2023-2024学年人教版初中数学八年级下册 18.1.2 平行四边形的判定同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2023八下·良庆期末）如图，在中，D，E分别是的中点，若，则的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，若添加一个条件，使四边形ABCD为平行四边形，则下列正确的是（ ）
A．AD=BC B．∠ABD=∠BDC C．AB=AD D．∠A=∠C
3．（2024八上·长春期末）如图，在中，E，F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023九上·长春月考）如图，已知在△ABC中，∠ABC'<90°，AB≠BC，BE是AC边上的中线．按下列步骤作图：①分別以点B，C为圆心，大于线段BC长度一半的长为半径作弧，相父于点M，N：②过点M，N作直线MN，分别交BC，BE于点D，O；③连接CO，DE．则下列结论错误的是（ ）
A．OB=OC． B．∠BOD=∠COD C．DE∥AB D．DB=DE
5．（2023九上·成都月考）如图，在 中，对角线，相交于点，点，分别是，的中点，连接、，若，，则 的周长为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023九上·江油月考）如图，在 中，对角线与相交于点，是边的中点，连接若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·西山模拟）如图，在中，点，分别是，的中点，且，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·天河模拟）如图：等边三角形中，，、分别是边、上的动点，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023九上·房山开学考） 如图所示，某居民小区为了美化居住环境，要在一块三角形空地上围一个四边形花坛，已知点、分别是边、的中点，量得米，则的长是 米
10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°点D在AC边上，AD=BC，点E是CD的中点，点F是AB的中点，若AD=2，则EF的长为
11．（2023九上·北京市月考）如图，平行四边形的对角线与相交于点，且，若是边的中点，，，则的长为 ．
12．（2023·宁乡市模拟） 如图，已知是内的一点，，，若 的面积为，且，，则的面积是 ．
13．（2023·南开模拟）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，，点，点分别是，的中点，连接，，于点，交于点，，则线段的长为 ．
三、解答题
14．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AO=CO，EF过点O且与AD， BC分别相交于点E，F，OE=OF．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）连结AF，若EF⊥AC，△ABF的周长是15 ，求四边形ABCD的周长．
15．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE=EF=FD，连结AE，EC，CF，FA．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若△ABE的面积等于2，求△CFO的面积
四、综合题
16．（2022·临清模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB、CD边于点E、F．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）当DE＝DF时，求EF的长．
17．（2022八下·陈仓期末）已知：如图，在中，点E，F在上，且.
（1）求证：四边形是平行四边形.
（2）当，，时，求平行四边形的面积.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=BC=4.
故答案为：A.
【分析】根据三角形中位线定理得出DE=BC，即可得出答案.
2．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A．根据，，一组对边平行另一组对边相等，不能判断四边形为平形四边形，故该选项不正确，不符合题意；
B． ∵，∴，不能判断四边形为平形四边形，故该选项不正确，不符合题意；
C．根据，，不能判断四边形为平形四边形，故该选项不正确，不符合题意；
D．∵，
∴，
∵
∴，
∴
∴四边形为平形四边形，
故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【分析】根据平行四边形的判定定理逐项分析判断即可求解．
3．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【解答】
由得，AB=CD，AB∥CD，∴∠ABE=∠CDF，
当BE=DF时，由AB=CD，∠ABE=∠CDF，BE=DF可证明△ABE≌△CDF，得AE=CF，∠AEB=∠CFD，
∴∠AEF=∠CFE，∴AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形。 故A不符合；
当AE=CF时，由AB=CD，AE=CF，∠ABE=∠CDF，不能判定△ABE≌△CDF，也因此不能判定AE=CF，也不能判定四边形AECF是平行四边形。 故C符合；
由得，AD=BC，AD∥BC，∴∠ADF=∠CBE
当 时，由∠ADF=∠CBE，AD=BC，可证明△ADF≌△CBE，得AF=CE，∠AFD=∠CEB，
∴∠AFE=∠CEF，∴AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形。 故B不符合；
当AF∥CE时，可得∠AFE=∠CEF，得∠AFD=∠CEB，再结合∠ADF=∠CBE，AD=CB，证明△ADF≌△CBE，得AF=CE，从而证得四边形AECF是平行四边形。 故D不符合。
故答案为：C
【分析】
由得，AB=CD，AB∥CD，AD=BC，AD∥BC，结合各选项中的条件看能否证明△ABE≌△CDF 和△ADF≌△CBE，从而推导出对边平行且相等。得出四边形AECF为平行四边形的。
4．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；作图-线段垂直平分线；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：由作图知：MN垂直平分BC，
∴OB=OC，故A正确；
∴ ∠BOD=∠COD，故B正确；
∵ BE是AC边上的中线 ，BD=CD，
∴DE是△ABCDE中位线，
∴ DE∥AB ，DE=AB，故C正确；
∵BD=CD=BC，DE=AB，且 AB≠BC ，
∴DB≠DE，故D错误.
故答案为：D.
【分析】由作图痕迹可知MN垂直平分BC，可得OB=OC，利用等腰三角形的性质可得∠BOD=∠COD，据此判断A、B，易得DE是△ABCDE中位线，可得DE∥AB ，DE=AB，据此判断C，根据BD=CD=BC，DE=AB，且AB≠BC，可得DB≠DE，即可判断D.
5．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD为平行四边形
∴ AB=CD，AD=BC，AO=CO，
∵ E为AD的中点
∴ OE=
∴ AB=4
∵ F为CD的中点
∴ OF=
∴ AD=6
∴ 的周长 =2（AB+AD）=20
故答案为：D.
【分析】本题考查平行四边形的性质和三角形中位线定理。平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分，三角形的中位线平行且等于底边的一半，熟悉基础的性质定理是解题的关键。
6．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：由题意可得：
点是BD的中点，点E是CD的中点
∴OE是三角形BCD的中位线
∴OE∥BC
∵，
故答案为：B.
【分析】根据三角形中位线的判定定理及性质，直线平行性质，三角形内角和定理即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC是三角形的中位线，
∴DE∥BC，∴∠C=∠1=70°，
∴∠A=180°-∠B-∠C=180°-50°-70°=60°
故答案为：C
【分析】先判断DE是△ABC的中位线，根据中位线的性质得出DE和BC平行，再根据平行线的性质得出∠C的度数，最后运用三角形内角和定理求出∠A.
8．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定（SAS）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，取BC、CF的中点D、G，连接AD、DG，
∴，，，
，
∴BF+2CE的最小值转化为求DG+CE的最小值，
在等边三角形ABC中，AB= 1，
∴AB=BC=AC=1，∠BAC=60°，
∴，∠CAD= 30°，
∵CF= 2BE，
∴BE= CG，
∴AE= AG；
过A作AM⊥AC，且AM = AD，连接ME、CE，
则∠MAE= 90°-∠BAC = 30°= ∠CAD，
∴△AME≌△ADG(SAS)，
∴ME= DG，
∴DG十CE=ME+CE，
∴当点E在线段CM上时，ME+CE取得最小值，且最小值为线段CM的长，
，
在Rt△AMC中，由勾股定理得：
，
∴BF+2CE的最小值= DG +CE= ME+CE=.
故答案为：C.
【分析】取BC、CF的中点D、G，连接AD、DG，则可得，，因此转而求DG十CE的最小值；过A作AM⊥AC，且AM= AD，连接ME、CE，可证明△AME≌△ADG，则有ME = DG，进而转化为求ME+CE的最小值，当点E在线段CM上时，取得最小值，在Rt△AMC中由勾股定理即可求得最小值，从而求得BF十2CE的最小值.
9．【答案】8
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点、分别是边、的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴，
∵BC=16米，
∴EF=8米，
故答案为：8.
【分析】根据题意先求出EF是△ABC的中位线，再根据三角形的中位线求出，最后计算求解即可。
10．【答案】
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图所示，取BD中点G，连接GF、EG
∵点E是CD的中点，点F是AB的中点，
∴FGAD,EGBC
∵AD=2 ， AD=BC
∴FG=EG=1
∵∠C=90°
∴∠FGE=90°
在Rt△FEG中，
故答案为：
【分析】本题解题关键点在于构造三角形中位线，取BD中点，构造中位线FG和GE，利用中位线定理求出FG、EG的长，在判断出△FGE是直角三角形，根据勾股定理解决。
11．【答案】6
【知识点】平行线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ 四边形 是平行四边形 ∴OA=OC=，OB=OD=，
∵AB∥CD，∴∠BAC= ，
∴在Rt△AOB中，
∵是边的中点，O为AC的中点，∴
故答案为：6.
【分析】由平行四边形性质可知对角线互相平分，且对边平行，进而可得直角三角形OAB，利用勾股定理求得AB长，再由O、E分别是AC和BC的中点，可知OE是三角形ABC的中位线，利用中位线的性质可得OE长。
12．【答案】
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接，，
四边形为平行四边形， 的面积为，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】：连接，，根据平行四边形性质和面积可得，根据边之间的关系即可求出答案。
13．【答案】16
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图所示：连接BE，
设EF= x，
∵点E、点F分别是OA、OD的中点，
∴EF是△OAD的中位线，
∴AD= 2EF=2x， AD//EF，
∵，
∴∠CAD= ∠CEF= 45°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD =BC=2x，
∴∠ACB= ∠CAD= 45°，
∵EM⊥BC，
∴∠EMC=90°，
∴△EMC是等腰直角三角形，
∴∠CEM=45°，
∵AB= OB，AE= OE，
∴BE⊥AO，
∴∠BEM =45°，
∴BM=EM=MC= x，
∴BM=FE，
∵∠ENF = ∠MNB，
∴△ENF≌△MNB，
∴，，
∴，
解得：x=8或x=-8（舍去），
∴BC=2x=16，
故答案为：16.
【分析】根据题意先求出EF是△OAD的中位线，再求出△ENF≌△MNB，最后利用勾股定理计算求解即可。
14．【答案】（1）证明∵AO=CO，∠AOE=∠COF，OE=OF，
∴△AOE≌△COF(SAS)，
∴∠OAE=∠OCF，
∵AD∥BC，∴∠EDO= ∠FBO．
又∵OE=OF，∠EOD= ∠FOB，
∴△EOD≌△FOB(AAS)，
∴OD=OB．
∵OA=OC，∴四边形ABCD是平行四边形．
（2）解：∵EF⊥AC，AO=CO，
∴AF=FC，
∴AB+BF+AF=AB+BF+FC=15，
即AB+BC=15，
∴ABCD的周长= 2(AB+BC)= 2×15=30．
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）由可证，可得，由可证
，可得，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可证明四边形是平行四边形；
（2）由线段中垂线的性质可得，可得，即可求四边形的周长．
15．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO= CO ，BO= DO．
∵BE=DF，
∴EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形．
（2）解：∵BE=EF，
∴S△ABE=S△AEF=2．
∵四边形AECF是平行四边形，
∴EO=FO，
∴．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形对角线互相平分可得AO= CO ，BO= DO，结合BE=DF可得EO=FO，即可证明四边形是平行四边形；
（2）根据等底等高的三角形面积相等可得S△ABE=S△AEF=2，再根据平行四边形的性质可得．
16．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠DFO＝∠BEO，
又因为∠DOF＝∠BOE，OD＝OB，
∴△DOF≌△BOE（ASA），
∴DF＝BE，
又因为DF∥BE，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：∵DE＝DF，四边形BEDF是平行四边形
∴四边形BEDF是菱形，
∴DE＝BE，EF⊥BD，OE＝OF，
设AE＝x，则DE＝BE＝8﹣x
在Rt△ADE中，根据勾股定理，有AE2+AD2＝DE2
∴x2+62＝（8﹣x）2，
解之得：x＝，
∴DE＝8﹣＝，
在Rt△ABD中，根据勾股定理，有AB2+AD2＝BD2
∴BD＝，
∴OD＝ BD＝5，
在Rt△DOE中，根据勾股定理，有DE2﹣OD2＝OE2，
∴OE＝，
∴EF＝2OE＝．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）先利用“ASA”证明△DOF≌△BOE可得DF=BE，再结合DF//BE即可证明四边形BEDF是平行四边形；
（2）设AE＝x，则DE＝BE＝8﹣x，利用勾股定理可得x2+62＝（8﹣x）2，求出x的值，再求出BD和OE的长，即可得到EF的长。
17．【答案】（1）证明：连接 交AC于O点，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵AE=CF，
∴OA-AE=OC-CF，
∴OE=OF，
∴四边形BEDF是平行四边形（对角线互相平分得平行四边形）；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=5，
∵AB2+AC2=32+42=25，BC2=25，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC为直角三角形，∠BAC=90°，
∴S△ABC=AB·AC=6，
∴S 平行四边形ABCD=2S△ABC=12.
【知识点】勾股定理的逆定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】(1)根据平行四边形的性质得出OA=OC，OB=OD，根据线段的和差关系得出OE=OF，则可证出四边形BEDF是平行四边形；
(2)根据平行四边形的性质求出BC长，再根据勾股定理逆定理证明△ABC为直角三角形，然后计算△ABC的面积，则可求出平行四边形ABCD的面积.
1 / 12023-2024学年人教版初中数学八年级下册 18.1.2 平行四边形的判定同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2023八下·良庆期末）如图，在中，D，E分别是的中点，若，则的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=BC=4.
故答案为：A.
【分析】根据三角形中位线定理得出DE=BC，即可得出答案.
2．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，若添加一个条件，使四边形ABCD为平行四边形，则下列正确的是（ ）
A．AD=BC B．∠ABD=∠BDC C．AB=AD D．∠A=∠C
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A．根据，，一组对边平行另一组对边相等，不能判断四边形为平形四边形，故该选项不正确，不符合题意；
B． ∵，∴，不能判断四边形为平形四边形，故该选项不正确，不符合题意；
C．根据，，不能判断四边形为平形四边形，故该选项不正确，不符合题意；
D．∵，
∴，
∵
∴，
∴
∴四边形为平形四边形，
故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【分析】根据平行四边形的判定定理逐项分析判断即可求解．
3．（2024八上·长春期末）如图，在中，E，F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【解答】
由得，AB=CD，AB∥CD，∴∠ABE=∠CDF，
当BE=DF时，由AB=CD，∠ABE=∠CDF，BE=DF可证明△ABE≌△CDF，得AE=CF，∠AEB=∠CFD，
∴∠AEF=∠CFE，∴AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形。 故A不符合；
当AE=CF时，由AB=CD，AE=CF，∠ABE=∠CDF，不能判定△ABE≌△CDF，也因此不能判定AE=CF，也不能判定四边形AECF是平行四边形。 故C符合；
由得，AD=BC，AD∥BC，∴∠ADF=∠CBE
当 时，由∠ADF=∠CBE，AD=BC，可证明△ADF≌△CBE，得AF=CE，∠AFD=∠CEB，
∴∠AFE=∠CEF，∴AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形。 故B不符合；
当AF∥CE时，可得∠AFE=∠CEF，得∠AFD=∠CEB，再结合∠ADF=∠CBE，AD=CB，证明△ADF≌△CBE，得AF=CE，从而证得四边形AECF是平行四边形。 故D不符合。
故答案为：C
【分析】
由得，AB=CD，AB∥CD，AD=BC，AD∥BC，结合各选项中的条件看能否证明△ABE≌△CDF 和△ADF≌△CBE，从而推导出对边平行且相等。得出四边形AECF为平行四边形的。
4．（2023九上·长春月考）如图，已知在△ABC中，∠ABC'<90°，AB≠BC，BE是AC边上的中线．按下列步骤作图：①分別以点B，C为圆心，大于线段BC长度一半的长为半径作弧，相父于点M，N：②过点M，N作直线MN，分别交BC，BE于点D，O；③连接CO，DE．则下列结论错误的是（ ）
A．OB=OC． B．∠BOD=∠COD C．DE∥AB D．DB=DE
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；作图-线段垂直平分线；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：由作图知：MN垂直平分BC，
∴OB=OC，故A正确；
∴ ∠BOD=∠COD，故B正确；
∵ BE是AC边上的中线 ，BD=CD，
∴DE是△ABCDE中位线，
∴ DE∥AB ，DE=AB，故C正确；
∵BD=CD=BC，DE=AB，且 AB≠BC ，
∴DB≠DE，故D错误.
故答案为：D.
【分析】由作图痕迹可知MN垂直平分BC，可得OB=OC，利用等腰三角形的性质可得∠BOD=∠COD，据此判断A、B，易得DE是△ABCDE中位线，可得DE∥AB ，DE=AB，据此判断C，根据BD=CD=BC，DE=AB，且AB≠BC，可得DB≠DE，即可判断D.
5．（2023九上·成都月考）如图，在 中，对角线，相交于点，点，分别是，的中点，连接、，若，，则 的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD为平行四边形
∴ AB=CD，AD=BC，AO=CO，
∵ E为AD的中点
∴ OE=
∴ AB=4
∵ F为CD的中点
∴ OF=
∴ AD=6
∴ 的周长 =2（AB+AD）=20
故答案为：D.
【分析】本题考查平行四边形的性质和三角形中位线定理。平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分，三角形的中位线平行且等于底边的一半，熟悉基础的性质定理是解题的关键。
6．（2023九上·江油月考）如图，在 中，对角线与相交于点，是边的中点，连接若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：由题意可得：
点是BD的中点，点E是CD的中点
∴OE是三角形BCD的中位线
∴OE∥BC
∵，
故答案为：B.
【分析】根据三角形中位线的判定定理及性质，直线平行性质，三角形内角和定理即可求出答案.
7．（2023·西山模拟）如图，在中，点，分别是，的中点，且，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC是三角形的中位线，
∴DE∥BC，∴∠C=∠1=70°，
∴∠A=180°-∠B-∠C=180°-50°-70°=60°
故答案为：C
【分析】先判断DE是△ABC的中位线，根据中位线的性质得出DE和BC平行，再根据平行线的性质得出∠C的度数，最后运用三角形内角和定理求出∠A.
8．（2023·天河模拟）如图：等边三角形中，，、分别是边、上的动点，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定（SAS）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，取BC、CF的中点D、G，连接AD、DG，
∴，，，
，
∴BF+2CE的最小值转化为求DG+CE的最小值，
在等边三角形ABC中，AB= 1，
∴AB=BC=AC=1，∠BAC=60°，
∴，∠CAD= 30°，
∵CF= 2BE，
∴BE= CG，
∴AE= AG；
过A作AM⊥AC，且AM = AD，连接ME、CE，
则∠MAE= 90°-∠BAC = 30°= ∠CAD，
∴△AME≌△ADG(SAS)，
∴ME= DG，
∴DG十CE=ME+CE，
∴当点E在线段CM上时，ME+CE取得最小值，且最小值为线段CM的长，
，
在Rt△AMC中，由勾股定理得：
，
∴BF+2CE的最小值= DG +CE= ME+CE=.
故答案为：C.
【分析】取BC、CF的中点D、G，连接AD、DG，则可得，，因此转而求DG十CE的最小值；过A作AM⊥AC，且AM= AD，连接ME、CE，可证明△AME≌△ADG，则有ME = DG，进而转化为求ME+CE的最小值，当点E在线段CM上时，取得最小值，在Rt△AMC中由勾股定理即可求得最小值，从而求得BF十2CE的最小值.
二、填空题
9．（2023九上·房山开学考） 如图所示，某居民小区为了美化居住环境，要在一块三角形空地上围一个四边形花坛，已知点、分别是边、的中点，量得米，则的长是 米
【答案】8
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点、分别是边、的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴，
∵BC=16米，
∴EF=8米，
故答案为：8.
【分析】根据题意先求出EF是△ABC的中位线，再根据三角形的中位线求出，最后计算求解即可。
10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°点D在AC边上，AD=BC，点E是CD的中点，点F是AB的中点，若AD=2，则EF的长为
【答案】
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图所示，取BD中点G，连接GF、EG
∵点E是CD的中点，点F是AB的中点，
∴FGAD,EGBC
∵AD=2 ， AD=BC
∴FG=EG=1
∵∠C=90°
∴∠FGE=90°
在Rt△FEG中，
故答案为：
【分析】本题解题关键点在于构造三角形中位线，取BD中点，构造中位线FG和GE，利用中位线定理求出FG、EG的长，在判断出△FGE是直角三角形，根据勾股定理解决。
11．（2023九上·北京市月考）如图，平行四边形的对角线与相交于点，且，若是边的中点，，，则的长为 ．
【答案】6
【知识点】平行线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ 四边形 是平行四边形 ∴OA=OC=，OB=OD=，
∵AB∥CD，∴∠BAC= ，
∴在Rt△AOB中，
∵是边的中点，O为AC的中点，∴
故答案为：6.
【分析】由平行四边形性质可知对角线互相平分，且对边平行，进而可得直角三角形OAB，利用勾股定理求得AB长，再由O、E分别是AC和BC的中点，可知OE是三角形ABC的中位线，利用中位线的性质可得OE长。
12．（2023·宁乡市模拟） 如图，已知是内的一点，，，若 的面积为，且，，则的面积是 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接，，
四边形为平行四边形， 的面积为，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】：连接，，根据平行四边形性质和面积可得，根据边之间的关系即可求出答案。
13．（2023·南开模拟）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，，点，点分别是，的中点，连接，，于点，交于点，，则线段的长为 ．
【答案】16
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图所示：连接BE，
设EF= x，
∵点E、点F分别是OA、OD的中点，
∴EF是△OAD的中位线，
∴AD= 2EF=2x， AD//EF，
∵，
∴∠CAD= ∠CEF= 45°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD =BC=2x，
∴∠ACB= ∠CAD= 45°，
∵EM⊥BC，
∴∠EMC=90°，
∴△EMC是等腰直角三角形，
∴∠CEM=45°，
∵AB= OB，AE= OE，
∴BE⊥AO，
∴∠BEM =45°，
∴BM=EM=MC= x，
∴BM=FE，
∵∠ENF = ∠MNB，
∴△ENF≌△MNB，
∴，，
∴，
解得：x=8或x=-8（舍去），
∴BC=2x=16，
故答案为：16.
【分析】根据题意先求出EF是△OAD的中位线，再求出△ENF≌△MNB，最后利用勾股定理计算求解即可。
三、解答题
14．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AO=CO，EF过点O且与AD， BC分别相交于点E，F，OE=OF．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）连结AF，若EF⊥AC，△ABF的周长是15 ，求四边形ABCD的周长．
【答案】（1）证明∵AO=CO，∠AOE=∠COF，OE=OF，
∴△AOE≌△COF(SAS)，
∴∠OAE=∠OCF，
∵AD∥BC，∴∠EDO= ∠FBO．
又∵OE=OF，∠EOD= ∠FOB，
∴△EOD≌△FOB(AAS)，
∴OD=OB．
∵OA=OC，∴四边形ABCD是平行四边形．
（2）解：∵EF⊥AC，AO=CO，
∴AF=FC，
∴AB+BF+AF=AB+BF+FC=15，
即AB+BC=15，
∴ABCD的周长= 2(AB+BC)= 2×15=30．
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）由可证，可得，由可证
，可得，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可证明四边形是平行四边形；
（2）由线段中垂线的性质可得，可得，即可求四边形的周长．
15．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE=EF=FD，连结AE，EC，CF，FA．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若△ABE的面积等于2，求△CFO的面积
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO= CO ，BO= DO．
∵BE=DF，
∴EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形．
（2）解：∵BE=EF，
∴S△ABE=S△AEF=2．
∵四边形AECF是平行四边形，
∴EO=FO，
∴．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形对角线互相平分可得AO= CO ，BO= DO，结合BE=DF可得EO=FO，即可证明四边形是平行四边形；
（2）根据等底等高的三角形面积相等可得S△ABE=S△AEF=2，再根据平行四边形的性质可得．
四、综合题
16．（2022·临清模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB、CD边于点E、F．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）当DE＝DF时，求EF的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠DFO＝∠BEO，
又因为∠DOF＝∠BOE，OD＝OB，
∴△DOF≌△BOE（ASA），
∴DF＝BE，
又因为DF∥BE，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：∵DE＝DF，四边形BEDF是平行四边形
∴四边形BEDF是菱形，
∴DE＝BE，EF⊥BD，OE＝OF，
设AE＝x，则DE＝BE＝8﹣x
在Rt△ADE中，根据勾股定理，有AE2+AD2＝DE2
∴x2+62＝（8﹣x）2，
解之得：x＝，
∴DE＝8﹣＝，
在Rt△ABD中，根据勾股定理，有AB2+AD2＝BD2
∴BD＝，
∴OD＝ BD＝5，
在Rt△DOE中，根据勾股定理，有DE2﹣OD2＝OE2，
∴OE＝，
∴EF＝2OE＝．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）先利用“ASA”证明△DOF≌△BOE可得DF=BE，再结合DF//BE即可证明四边形BEDF是平行四边形；
（2）设AE＝x，则DE＝BE＝8﹣x，利用勾股定理可得x2+62＝（8﹣x）2，求出x的值，再求出BD和OE的长，即可得到EF的长。
17．（2022八下·陈仓期末）已知：如图，在中，点E，F在上，且.
（1）求证：四边形是平行四边形.
（2）当，，时，求平行四边形的面积.
【答案】（1）证明：连接 交AC于O点，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵AE=CF，
∴OA-AE=OC-CF，
∴OE=OF，
∴四边形BEDF是平行四边形（对角线互相平分得平行四边形）；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=5，
∵AB2+AC2=32+42=25，BC2=25，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC为直角三角形，∠BAC=90°，
∴S△ABC=AB·AC=6，
∴S 平行四边形ABCD=2S△ABC=12.
【知识点】勾股定理的逆定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】(1)根据平行四边形的性质得出OA=OC，OB=OD，根据线段的和差关系得出OE=OF，则可证出四边形BEDF是平行四边形；
(2)根据平行四边形的性质求出BC长，再根据勾股定理逆定理证明△ABC为直角三角形，然后计算△ABC的面积，则可求出平行四边形ABCD的面积.
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