CB，即DH＝BG．
（2）解：由AB⊥AM，∠AEH＝45°，得∠MOH＝∠AOE＝45°，由HM∥AB，得∠OHM＝∠AEO＝45°，
设AO＝AE＝x，则OM＝HM＝AB＝x＋1，BC＝3AB－6＝3x－3，CM＝DH＝BG＝3，BM＝BC＋CM＝3x，
在Rt△ABM中，由勾股定理，得－AB2＋AM2＝BM2，
即（x＋1）2＋（2x＋1）2＝（3x）2．
解得，或（舍去），
．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可得AD∥BC，∠BAD=∠DCB，AD=BC，由平行线的性质并结合已知用角角边可证△AEH≌△CFG，由全等三角形的性质得AH＝CG，然后根据线段的构成AH-AD=CG-BC可求解；
（2）由等腰直角三角形的性质和平行线的性质可得∠MOH=∠AOE=∠OHM=∠AEO=45°，设AO=AE=x，在Rt△ABM中，由勾股定理可得关于x的方程，解方程可求解.
15．【答案】（1）证明：是边的中点，
，
四边形是平行四边形，
，
，
在和中，
，
≌；
（2）解：
证明：≌，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是平行四边形，
．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质，及全等三角形的判定定理即可求出答案；
（2）根据全等三角形的性质及平行四边形的判定定理及性质即可求出答案。
16．【答案】（1）解：在中，，
∴，
∵是的平分线，
∴，
又，
∴
（2）解：是等腰三角形，理由如下：
∵四边形是平行四边形，
∴
∴
又
∴
∵，
∴
又且，
∴，
∴
∴，
∴是等腰三角形．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出，由角平分线的定义可得，再利用三角形内角和定理即可求解；
（2）根据题意先求出∠EAF=72°，再利用邻补角的定义求出∠AEF=72°，即得∠EAF=∠AEF，利用等角对等边可得AF=EF，根据等腰三角形的判定即得结论.
1 / 12023-2024学年人教版初中数学八年级下册 18.1.1 平行四边形的性质同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2023八下·大安期末）如图，在中，，点为垂足，如果，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：在 ABCD中，∠D=55°，
∴∠D=55°，
∵CE⊥AB，
∴∠BEC=90°，
∴∠BCE=90°-∠B=35°．
故答案为：B.
【分析】由平行四边形的对角相等可得∠B，又由CE⊥AB，即可求得∠BCE的度数．
2．（2023九上·长沙月考）如图，在平行四边形中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】四边形ABCD是平行四边形，
∠D=∠B，
，
∠D=
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的性质：对角相等即可求解.
3．（2023九上·广州期中）已知一矩形的两邻边长分别为10cm和15cm，其中一个内角的平分线分长边为两部分，这两部分的长为（ ）
A．6cm和9cm B．5cm和10cm C．4cm和11cm D．7cm和8cm
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝45°，
又∵∠B＝90°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴BE＝AB＝10cm，
∴CE＝BC-AB＝15-10＝5cm，
即这两部分的长为5cm和10cm．
故答案为：B.
【分析】先根据题意画出图形来分析，由角平分线的定义可求出∠BAE＝45°，又∠B=90°，可判断出△ABE是等腰直角三角形，然后求出BE＝AB，再根据CE=BC-AB即可求解．
4．（2022九上·温州开学考）如图， ABCD中，AB＝3，AD＝5，AC⊥AB，E、F为线段BD上两动点（不与端点重合）且EF＝BD，连接AE，CF，当点EF运动时，对AE+CF的描述正确的是（ ）
A．等于定值5- B．有最大值
C．有最小值 D．有最小值
【答案】D
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：记AC交BD于点O，如图：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴
∵
∴
∴
∵AB＝3，AD＝5，AC⊥AB，
∴
∴
∴
当时， AE+CF 的值最小，E为OB中点，
∴，
同理：
∴
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的性质得：结合已知条件得到：然后根据勾股定理求出AC的长，根据当时， AE+CF 的值最小，即可求解.
5．（2023八下·武鸣期末）在 ABCD中，AB＝3cm，AD＝4cm，∠A＝120°，则 ABCD的面积是（ ）
A．3 B．6 C．15 D．12
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点A作AE⊥CB于点E，
∵平行四边形ABCD，
∴AB∥CD，
∴∠B=180°-∠BAD=180°-120°=60°，
∴∠BAE=90°-∠B=90°-60°=30°，
∴BE=AB=，
∴
S平行四边形ABCD=.
故答案为：B.
【分析】过点A作AE⊥CB于点E，利用平行四边形的性质和平行线的性质可求出∠B的度数，利用直角三角形的两锐角互余，可求出∠BAE的度数，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出BE的长，利用勾股定理可求出AE的长；然后利用平行四边形的面积公式进行计算，可求出平行四边形ABCD的面积.
6．（2023八下·温江期末）如图，已知的顶点，，点B在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，作射线交于点G．则点G的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】点的坐标；勾股定理；平行四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：根据题意可得：AG平分∠DAB，
∵的顶点，，
∴AO=3，DO=4，AB//CD，
∴，
∵AB//CD，
∴∠DGA=∠BAG，
∵AG平分∠DAB，
∴∠DAG=∠BAG，
∴∠DAG=∠DGA，
∴AD=DG=5，
∴点G的坐标为（5，4），
故答案为：C.
【分析】先利用勾股定理求出AD的长，再利用角平分线和平行线的性质可得∠DAG=∠DGA，利用等角对等边的性质可得AD=DG=5，再求出点G的坐标即可.
7．（2024九上·涪城开学考）如图， ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且
∠ADC=60°，AB=BC，连接OE.下列结论：①AE>CE；②S ABCD=AB·AC；③S△ABE=2S△AOE；④OE=AD，其中成立的有 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=60°，
∴∠ABC=∠ADC=60°，
∴∠BAD=180°-∠ABC=120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAD=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=AB=BE，∠AEB=60°，
∵，
∴，
∴AE=CE，
则结论①错误；
∴∠EAC=∠ACE=30°，
∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=90°，
∴S ABCD=AB·AC，
则结论②正确；
∵BE=EC，
∴E为BC的中点，
∴，
∵AO=OC，
∴，
∴S△ABE=2S△AOE，
则结论③正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=OC，
∵AE=CE，
∴OE⊥AC，
∵∠ACE=30°，
∴，
∵，
∴，
则结论④正确；
综上所述：成立的有3个，
故答案为：C.
【分析】结合图形，利用平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质等对每个结论逐一判断求解即可。
8．（2023·南开模拟） 如图， 的顶点坐标分别为、、，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】点的坐标；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：延长AB交x轴于点E，延长DC交x轴于点F，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，
∵、、，
∴BE=1，AE=4，CF=2，
∴AB=AE-BE=3，
∴CD=AB=3，
∴DF=CD+CF=5，
∴点D的坐标为（5，5），
故答案为：A.
【分析】根据平行四边形的性质求出AB//CD，AB=CD，再根据点的坐标求出BE=1，AE=4，CF=2，最后计算求解即可。
二、填空题
9．（2023八下·靖宇期末）在 中，如果，那么的度数是 度．
【答案】80
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD为平行四边形
∴ ∠A=∠C，∠A+∠B=180°
∵ ∠A+∠C=200°
∴ ∠A=100°
∴ ∠B=80°
故答案为：80°.
【分析】本题考查平行四边形性质：对角相等，邻角互补。结合已知条件，可计算出∠A，则∠B可知。
10．（2024八上·长春期末）如图，在中，BF平分，交AD于点F，CE平分，交AD于点E，，，则EF长为 .
【答案】3
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；平行四边形的性质；线段的计算；角平分线的定义
【解析】【解答】
解：
由 得，AB=CD=6，AD=BC=9，AD∥BC，
∴∠AFB=∠CBF，∠DEC=∠BCE，
∵BF平分，CE平分，
∴∠ABF=∠CBF，∠BCE=∠DCE
∴∠ABF=∠AFB，∠DEC=∠DCE
∴AF=AB=6，DE=CD=6
∴EF=AF+DE-AD=6+6-9=3
故答案为：3
【分析】
根据AD∥BC，BF平分，CE平分可推导出∠ABF=∠AFB，∠DEC=∠DCE，从而得出AF=AB=6，DE=CD=6
再根据EF=AF+DE-AD可计算出EF。
11．（2023八下·双流期末）如图，在中，是对角线上的点，，，则的大小为 ．
【答案】38
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵AE=DE，
∴∠ DAE=∠ ADE=19°，
∵DE=CD，
∴∠ DCE= ∠DEC= ∠DAE+ ∠ADE=38°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴ ∠BAC= ∠DCE=38°．
故答案为：38°.
【分析】等边对等角，可以求出∠ DCE= ∠DEC=38°，再利用平行四边形的对边平行即可求解。
12．（2023九上·成都开学考）如图，在中，以点C为圆心，以适当长度为半径作弧，分别交，于点M，N，再分别以，N为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点E，若，，，则的长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；平行四边形的性质；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：由作图可知CE平分∠DCB，∴∠DCE=∠BCE，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，AB=DC，
∴∠DEC=∠BCE，
∴∠DCE=∠DEC，
∴DE=DC，∴AB=DC=DE=5，
∵AE=3，BE=4，且，
∴△ABE是直角三角形，∠AEB=90°，
∵AD∥BC，∴∠EBC=∠AEB=90°，
∴Rt△EBC中，BE=4，BC=AD=AE+DE=8，
∴CE=，
故答案为：.
【分析】有作图过程可知作了∠BCD的角平分线，结合平行四边形的性质，判断三角形DEC是等腰三角形，所以可以知道平行四边形的一组对边AB和DC的长，再由勾股定理逆定理判定三角形ABE的形状，进而判定BE和平行四边形一组对边垂直，再利用勾股定理求CE长。
13．（2023八下·黄岛期末）如图，在中，将沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处．若，，则的面积为 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：由题意可得AD=AE，∠ACD=∠ACE=90°，
则 S△ADE=DE·AC，△ADE是等边三角形
∵四边形ABCD是平行四边形
∴DC=AB=4
∴AD=DE=2DC=8
在Rt△ACD中
AC=
=
=
=4
∴S△ADE=DE·AC
=×8×4
=16
故答案为：16.
【分析】由题意可得AD=AE，∠ACD=∠ACE=90°，则 S△ADE=DE·AC，△ADE是等边三角形，根据平行四边形的性质可得DC=AB=4，进而可求出DE的长，在Rt△ACD中，利用勾股定理求出AC的长，综上即可求出△ADE的面积。
三、解答题
14．（2023九上·瑞安开学考）如图，在中，BC＝3AB－6，点E，F分别在边AB，CD上，AE＝CF，直线EF分别交AD，CB的延长线交于点H，G．
（1）求证：DH＝BG．
（2）作HM∥AB，交BC延长线于点M，AM交GH于点O．若BE＝1，GB＝3，AB⊥AM，∠AEH＝45°，求AE的长．
【答案】（1）证明：在中，AD∥BC，∠A＝∠C，AD＝CB，
∵AD∥BC，
∴∠G＝∠H．
∵∠A＝∠C，AE＝CF，
∴△AEH≌△CFG，
∴AH＝CG．
∵AD＝CB，
∴AH－AD＝CG－CB，即DH＝BG．
（2）解：由AB⊥AM，∠AEH＝45°，得∠MOH＝∠AOE＝45°，由HM∥AB，得∠OHM＝∠AEO＝45°，
设AO＝AE＝x，则OM＝HM＝AB＝x＋1，BC＝3AB－6＝3x－3，CM＝DH＝BG＝3，BM＝BC＋CM＝3x，
在Rt△ABM中，由勾股定理，得－AB2＋AM2＝BM2，
即（x＋1）2＋（2x＋1）2＝（3x）2．
解得，或（舍去），
．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可得AD∥BC，∠BAD=∠DCB，AD=BC，由平行线的性质并结合已知用角角边可证△AEH≌△CFG，由全等三角形的性质得AH＝CG，然后根据线段的构成AH-AD=CG-BC可求解；
（2）由等腰直角三角形的性质和平行线的性质可得∠MOH=∠AOE=∠OHM=∠AEO=45°，设AO=AE=x，在Rt△ABM中，由勾股定理可得关于x的方程，解方程可求解.
15．（2022九上·叙州开学考） 如图，在 中，是边的中点，直线交的延长线于点．
（1）求证：≌；
（2）连结、，求证：．
【答案】（1）证明：是边的中点，
，
四边形是平行四边形，
，
，
在和中，
，
≌；
（2）解：
证明：≌，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是平行四边形，
．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质，及全等三角形的判定定理即可求出答案；
（2）根据全等三角形的性质及平行四边形的判定定理及性质即可求出答案。
四、综合题
16．（2023八下·达川期末）如图，四边形是平行四边形，的平分线交对角线于点E，交于点H，交的延长线于点F，且，．
（1）求的度数；
（2）判断：是否是等腰三角形？并说明理由．
【答案】（1）解：在中，，
∴，
∵是的平分线，
∴，
又，
∴
（2）解：是等腰三角形，理由如下：
∵四边形是平行四边形，
∴
∴
又
∴
∵，
∴
又且，
∴，
∴
∴，
∴是等腰三角形．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出，由角平分线的定义可得，再利用三角形内角和定理即可求解；
（2）根据题意先求出∠EAF=72°，再利用邻补角的定义求出∠AEF=72°，即得∠EAF=∠AEF，利用等角对等边可得AF=EF，根据等腰三角形的判定即得结论.
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