2023-2024学年人教版初中数学八年级下册 18.1.1 平行四边形的性质同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023八下·秦都期末）在中，若的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴.
故答案为：D.
【分析】根据平行线的性质和已知条件判断，即可求出度数，从而求出度数.
2．（2023八下·信阳期中）如图，在中，，，点D在边上，以，为边作平行四边形，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：在中，，，
，
四边形是平行四边形，
.
故答案为：D.
【分析】根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠C=70°，根据平行四边形的对角相等可得∠E=∠C，据此解答.
3．（2023九上·开福开学考）如图，四边形为平行四边形，A，C两点的坐标分别是，，则平行四边形的周长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ A，C两点的坐标分别是，，
∴，OA=3，
∵四边形为平行四边形，
∴，BC=OA=3，
∴平行四边形的周长为：，
故答案为：D.
【分析】根据点A和点C的坐标求出，OA=3，再根据平行四边形的性质求出，BC=OA=3，最后利用平行四边形的周长计算求解即可。
4．（2023九上·宝安开学考）如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC＝60°，AD＝2AB，连接OE，下列结论：①∠CAD＝30°；②OD＝AB；③S平行四边形ABCD＝AC CD；④S四边形OECD＝S△AOD：⑤OE＝AD．其中成立的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=60°，
∴AD∥BC，∠ABC=∠ADC=60°，OB=OD，AO=CO，
∴∠DAE=∠AEB，∠BAD=∠BCD=120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=∠AEB，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠BAE=∠AEB=60°，AB=BE=AE，
∵AD=2AB=BC，
∴EC=AE=BE，
∴∠CAE=∠ACE=30°，
∴∠DAC=30°，此结论符合题意；
②∵∠BAD=120°，∠DAC=30°，
∴∠BAC=90°，
∴BO＞AB，
∴OD＞AB，此结论不符合题意；
③∵S四边形ABCD=AB·AC=AC·CD，
∴此结论符合题意；
④∵∠BAC=90°，BC=2AB，
∴E是BC的中点，
∴S△BEO：S△BCD=1：4，
∴S四边形OECD：S△BCD=3：4，
∴S四边形OECD：S平行四边形ABCD=3：8，
∵S△AOD：S平行四边形ABCD=1：4，
∴S四边形OECD=S△AOD，此结论符合题意；
⑤∵AO=OC，BE=EC，
∴AB=2OE，
∵AD=2AB，
∴OE=AD，此结论符合题意.
故答案为：D.
【分析】①由已知条件易证△ABE是等边三角形并结合AD=BC=2AB可求解；
②由角的构成易证∠BAC=90°，由三角形中的边角关系可判断求解；
③由平行四边形的面积公式计算可判断求解；
④根据三角形中线的性质并结合三角形的面积和四边形的面积可求解；
⑤由三角形的中位线定理易得AB=2OE求解.
5．（2023八下·顺德期末）如图，在中，，，，则与间的距离为（ ）
A．5 B．10 C． D．26
【答案】B
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD，AC=26，
∴AO=AC=13，BD=2OD，
在Rt△AOD中
，
∴BD=2×5=10，
∴AD与BC之间的距离为10.
故答案为：B.
【分析】利用平行四边形的性质可求出AO的长，同时可证得BD=2OD，利用勾股定理求出DO的长，可得到BD的长，即可求出AD与BC之间的距离.
6．（2023·上海）已知在梯形中，连接，且，设．下列两个说法：
①；②
则下列说法正确的是（ ）
A．①正确②错误 B．①错误②正确
C．①②均正确 D．①②均错误
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：过点B作BE//CA，交BC延长线于点E，如下图所示：
若AD=BC，AB//CD，则四边形ACEB是平行四边形，
∴CE=AB，AC=BE，
∴AB//DC，
∴∠DAB=CBA，
∵AB=AB，
∴△DAB≌△CBA (SAS)，
∴AC=BD，
∴BD=BE，
∵AC⊥BD，
∴BE⊥BD，
∵在Rt△BDE 中，BD=BE，AB=a，CD=b，
∴DE=DC+CE=b+a，
∴DE=DC+CE=b+a，
∴AC=BE=，
∴说法①正确；
过点B作BF⊥DE于F，如下图所示：
∵在Rt△BFC中，BD=BE，AB=a，CD=b，DE=b+a，
∴BF=FE=DE=(a+b)，FC=FE-CB=(a+b)-a=(b-a)，
∴，
∴说法②正确；
但已知中，梯形ABCD是否为等腰梯形，并未确定；梯形ABCD是AB//CD还是AD//BC，并未确定，
∴无法保证①②正确，
故答案为：D.
【分析】根据全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质证明求解即可。
7．（2023七下·遵义期末）如图，在平行四边形中，，于E，于F，交于H，、的延长线交于E，给出下列结论：
①； ②；
③； ④若点F是的中点，则；
其中正确的结论有（ ）．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵AG⊥BC，
∴∠AGC =90°
又∵∠ACB =45°
∴△ AGC 是等腰直角三角形
∴AG = CG
∴AC=
=
故①正确；
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD // BC ， AB // CD
∵ AG⊥BC， CF⊥AB
∴AG⊥AD ， CF⊥CD
∴ ∠DAH =∠DCH =90°
∴∠D+∠ AHC =360°-90°-90°=180°
∵∠ CHG+∠ AHC=180°
∴∠D=∠ CHG
故②正确；
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠B=∠ D
∴∠ CHG=∠B
∵ AG⊥BC
∴∠AGB=∠AGC=90°
又∵AG = CG
∴△CHG≌△ABG
∴CH=AB
∴CH=CD
故③正确；
连接 BH ，如图：
∵△CHG≌△ABG
∴HG=BG
∴△ BGH 是等腰直角三角形
∴BH=BG
∵点F是AB的中点，CF⊥AB
∴AH=BH=BG
∵BG=HG=AG-AH
∴BG=CG-BG
∴BG=
故④正确；
综上所述：正确的结论有4个，
故答案为：A.
【分析】①根据题意可证△ AGC 是等腰直角三角形，则 AG = CG ，再由勾股定理即可得出结论；
②由平行四边形的性质得AD // BC ， AB // CD ，再根据AG⊥BC， CF⊥AB，∠DAH =∠DCH =90°，再证∠D +∠AHC =180°，进而得出结论；
③证△CHG≌△ABG ( AAS )，得 CH = AB ，即可得出结论；
④连接 BH ，证△ BGH 是等腰直角三角形，得 BH =BG，再证 AH = BH =BG，即可得出结论。
8．（2023·太原模拟）如图，在中，，，，点为边上一点，点在的延长线上，．若四边形是平行四边形，连接，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．24 B．12 C．8 D．6
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】设三角形ABC底边BC上的高是h
∵BC=2CF
∴
又DCFE是平行四边形
∴
观察图中阴影，是以DE为共同底、两个高的和是h的两个三角形
∴
故选：B
【分析】阅读已知条件时，看到给了AB值和60°特殊角，就想到60度角所对直角边和邻边长可求；看到BC=2CF，且DCFE是平行四边形，就可以想到DE可求；观察图中阴影，发现是以DE为共同底、两个高的和是通过60°角的三角函数可求的两个三角形，至此边读题边思考，找到解决办法。
二、填空题
9．（2023九上·白银期中） 在中，分别为边上的点，若四边形为正方形，则的长为 ．
【答案】或
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：设AE的长为x，
由题意可得：BE=14-x
在△ABE中，有：
解得：x=6或8
故答案为：6或8
【分析】设AE的长为x，则BE=14-x，再根据勾股定理即可求出答案.
10．（2023八下·黄岛期末）如图，在中，，点在上，．如果，那么 °．
【答案】30
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，且∠A=70°
∴∠DCB=∠A=70°
∠ADC=180°-∠A
=110°
∵AB=BD
∴∠ADB=∠A=70°
∴∠CDE=40°
∵DE=CE
∴∠DCE=∠CDE=40°
∴∠ECB=∠DCB-∠DCE
=30°
故答案为：30.
【分析】根据平行四边形的性质求出∠ADC、∠DCB的度数，再根据等边对等角即可求解。
11．（2023九上·宝安开学考）如图，在平行四边形中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，射线交的延长线于点，则的长是 ．
【答案】1
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：根据尺规作图，得到EC是∠BCD的平分线，
所以∠ECD=∠ECB，
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AB∥CD，
所以∠BEC=∠ECD，
所以∠BEC=∠ECB，
所以BE=BC=5，又因为
所以AE= BE-AB=5-4=1.
故答案为：1.
【分析】根据尺规作图，得到EC是∠BCD的平分线，由得AB∥CD，从而推出∠BEC=∠ECD=∠ECB，进而得到BE=BC，利用线段差计算即可．
12．如图，AC为平行四边形ABCD的对角线，AC⊥BC，点E在AB上，连结CE，分别延长CE，DA交于点F.若CE=EF=4，则CD的长为 .
【答案】8
【知识点】平行线的性质；线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD为平行四边形，
∴ AD∥BC，
∴ ∠FAE=∠ CBE，
∵ ∠FEA=∠CEB，FE=CE，
∴ △AEF≌ △BEC（AAS），
∴ AF=BC，
∵ AD=BC，
∴ AD=AF，
∵ AD∥BC，AC⊥BC，
∴ AC⊥DF，
∴ AC垂直平分DF，
∴ CD=CF=CE+EF=8.
【分析】根据平行四边形的性质得AD∥BC推出 ∠FAE=∠ CBE，依据AAS判定△AEF≌ △BEC推出 AF=BC，再根据平行四边形的性质和平行线的性质可推出得AC垂直平分DF，再根据垂直平分线的性质即可求得.
13．（2023九上·中牟开学考）如图，等边三角形的边长为，动点从点出发，沿的方向以的速度运动，动点从点出发，沿的方向以的速度运动，且动点，同时出发，其中一点到达终点时，另一点随之停止运动那么运动到第 秒时，点，，以及的边上一点恰能构成一个平行四边形．
【答案】2或6
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：设运动时间为t秒，
①当0＜t＜时，点M、N、D的位置如图所示：
由题意得BM=3t，CN=2t，
∵△ABC是边长为10的等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，AB=AC=10，
∵四边形AMDN是平行四边形，
∴DM=AN，DM∥AN，DN∥AB，
∴∠MDB=∠C=60°，∠NDC=∠B=60°，
∴∠NDC=∠C，∠B=∠BDM，
∴ND=NC=2t，BM=DM=3t，
∵DM+DN=AN+NC=AC=10，
∴3t+2t=10，
解得t=2；
②当≤t≤5时，点A、M、N三点在同一直线上，不能构成平行四边形；
③当5＜t＜时，点M、N、D的位置如图，
由题意得：AM=3t-10，AN=2t-10，
∵△ABC是边长为10的等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，AB=AC=10，
∵四边形AMDN是平行四边形，
∴DM=AN，DM∥AN，DN∥AB，
∴∠MDC=∠B=60°，∠NDB=∠C=60°，
∴∠NDB=∠B，∠C=∠CDM，
∴ND=BN=3t-10，AN=DM=2t-10，
∵DM+DN=AN+BN=AB=10，
∴3t-10+2t-10=10，
解得t=6；
④当≤t≤10，点M、N、D的位置如图，
由题意得：BN=20-2t，BM=30-3t，
∵△ABC是边长为10的等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵四边形AMDN是平行四边形，
∴MN∥AC，
∴∠NMB=∠C=60°，
∴∠NMB=∠B=60°，
∴△BMN是等边三角形，
∴BM=BN，即20-2t=30-3t，
解得t=10，
此时M与N重合，不能构成平行四边形，
综上所述，t的值为2或6.
故答案为：2或6.
【分析】分四种情况：①当0＜t＜时；②当≤t≤5时，点A、M、N三点在同一直线上，不能构成平行四边形；③当5＜t＜时，点M、N、D的位置如图；④当≤t≤10，分别画出图形，从而根据等边三角形的性质及平行四边形的性质列出方程，求解即可.
三、解答题
14．（2023七下·仓山期末）在平面直角坐标系中，，，，且，满足．
（1）求点的坐标；（用含的式子表示）
（2）过点作交轴于点，当时，
①求的面积；
②若点在直线上，且点的横坐标为5，求点的纵坐标．
【答案】（1）解：由①+②，得：，
∴，
由① ②，得，
∴，
∴；
（2）解：①如图，连接AP，
，
，
，
，
设，
根据图象，得点在轴正半轴
，
，
，
，
，
，
②设D的纵坐标为yD，如图，连接OD，
根据图象，得点在第一象限
，
即点D的纵坐标为．
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用加减消元法解关于未知数m、n的方程组，即可用含a的式子表示出m、n，从而即可得出点P的坐标；
（2）①由a的值易得点P（0，-3），设C（xC，0），由平行线间的距离相等及同底等高三角形面积相等得S△PAC=S△PBC，据此结合三角形面积计算公式建立方程可求出xC的值，从而得到点C的坐标，从而就不难求出△PBC的面积了；
②设D的纵坐标为yD，如图，连接OD，根据S△OCD+S△OCP=S△OPD，并结合三角形面积计算公式建立方程可求出yD的值.
15．如图所示，在形状为平行四边形的一块地ABCD中，有一条小折路EFG．现在想把它改为经过点G的直路，要求小路两侧土地的面积都不变，请在图中画出改动后的小路．
【答案】证明：设GN交FE于点I．
∵EG∥FN，∴△GNF的面积等于△EFN的面积，（同底等高）．
把两个三角形面积都减去△FIN面积，所以△EIN面积等于△GIF面积，即小路两侧土地面积都不变．
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积
【解析】【分析】根据两平行线间的距离相等得出
△GNF的面积等于△EFN的面积 ，
把两个三角形面积都减去△FIN面积，所以△EIN面积等于△GIF面积，即小路两侧土地面积都不变．
四、综合题
16．（2023九上·渠县开学考）如图，在平行四边形ABCD中，∠B=90°，且AD=9cm，AB=4cm，延长BC到点E，使CE=3cm，连接DE.若动点P从A点出发，以每秒2cm的速度沿线段AD运动；动点Q从E点出发以每秒3cm的速度沿EB向B点运动，当点P、Q有一个到位置时，动点P、Q同时停止运动，设点P、Q同时出发，并运动了t秒，回答下列问题：
（1）求DE的长
（2）当t为多少时，四边形PQED成为平行四边形；
（3）请直接写出使得△DQE是等腰三角形时t的值
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=4，AB∥CD，
∴∠B=∠DCE=90°，
∴Rt△DCE中，DC=4，CE=3，
∴根据勾股定理得DE=5cm，
（2）解：当t=时，四边形PQED成为平行四边形；
根据题意，AP=2t，PD=9-2t，EQ=3t，
∵四边形PQED是平行四边形，
∴PD=QE，
∴9-2t=3t ，
∴t=.
（3）可以使得△DQE是等腰三角形，此时t的值为或2或.
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：根据题意得，EQ=3t，
由（1）知，DE=5，
∵△DQE是等腰三角形，
∴①当DQ=DE时，
∵∠DCE=90°，
∴CQ=CE，∴EQ=2CE=6，
∴3t=6，
∴t=2；
②当DQ=EQ时，如图，
则DQ=3t，CQ=EQ-CE=3t-3，
在Rt△DCE中，根据勾股定理得，CD2+CQ2=DQ2，
∴42+（3t-3）2=（3t）2，
∴；
③当DE=EQ时，
∴3t=5，
∴t=；
综上所述：△DQE是等腰三角形时，t的值为2秒或秒或秒．
【分析】（1）先求出CD=4，再利用勾股定理即可求出DE；
（2）先判断出PD=EQ，进而建立方程求解即可得出结论；
（3）分三种情况，利用等腰三角形的性质或勾股定理，建立方程求解即可得出结论．
17．（2023八下·盐湖期末）【综合探究】已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中边在轴上且，边在轴上且，平分交于点．
（1）请直接写出、两点的坐标： ， ．
（2）如图1，求点的坐标．
（3）过点作交于点．如图2，求面积．
（4）在平面内是否存在一点，使得、、、四点组成的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）解：如图，过作，垂足为，则，
，，，
，
平分，
，
由题可知，，
，
，，
设，则，，，
，
，
解得，
；
（3）解：平分，
，
，
，
，
，
设，则，
，，，
，
解得，
（4）解：存在，，，
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：（1）∵， OB=3，
∴A（4，0），B（0，3），
故答案为：A（4，0），B（0，3）；
（4）存在，或或
理由如下：
、、、四点组成的四边形是平行四边形，如图，当点在第一象限时，
，且，
；
、、、四点组成的四边形是平行四边形，如图，当点在第四象限，
为平行四边形，
轴，，
位于第四象限，
；
、、、四点组成的四边形是平行四边形，如图，当点在第二象限时，过点作轴，
轴，
，，
，
，
，
是平行四边形，
，
，
，，
，
位于第二象限，
，
综上所述：在平面内存在一点，使得、、、四点组成的四边形是平行四边形，点Q的坐标为，， .
【分析】（1）根据， OB=3，求点A和点B的坐标即可；
（2）利用勾股定理求出AB=5，再利用全等三角形的判定与性质和勾股定理等计算求解即可；
（3）根据角平分线求出 ， 再利用勾股定理求出x的值，最后利用三角形的面积公式计算求解即可；
（4）分类讨论，结合图形，利用平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质等求点的坐标即可。
1 / 12023-2024学年人教版初中数学八年级下册 18.1.1 平行四边形的性质同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023八下·秦都期末）在中，若的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023八下·信阳期中）如图，在中，，，点D在边上，以，为边作平行四边形，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023九上·开福开学考）如图，四边形为平行四边形，A，C两点的坐标分别是，，则平行四边形的周长等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2023九上·宝安开学考）如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC＝60°，AD＝2AB，连接OE，下列结论：①∠CAD＝30°；②OD＝AB；③S平行四边形ABCD＝AC CD；④S四边形OECD＝S△AOD：⑤OE＝AD．其中成立的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2023八下·顺德期末）如图，在中，，，，则与间的距离为（ ）
A．5 B．10 C． D．26
6．（2023·上海）已知在梯形中，连接，且，设．下列两个说法：
①；②
则下列说法正确的是（ ）
A．①正确②错误 B．①错误②正确
C．①②均正确 D．①②均错误
7．（2023七下·遵义期末）如图，在平行四边形中，，于E，于F，交于H，、的延长线交于E，给出下列结论：
①； ②；
③； ④若点F是的中点，则；
其中正确的结论有（ ）．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8．（2023·太原模拟）如图，在中，，，，点为边上一点，点在的延长线上，．若四边形是平行四边形，连接，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．24 B．12 C．8 D．6
二、填空题
9．（2023九上·白银期中） 在中，分别为边上的点，若四边形为正方形，则的长为 ．
10．（2023八下·黄岛期末）如图，在中，，点在上，．如果，那么 °．
11．（2023九上·宝安开学考）如图，在平行四边形中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，射线交的延长线于点，则的长是 ．
12．如图，AC为平行四边形ABCD的对角线，AC⊥BC，点E在AB上，连结CE，分别延长CE，DA交于点F.若CE=EF=4，则CD的长为 .
13．（2023九上·中牟开学考）如图，等边三角形的边长为，动点从点出发，沿的方向以的速度运动，动点从点出发，沿的方向以的速度运动，且动点，同时出发，其中一点到达终点时，另一点随之停止运动那么运动到第 秒时，点，，以及的边上一点恰能构成一个平行四边形．
三、解答题
14．（2023七下·仓山期末）在平面直角坐标系中，，，，且，满足．
（1）求点的坐标；（用含的式子表示）
（2）过点作交轴于点，当时，
①求的面积；
②若点在直线上，且点的横坐标为5，求点的纵坐标．
15．如图所示，在形状为平行四边形的一块地ABCD中，有一条小折路EFG．现在想把它改为经过点G的直路，要求小路两侧土地的面积都不变，请在图中画出改动后的小路．
四、综合题
16．（2023九上·渠县开学考）如图，在平行四边形ABCD中，∠B=90°，且AD=9cm，AB=4cm，延长BC到点E，使CE=3cm，连接DE.若动点P从A点出发，以每秒2cm的速度沿线段AD运动；动点Q从E点出发以每秒3cm的速度沿EB向B点运动，当点P、Q有一个到位置时，动点P、Q同时停止运动，设点P、Q同时出发，并运动了t秒，回答下列问题：
（1）求DE的长
（2）当t为多少时，四边形PQED成为平行四边形；
（3）请直接写出使得△DQE是等腰三角形时t的值
17．（2023八下·盐湖期末）【综合探究】已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中边在轴上且，边在轴上且，平分交于点．
（1）请直接写出、两点的坐标： ， ．
（2）如图1，求点的坐标．
（3）过点作交于点．如图2，求面积．
（4）在平面内是否存在一点，使得、、、四点组成的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴.
故答案为：D.
【分析】根据平行线的性质和已知条件判断，即可求出度数，从而求出度数.
2．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：在中，，，
，
四边形是平行四边形，
.
故答案为：D.
【分析】根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠C=70°，根据平行四边形的对角相等可得∠E=∠C，据此解答.
3．【答案】D
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ A，C两点的坐标分别是，，
∴，OA=3，
∵四边形为平行四边形，
∴，BC=OA=3，
∴平行四边形的周长为：，
故答案为：D.
【分析】根据点A和点C的坐标求出，OA=3，再根据平行四边形的性质求出，BC=OA=3，最后利用平行四边形的周长计算求解即可。
4．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=60°，
∴AD∥BC，∠ABC=∠ADC=60°，OB=OD，AO=CO，
∴∠DAE=∠AEB，∠BAD=∠BCD=120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=∠AEB，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠BAE=∠AEB=60°，AB=BE=AE，
∵AD=2AB=BC，
∴EC=AE=BE，
∴∠CAE=∠ACE=30°，
∴∠DAC=30°，此结论符合题意；
②∵∠BAD=120°，∠DAC=30°，
∴∠BAC=90°，
∴BO＞AB，
∴OD＞AB，此结论不符合题意；
③∵S四边形ABCD=AB·AC=AC·CD，
∴此结论符合题意；
④∵∠BAC=90°，BC=2AB，
∴E是BC的中点，
∴S△BEO：S△BCD=1：4，
∴S四边形OECD：S△BCD=3：4，
∴S四边形OECD：S平行四边形ABCD=3：8，
∵S△AOD：S平行四边形ABCD=1：4，
∴S四边形OECD=S△AOD，此结论符合题意；
⑤∵AO=OC，BE=EC，
∴AB=2OE，
∵AD=2AB，
∴OE=AD，此结论符合题意.
故答案为：D.
【分析】①由已知条件易证△ABE是等边三角形并结合AD=BC=2AB可求解；
②由角的构成易证∠BAC=90°，由三角形中的边角关系可判断求解；
③由平行四边形的面积公式计算可判断求解；
④根据三角形中线的性质并结合三角形的面积和四边形的面积可求解；
⑤由三角形的中位线定理易得AB=2OE求解.
5．【答案】B
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD，AC=26，
∴AO=AC=13，BD=2OD，
在Rt△AOD中
，
∴BD=2×5=10，
∴AD与BC之间的距离为10.
故答案为：B.
【分析】利用平行四边形的性质可求出AO的长，同时可证得BD=2OD，利用勾股定理求出DO的长，可得到BD的长，即可求出AD与BC之间的距离.
6．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：过点B作BE//CA，交BC延长线于点E，如下图所示：
若AD=BC，AB//CD，则四边形ACEB是平行四边形，
∴CE=AB，AC=BE，
∴AB//DC，
∴∠DAB=CBA，
∵AB=AB，
∴△DAB≌△CBA (SAS)，
∴AC=BD，
∴BD=BE，
∵AC⊥BD，
∴BE⊥BD，
∵在Rt△BDE 中，BD=BE，AB=a，CD=b，
∴DE=DC+CE=b+a，
∴DE=DC+CE=b+a，
∴AC=BE=，
∴说法①正确；
过点B作BF⊥DE于F，如下图所示：
∵在Rt△BFC中，BD=BE，AB=a，CD=b，DE=b+a，
∴BF=FE=DE=(a+b)，FC=FE-CB=(a+b)-a=(b-a)，
∴，
∴说法②正确；
但已知中，梯形ABCD是否为等腰梯形，并未确定；梯形ABCD是AB//CD还是AD//BC，并未确定，
∴无法保证①②正确，
故答案为：D.
【分析】根据全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质证明求解即可。
7．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵AG⊥BC，
∴∠AGC =90°
又∵∠ACB =45°
∴△ AGC 是等腰直角三角形
∴AG = CG
∴AC=
=
故①正确；
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD // BC ， AB // CD
∵ AG⊥BC， CF⊥AB
∴AG⊥AD ， CF⊥CD
∴ ∠DAH =∠DCH =90°
∴∠D+∠ AHC =360°-90°-90°=180°
∵∠ CHG+∠ AHC=180°
∴∠D=∠ CHG
故②正确；
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠B=∠ D
∴∠ CHG=∠B
∵ AG⊥BC
∴∠AGB=∠AGC=90°
又∵AG = CG
∴△CHG≌△ABG
∴CH=AB
∴CH=CD
故③正确；
连接 BH ，如图：
∵△CHG≌△ABG
∴HG=BG
∴△ BGH 是等腰直角三角形
∴BH=BG
∵点F是AB的中点，CF⊥AB
∴AH=BH=BG
∵BG=HG=AG-AH
∴BG=CG-BG
∴BG=
故④正确；
综上所述：正确的结论有4个，
故答案为：A.
【分析】①根据题意可证△ AGC 是等腰直角三角形，则 AG = CG ，再由勾股定理即可得出结论；
②由平行四边形的性质得AD // BC ， AB // CD ，再根据AG⊥BC， CF⊥AB，∠DAH =∠DCH =90°，再证∠D +∠AHC =180°，进而得出结论；
③证△CHG≌△ABG ( AAS )，得 CH = AB ，即可得出结论；
④连接 BH ，证△ BGH 是等腰直角三角形，得 BH =BG，再证 AH = BH =BG，即可得出结论。
8．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】设三角形ABC底边BC上的高是h
∵BC=2CF
∴
又DCFE是平行四边形
∴
观察图中阴影，是以DE为共同底、两个高的和是h的两个三角形
∴
故选：B
【分析】阅读已知条件时，看到给了AB值和60°特殊角，就想到60度角所对直角边和邻边长可求；看到BC=2CF，且DCFE是平行四边形，就可以想到DE可求；观察图中阴影，发现是以DE为共同底、两个高的和是通过60°角的三角函数可求的两个三角形，至此边读题边思考，找到解决办法。
9．【答案】或
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：设AE的长为x，
由题意可得：BE=14-x
在△ABE中，有：
解得：x=6或8
故答案为：6或8
【分析】设AE的长为x，则BE=14-x，再根据勾股定理即可求出答案.
10．【答案】30
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，且∠A=70°
∴∠DCB=∠A=70°
∠ADC=180°-∠A
=110°
∵AB=BD
∴∠ADB=∠A=70°
∴∠CDE=40°
∵DE=CE
∴∠DCE=∠CDE=40°
∴∠ECB=∠DCB-∠DCE
=30°
故答案为：30.
【分析】根据平行四边形的性质求出∠ADC、∠DCB的度数，再根据等边对等角即可求解。
11．【答案】1
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：根据尺规作图，得到EC是∠BCD的平分线，
所以∠ECD=∠ECB，
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AB∥CD，
所以∠BEC=∠ECD，
所以∠BEC=∠ECB，
所以BE=BC=5，又因为
所以AE= BE-AB=5-4=1.
故答案为：1.
【分析】根据尺规作图，得到EC是∠BCD的平分线，由得AB∥CD，从而推出∠BEC=∠ECD=∠ECB，进而得到BE=BC，利用线段差计算即可．
12．【答案】8
【知识点】平行线的性质；线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD为平行四边形，
∴ AD∥BC，
∴ ∠FAE=∠ CBE，
∵ ∠FEA=∠CEB，FE=CE，
∴ △AEF≌ △BEC（AAS），
∴ AF=BC，
∵ AD=BC，
∴ AD=AF，
∵ AD∥BC，AC⊥BC，
∴ AC⊥DF，
∴ AC垂直平分DF，
∴ CD=CF=CE+EF=8.
【分析】根据平行四边形的性质得AD∥BC推出 ∠FAE=∠ CBE，依据AAS判定△AEF≌ △BEC推出 AF=BC，再根据平行四边形的性质和平行线的性质可推出得AC垂直平分DF，再根据垂直平分线的性质即可求得.
13．【答案】2或6
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：设运动时间为t秒，
①当0＜t＜时，点M、N、D的位置如图所示：
由题意得BM=3t，CN=2t，
∵△ABC是边长为10的等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，AB=AC=10，
∵四边形AMDN是平行四边形，
∴DM=AN，DM∥AN，DN∥AB，
∴∠MDB=∠C=60°，∠NDC=∠B=60°，
∴∠NDC=∠C，∠B=∠BDM，
∴ND=NC=2t，BM=DM=3t，
∵DM+DN=AN+NC=AC=10，
∴3t+2t=10，
解得t=2；
②当≤t≤5时，点A、M、N三点在同一直线上，不能构成平行四边形；
③当5＜t＜时，点M、N、D的位置如图，
由题意得：AM=3t-10，AN=2t-10，
∵△ABC是边长为10的等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，AB=AC=10，
∵四边形AMDN是平行四边形，
∴DM=AN，DM∥AN，DN∥AB，
∴∠MDC=∠B=60°，∠NDB=∠C=60°，
∴∠NDB=∠B，∠C=∠CDM，
∴ND=BN=3t-10，AN=DM=2t-10，
∵DM+DN=AN+BN=AB=10，
∴3t-10+2t-10=10，
解得t=6；
④当≤t≤10，点M、N、D的位置如图，
由题意得：BN=20-2t，BM=30-3t，
∵△ABC是边长为10的等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵四边形AMDN是平行四边形，
∴MN∥AC，
∴∠NMB=∠C=60°，
∴∠NMB=∠B=60°，
∴△BMN是等边三角形，
∴BM=BN，即20-2t=30-3t，
解得t=10，
此时M与N重合，不能构成平行四边形，
综上所述，t的值为2或6.
故答案为：2或6.
【分析】分四种情况：①当0＜t＜时；②当≤t≤5时，点A、M、N三点在同一直线上，不能构成平行四边形；③当5＜t＜时，点M、N、D的位置如图；④当≤t≤10，分别画出图形，从而根据等边三角形的性质及平行四边形的性质列出方程，求解即可.
14．【答案】（1）解：由①+②，得：，
∴，
由① ②，得，
∴，
∴；
（2）解：①如图，连接AP，
，
，
，
，
设，
根据图象，得点在轴正半轴
，
，
，
，
，
，
②设D的纵坐标为yD，如图，连接OD，
根据图象，得点在第一象限
，
即点D的纵坐标为．
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用加减消元法解关于未知数m、n的方程组，即可用含a的式子表示出m、n，从而即可得出点P的坐标；
（2）①由a的值易得点P（0，-3），设C（xC，0），由平行线间的距离相等及同底等高三角形面积相等得S△PAC=S△PBC，据此结合三角形面积计算公式建立方程可求出xC的值，从而得到点C的坐标，从而就不难求出△PBC的面积了；
②设D的纵坐标为yD，如图，连接OD，根据S△OCD+S△OCP=S△OPD，并结合三角形面积计算公式建立方程可求出yD的值.
15．【答案】证明：设GN交FE于点I．
∵EG∥FN，∴△GNF的面积等于△EFN的面积，（同底等高）．
把两个三角形面积都减去△FIN面积，所以△EIN面积等于△GIF面积，即小路两侧土地面积都不变．
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积
【解析】【分析】根据两平行线间的距离相等得出
△GNF的面积等于△EFN的面积 ，
把两个三角形面积都减去△FIN面积，所以△EIN面积等于△GIF面积，即小路两侧土地面积都不变．
16．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=4，AB∥CD，
∴∠B=∠DCE=90°，
∴Rt△DCE中，DC=4，CE=3，
∴根据勾股定理得DE=5cm，
（2）解：当t=时，四边形PQED成为平行四边形；
根据题意，AP=2t，PD=9-2t，EQ=3t，
∵四边形PQED是平行四边形，
∴PD=QE，
∴9-2t=3t ，
∴t=.
（3）可以使得△DQE是等腰三角形，此时t的值为或2或.
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：根据题意得，EQ=3t，
由（1）知，DE=5，
∵△DQE是等腰三角形，
∴①当DQ=DE时，
∵∠DCE=90°，
∴CQ=CE，∴EQ=2CE=6，
∴3t=6，
∴t=2；
②当DQ=EQ时，如图，
则DQ=3t，CQ=EQ-CE=3t-3，
在Rt△DCE中，根据勾股定理得，CD2+CQ2=DQ2，
∴42+（3t-3）2=（3t）2，
∴；
③当DE=EQ时，
∴3t=5，
∴t=；
综上所述：△DQE是等腰三角形时，t的值为2秒或秒或秒．
【分析】（1）先求出CD=4，再利用勾股定理即可求出DE；
（2）先判断出PD=EQ，进而建立方程求解即可得出结论；
（3）分三种情况，利用等腰三角形的性质或勾股定理，建立方程求解即可得出结论．
17．【答案】（1）；
（2）解：如图，过作，垂足为，则，
，，，
，
平分，
，
由题可知，，
，
，，
设，则，，，
，
，
解得，
；
（3）解：平分，
，
，
，
，
，
设，则，
，，，
，
解得，
（4）解：存在，，，
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：（1）∵， OB=3，
∴A（4，0），B（0，3），
故答案为：A（4，0），B（0，3）；
（4）存在，或或
理由如下：
、、、四点组成的四边形是平行四边形，如图，当点在第一象限时，
，且，
；
、、、四点组成的四边形是平行四边形，如图，当点在第四象限，
为平行四边形，
轴，，
位于第四象限，
；
、、、四点组成的四边形是平行四边形，如图，当点在第二象限时，过点作轴，
轴，
，，
，
，
，
是平行四边形，
，
，
，，
，
位于第二象限，
，
综上所述：在平面内存在一点，使得、、、四点组成的四边形是平行四边形，点Q的坐标为，， .
【分析】（1）根据， OB=3，求点A和点B的坐标即可；
（2）利用勾股定理求出AB=5，再利用全等三角形的判定与性质和勾股定理等计算求解即可；
（3）根据角平分线求出 ， 再利用勾股定理求出x的值，最后利用三角形的面积公式计算求解即可；
（4）分类讨论，结合图形，利用平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质等求点的坐标即可。
1 / 1
