2023-2024学年人教版初中数学八年级下册 18.1.2 平行四边形的判定同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023八下·番禺期中）如图，四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：
A、由“AB∥DC，AD∥BC"可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、由“AB∥DC，AD=BC"可知，四边形ABCD的一组对边相等，另一组对边平行，所以四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，所以不能判定该四边形是平行四边形，故选项B符合题意；
C、由“AO=CO，BO=DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、由“AB=DC，AD=BC”可知四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形，故选项B不符合题意，
故答案为：B.
【分析】本题考查平行四边的判定定理，根据判定定理逐项判断即可.
2．（2023·碧江模拟） 已知，中，，，平分，，垂足为，为中点，连结，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，延长与相交于点，过点作于，
，
，
平分，
，
，
，
，
为. 中点，
是的中位线，
，
. ，
由勾股定理得：，
，
，
. ，
由勾股定理得：，
，
由勾股定理得：，
，即. ，
．
故选：．
【分析】如图，延长与相交于点，过点作于，证明BD=DF，用三角形的中位线定理可得CF=2，确定AC的长，并计算BC的长，等面积法可得BM和BF的长，进而即可求解．
3．（2023九上·西安开学考）如图，中，，，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如下图延长BD交AC于F，∵，∴在和中：，∴，则，，又，由中位线定理得：，故.
故答案为：A.
【分析】先根据考虑延长BD交AC于F，可以构造两个直角三角形，然后可以证得：，从而可以得到：
，，然后利用中位线定理得到：，继而可以得到：.
4．（2023·桑植模拟） 如图，是的直径，垂直弦于点，的延长线交于点若，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：由题意可得：
D为AC中点，O为AB中点
∴OD为的中位线
设OD=x，则BC=2x
在中，
即，解得：x=1
∴BC=2x=2
故答案为：C
【分析】根据中位线的判定定理及性质，勾股定理列出方程，解方程即可求出答案。
5．（2022·黑龙江模拟）如图，在中，是中线，是角平分线，交延长线于点，，，则的长为（ ）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理
【解析】【解答】如图，延长AF与CB且交于点G．
由题意可知．
∵CD是角平分线，
∴，
∴在和中，，
∴，
∴，．
∴点F为AG中点．
∵CE是中线，
∴点E为AB中点，
∴线段EF为中位线，
∴．
∵，
∴．
故答案为：A．
【分析】延长AF与CB且交于点G，先利用“SAS”证明，可得，，求出，再利用三角形的中位线的性质可得。
6．（2023九上·武侯开学考）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AD，CD的中点，连接OE、OF，若 OE＝2，OF=3，则 ABCD 的周长为（ ）
A．10 B．14 C．16 D．20
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，AB//CD，AD//BC，
∴点O是AC和BD的中点，
∵点E、F分别是AB和AD的中点，
∴OE和OF分别是△ABD和△BCD的中位线，
∴AB=2OE=2×2=4，BC=2OF=2×3=6，
∴C ABCD=2×（AB+BC）=2×（4+6）=20，
故答案为：D.
【分析】先利用三角形的中位线求出AB=2OE=2×2=4，BC=2OF=2×3=6，再利用平行四边形的周长公式求解即可.
7．已知点Р是等边△ABC的边BC上的一点，若∠APC=104°，则在以线段AP，BP，CP为边的三角形中，最小内角的大小为（ ）
A．14° B．16° C．24° D．26°
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过点P作PD∥AB交AC于点D，过点P作PE∥AC交AB于点E，
∵PE∥AC，PD∥AB，
∴四边形AEPD是平行四边形，
∴PD=AE，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=∠BAC=∠60°，
∵PE∥AC，
∴∠BPE=∠C=60°，
∴△BPE是等边三角形，
∴BP=PE，
∵PD∥AB，
∴∠DPC=∠B=60°，
∴△PDC是等边三角形，
∴PD=PC=AE，
∴△AEP就是 以线段AP，BP，CP为边的三角形 ，
∵∠APC=104°，
∴∠PAC=180°-∠C-∠APC=16°，
∴∠BAP=60°-∠PAC=44°，
∵PE∥AC，
∴∠APE=16°，
∴∠AEP=180°-∠APE-∠BAP=120°，
∴△APE三个内角的度数分别为44°，16°，120°，
故最小内角的度数为16°.
故答案为：B.
【分析】过点P作PD∥AB交AC于点D，过点P作PE∥AC交AB于点E，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得四边形AEPD是平行四边形，由平行四边形的对边相等得PD=AE，根据等边三角形的性质得∠B=∠C=∠BAC=∠60°，由二直线平行，同位角相等得∠BPE=∠C=60°，从而由有两个角是60°的三角形是等边三角形得△BPE是等边三角形，则BP=PE，同理PD=PC=AE，AEP就是 以线段AP，BP，CP为边的三角形 ，进而根据三角形的定理及平行线的性质分别算出△APE三个内角的度数即可判断得出答案.
8．（2023八下·保定期末）如图，在中，，D、E分别为、的中点，平分，交于点F，若，，则的长为（ ）
A．2 B．1 C．4 D．
【答案】A
【知识点】平行线的判定与性质；勾股定理的应用；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=
=
=10
∵D、E分别为CA、CB的中点
∴DE是△ABC的中位线
∴DE=AB=5，DE//AB
∴∠AFD=∠BAF
∵AF平分∠BAC
∴∠DAF=∠BAF
∴∠DAF=∠AFD
∴DF=AD=AC=×6=3
∴EF=DE-DF=5-3=2
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理求出AB的长，再根据三角形中位线定理求出DE的长和DE∥AB，然后根据平行线的性质并结合角平分线的定义看得到∠DAF=∠DFA，进而得到DF=AD，即可求出EF的长。
二、填空题
9．（2023九上·呼兰月考）如图，在正方形中，点E，F分别是上的点，相交于点L，，G为上一点，H为的中点．若，，连接，则线段的长度为 ．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
由题意得：，
∵，，
∴
∴
∵，
∴，
∵，
∴
∴
∵H为的中点，
∴为的中位线，
∴
∵，，
∴.
∴.
∴.
故答案为：.
【分析】先连接，证出，再根据三角形全等的性质得到，证出得到，再根据三角形中位线的性质和勾股定理求解即可.
10．（2023九上·长沙月考）如图，在中，，分别是，的中点，若，则边的长是 cm．
【答案】4
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】E，F分别是AB，AC的中点，
EF是△ABC的中位线，
BC=2EF=22=4cm，
【分析】根据E，F是AB，AC的中点，可判断EF是△ABC的中位线，利用三角形的中位线性质即可求解.
11．（2023九上·朝阳月考）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN、MN'的中点，则DE的最小值是
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理的应用；三角形的中位线定理
【解析】【解答】
连接CM，
∵点D、E分别为CN、MN'的中点 ，∴DE是△CMN的中位线，∴DE＝
∵当CM⊥AB时，CM最小，∴此时DE的值最小。
由勾股定理可得AB＝
当CM⊥AB时，
又∵
∴
∴CM＝
∴DE＝
故答案为：
【分析】连接CM，DE是△CMN的中位线，等于CM的一半，当CM最小时DE最小，而CM垂直于AB时，CM最小。根据三角形面积求出此时的CM即可得DE的最小值。
12．（2023九上·合肥开学考）在某张三角形纸片上，取其一边的中点，沿着过这点的两条中位线分别剪去两个三角形，剩下的部分就是如图所示的四边形；经测量这个四边形的相邻两边长为10cm、6cm，一条对角线的长为8cm；则原三角形纸片的周长是 .
【答案】48或
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：①如图所示：
∴周长=2×（10+8+6）=48cm；
②如图所示：
∵BD=6，BC=8，CD=10，
∴BD2+BC2=CD2，
∴△BCD是直角三角形，
∴AC=12，
∴，
∴周长=2×（10++6）=32+cm，
综上，原三角形的周长为：48或.
故答案为： 48或 .
【分析】分类讨论，再分别画出图象并利用三角形的周长公式求解即可.
13．（2023·广州）如图，在中，，，，点是边上一动点，点，分别是，的中点，当时，的长是 若点在边上，且，点，分别是，的中点，当时，四边形面积的取值范围是 ．
【答案】；
【知识点】平行线之间的距离；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点D、E分别是AB、MB的中点，
∴DE是△ABM的中位线，
∴DE=AM=1.2；
如图，
设AM=x，
∵点D、E分别是AB、MB的中点，
∴DE=AM=x，DE∥AM，
同理FG=AM=x，DF∥AM，
∴DE=GF，DE∥GF，
∴四边形DEFG是平行四边形，
由三角形中位线定理及平行线间的距离易得GF到AC的距离为x，
在Rt△ABC中，由勾股定理得BC=8，
∴DE边上的高为（4-x），
∴四边形DEFG的面积为S=x（4-x）=2x-x2=-（x-4）2+4，
∵2.4＜x≤6，
∴3＜x≤4.
故答案为：1.2；3＜x≤4.
【分析】根据三角形中位线定理DE=AM=1.2；设AM=x，由三角形中位线定理易得DE=AM=x，DE∥AM，同理FG=AM=x，DF∥AM，则DE=GF，DE∥GF，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形DEFG是平行四边形，由三角形中位线定理及平行线间的距离易得GF到AC的距离为x，在Rt△ABC中，由勾股定理算出BC=8，则DE边上的高为（4-x），进而根据平行四边形的面积计算公式建立出S关于x的函数解析式，根据二次函数的性质及x的取值范围即可求出S的取值范围.
14．（2023八下·乌鲁木齐期末）在正方形中，，点在边上，沿直线翻折后点落到正方形的内部点，连接、、，如图，如果，那么 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；勾股定理的应用；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接EF，过点A作AH⊥DF于点F，交CD于点G，连接FG，如图，
∵翻折
∴AB=AF，BE=EF，AE垂直平分BF，∠AFE=∠ABE=90°
∵∠BFC=90°，
∴CF∥EM，
∴EM是△BCF的中位线，
∴CE=BE=EF=2.5，
∵AD=AF，AH⊥DF，
∴AG垂直平分DF，
∴DG=FG，∠AFG=∠ADG=90°，DH=，
∴∠AFE+∠AFG=180°，即点E、F、G在同一直线上，
在Rt△CGE中，CE=EF=2.5，设GF=DG=x，CG=5-x，
∴（2.5+x）2=（5-x）2+2.52，
解得：x=，即DG=，
在Rt△ADG中，AD=5，DG=，
∴AG=，
∴S△ADG=AD×DG×=AG×DH×，
∴，即DH=，
∴DF=2DH=.
故答案为：.
【分析】根据翻折得到AF=AB，EF=BE=CE，作AH⊥DF可得△AFG和△ADG关于AG对称，在Rt△CEG中利用勾股定理可得DG长，在Rt△ADG中利用勾股定理可得AG长，利用△ADG的面积可得DH长，从而求得DF长.
三、解答题
15．凸四边形ABCD满足∠CBD=2∠ADB，∠ABD=2∠CDB，AB=CB．求证AD=CD．
【答案】证明：如图，延长DB至点P，使BP=AB，连接AP， CP，则∠CPD =∠CBD=∠ADB，
∠APD=∠ABD=∠CDB，
∴四边形APCD为平行四边形，
∴PD平分AC．
∵AB=BC，
∴BD是∠ABC的平分线，
∴∠ADB=∠CBD=∠ABD=∠CDB，
∴DB是∠ADC的平分线．
又∵BD=BD，
∴△ADB≌△CDB，
∴AD=CD．
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】要证 AD=CD ，可证△ADB≌△CDB，题目已知 AB=CB ，又因为公共边BD=BD ，还需证得全等条件∠ABD=∠CBD.通过延长DB至点P，使BP=AB，可得∠CPD =12∠CBD=∠ADB，∠APD=12∠ABD=∠CDB，所以AP//CD，AD//PC，四边形APCD为平行四边形，那么PD平分AC，根据”三线合一“可知，BD也是等腰△ABC顶角平分线，所以∠ABD=∠CBD，于是可证△ADB≌△CDB，故得证 AD=CD.
16．已知E在△ABC内部（如图1），等边三角形ABC的边长为6，等边三角形BDE的边长为4，连结AE和DC.
（1）求证：AE=DC.
（2）当AE⊥BD时，求CD的长.
（3）将△BDE绕点B旋转一周，F为DC的中点（如图2），求旋转过程中EF的取值范围.
【答案】（1）证明：如图1中，
∵△ABC，△BDE 都是等边三角形，
∴ BA=BC，BE=BD，∠ABC=∠EBD=60°，
∴ ∠ABE=∠CBD，
∴ △ABE≌△CBD (SAS)，
∴AE=CD；
（2）解：延长AE交BD于点J.
∵EJ⊥BD，EB=ED，
∴ BJ= JD=2，
∴，
由（1）可知CD=AE，
.
（3）解：延长DE到P，使得EP=DE=4，连接BP、CP，
∵PE=DE，DF=CF，
∴EF是△CDP的中位线，
∴EF=PC，
∵BE=DE=PE，
∴∠EPB=∠EBP，∠EBD=∠EDB，
∴∠PBD=∠PBE+∠DBE=90°，
∴，
∵BC=6，
∴
∴.
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质得BA=BC，BE=BD，∠ABC=∠EBD=60°，推出∠ABE= ∠CBD，从而可用SAS判断出△ABE≌△CBD，根据全等三角形的对应边相等得AE=CD；
（2）延长AE交BD于点J，由等边三角形的三线合一得BJ= JD=2，从而用勾股定理算出EJ及AJ，结合（1）的结论，根据AE=AJ-EJ即可算出答案；
（3）延长DE到P，使得EP=DE=4，连接BP、CP，利用三角形中位线定理得EF=PC，进而根据等边对等角及三角形内角和定理可推出∠PBD=90°，由勾股定理算出BP的长，然后根据三角形三边关系可判断出PC得取值范围，从而即可得出EF的取值范围.
四、综合题
17．（2023八下·揭东期末）如图，是的中线，是线段上一点（不与点重合）．交于点，，连接．
（1）如图1，当点与重合时，证明；
（2）如图1，当点与重合时，求证：四边形是平行四边形；
（3）如图2，当点不与重合时，（2）中的结论还成立吗？请说明理由．
【答案】（1）解：，
，
，
，
是的中线，且与重合，
，
；
（2）由（1）知，
，
，
∴四边形是平行四边形；
（3）结论成立，
理由如下：如图2，过点作交于，
，
四边形是平行四边形，
，且，
由（1）知，，，
，，
四边形是平行四边形
【知识点】平行线的性质；三角形的角平分线、中线和高；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）由平行线的性质可得，，再由三角形的中线的定义可得BD=CD，根据ASA证明；
（2）由（1）知，可得AB=ED，结合AB∥ED，根据平行四边形的判定定理即证；
（3）过点作交于，由CE∥AM可证四边形是平行四边形，可得ED=GM，ED∥GM，由（1）知，，，可得AB∥DE，，根据平行四边形的判定定理即证.
18．（2023八下·榕城期末）在□ABCD中，点O是对角线BD的中点，点E在边BC上，EO的延长线与边AD交于点F，连接BF、DE如图1．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若DE＝DC，∠CBD＝45°，过点C作DE的垂线，与DE、BD、BF分别交于点G、H、P如图2．
①当CD＝6．CE＝4时，求BE的长；
②求证：CD＝CH．
【答案】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点，
∴，BO＝DO，
∴∠ADB＝∠CBD，
在△BOE与△DOF中，，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴DF＝BE，
又∵，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：①如图，过点D作DN⊥EC于点N，
∵DE＝DC＝6，DN⊥EC，CE＝4，
∴EN＝CN＝2，
∴DN＝＝＝4，
∵∠DBC＝45°，DN⊥BC，
∴∠DBC＝∠BDN＝45°，
∴DN＝BN＝4，
∴BE＝BN-EN＝4；
②∵DN⊥EC，CG⊥DE，
∴∠CEG+∠ECG＝90°，∠DEN+∠EDN＝90°，
∴∠EDN＝∠ECG，
∵DE＝DC，DN⊥EC，
∴∠EDN＝∠CDN，
∴∠ECG＝∠CDN，即∠BCH＝∠CDN，
∵∠DHC＝∠DBC+∠BCH＝45°+∠BCH，∠CDB＝∠BDN+∠CDN＝45°+∠CDN，
∴∠CDB＝∠DHC，
∴CD＝CH．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质得AD∥BC，由平行线的性质得∠ADB=∠CBD，通过“ASA”证明△BOE≌△DOF，得DF＝BE，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论；
（2）①过点D作DN⊥EC于点N，由等腰三角形的三线合一得EN=CN=2，根据勾股定理求得DN，由等腰直角三角形得BN=DN，进而根据线段和差即可求出答案；
②根据DN⊥EC，CG⊥DE，根据直角三角形的两锐角互余及同角的余角相等得∠EDN=∠ECG，由等腰三角形的三线合一得∠EDN＝∠CDN，则∠ECG＝∠CDN，即∠BCH＝∠CDN，进而根据三角形外角性质及角的和差可求出∠CDB=∠DHC，由等角对等边得出CD＝CH.
1 / 12023-2024学年人教版初中数学八年级下册 18.1.2 平行四边形的判定同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023八下·番禺期中）如图，四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．（2023·碧江模拟） 已知，中，，，平分，，垂足为，为中点，连结，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023九上·西安开学考）如图，中，，，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·桑植模拟） 如图，是的直径，垂直弦于点，的延长线交于点若，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·黑龙江模拟）如图，在中，是中线，是角平分线，交延长线于点，，，则的长为（ ）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
6．（2023九上·武侯开学考）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AD，CD的中点，连接OE、OF，若 OE＝2，OF=3，则 ABCD 的周长为（ ）
A．10 B．14 C．16 D．20
7．已知点Р是等边△ABC的边BC上的一点，若∠APC=104°，则在以线段AP，BP，CP为边的三角形中，最小内角的大小为（ ）
A．14° B．16° C．24° D．26°
8．（2023八下·保定期末）如图，在中，，D、E分别为、的中点，平分，交于点F，若，，则的长为（ ）
A．2 B．1 C．4 D．
二、填空题
9．（2023九上·呼兰月考）如图，在正方形中，点E，F分别是上的点，相交于点L，，G为上一点，H为的中点．若，，连接，则线段的长度为 ．
10．（2023九上·长沙月考）如图，在中，，分别是，的中点，若，则边的长是 cm．
11．（2023九上·朝阳月考）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN、MN'的中点，则DE的最小值是
12．（2023九上·合肥开学考）在某张三角形纸片上，取其一边的中点，沿着过这点的两条中位线分别剪去两个三角形，剩下的部分就是如图所示的四边形；经测量这个四边形的相邻两边长为10cm、6cm，一条对角线的长为8cm；则原三角形纸片的周长是 .
13．（2023·广州）如图，在中，，，，点是边上一动点，点，分别是，的中点，当时，的长是 若点在边上，且，点，分别是，的中点，当时，四边形面积的取值范围是 ．
14．（2023八下·乌鲁木齐期末）在正方形中，，点在边上，沿直线翻折后点落到正方形的内部点，连接、、，如图，如果，那么 ．
三、解答题
15．凸四边形ABCD满足∠CBD=2∠ADB，∠ABD=2∠CDB，AB=CB．求证AD=CD．
16．已知E在△ABC内部（如图1），等边三角形ABC的边长为6，等边三角形BDE的边长为4，连结AE和DC.
（1）求证：AE=DC.
（2）当AE⊥BD时，求CD的长.
（3）将△BDE绕点B旋转一周，F为DC的中点（如图2），求旋转过程中EF的取值范围.
四、综合题
17．（2023八下·揭东期末）如图，是的中线，是线段上一点（不与点重合）．交于点，，连接．
（1）如图1，当点与重合时，证明；
（2）如图1，当点与重合时，求证：四边形是平行四边形；
（3）如图2，当点不与重合时，（2）中的结论还成立吗？请说明理由．
18．（2023八下·榕城期末）在□ABCD中，点O是对角线BD的中点，点E在边BC上，EO的延长线与边AD交于点F，连接BF、DE如图1．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若DE＝DC，∠CBD＝45°，过点C作DE的垂线，与DE、BD、BF分别交于点G、H、P如图2．
①当CD＝6．CE＝4时，求BE的长；
②求证：CD＝CH．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：
A、由“AB∥DC，AD∥BC"可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、由“AB∥DC，AD=BC"可知，四边形ABCD的一组对边相等，另一组对边平行，所以四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，所以不能判定该四边形是平行四边形，故选项B符合题意；
C、由“AO=CO，BO=DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、由“AB=DC，AD=BC”可知四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形，故选项B不符合题意，
故答案为：B.
【分析】本题考查平行四边的判定定理，根据判定定理逐项判断即可.
2．【答案】D
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，延长与相交于点，过点作于，
，
，
平分，
，
，
，
，
为. 中点，
是的中位线，
，
. ，
由勾股定理得：，
，
，
. ，
由勾股定理得：，
，
由勾股定理得：，
，即. ，
．
故选：．
【分析】如图，延长与相交于点，过点作于，证明BD=DF，用三角形的中位线定理可得CF=2，确定AC的长，并计算BC的长，等面积法可得BM和BF的长，进而即可求解．
3．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如下图延长BD交AC于F，∵，∴在和中：，∴，则，，又，由中位线定理得：，故.
故答案为：A.
【分析】先根据考虑延长BD交AC于F，可以构造两个直角三角形，然后可以证得：，从而可以得到：
，，然后利用中位线定理得到：，继而可以得到：.
4．【答案】C
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：由题意可得：
D为AC中点，O为AB中点
∴OD为的中位线
设OD=x，则BC=2x
在中，
即，解得：x=1
∴BC=2x=2
故答案为：C
【分析】根据中位线的判定定理及性质，勾股定理列出方程，解方程即可求出答案。
5．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理
【解析】【解答】如图，延长AF与CB且交于点G．
由题意可知．
∵CD是角平分线，
∴，
∴在和中，，
∴，
∴，．
∴点F为AG中点．
∵CE是中线，
∴点E为AB中点，
∴线段EF为中位线，
∴．
∵，
∴．
故答案为：A．
【分析】延长AF与CB且交于点G，先利用“SAS”证明，可得，，求出，再利用三角形的中位线的性质可得。
6．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，AB//CD，AD//BC，
∴点O是AC和BD的中点，
∵点E、F分别是AB和AD的中点，
∴OE和OF分别是△ABD和△BCD的中位线，
∴AB=2OE=2×2=4，BC=2OF=2×3=6，
∴C ABCD=2×（AB+BC）=2×（4+6）=20，
故答案为：D.
【分析】先利用三角形的中位线求出AB=2OE=2×2=4，BC=2OF=2×3=6，再利用平行四边形的周长公式求解即可.
7．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过点P作PD∥AB交AC于点D，过点P作PE∥AC交AB于点E，
∵PE∥AC，PD∥AB，
∴四边形AEPD是平行四边形，
∴PD=AE，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=∠BAC=∠60°，
∵PE∥AC，
∴∠BPE=∠C=60°，
∴△BPE是等边三角形，
∴BP=PE，
∵PD∥AB，
∴∠DPC=∠B=60°，
∴△PDC是等边三角形，
∴PD=PC=AE，
∴△AEP就是 以线段AP，BP，CP为边的三角形 ，
∵∠APC=104°，
∴∠PAC=180°-∠C-∠APC=16°，
∴∠BAP=60°-∠PAC=44°，
∵PE∥AC，
∴∠APE=16°，
∴∠AEP=180°-∠APE-∠BAP=120°，
∴△APE三个内角的度数分别为44°，16°，120°，
故最小内角的度数为16°.
故答案为：B.
【分析】过点P作PD∥AB交AC于点D，过点P作PE∥AC交AB于点E，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得四边形AEPD是平行四边形，由平行四边形的对边相等得PD=AE，根据等边三角形的性质得∠B=∠C=∠BAC=∠60°，由二直线平行，同位角相等得∠BPE=∠C=60°，从而由有两个角是60°的三角形是等边三角形得△BPE是等边三角形，则BP=PE，同理PD=PC=AE，AEP就是 以线段AP，BP，CP为边的三角形 ，进而根据三角形的定理及平行线的性质分别算出△APE三个内角的度数即可判断得出答案.
8．【答案】A
【知识点】平行线的判定与性质；勾股定理的应用；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=
=
=10
∵D、E分别为CA、CB的中点
∴DE是△ABC的中位线
∴DE=AB=5，DE//AB
∴∠AFD=∠BAF
∵AF平分∠BAC
∴∠DAF=∠BAF
∴∠DAF=∠AFD
∴DF=AD=AC=×6=3
∴EF=DE-DF=5-3=2
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理求出AB的长，再根据三角形中位线定理求出DE的长和DE∥AB，然后根据平行线的性质并结合角平分线的定义看得到∠DAF=∠DFA，进而得到DF=AD，即可求出EF的长。
9．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
由题意得：，
∵，，
∴
∴
∵，
∴，
∵，
∴
∴
∵H为的中点，
∴为的中位线，
∴
∵，，
∴.
∴.
∴.
故答案为：.
【分析】先连接，证出，再根据三角形全等的性质得到，证出得到，再根据三角形中位线的性质和勾股定理求解即可.
10．【答案】4
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】E，F分别是AB，AC的中点，
EF是△ABC的中位线，
BC=2EF=22=4cm，
【分析】根据E，F是AB，AC的中点，可判断EF是△ABC的中位线，利用三角形的中位线性质即可求解.
11．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理的应用；三角形的中位线定理
【解析】【解答】
连接CM，
∵点D、E分别为CN、MN'的中点 ，∴DE是△CMN的中位线，∴DE＝
∵当CM⊥AB时，CM最小，∴此时DE的值最小。
由勾股定理可得AB＝
当CM⊥AB时，
又∵
∴
∴CM＝
∴DE＝
故答案为：
【分析】连接CM，DE是△CMN的中位线，等于CM的一半，当CM最小时DE最小，而CM垂直于AB时，CM最小。根据三角形面积求出此时的CM即可得DE的最小值。
12．【答案】48或
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：①如图所示：
∴周长=2×（10+8+6）=48cm；
②如图所示：
∵BD=6，BC=8，CD=10，
∴BD2+BC2=CD2，
∴△BCD是直角三角形，
∴AC=12，
∴，
∴周长=2×（10++6）=32+cm，
综上，原三角形的周长为：48或.
故答案为： 48或 .
【分析】分类讨论，再分别画出图象并利用三角形的周长公式求解即可.
13．【答案】；
【知识点】平行线之间的距离；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点D、E分别是AB、MB的中点，
∴DE是△ABM的中位线，
∴DE=AM=1.2；
如图，
设AM=x，
∵点D、E分别是AB、MB的中点，
∴DE=AM=x，DE∥AM，
同理FG=AM=x，DF∥AM，
∴DE=GF，DE∥GF，
∴四边形DEFG是平行四边形，
由三角形中位线定理及平行线间的距离易得GF到AC的距离为x，
在Rt△ABC中，由勾股定理得BC=8，
∴DE边上的高为（4-x），
∴四边形DEFG的面积为S=x（4-x）=2x-x2=-（x-4）2+4，
∵2.4＜x≤6，
∴3＜x≤4.
故答案为：1.2；3＜x≤4.
【分析】根据三角形中位线定理DE=AM=1.2；设AM=x，由三角形中位线定理易得DE=AM=x，DE∥AM，同理FG=AM=x，DF∥AM，则DE=GF，DE∥GF，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形DEFG是平行四边形，由三角形中位线定理及平行线间的距离易得GF到AC的距离为x，在Rt△ABC中，由勾股定理算出BC=8，则DE边上的高为（4-x），进而根据平行四边形的面积计算公式建立出S关于x的函数解析式，根据二次函数的性质及x的取值范围即可求出S的取值范围.
14．【答案】
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；勾股定理的应用；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接EF，过点A作AH⊥DF于点F，交CD于点G，连接FG，如图，
∵翻折
∴AB=AF，BE=EF，AE垂直平分BF，∠AFE=∠ABE=90°
∵∠BFC=90°，
∴CF∥EM，
∴EM是△BCF的中位线，
∴CE=BE=EF=2.5，
∵AD=AF，AH⊥DF，
∴AG垂直平分DF，
∴DG=FG，∠AFG=∠ADG=90°，DH=，
∴∠AFE+∠AFG=180°，即点E、F、G在同一直线上，
在Rt△CGE中，CE=EF=2.5，设GF=DG=x，CG=5-x，
∴（2.5+x）2=（5-x）2+2.52，
解得：x=，即DG=，
在Rt△ADG中，AD=5，DG=，
∴AG=，
∴S△ADG=AD×DG×=AG×DH×，
∴，即DH=，
∴DF=2DH=.
故答案为：.
【分析】根据翻折得到AF=AB，EF=BE=CE，作AH⊥DF可得△AFG和△ADG关于AG对称，在Rt△CEG中利用勾股定理可得DG长，在Rt△ADG中利用勾股定理可得AG长，利用△ADG的面积可得DH长，从而求得DF长.
15．【答案】证明：如图，延长DB至点P，使BP=AB，连接AP， CP，则∠CPD =∠CBD=∠ADB，
∠APD=∠ABD=∠CDB，
∴四边形APCD为平行四边形，
∴PD平分AC．
∵AB=BC，
∴BD是∠ABC的平分线，
∴∠ADB=∠CBD=∠ABD=∠CDB，
∴DB是∠ADC的平分线．
又∵BD=BD，
∴△ADB≌△CDB，
∴AD=CD．
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】要证 AD=CD ，可证△ADB≌△CDB，题目已知 AB=CB ，又因为公共边BD=BD ，还需证得全等条件∠ABD=∠CBD.通过延长DB至点P，使BP=AB，可得∠CPD =12∠CBD=∠ADB，∠APD=12∠ABD=∠CDB，所以AP//CD，AD//PC，四边形APCD为平行四边形，那么PD平分AC，根据”三线合一“可知，BD也是等腰△ABC顶角平分线，所以∠ABD=∠CBD，于是可证△ADB≌△CDB，故得证 AD=CD.
16．【答案】（1）证明：如图1中，
∵△ABC，△BDE 都是等边三角形，
∴ BA=BC，BE=BD，∠ABC=∠EBD=60°，
∴ ∠ABE=∠CBD，
∴ △ABE≌△CBD (SAS)，
∴AE=CD；
（2）解：延长AE交BD于点J.
∵EJ⊥BD，EB=ED，
∴ BJ= JD=2，
∴，
由（1）可知CD=AE，
.
（3）解：延长DE到P，使得EP=DE=4，连接BP、CP，
∵PE=DE，DF=CF，
∴EF是△CDP的中位线，
∴EF=PC，
∵BE=DE=PE，
∴∠EPB=∠EBP，∠EBD=∠EDB，
∴∠PBD=∠PBE+∠DBE=90°，
∴，
∵BC=6，
∴
∴.
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质得BA=BC，BE=BD，∠ABC=∠EBD=60°，推出∠ABE= ∠CBD，从而可用SAS判断出△ABE≌△CBD，根据全等三角形的对应边相等得AE=CD；
（2）延长AE交BD于点J，由等边三角形的三线合一得BJ= JD=2，从而用勾股定理算出EJ及AJ，结合（1）的结论，根据AE=AJ-EJ即可算出答案；
（3）延长DE到P，使得EP=DE=4，连接BP、CP，利用三角形中位线定理得EF=PC，进而根据等边对等角及三角形内角和定理可推出∠PBD=90°，由勾股定理算出BP的长，然后根据三角形三边关系可判断出PC得取值范围，从而即可得出EF的取值范围.
17．【答案】（1）解：，
，
，
，
是的中线，且与重合，
，
；
（2）由（1）知，
，
，
∴四边形是平行四边形；
（3）结论成立，
理由如下：如图2，过点作交于，
，
四边形是平行四边形，
，且，
由（1）知，，，
，，
四边形是平行四边形
【知识点】平行线的性质；三角形的角平分线、中线和高；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）由平行线的性质可得，，再由三角形的中线的定义可得BD=CD，根据ASA证明；
（2）由（1）知，可得AB=ED，结合AB∥ED，根据平行四边形的判定定理即证；
（3）过点作交于，由CE∥AM可证四边形是平行四边形，可得ED=GM，ED∥GM，由（1）知，，，可得AB∥DE，，根据平行四边形的判定定理即证.
18．【答案】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点，
∴，BO＝DO，
∴∠ADB＝∠CBD，
在△BOE与△DOF中，，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴DF＝BE，
又∵，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：①如图，过点D作DN⊥EC于点N，
∵DE＝DC＝6，DN⊥EC，CE＝4，
∴EN＝CN＝2，
∴DN＝＝＝4，
∵∠DBC＝45°，DN⊥BC，
∴∠DBC＝∠BDN＝45°，
∴DN＝BN＝4，
∴BE＝BN-EN＝4；
②∵DN⊥EC，CG⊥DE，
∴∠CEG+∠ECG＝90°，∠DEN+∠EDN＝90°，
∴∠EDN＝∠ECG，
∵DE＝DC，DN⊥EC，
∴∠EDN＝∠CDN，
∴∠ECG＝∠CDN，即∠BCH＝∠CDN，
∵∠DHC＝∠DBC+∠BCH＝45°+∠BCH，∠CDB＝∠BDN+∠CDN＝45°+∠CDN，
∴∠CDB＝∠DHC，
∴CD＝CH．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质得AD∥BC，由平行线的性质得∠ADB=∠CBD，通过“ASA”证明△BOE≌△DOF，得DF＝BE，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论；
（2）①过点D作DN⊥EC于点N，由等腰三角形的三线合一得EN=CN=2，根据勾股定理求得DN，由等腰直角三角形得BN=DN，进而根据线段和差即可求出答案；
②根据DN⊥EC，CG⊥DE，根据直角三角形的两锐角互余及同角的余角相等得∠EDN=∠ECG，由等腰三角形的三线合一得∠EDN＝∠CDN，则∠ECG＝∠CDN，即∠BCH＝∠CDN，进而根据三角形外角性质及角的和差可求出∠CDB=∠DHC，由等角对等边得出CD＝CH.
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