2023-2024学年人教版初中数学八年级下册 18.2.1 矩形同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023九上·太原期中）已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，对角线AC，BD相交于点O.下列结论一定成立的是（ ）
A．AC⊥BD B．AC=BD C．AB=BC D．AB=AC
2．（2023九上·太原期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AC=6，则矩形的边AB的长为（ ）
A．3 B．6 C． D．
3．（2023九上·邛崃月考）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，已知OA＝5，，则下列选项中图形的周长是有理数的是（ ）
A． B． C． D．矩形
4．（2023八上·江油期中）如图，在中，，是高，是中线，那么在结论①，②，③，④，⑤中错误的个数（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2023八上·余姚期中）如图，在中，是上的一点，，分别是，的中点，，则的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．（2023九上·南山期中）如图，四边形OABC是矩形，A（2，1），B（0，5），点C在第二象限，则点C的坐标是（ ）
A．（-1，3） B．（-1，2） C．（-2，3） D．（-2，4）
7．（2023九上·滕州开学考）如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE＝15°，OA＝6，则BE的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．（2023·盘锦）如图，四边形ABCD是矩形，，，点P是边AD上一点不与点A，D重合，连接PB，PC，点M，N分别是PB，PC的中点，连接MN，AM，DN，点E在边AD上，，则的最小值是（ ）
A． B．3 C． D．
二、填空题
9．（2023七下·浙江期中）如图是一块长方形ABCD的场地，长AB=a米，宽AD=b米，从A、B两处入口的小路宽都为1米，两小路汇合处路宽为2米，其余部分种植草坪，则草坪面积为 ．
10．（2023九上·鄠邑期中）数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何思想，主张取代数和几何中最好的东西以长补短．如图，在直角坐标系中，有一矩形，点的坐标是，则的长是 。
11．（2023九上·白银期中） 如图，矩形的顶点在轴上，点的坐标为，固定边，向左“推”矩形使点落在轴的点的位置，则点的对应点的坐标是 ．
12．（2020九下·郏县期中）如图，在矩形ABMN中，AN=1，点C是MN的中点，分别连接AC，BC，且BC=2，点D为AC的中点，点E为边AB上一个动点，连接DE，点A关于直线DE的对称点为点F，分别连接DF，EF.当EF⊥AC时，AE的长为 .
13．（2023九上·坪山月考）如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上，则的值是 ．
三、解答题
14．如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD= 90°，BC=6，CD=AC=8，M，N分别是对角线BD，AC的中点，连结AM．
（1）求AM的长．
（2）求证：MN⊥AC．
（3）求MN的长．
15．（2023九上·资中期中）巴台农神庙的设计代表了古希腊建筑艺术上的最高水平，它的平面图可看作宽与长的比是的矩形，我们将这种宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形的宽．
（1）黄金矩形的长 ；
（2）如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论；
（3）在图②中，连接，求点到线段的距离．
四、综合题
16．（2018八上·扬州月考）已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点.
（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是 ，QE与QF的数量关系式 ；
（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；
（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明.
17．（2023八下·通榆期末）如图①，在四边形ABCD中，，，，，，点P从点A出发，沿射线AD以每秒2个单位长度的速度运动，点Q从点C出发，沿CB方向以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，P、Q两点同时出发，当点Q到达点B时，点P也随之停止运动，设点Q运动时间为t秒．
（1）AB的长为 ．
（2）求线段PD的长（用含t的代数式表示）．
（3）当以P、D、C、Q为顶点的四边形为平行四边形时，求t的值．
（4）如图②，若点E为BC边上一点，且，当是以BE为腰的等腰三角形时，直接写出t的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【解答】如图所示：
∵∠A=∠B=∠C=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，
故答案为：B.
【分析】先判断出四边形ABCD是矩形，再利用矩形的性质可得AC=BD，从而得解.
2．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】∵矩形ABCD，AC=6，
∴AO=CO=BO=DO=3，
∵∠AOB=60°，
∴△ABO是等边三角形，
∴AB=AO=3，
故答案为：A.
【分析】先利用矩形的性质可得AO=CO=BO=DO=3，再证出△ABO是等边三角形，可得AB=AO=3，从而得解.
3．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90° ， AD=BC， AO=CO， AC=BD，
∴AO=CO=ВO= DO，
∵AO=5，
∴AO=CO=BO= DO=5， AC= 10，
∵∠AOB=60" ，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=AO=5，
由勾股定理得： BC===，
∴△ABC的周长是AB+BC+AC=5+5+10=15+5，是无理数，
△BOC的周长是BC+BO+CO=+5+5=10+，是无理数，
△COD的周长是CD+OC+OD=5+5+5=15，是有理数，
矩形ABCD的周长是AB+BC+CD+AD=5++5+=10+，是无理数，
故答案为：C.
【分析】根据矩形的性质得出∠ABC = 90° ，AD= BC， AB= CD，AO= CO， BO = DO，AC = BD，求出AO=CO=BO=DO=5，根据勾股定理求出BC，再求出答案即可.
4．【答案】B
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；角平分线的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵是斜边上的中线
∴BM=AM
∴，①正确
由不能判定AM平分∠BAC
∴不一定成立，②错误
∵
∴
∵是高
∴
∴，③正确
∵是斜边上的中线
∴，④正确
∵是中线
∴
，⑤错误
故答案为：B
【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质可得BM=AM，再根据等边对等角性质可判断①，④正确 ，再根据角平分线判定定理和性质，三角形内角和定理可判断②，③，再根据三角形面积可判断⑤，即可求出答案.
5．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接AF，如下图：
∵AB=AD，F为BD的中点
∴AF⊥BC
∵E为AC的中点
∴AC=2EF=2×3=6
故答案为：D.
【分析】根据等腰三角形底边上三线重合的性质，可得AF⊥BC；根据直角三角形斜边上的中线等于斜边长度的一半，可以求出AC的值.
6．【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过A作AE⊥x轴于E，过C作CF⊥y轴于F，
∴∠AEO=∠BFC=90°，
∵四边形OABC是矩形，
∴∠ABC=∠BOE=∠BAO=90°，BC=AO，
∴∠BOE+∠AOE=90°，∠BOE+∠ABO=90°，∠CBF+∠ABO=90°，∠CBF+∠BCF=90°，
∴∠BCF=∠AOE，
在△BCF和△AOE中
∴△BCF≌△AOE（AAS）
∴CF=OE，BF=AE，
∵A（2，1），B（0，5），
∴CF=OE=2，BF=AE=1，
∴OF=5-1=4，
∴C（-2，4）.
故答案为：D.
【分析】过A作AE⊥x轴于E，过C作CF⊥y轴于F，由同角的余角相等可得∠AOB=∠CBF，由等角的余角相等可得∠AOE=∠FCB，结合矩形的性质用角角边可证△BCF≌△AOE，由全等三角形的性质可得CF=OE，BF=AE，结合A、B两点的坐标即可求解.
7．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定；等边三角形的判定；矩形的性质
【解析】【解答】解：在矩形ABCD中，AE平分∠BAD
∴∠BAE=∠EAD=45° AD ∥ BC OA=OB=6
∴ ∠AEB=∠EAD=45° ∴ AB=BE
∵∠CAE=15° ∠BAE=45°
∴∠BAC=60° 又∵ OA=OB
∴ △ABo是等边三角形
∴ BO=AB =6
∴BO=BE=6
故答案为：B.
【分析】根据矩形的性质得出∠BAE=∠EAD=45° AD∥BC OA=OB=6 证出∠AEB=∠EAD=45° 得到BE=BA 证得△ABO是等边三角形，得出BO=AB=6 则得出答案。
8．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，作点C关于AD的对称点C'，连接BC'、PC'，
∴PC=PC'，CD=C'D=，
∴PC+PB=PC'+PB，
∴当B、P、C'三点在同一直线上时，BP+PC'=BC'最小，此时BC'=；
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ADC=90°，AD∥BC，
∵点M、N分别是BP、CP的中点，
∴AM=BP，DN=PC，MN∥BC，
∴MN∥AD，
又∵DN∥ME，
∴四边形MNED是平行四边形，
∴DN=ME，
∴AM+ME=AM+DN=(BP+PC)，
∴要求AM+ME的最小值，就是求BP+PC的最小值，
∴AM+ME=AM+DN=(BP+PC)=.
故答案为：C.
【分析】作点C关于AD的对称点C'，连接BC'、PC'，由轴对称性质得PC=PC'，CD=C'D=，则PC+PB=PC'+PB，B、P、C'三点在同一直线上时，BP+PC'=BC'最小，在Rt△BCC'中，利用勾股定理算出BC'；由矩形性质得∠BAD=∠ADC=90°，AD∥BC，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得AM=BP，DN=PC，由三角形中位线定理得MN∥BC，由平行于同一直线的两条直线互相平行得MN∥AD，由两组对边分别平行得四边形是平行四边形得四边形MNED是平行四边形，由平行四边形的对边相等得DN=ME，可推出AM+ME=AM+DN=(BP+PC)，故要求AM+ME的最小值，就是求BP+PC的最小值，从而即可求出答案.
9．【答案】ab-a-2b+2
【知识点】矩形的性质；生活中的平移现象
【解析】【解答】解：由图可知：矩形ABCD中去掉小路后，草坪正好可以拼成一个新的矩形，且它的长为：（a-2）米，宽为（b-1）米．
所以草坪的面积应该是长×宽=（a-2）（b-1）=ab-a-2b+2（米2）．
故答案为：ab-a-2b+2．
【分析】根据已知将道路平移，再利用矩形的性质求出长和宽，再计算即可.
10．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：连接，过作轴于，
∵四边形为矩形，∴，
∵点B的坐标是，∴，，在中，由勾股定理可得：
∴，
∴.
故答案为：C．
【分析】连接，过作轴于，根据矩形的性质可得，点B的坐标是，由勾股定理可得，即可得解．
11．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵B（1，2），四边形OABC为矩形
∴CB=1，OC=AB=2
∵固定边，向左“推”矩形
∴B'C'=BC=1，OC'=OC=2
在Rt△OC'B'中，∠C'B'O=90°
∴
∴C'
故答案为：
【分析】根据矩形的性质可得CB=1，OC=AB=2，则B'C'=BC=1，OC'=OC=2，在Rt△OC'B'中，根据勾股定理即可求出答案.
12．【答案】 或
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵四边形ABMN是矩形，
∴AN=BM=1，∠M=∠N=90°，
∵CM=CN，
∴△BMC≌△ANC（SAS），
∴BC=AC=2，
∴AC=2AN，
∴∠ACN=30°，
∵AB∥MN，
∴∠CAB=∠CBA=30°，
①如图1中，当DF⊥AB时，∠ADF=60°，
∵DA=DF，
∴△ADF是等边三角形，
∴∠AFD=60°，
∵∠DFE=∠DAE=30°，
∴EF平分∠AFD，
∴EF⊥AD，此时AE= .
②如图2中，当△AEF是等边三角形时，EF⊥AC，此时EF= .
综上所述，满足条件的EF的值为 或 .
【分析】证明△BMC≌△ANC（SAS），可得BC=AC=2，由AN=1得出AC=2AN，可得∠ACN=30°，根据平行线的性质可得∠CAB=∠CBA=30°，①当DF⊥AB时，∠ADF=60°，证明△ADF是等边三角形，
从而求出EF平分∠AFD，可得EF⊥AD，求出此时EF即可；②当△AEF是等边三角形时，EF⊥AC，求出此时EF即可.
13．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：由折叠得：DG=0G=AG，AE=OE=BE， OC=BC
∴
设AD=2a，AB=2b，
∴
∴
在中，
即：
解得：
在中，设OF=DF=x，
∴
∴
解得：
∴
∵
∴
故答案为：.
【分析】根据轴对称和矩形的性质，得设AD=2a，AB=2b，根据勾股定理和一元一次方程的性质计算从而完成求解
14．【答案】（1）解：如图，连结CM，
∵∠BAD=∠BCD=90°，M是BD的中点，
∴.
，
∴AM=5.
（2）证明：∵∠BAD=∠BCD=90°，M是BD的中点，
.
∵N是AC的中点，
；
（3）解：∵AC=8，N是AC的中点，
.
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）连结CM，由直角三角形斜边中线的性质可得AM=CM=BM=DM=BD，再利用勾股定理求出BD的长，继而得解；
（2）由（1）知AM=CM，根据等腰三角形扇形合一的性质即可求解；
（3）由线段的中点求出AN，由（2）知MN⊥AC，利用勾股定理求出MN即可．
15．【答案】（1）
（2）解：矩形为黄金矩形，理由是：
由（1）知，
∴，
∴，
故矩形为黄金矩形；
（3）解：连接，，过D作于点G
∵，，
∴，
在中， ，
即，
则，
解得，
∴点D到线段的距离为．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；黄金分割
【解析】【解答】
解：（1）∵ 黄金矩形ABCD的宽AB=1
∴
∴
【分析】本题考查矩形的性质、等面积法及勾股定理等知识，熟悉矩形性质及根式的化简是关键。（1）根据黄金矩形的定义，可得AB：BC= ，计算可得BC，注意最简二次根式的化简；
（2）要知道矩形DCEF是否是黄金矩形，要判断其宽与长之比是否是。由(1)知，则，则，则矩形DCEF为黄金矩形；
（3）连接AE，DE，过D作于点G，由，得，根据等面积法得，得，点D到线段AE的距离为．
16．【答案】（1）AE∥BF；QE=QF
（2）解：QE=QF，证明如下：
如图，延长FQ交AE于D，
∵AE∥BF，∴∠QAD=∠FBQ。
在△FBQ和△DAQ中，∵ ，
∴△FBQ≌△DAQ（ASA）。∴QF=QD。
∵AE⊥CP，∴EQ是直角三角形DEF斜边上的中线。
∴QE=QF=QD，即QE=QF。
（3）解：（2）中的结论仍然成立。证明如下：
如图，延长EQ、FB交于D，
∵AE∥BF，∴∠1=∠D。
在△AQE和△BQD中， ，
∴△AQE≌△BQD（AAS），∴QE=QD。
∵BF⊥CP，∴FQ是斜边DE上的中线。∴QE=QF。
【知识点】平行线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】（1）解：当点P与点Q重合时，AE∥BF， QE=QF ，理由如下：
∵BF⊥CP，AE⊥CP，∴∠BFQ=∠AEQ=90°，∴AE∥BF；∵点Q是AB的中点，∴BQ=AQ，又∠BQF=∠AQE，∴△BFQ≌△AEQ，∴ QE=QF；
【分析】（1） 当点P与点Q重合时，AE∥BF， QE=QF ，理由如下：根据同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行即可得出AE∥BF；然后可以利用AAS判断出△BFQ≌△AEQ，根据全等三角形的对应边相等得出QE=QF；
（2） QE=QF，理由如下： 如图，延长FQ交AE于D， 根据二直线平行，内错角相等得出 ∠QAD=∠FBQ ，从而利用ASA判断出 △FBQ≌△DAQ ，根据全等三角形的对应边相等得出QF=QD，进而根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出 QE=QF=QD，即QE=QF ；
（3） QE=QF 仍然成立。理由如下： 如图，延长EQ、FB交于D， 根据二直线平行，内错角相等得出 ∠1=∠D ，从而利用AAS判断出 △AQE≌△BQD ，根据全等三角形的对应边相等得出 QE=QD ，进而根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出 QE=QF 。
17．【答案】（1）4
（2）解：点P运动到D点时，共用了，Q总共运动了，
∴当时，，
当时，，
综上，
（3）解：若四边形PDCQ为平行四边形，
则，
由（2）得，，
根据题意得，，
∴当时，，
当时，，
综上，当以P、D、C、Q为顶点的四边形为平行四边形时，或
（4）解：t的值为 或1或4
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）如图所示，过点D作，
∵，，
∴，
∴四边形ABED是矩形，
∴，，
∴，
∵CD=5，
∴，
∴，
故答案为：4．
（4）当点P在线段AD上，且，
则，
∴，
，
当点P在线段AD上，且，如图所示，过点P作，
则，，
在中，根据勾股定理得，
解得，，
当点P在线段AD的延长线上，且，如图所示，过点E作，
则，，
在中，根据勾股定理得，
解得，，
综上，当△PBE是以BE为腰的等腰三角形时，t的值为 或1或4．
【分析】⑴、求线段AB长，添加辅助线DE垂直于BC于点E，利用矩形性质（AB=DE）等线段转化，再利用直角三角形DEC，求DE长度即可。
⑵、首先分析两点的运动时间，可知两点最多运动9秒，所以点P可以在线段AD上，也能运动到AD的延长线上，故PD长分两类讨论，且利用线段和差可得PD=AD-AP或PD=AP-AD；
⑶因为PD平行于CQ，所以当PD等于CQ时，以P、D、C、Q为顶点的四边形是平行四边形，结合上一小题，可得结果。
⑷、因为 是以BE为腰的等腰三角形 ，故等腰三角形另一腰可能是BP也可能是EP，故分两类讨论，又EP=EB=5时，既要考虑点P在线段AD上，又要考虑点P在线段AD的延长线上情形。
1 / 12023-2024学年人教版初中数学八年级下册 18.2.1 矩形同步分层训练培优题
一、选择题
1．（2023九上·太原期中）已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，对角线AC，BD相交于点O.下列结论一定成立的是（ ）
A．AC⊥BD B．AC=BD C．AB=BC D．AB=AC
【答案】B
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【解答】如图所示：
∵∠A=∠B=∠C=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，
故答案为：B.
【分析】先判断出四边形ABCD是矩形，再利用矩形的性质可得AC=BD，从而得解.
2．（2023九上·太原期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AC=6，则矩形的边AB的长为（ ）
A．3 B．6 C． D．
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】∵矩形ABCD，AC=6，
∴AO=CO=BO=DO=3，
∵∠AOB=60°，
∴△ABO是等边三角形，
∴AB=AO=3，
故答案为：A.
【分析】先利用矩形的性质可得AO=CO=BO=DO=3，再证出△ABO是等边三角形，可得AB=AO=3，从而得解.
3．（2023九上·邛崃月考）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，已知OA＝5，，则下列选项中图形的周长是有理数的是（ ）
A． B． C． D．矩形
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90° ， AD=BC， AO=CO， AC=BD，
∴AO=CO=ВO= DO，
∵AO=5，
∴AO=CO=BO= DO=5， AC= 10，
∵∠AOB=60" ，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=AO=5，
由勾股定理得： BC===，
∴△ABC的周长是AB+BC+AC=5+5+10=15+5，是无理数，
△BOC的周长是BC+BO+CO=+5+5=10+，是无理数，
△COD的周长是CD+OC+OD=5+5+5=15，是有理数，
矩形ABCD的周长是AB+BC+CD+AD=5++5+=10+，是无理数，
故答案为：C.
【分析】根据矩形的性质得出∠ABC = 90° ，AD= BC， AB= CD，AO= CO， BO = DO，AC = BD，求出AO=CO=BO=DO=5，根据勾股定理求出BC，再求出答案即可.
4．（2023八上·江油期中）如图，在中，，是高，是中线，那么在结论①，②，③，④，⑤中错误的个数（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；角平分线的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵是斜边上的中线
∴BM=AM
∴，①正确
由不能判定AM平分∠BAC
∴不一定成立，②错误
∵
∴
∵是高
∴
∴，③正确
∵是斜边上的中线
∴，④正确
∵是中线
∴
，⑤错误
故答案为：B
【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质可得BM=AM，再根据等边对等角性质可判断①，④正确 ，再根据角平分线判定定理和性质，三角形内角和定理可判断②，③，再根据三角形面积可判断⑤，即可求出答案.
5．（2023八上·余姚期中）如图，在中，是上的一点，，分别是，的中点，，则的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接AF，如下图：
∵AB=AD，F为BD的中点
∴AF⊥BC
∵E为AC的中点
∴AC=2EF=2×3=6
故答案为：D.
【分析】根据等腰三角形底边上三线重合的性质，可得AF⊥BC；根据直角三角形斜边上的中线等于斜边长度的一半，可以求出AC的值.
6．（2023九上·南山期中）如图，四边形OABC是矩形，A（2，1），B（0，5），点C在第二象限，则点C的坐标是（ ）
A．（-1，3） B．（-1，2） C．（-2，3） D．（-2，4）
【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过A作AE⊥x轴于E，过C作CF⊥y轴于F，
∴∠AEO=∠BFC=90°，
∵四边形OABC是矩形，
∴∠ABC=∠BOE=∠BAO=90°，BC=AO，
∴∠BOE+∠AOE=90°，∠BOE+∠ABO=90°，∠CBF+∠ABO=90°，∠CBF+∠BCF=90°，
∴∠BCF=∠AOE，
在△BCF和△AOE中
∴△BCF≌△AOE（AAS）
∴CF=OE，BF=AE，
∵A（2，1），B（0，5），
∴CF=OE=2，BF=AE=1，
∴OF=5-1=4，
∴C（-2，4）.
故答案为：D.
【分析】过A作AE⊥x轴于E，过C作CF⊥y轴于F，由同角的余角相等可得∠AOB=∠CBF，由等角的余角相等可得∠AOE=∠FCB，结合矩形的性质用角角边可证△BCF≌△AOE，由全等三角形的性质可得CF=OE，BF=AE，结合A、B两点的坐标即可求解.
7．（2023九上·滕州开学考）如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE＝15°，OA＝6，则BE的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定；等边三角形的判定；矩形的性质
【解析】【解答】解：在矩形ABCD中，AE平分∠BAD
∴∠BAE=∠EAD=45° AD ∥ BC OA=OB=6
∴ ∠AEB=∠EAD=45° ∴ AB=BE
∵∠CAE=15° ∠BAE=45°
∴∠BAC=60° 又∵ OA=OB
∴ △ABo是等边三角形
∴ BO=AB =6
∴BO=BE=6
故答案为：B.
【分析】根据矩形的性质得出∠BAE=∠EAD=45° AD∥BC OA=OB=6 证出∠AEB=∠EAD=45° 得到BE=BA 证得△ABO是等边三角形，得出BO=AB=6 则得出答案。
8．（2023·盘锦）如图，四边形ABCD是矩形，，，点P是边AD上一点不与点A，D重合，连接PB，PC，点M，N分别是PB，PC的中点，连接MN，AM，DN，点E在边AD上，，则的最小值是（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，作点C关于AD的对称点C'，连接BC'、PC'，
∴PC=PC'，CD=C'D=，
∴PC+PB=PC'+PB，
∴当B、P、C'三点在同一直线上时，BP+PC'=BC'最小，此时BC'=；
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ADC=90°，AD∥BC，
∵点M、N分别是BP、CP的中点，
∴AM=BP，DN=PC，MN∥BC，
∴MN∥AD，
又∵DN∥ME，
∴四边形MNED是平行四边形，
∴DN=ME，
∴AM+ME=AM+DN=(BP+PC)，
∴要求AM+ME的最小值，就是求BP+PC的最小值，
∴AM+ME=AM+DN=(BP+PC)=.
故答案为：C.
【分析】作点C关于AD的对称点C'，连接BC'、PC'，由轴对称性质得PC=PC'，CD=C'D=，则PC+PB=PC'+PB，B、P、C'三点在同一直线上时，BP+PC'=BC'最小，在Rt△BCC'中，利用勾股定理算出BC'；由矩形性质得∠BAD=∠ADC=90°，AD∥BC，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得AM=BP，DN=PC，由三角形中位线定理得MN∥BC，由平行于同一直线的两条直线互相平行得MN∥AD，由两组对边分别平行得四边形是平行四边形得四边形MNED是平行四边形，由平行四边形的对边相等得DN=ME，可推出AM+ME=AM+DN=(BP+PC)，故要求AM+ME的最小值，就是求BP+PC的最小值，从而即可求出答案.
二、填空题
9．（2023七下·浙江期中）如图是一块长方形ABCD的场地，长AB=a米，宽AD=b米，从A、B两处入口的小路宽都为1米，两小路汇合处路宽为2米，其余部分种植草坪，则草坪面积为 ．
【答案】ab-a-2b+2
【知识点】矩形的性质；生活中的平移现象
【解析】【解答】解：由图可知：矩形ABCD中去掉小路后，草坪正好可以拼成一个新的矩形，且它的长为：（a-2）米，宽为（b-1）米．
所以草坪的面积应该是长×宽=（a-2）（b-1）=ab-a-2b+2（米2）．
故答案为：ab-a-2b+2．
【分析】根据已知将道路平移，再利用矩形的性质求出长和宽，再计算即可.
10．（2023九上·鄠邑期中）数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何思想，主张取代数和几何中最好的东西以长补短．如图，在直角坐标系中，有一矩形，点的坐标是，则的长是 。
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：连接，过作轴于，
∵四边形为矩形，∴，
∵点B的坐标是，∴，，在中，由勾股定理可得：
∴，
∴.
故答案为：C．
【分析】连接，过作轴于，根据矩形的性质可得，点B的坐标是，由勾股定理可得，即可得解．
11．（2023九上·白银期中） 如图，矩形的顶点在轴上，点的坐标为，固定边，向左“推”矩形使点落在轴的点的位置，则点的对应点的坐标是 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵B（1，2），四边形OABC为矩形
∴CB=1，OC=AB=2
∵固定边，向左“推”矩形
∴B'C'=BC=1，OC'=OC=2
在Rt△OC'B'中，∠C'B'O=90°
∴
∴C'
故答案为：
【分析】根据矩形的性质可得CB=1，OC=AB=2，则B'C'=BC=1，OC'=OC=2，在Rt△OC'B'中，根据勾股定理即可求出答案.
12．（2020九下·郏县期中）如图，在矩形ABMN中，AN=1，点C是MN的中点，分别连接AC，BC，且BC=2，点D为AC的中点，点E为边AB上一个动点，连接DE，点A关于直线DE的对称点为点F，分别连接DF，EF.当EF⊥AC时，AE的长为 .
【答案】 或
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵四边形ABMN是矩形，
∴AN=BM=1，∠M=∠N=90°，
∵CM=CN，
∴△BMC≌△ANC（SAS），
∴BC=AC=2，
∴AC=2AN，
∴∠ACN=30°，
∵AB∥MN，
∴∠CAB=∠CBA=30°，
①如图1中，当DF⊥AB时，∠ADF=60°，
∵DA=DF，
∴△ADF是等边三角形，
∴∠AFD=60°，
∵∠DFE=∠DAE=30°，
∴EF平分∠AFD，
∴EF⊥AD，此时AE= .
②如图2中，当△AEF是等边三角形时，EF⊥AC，此时EF= .
综上所述，满足条件的EF的值为 或 .
【分析】证明△BMC≌△ANC（SAS），可得BC=AC=2，由AN=1得出AC=2AN，可得∠ACN=30°，根据平行线的性质可得∠CAB=∠CBA=30°，①当DF⊥AB时，∠ADF=60°，证明△ADF是等边三角形，
从而求出EF平分∠AFD，可得EF⊥AD，求出此时EF即可；②当△AEF是等边三角形时，EF⊥AC，求出此时EF即可.
13．（2023九上·坪山月考）如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上，则的值是 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：由折叠得：DG=0G=AG，AE=OE=BE， OC=BC
∴
设AD=2a，AB=2b，
∴
∴
在中，
即：
解得：
在中，设OF=DF=x，
∴
∴
解得：
∴
∵
∴
故答案为：.
【分析】根据轴对称和矩形的性质，得设AD=2a，AB=2b，根据勾股定理和一元一次方程的性质计算从而完成求解
三、解答题
14．如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD= 90°，BC=6，CD=AC=8，M，N分别是对角线BD，AC的中点，连结AM．
（1）求AM的长．
（2）求证：MN⊥AC．
（3）求MN的长．
【答案】（1）解：如图，连结CM，
∵∠BAD=∠BCD=90°，M是BD的中点，
∴.
，
∴AM=5.
（2）证明：∵∠BAD=∠BCD=90°，M是BD的中点，
.
∵N是AC的中点，
；
（3）解：∵AC=8，N是AC的中点，
.
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）连结CM，由直角三角形斜边中线的性质可得AM=CM=BM=DM=BD，再利用勾股定理求出BD的长，继而得解；
（2）由（1）知AM=CM，根据等腰三角形扇形合一的性质即可求解；
（3）由线段的中点求出AN，由（2）知MN⊥AC，利用勾股定理求出MN即可．
15．（2023九上·资中期中）巴台农神庙的设计代表了古希腊建筑艺术上的最高水平，它的平面图可看作宽与长的比是的矩形，我们将这种宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形的宽．
（1）黄金矩形的长 ；
（2）如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论；
（3）在图②中，连接，求点到线段的距离．
【答案】（1）
（2）解：矩形为黄金矩形，理由是：
由（1）知，
∴，
∴，
故矩形为黄金矩形；
（3）解：连接，，过D作于点G
∵，，
∴，
在中， ，
即，
则，
解得，
∴点D到线段的距离为．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；黄金分割
【解析】【解答】
解：（1）∵ 黄金矩形ABCD的宽AB=1
∴
∴
【分析】本题考查矩形的性质、等面积法及勾股定理等知识，熟悉矩形性质及根式的化简是关键。（1）根据黄金矩形的定义，可得AB：BC= ，计算可得BC，注意最简二次根式的化简；
（2）要知道矩形DCEF是否是黄金矩形，要判断其宽与长之比是否是。由(1)知，则，则，则矩形DCEF为黄金矩形；
（3）连接AE，DE，过D作于点G，由，得，根据等面积法得，得，点D到线段AE的距离为．
四、综合题
16．（2018八上·扬州月考）已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点.
（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是 ，QE与QF的数量关系式 ；
（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；
（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明.
【答案】（1）AE∥BF；QE=QF
（2）解：QE=QF，证明如下：
如图，延长FQ交AE于D，
∵AE∥BF，∴∠QAD=∠FBQ。
在△FBQ和△DAQ中，∵ ，
∴△FBQ≌△DAQ（ASA）。∴QF=QD。
∵AE⊥CP，∴EQ是直角三角形DEF斜边上的中线。
∴QE=QF=QD，即QE=QF。
（3）解：（2）中的结论仍然成立。证明如下：
如图，延长EQ、FB交于D，
∵AE∥BF，∴∠1=∠D。
在△AQE和△BQD中， ，
∴△AQE≌△BQD（AAS），∴QE=QD。
∵BF⊥CP，∴FQ是斜边DE上的中线。∴QE=QF。
【知识点】平行线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】（1）解：当点P与点Q重合时，AE∥BF， QE=QF ，理由如下：
∵BF⊥CP，AE⊥CP，∴∠BFQ=∠AEQ=90°，∴AE∥BF；∵点Q是AB的中点，∴BQ=AQ，又∠BQF=∠AQE，∴△BFQ≌△AEQ，∴ QE=QF；
【分析】（1） 当点P与点Q重合时，AE∥BF， QE=QF ，理由如下：根据同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行即可得出AE∥BF；然后可以利用AAS判断出△BFQ≌△AEQ，根据全等三角形的对应边相等得出QE=QF；
（2） QE=QF，理由如下： 如图，延长FQ交AE于D， 根据二直线平行，内错角相等得出 ∠QAD=∠FBQ ，从而利用ASA判断出 △FBQ≌△DAQ ，根据全等三角形的对应边相等得出QF=QD，进而根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出 QE=QF=QD，即QE=QF ；
（3） QE=QF 仍然成立。理由如下： 如图，延长EQ、FB交于D， 根据二直线平行，内错角相等得出 ∠1=∠D ，从而利用AAS判断出 △AQE≌△BQD ，根据全等三角形的对应边相等得出 QE=QD ，进而根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出 QE=QF 。
17．（2023八下·通榆期末）如图①，在四边形ABCD中，，，，，，点P从点A出发，沿射线AD以每秒2个单位长度的速度运动，点Q从点C出发，沿CB方向以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，P、Q两点同时出发，当点Q到达点B时，点P也随之停止运动，设点Q运动时间为t秒．
（1）AB的长为 ．
（2）求线段PD的长（用含t的代数式表示）．
（3）当以P、D、C、Q为顶点的四边形为平行四边形时，求t的值．
（4）如图②，若点E为BC边上一点，且，当是以BE为腰的等腰三角形时，直接写出t的值．
【答案】（1）4
（2）解：点P运动到D点时，共用了，Q总共运动了，
∴当时，，
当时，，
综上，
（3）解：若四边形PDCQ为平行四边形，
则，
由（2）得，，
根据题意得，，
∴当时，，
当时，，
综上，当以P、D、C、Q为顶点的四边形为平行四边形时，或
（4）解：t的值为 或1或4
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）如图所示，过点D作，
∵，，
∴，
∴四边形ABED是矩形，
∴，，
∴，
∵CD=5，
∴，
∴，
故答案为：4．
（4）当点P在线段AD上，且，
则，
∴，
，
当点P在线段AD上，且，如图所示，过点P作，
则，，
在中，根据勾股定理得，
解得，，
当点P在线段AD的延长线上，且，如图所示，过点E作，
则，，
在中，根据勾股定理得，
解得，，
综上，当△PBE是以BE为腰的等腰三角形时，t的值为 或1或4．
【分析】⑴、求线段AB长，添加辅助线DE垂直于BC于点E，利用矩形性质（AB=DE）等线段转化，再利用直角三角形DEC，求DE长度即可。
⑵、首先分析两点的运动时间，可知两点最多运动9秒，所以点P可以在线段AD上，也能运动到AD的延长线上，故PD长分两类讨论，且利用线段和差可得PD=AD-AP或PD=AP-AD；
⑶因为PD平行于CQ，所以当PD等于CQ时，以P、D、C、Q为顶点的四边形是平行四边形，结合上一小题，可得结果。
⑷、因为 是以BE为腰的等腰三角形 ，故等腰三角形另一腰可能是BP也可能是EP，故分两类讨论，又EP=EB=5时，既要考虑点P在线段AD上，又要考虑点P在线段AD的延长线上情形。
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