2023-2024学年人教版初中数学八年级下册 18.2.1 矩形同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2023九上·茂名期中）如图，公路互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则两点间的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，四边形ABCD是矩形，.点是边AD上一点（不与点A，D重合），连结PB，PC.点M，N分别是PB，PC的中点，连结MN，AM，DN.点E在边AD上，ME//DN，则AM＋ME的最小值是（ ）
A． B．3 C． D．
3．如图，以钝角三角形ABC的最长边BC为边向外作矩形BCDE，连结AE，AD.设的面积分别为，若要求出的值，只需知道（ ）
A．的面积 B．的面积
C．的面积 D．矩形BCDE的面积
4．如图，在平面直角坐标系中，点A(9，0)，C(0，3)，以OA，OC为边作矩形OABC.动点E，F分别从点O，B同时出发，以每秒1个单位的速度沿OA，BC向终点A，C移动.当移动时间为4秒时，AC·EF的值为（ ）
A． B． C．15 D．30
5．（2021八上·平阳月考）如图，△ABC 中，AC＝8，点 D，E 分别在 BC，AC 上，F是 BD的中点.若 AB＝AD， EF＝EC，则 EF 的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．（2022·龙华模拟）如图，在矩形中，对角线与相交于点，已知，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·丹东）如图，在矩形中，对角线与相交于点，，，垂足为点，是的中点，连接，若，则矩形的周长是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023九上·深圳期中）如图，延长的边到，使，连接，，.再添加一个条件，不能使四边形成为矩形的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2022八上·鄞州期中）如图，已知直角三角形ABC的斜边AC＝10，则斜边上的中线BD＝ ．
10．（2023八上·上海市期中）在中，，，，点D为斜边的中点，那么 ．
11．（2023·哈尔滨）矩形的对角线，相交于点，点在矩形边上，连接．若，，则 ．
12．（2023九上·市南区期中）如图，在矩形中，，对角线的垂直平分线分别交于点，连接，则的面积为 ．
13．（2023九上·简阳期中）如图，在矩形中，为的中点，过点且分别交于交于，点是的中点，且，则下列结论：（1）；（2）；（3）四边形为菱形；（4）．其中正确的个数为 ．
三、解答题
14．（2024八上·长春期末） 如图，在中，D是BC边上的中点，E是AD边上的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，连结BF.
（1）求证：四边形AFBD是平行四边形；
（2）当满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？请说明理由.
15．如图，在△ABC中，AB=AC，点O在△ABC的内部，∠BOC=90°，OB=OC，D，E，F，G分别是AB，OB，OC，AC的中点．
（1）求证：四边形DEFG是矩形；
（2）若DE=2，EF=3，求△ABC的面积．
四、综合题
16．（2020九下·兰州月考）如图，在四边形ABCD中， AD∥BC，∠D=90°，E为边BC上一点，且EC=AD，连接AC.
（1）求证：四边形AECD是矩形；
（2）若AC平分∠DAB，AB=5，EC=2，求AE的长，
17．如图，在 ABCD中，已知E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF．
（1）求证：AB=CF；
（2）当BC与AF满足什么数量关系时，四边形ABFC是矩形，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵M为AB中点，
∴
故答案为：B.
【分析】根据直角三角斜边上的中线等于斜边的一半，据此即可求解.
2．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：作点C关于直线AD的对称点Q，连接PQ、BQ，
∴BP+PC=BP+PQ，
当B、P、Q三点在同一直线上时，BP+PQ的最小值是BQ；
在Rt△BCQ中，BC=AD=4，QC=2CD=2，
BQ=；
∵M、N是PB、PC的中点，
∴AM=BP，DN=PC，MN∥BC，
∵ME∥DN，
∴四边形DEMN是平行四边形，
∴ME=ND，
∴AM+ME=AM+DN=（BP+PC），
∴AM+ME的最小值就是（BP+PC）的最小值，
即AM+ME的最小值=（BP+PC）=BQ=3.
故答案为：B.
【分析】作点C关于直线AD的对称点Q，连接PQ、BQ，当B、P、Q三点在同一直线上时，BP+PQ的最小值是BQ；而由三角形的中位线定理可得AM=BP，DN=PC，然后根据轴对称的性质即可求解.
3．【答案】C
【知识点】三角形的面积；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点A作AG⊥ED于点G，交BC于点F，
∵四边形BCDE是矩形，
∴∠FBE＝∠BEG＝∠FGE＝90°，BC∥ED，BC＝ED，BE＝CD，
∴四边形BFGE是矩形，∠AFB＝∠FGE＝90°，
∴FG＝BE＝CD，AF⊥BC，
∴S﹣S1﹣S2ED AGBE EGCD DGED AGFG EDBC AF＝S△ABC，
∴只需知道S△ABC，就可求出S﹣S1﹣S2的值，
故答案为：C．
【分析】过点A作AG⊥ED于点G，交BC于点F，可证明四边形BFGE是矩形，AF⊥BC，可推导出S﹣S1﹣S2ED AGBE EGCD DGED AGFG EDBC AF＝S△ABC，所以只需知道S△ABC，就可求出S﹣S1﹣S2的值，即可解答．
4．【答案】D
【知识点】点的坐标；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：连接AC、EF，如下图：
∵
∵四边形OABC为矩形，
∴
∵动点E，F分别从点O，B同时出发，以每秒1个单位的速度沿OA，BC向终点A，C移动，
∴4秒后，
∴
∴
∴
故答案为：D.
【分析】连接AC、EF，根据点的坐标和矩形的性质得到结合题意即可得到即可得到点E和点F的坐标，进而利用勾股定理求出EF和AC的长度，即可求解.
5．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，连接AF，
∵AB=AD，F为BD的中点，
∴AF⊥BD，
∵EF=EC，
∴EF=EC=AE=AC=4.
故答案为：B.
【分析】如图，连接AF，根据等腰三角形的性质得出AF⊥BD，然后根据直角三角形斜边中线的性质得出EF=AC，即可解答.
6．【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形的对角线，相交于点，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据题意先求出，再求出，最后计算求解即可。
7．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC与BD相交于点O，
∴∠ABC=90°，，，且AC=BD，
∴OA=OB，
∵∠ABD=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴，
∴AC=2AB，
∵AE⊥BD于点E，
∴E为OB的中点，
∵F是OC的中点，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴AB=CD=4，
∴，
∴矩形ABCD的周长是.
故答案为：D.
【分析】根据矩形的四个角都是直角，矩形的对角线互相平分，矩形的对角线相等可推得OA=OB；根据有一个角是60°角的等腰三角形是等边三角形可得△AOB是等边三角形；根据等边三角形的三条边相等可推得AC=2AB；根据等边三角形三线合一的性质可得E为OB的中点；根据三角形的中位线等于第三边的一半可得BC的值，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方可得BC的值；求得AB的值；即可求得矩形ABCD的周长.
8．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【解答】解：由 可得AD∥BC，AD=BC，AB=CD，AB∥CD，
∵DE=AD，∴DE=BC，
又∵DE∥BC，∴四边形BCED是平行四边形。
当AB=BE时，CE=BE，可以判定是矩形， 故A不符合；
当BE⊥CD时，可以判定是菱形，不能判定是矩形，故B符合；
当∠ADB=90°时，∠BDE=90°，可以判定是矩形， 故C不符合；
当 时，∠CED=90°，可以判定是矩形， 故D不符合。
故答案为：B.
【分析】先根据题中已知条件判定四边形BCED是平行四边形。再结合各选项中条件导，看是否可以推导出是矩形.
判定时可参考以下定理：
有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
9．【答案】5
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵直角三角形ABC的斜边AC=10，
∴斜边上的中线BD=AC=×10=5.
故答案为：5.
【分析】根据直角三角形的性质即可求得.
10．【答案】
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：由勾股定理得：，
∵点是的中点，
∴．
故答案为：．
【分析】根据直角三角形斜边中线的性质和勾股定理求解。先用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求CD的长．
11．【答案】46°或106°
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：当F在AB上时，如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OD=OA，
∴∠ODA=∠OAD=38°，
∴∠AOB=∠ODA+∠OAD=76°，
∵∠BOF=30°，
∴∠AOF=∠AOB-∠BOF=76°-30°=46°；
当F在BC上时，如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OD=OA，
∴∠ODA=∠OAD=38°，
∴∠AOB=∠ODA+∠OAD=76°，
∵∠BOF=30°，
∴∠AOF=∠AOB+∠BOF=76°+30°=106°，
综上，∠AOF的度数为：46°或106°.
故答案为：46°或106°.
【分析】由矩形的对角线相等且互相平分得OA=OD，由等边对等角得∠ODA=∠OAD=38°，由三角形外角性质得∠AOB=∠ODA+∠OAD=76°，然后分当F在AB上时与当F在BC上时两种情况，分别根据角的和差算出∠AOF的度数可得答案.
12．【答案】
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵MN垂直平分AC，
∴MA=MC，
设MA=MC=x，则：DM=6-x，
在Rt中，CM2-DM2=CD2，
∴x2-(6-x)2=32，
∴x=，
所用AM=，DM=，
∴，
又，
∴的面积为： 9×=，
因为MN垂直平分AC，
∴的面积为 ：.
故答案为：
【分析】首先求得AM与MN的长度，进一步求得它们的比，然后再根据矩形的长和宽求得的面积，进而得出 的面积，再根据MN垂直平分AC，即可得出的面积。
13．【答案】①③④
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的判定；矩形的性质；三角形全等的判定（ASA）；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：，是的中点，
，
，
∵O为的中点，
∴，
在中，，
，设，则，．
∴，，，，
∵四边形是矩形，
，，故①正确；
，故②错误；
连接，
，，，
，
，
又，，
四边形是菱形，故③正确；
，，
，故④正确；
综上所述正确的有3个．
故答案为：3．
【分析】根据矩形的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质求解。根据条件，是直角斜边上的中线，且，然后利用三角函数求得、以及、之间的关系即可作出判断．
14．【答案】（1）证明：∵E是AD的中点，∴.
∵，∴，.
∴.∴.
∵D是BC的中点，∴.∴.
∵，∴四边形AFBD是平行四边形
（2）解：当满足时，四边形AFBD是矩形.
理由：∵，，∴.∴
∴是矩形
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定；矩形的判定；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】
(1)先证明 ，得AF=CD，得AF=BD，再结合AF∥BD可得 四边形AFBD是平行四边形 。
(2) 四边形AFBD是矩形 ，则∠ADB=90°，又D为BC中点，则必有AB=AC。
15．【答案】（1）证明：如图，连结AO并延长交BC于点H．
∵AB=AC，OB=OC，
∴AH是BC的垂直平分线，即AH⊥BC于点H．
∵D，E，F，G分别是AB，OB，OC，AC的中点，
∴DG∥ EF∥ BC ，DE∥AH∥ GF，
∴四边形DEFG是平行四边形．
∵EF'∥BC，AH⊥BC，∴AH⊥EF．
又∵DE∥AH，∴EF⊥DE，∴∠DEF=90°，
∴四边形DEFG是矩形．
（2）解：∵△BOC是等腰直角三角形，∴BC=2EF=2OH=2×3=6，AH=OA+OH= 2DE+EF= 2×2+3=7，∴S△ABC=×6×7=21．
【知识点】三角形的面积；矩形的判定；线段垂直平分线的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】(1)利用等腰三角形的轴对称性可得AH是BC的垂直平分线，再通过三角形的中位线定理可得DG∥ EF∥ BC ，DE∥AH∥ GF，证得四边形DEFG是平行四边形，然后利用平行线的性质证得∠DEF=90°，故平行四边形DEFG是矩形．
(2)利用等腰直角三角形的性质可得BC=2OH=6，由三角形的中位线定理可得AO=2DE=4，故AH=7，再通过三角形的面积公式计算出△ABC的面积．
16．【答案】（1）证明：∵AD∥BC，EC=AD，
∴四边形AECD是平行四边形.
又∵∠D=90°，
∴四边形AECD是矩形
（2）解：∵AC平分∠DAB.
∴∠BAC=∠DAC.
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB.
∴∠BAC=∠ACB.
∴BA=BC=5.
∵EC=2，
∴BE=3.
∴在Rt△ABE中，AE=
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【分析】（1）首先判定该四边形为平行四边形，然后得到∠D=90°，从而判定矩形；（2）求得BE的长，在直角三角形ABE中利用勾股定理求得AE的长即可.
17．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DF，
∴∠BAF=∠CFA．
∵E为BC的中点，
∴BE=CE．
在△AEB和△FEC中，
，
∴△AEB≌△FEC（AAS）
∴AB=CF
（2）解：当BC=AF时，四边形ABFC是矩形，
理由：∵AB=CF，AB‖CF，
∴四边形ABFC是平行四边形，
∵BC=AF，
∴四边形ABFC是矩形．
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质得出∠BAF=∠CFA，进而得出△AEB≌△FEC（AAS），求出答案；（2）首先得出四边形ABFC是平行四边形，进而得出答案．
1 / 12023-2024学年人教版初中数学八年级下册 18.2.1 矩形同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2023九上·茂名期中）如图，公路互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则两点间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵M为AB中点，
∴
故答案为：B.
【分析】根据直角三角斜边上的中线等于斜边的一半，据此即可求解.
2．如图，四边形ABCD是矩形，.点是边AD上一点（不与点A，D重合），连结PB，PC.点M，N分别是PB，PC的中点，连结MN，AM，DN.点E在边AD上，ME//DN，则AM＋ME的最小值是（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：作点C关于直线AD的对称点Q，连接PQ、BQ，
∴BP+PC=BP+PQ，
当B、P、Q三点在同一直线上时，BP+PQ的最小值是BQ；
在Rt△BCQ中，BC=AD=4，QC=2CD=2，
BQ=；
∵M、N是PB、PC的中点，
∴AM=BP，DN=PC，MN∥BC，
∵ME∥DN，
∴四边形DEMN是平行四边形，
∴ME=ND，
∴AM+ME=AM+DN=（BP+PC），
∴AM+ME的最小值就是（BP+PC）的最小值，
即AM+ME的最小值=（BP+PC）=BQ=3.
故答案为：B.
【分析】作点C关于直线AD的对称点Q，连接PQ、BQ，当B、P、Q三点在同一直线上时，BP+PQ的最小值是BQ；而由三角形的中位线定理可得AM=BP，DN=PC，然后根据轴对称的性质即可求解.
3．如图，以钝角三角形ABC的最长边BC为边向外作矩形BCDE，连结AE，AD.设的面积分别为，若要求出的值，只需知道（ ）
A．的面积 B．的面积
C．的面积 D．矩形BCDE的面积
【答案】C
【知识点】三角形的面积；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点A作AG⊥ED于点G，交BC于点F，
∵四边形BCDE是矩形，
∴∠FBE＝∠BEG＝∠FGE＝90°，BC∥ED，BC＝ED，BE＝CD，
∴四边形BFGE是矩形，∠AFB＝∠FGE＝90°，
∴FG＝BE＝CD，AF⊥BC，
∴S﹣S1﹣S2ED AGBE EGCD DGED AGFG EDBC AF＝S△ABC，
∴只需知道S△ABC，就可求出S﹣S1﹣S2的值，
故答案为：C．
【分析】过点A作AG⊥ED于点G，交BC于点F，可证明四边形BFGE是矩形，AF⊥BC，可推导出S﹣S1﹣S2ED AGBE EGCD DGED AGFG EDBC AF＝S△ABC，所以只需知道S△ABC，就可求出S﹣S1﹣S2的值，即可解答．
4．如图，在平面直角坐标系中，点A(9，0)，C(0，3)，以OA，OC为边作矩形OABC.动点E，F分别从点O，B同时出发，以每秒1个单位的速度沿OA，BC向终点A，C移动.当移动时间为4秒时，AC·EF的值为（ ）
A． B． C．15 D．30
【答案】D
【知识点】点的坐标；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：连接AC、EF，如下图：
∵
∵四边形OABC为矩形，
∴
∵动点E，F分别从点O，B同时出发，以每秒1个单位的速度沿OA，BC向终点A，C移动，
∴4秒后，
∴
∴
∴
故答案为：D.
【分析】连接AC、EF，根据点的坐标和矩形的性质得到结合题意即可得到即可得到点E和点F的坐标，进而利用勾股定理求出EF和AC的长度，即可求解.
5．（2021八上·平阳月考）如图，△ABC 中，AC＝8，点 D，E 分别在 BC，AC 上，F是 BD的中点.若 AB＝AD， EF＝EC，则 EF 的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，连接AF，
∵AB=AD，F为BD的中点，
∴AF⊥BD，
∵EF=EC，
∴EF=EC=AE=AC=4.
故答案为：B.
【分析】如图，连接AF，根据等腰三角形的性质得出AF⊥BD，然后根据直角三角形斜边中线的性质得出EF=AC，即可解答.
6．（2022·龙华模拟）如图，在矩形中，对角线与相交于点，已知，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形的对角线，相交于点，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据题意先求出，再求出，最后计算求解即可。
7．（2023·丹东）如图，在矩形中，对角线与相交于点，，，垂足为点，是的中点，连接，若，则矩形的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC与BD相交于点O，
∴∠ABC=90°，，，且AC=BD，
∴OA=OB，
∵∠ABD=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴，
∴AC=2AB，
∵AE⊥BD于点E，
∴E为OB的中点，
∵F是OC的中点，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴AB=CD=4，
∴，
∴矩形ABCD的周长是.
故答案为：D.
【分析】根据矩形的四个角都是直角，矩形的对角线互相平分，矩形的对角线相等可推得OA=OB；根据有一个角是60°角的等腰三角形是等边三角形可得△AOB是等边三角形；根据等边三角形的三条边相等可推得AC=2AB；根据等边三角形三线合一的性质可得E为OB的中点；根据三角形的中位线等于第三边的一半可得BC的值，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方可得BC的值；求得AB的值；即可求得矩形ABCD的周长.
8．（2023九上·深圳期中）如图，延长的边到，使，连接，，.再添加一个条件，不能使四边形成为矩形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【解答】解：由 可得AD∥BC，AD=BC，AB=CD，AB∥CD，
∵DE=AD，∴DE=BC，
又∵DE∥BC，∴四边形BCED是平行四边形。
当AB=BE时，CE=BE，可以判定是矩形， 故A不符合；
当BE⊥CD时，可以判定是菱形，不能判定是矩形，故B符合；
当∠ADB=90°时，∠BDE=90°，可以判定是矩形， 故C不符合；
当 时，∠CED=90°，可以判定是矩形， 故D不符合。
故答案为：B.
【分析】先根据题中已知条件判定四边形BCED是平行四边形。再结合各选项中条件导，看是否可以推导出是矩形.
判定时可参考以下定理：
有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
二、填空题
9．（2022八上·鄞州期中）如图，已知直角三角形ABC的斜边AC＝10，则斜边上的中线BD＝ ．
【答案】5
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵直角三角形ABC的斜边AC=10，
∴斜边上的中线BD=AC=×10=5.
故答案为：5.
【分析】根据直角三角形的性质即可求得.
10．（2023八上·上海市期中）在中，，，，点D为斜边的中点，那么 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：由勾股定理得：，
∵点是的中点，
∴．
故答案为：．
【分析】根据直角三角形斜边中线的性质和勾股定理求解。先用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求CD的长．
11．（2023·哈尔滨）矩形的对角线，相交于点，点在矩形边上，连接．若，，则 ．
【答案】46°或106°
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：当F在AB上时，如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OD=OA，
∴∠ODA=∠OAD=38°，
∴∠AOB=∠ODA+∠OAD=76°，
∵∠BOF=30°，
∴∠AOF=∠AOB-∠BOF=76°-30°=46°；
当F在BC上时，如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OD=OA，
∴∠ODA=∠OAD=38°，
∴∠AOB=∠ODA+∠OAD=76°，
∵∠BOF=30°，
∴∠AOF=∠AOB+∠BOF=76°+30°=106°，
综上，∠AOF的度数为：46°或106°.
故答案为：46°或106°.
【分析】由矩形的对角线相等且互相平分得OA=OD，由等边对等角得∠ODA=∠OAD=38°，由三角形外角性质得∠AOB=∠ODA+∠OAD=76°，然后分当F在AB上时与当F在BC上时两种情况，分别根据角的和差算出∠AOF的度数可得答案.
12．（2023九上·市南区期中）如图，在矩形中，，对角线的垂直平分线分别交于点，连接，则的面积为 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵MN垂直平分AC，
∴MA=MC，
设MA=MC=x，则：DM=6-x，
在Rt中，CM2-DM2=CD2，
∴x2-(6-x)2=32，
∴x=，
所用AM=，DM=，
∴，
又，
∴的面积为： 9×=，
因为MN垂直平分AC，
∴的面积为 ：.
故答案为：
【分析】首先求得AM与MN的长度，进一步求得它们的比，然后再根据矩形的长和宽求得的面积，进而得出 的面积，再根据MN垂直平分AC，即可得出的面积。
13．（2023九上·简阳期中）如图，在矩形中，为的中点，过点且分别交于交于，点是的中点，且，则下列结论：（1）；（2）；（3）四边形为菱形；（4）．其中正确的个数为 ．
【答案】①③④
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的判定；矩形的性质；三角形全等的判定（ASA）；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：，是的中点，
，
，
∵O为的中点，
∴，
在中，，
，设，则，．
∴，，，，
∵四边形是矩形，
，，故①正确；
，故②错误；
连接，
，，，
，
，
又，，
四边形是菱形，故③正确；
，，
，故④正确；
综上所述正确的有3个．
故答案为：3．
【分析】根据矩形的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质求解。根据条件，是直角斜边上的中线，且，然后利用三角函数求得、以及、之间的关系即可作出判断．
三、解答题
14．（2024八上·长春期末） 如图，在中，D是BC边上的中点，E是AD边上的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，连结BF.
（1）求证：四边形AFBD是平行四边形；
（2）当满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？请说明理由.
【答案】（1）证明：∵E是AD的中点，∴.
∵，∴，.
∴.∴.
∵D是BC的中点，∴.∴.
∵，∴四边形AFBD是平行四边形
（2）解：当满足时，四边形AFBD是矩形.
理由：∵，，∴.∴
∴是矩形
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定；矩形的判定；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】
(1)先证明 ，得AF=CD，得AF=BD，再结合AF∥BD可得 四边形AFBD是平行四边形 。
(2) 四边形AFBD是矩形 ，则∠ADB=90°，又D为BC中点，则必有AB=AC。
15．如图，在△ABC中，AB=AC，点O在△ABC的内部，∠BOC=90°，OB=OC，D，E，F，G分别是AB，OB，OC，AC的中点．
（1）求证：四边形DEFG是矩形；
（2）若DE=2，EF=3，求△ABC的面积．
【答案】（1）证明：如图，连结AO并延长交BC于点H．
∵AB=AC，OB=OC，
∴AH是BC的垂直平分线，即AH⊥BC于点H．
∵D，E，F，G分别是AB，OB，OC，AC的中点，
∴DG∥ EF∥ BC ，DE∥AH∥ GF，
∴四边形DEFG是平行四边形．
∵EF'∥BC，AH⊥BC，∴AH⊥EF．
又∵DE∥AH，∴EF⊥DE，∴∠DEF=90°，
∴四边形DEFG是矩形．
（2）解：∵△BOC是等腰直角三角形，∴BC=2EF=2OH=2×3=6，AH=OA+OH= 2DE+EF= 2×2+3=7，∴S△ABC=×6×7=21．
【知识点】三角形的面积；矩形的判定；线段垂直平分线的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】(1)利用等腰三角形的轴对称性可得AH是BC的垂直平分线，再通过三角形的中位线定理可得DG∥ EF∥ BC ，DE∥AH∥ GF，证得四边形DEFG是平行四边形，然后利用平行线的性质证得∠DEF=90°，故平行四边形DEFG是矩形．
(2)利用等腰直角三角形的性质可得BC=2OH=6，由三角形的中位线定理可得AO=2DE=4，故AH=7，再通过三角形的面积公式计算出△ABC的面积．
四、综合题
16．（2020九下·兰州月考）如图，在四边形ABCD中， AD∥BC，∠D=90°，E为边BC上一点，且EC=AD，连接AC.
（1）求证：四边形AECD是矩形；
（2）若AC平分∠DAB，AB=5，EC=2，求AE的长，
【答案】（1）证明：∵AD∥BC，EC=AD，
∴四边形AECD是平行四边形.
又∵∠D=90°，
∴四边形AECD是矩形
（2）解：∵AC平分∠DAB.
∴∠BAC=∠DAC.
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB.
∴∠BAC=∠ACB.
∴BA=BC=5.
∵EC=2，
∴BE=3.
∴在Rt△ABE中，AE=
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【分析】（1）首先判定该四边形为平行四边形，然后得到∠D=90°，从而判定矩形；（2）求得BE的长，在直角三角形ABE中利用勾股定理求得AE的长即可.
17．如图，在 ABCD中，已知E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF．
（1）求证：AB=CF；
（2）当BC与AF满足什么数量关系时，四边形ABFC是矩形，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DF，
∴∠BAF=∠CFA．
∵E为BC的中点，
∴BE=CE．
在△AEB和△FEC中，
，
∴△AEB≌△FEC（AAS）
∴AB=CF
（2）解：当BC=AF时，四边形ABFC是矩形，
理由：∵AB=CF，AB‖CF，
∴四边形ABFC是平行四边形，
∵BC=AF，
∴四边形ABFC是矩形．
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质得出∠BAF=∠CFA，进而得出△AEB≌△FEC（AAS），求出答案；（2）首先得出四边形ABFC是平行四边形，进而得出答案．
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