2023-2024学年人教版初中数学八年级下册 18.2.2 菱形同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2023九上·简阳期中）菱形的对角线，则菱形的面积是（ ）
A．20 B．15 C．12 D．10
【答案】D
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形的对角线垂直，
∴菱形的面积为：．
故答案为：D.
【分析】根据菱形的面积公式求解。根据菱形的对角线垂直的特点可得菱形的面积为．
2．（2023九上·鄠邑期中）如图，菱形的周长为8，是的中点，，交于点，那么的长是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵菱形的周长为8，
∴，
∵是的中点，，
∴是的中位线，
∴.
故答案为：D.
【分析】根据菱形的性质得出，由已知条件得是的中位线，根据三角形中位线定理，即可得出结果．
3．（2023九上·邛崃月考）在下列条件中，能够判定四边形是菱形的是（ ）
A．两条对角线相等 B．两条对角线相等且互相垂直
C．两条对角线互相垂直 D．两条对角线互相垂直平分
【答案】D
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：A、 对角线相等的四边形有矩形，正方形 ；故A 不能够判定四边形是菱形；
B、对角线垂直且相等的四边形是正方形；故B不能够判定四边形是菱形；
C、两条对角线互相垂直的四边形 ，不一定是菱形；故C不能够判定四边形是菱形；
D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故D不能够判定四边形是菱形；
故答案为：D.
【分析】根据菱形的判定有三种：四边相等的四边形，一组邻边相等的平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形。
4．（2023九上·高碑店月考）如图，为菱形的对角线，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解： 四边形形ABCD是菱形
对角线互相垂直且每一条对角线平分一组对角
故
故答案为：B
【分析】根据菱形对角线的性质：菱形的两条对角线互相垂直且每一条对角线平分一组对角，进行判断。
5．如图，菱形ABCD的两条对角线交于点O，BE⊥DC，交DC的延长线于点E，若AC=6， BD=8，则BE的长是（ ）
A． B． C． D．4
【答案】A
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解： ∵四边形ABCD是菱形，
∴，，，
在Rt△OCD中，由勾股定理得，
∵，
∴，
解得：.
故答案为：A.
【分析】根据菱形的性质、勾股定理可得菱形边长，再由菱形的面积公式可求BE的长.
6．如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连结BD，AD，下列条件不能判定四边形ABCD是菱形的是（ ）
A．∠ABC=∠ACB B．AB=AD C．∠BAC=∠DAC D．AC⊥BD
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；平移的性质
【解析】【解答】解： △ABC沿BC方向平移得到△DCE，
∴，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
当AB=AD时， 四边形ABCD是菱形 ，故选项B不符合题意；
当∠BAC=∠DAC时，
∵AD∥BC，∴，
∴，
∴AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形 ，故选项C不符合题意；
当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形 ，故选项D不符合题意；
当∠ABC=∠ACB时，AB=AC，不能推出平行四边形ABCD是菱形，故选项A符合题意.
故答案为：A.
【分析】由平移的性质得AB∥CD，AB=CD，从而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得四边形ABCD是平行四边形，根据菱形的判定方法：①一组邻边相等得平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可逐个判断得出答案.
7．如图，在菱形 ABCD中，对角线 AC，BD相交于点O，E 是边AD的中点，连结OE.若菱形ABCD的周长为32，则 OE 的长为 （ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】A
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形
∵DB⊥AC，CD=BC=AB=AD=
∴∠DOA=90°
∵E是AD的中点
∴
故答案为：A.
【分析】由菱形的四边相等结合菱形的周长可算出AD的长，由菱形的对角线互相垂直可得直角△AOD，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出OE的长.
8．如图，菱形 ABCD的对角线AC，BD相交于点O.若AC=6，BD=8，AE⊥BC，垂足为 E，则AE 的长为 （ ）
A． B． C． D．10
【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴
故选：B.
【分析】利用菱形的面积公式：，即可解决问题
二、填空题
9．（2023九上·肇源月考）如右图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60°的菱形，剪口与折痕所成的角α的度数应为 .
【答案】30°或60°
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：矩形展开图和折痕如下：
①设α=∠ABD，
由题意可知，∠ABC=60°；
∵四边形ABCD是菱形
∴∠ABD=∠CBD==30°，即α=30°；
②设α=∠BAC，
∵四边形ABCD是菱形
∴∠BAC=∠DAC==180°-60°=120°
∴α=∠BAC=60°
故答案为：30°和60°.
【分析】根据菱形的对角线平分菱形的对角，可以直接求出α的度数.
10．（2023九上·商河月考）如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，只要添加条件AC BD．就能保证四边形EFGH是菱形．
【答案】=
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：由题意可得：四边形EFGH为平行四边形，
∴只要添加条件AC=BD， 就能保证四边形EFGH是菱形，
故答案为：=.
【分析】根据菱形的判定方法，结合图形判断求解即可。
11．（2023九上·邛崃月考）如图，将两条宽度均为2的纸条相交成30°的角叠放，则重合部分构成的四边形ABCD的面积为
【答案】8
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的判定；菱形的判定与性质
【解析】【解答】
解：过点A作AEBC于E，AELCD于F如图所示：
∵两条纸条宽度相同，
∴ AE= AF，
∵ABIICD， AD1IBC，
∴四边形ABCD是平行四边形，∠ABC = 30°，
∵S ABCD = BC. AE= CD. AF，
又∵AE= AF，
∴BC = CD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AB = BC，
在Rt△AEB中，∠.AEB = 90°，
∠ABC= 30°， AE= 2，
∴BC = AB= 2AE= 4，
∴四边形ABCD的面积= BC·AE=4x2=8，
故答案为：8.
【分析】先可判断重叠部分为平行四边形，再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形，然后由含30°角的直角三角形的性质求出BC=AB=4，最后根据平行四边形的面积公式求得即可.
12．如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分.当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，阴影部分的面积为 .
【答案】12
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：O是菱形的两条对角线的交点，点O是菱形的对称中心.由图形的对称性得出阴影部分面积为菱形面积的一半，而菱形的对角线的长分别为6和8，
∴ 菱形的面积为x6x8=24，
∴ 阴影部分的面积为
故答案为：12.
【分析】根据菱形的性质即可求本题.
13．如图，菱形 ABCD的边AB 的垂直平分线交AB 于点 E，交 AC 于 点 F，连 结 DF. 若∠BAD=100°，则∠CDF= °.
【答案】30
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：如图连接BF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=BC，∠DCF = ∠BCF，
在△BCF和△DCF中， CD =BC， ∠DCF = ∠BCF，CF =CF
∴ △BCF≌△DCF (SAS)，
∴∠CBF= ∠CDF，
∵FE垂直平分AB，
∠BAF =x100°=50°，
∠ABF = ∠BAF = 50°，
∵∠ABC = 180°-100°=80°，
∠CBF = 80°-50°=30°，
∴∠CDF =30°.
故答案为：30°.
【分析】连接BF，利用SAS判定△BCF≌△DCF，从而得到∠CBF = ∠CDF，根据已知可得出∠CBF的度数，从而得∠CDF的度数.
三、解答题
14．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，BE∥AC，AE∥BD，EO与AB相交于点F．
（1）求证：EO=DC；
（2）若菱形ABCD的边长为10，∠EBA=60°，求菱形ABCD的面积．
【答案】（1）证明：∵BE∥AC，AE∥ BD，
∴四边形AEBO是平行四边形．
又∵菱形ABCD的对角线相交于点O，
∴AC⊥BD，即∠AOB=90°，
∴四边形AEBO是矩形，
∴EO=AB．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB= DC，
∴EO=DC；
（2）解：由（1）知四边形AEBO是矩形，
∴∠EBO= 90°．
∵∠EBA =60° ，
∴∠ABO=30°．
在Rt△ABO中，AB=10，∠ABO=30°，
∴AO=5，BO=，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD=，AC=10，
∴菱形ABCD的面积=．
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由两组对边分别平行得四边形是平行四边形得四边形AEBO是平行四边形，由菱形得性质得AC⊥BD，AB= DC，进而根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得四边形AEBO是矩形，根据矩形的对角线相等即可得解；
（2）根据矩形的性质及角的和差可得∠ABO=30°，在Rt△ABO中，由含30°角直角三角形的性质先求出AO=5，BO=，进而根据菱形的性质得BD=，AC=10，进而根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半计算求解即可.
15．小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BD，OB=OD．求证：四边形ABCD是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流．
小惠：
证明：∵AC⊥BD，OB=OD，
∴AC垂直平分BD，
∴AB=AD，CB=CD，
∴四边形ABCD是菱形．
小洁：
这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明．
若赞同小惠的证法，请在第一个方框“”内打“√" ；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明．
【答案】解：赞成小洁的说法，补充条件：OA =OC，证明如下： ．
∵OA=OC ， OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
又∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定
【解析】【分析】根据对角线互相平分，先证明四边形ABCD是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可得解.
四、综合题
16．（2017九上·深圳期中）如图，四边形ABCD为矩形，O为AC中点，过点O作AC的垂线分别交AD、BC于点E、F，连接AF、CE．
（1）求证：四边形AFCE是菱形．
（2）若AC=8，EF=6，求BF的长.
【答案】（1）证明：∵O为AC中点，EF⊥AC，
∴EF为AC的垂直平分线，
∴EA=EC，FA=FC，
∴∠EAC=∠ECA，∠FAC=∠FCA．
∵AE∥CF，
∴∠EAC=∠FCA，
∴∠FAC=∠ECA，
∴AF∥CE，
∴四边形AFCE平行四边形，
又∵EA=EC，
∴平行四边形AFCE是菱形．
（2）解：∵四边形AFCE是菱形，AC=8，EF=6，
∴OE=3，OA=4，
又∵EF⊥AC，
∴AE=CF=5，
设BF=x，
在Rt△ABF中，
AB2=AF2﹣BF2，
在Rt△ABC中，
AB2=AC2﹣BC2．
∴52﹣x2=82-（x+5）2，
解得 x=，
∴ BF=．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的判定；菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】（1）由中垂线定义得EF为AC的垂直平分线，再由其性质得EA=EC，FA=FC；根据等腰三角形性质——等边对等角得∠EAC=∠ECA，
∠FAC=∠FCA；由平行线的性质知∠EAC=∠FCA，等量代换即可得∠FAC=∠ECA，由平行线的判定得AF∥CE，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得四边形AFCE平行四边形；再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形得证．
（2）由菱形的性质和已知条件得OE=3，OA=4，再由勾股定理得AE=CF=5，设BF=x；在Rt△ABF和Rt△ABC中，由勾股定理得
AB2=AF2﹣BF2，AB2=AC2﹣BC2．代入数值即可得出方程，解之即可得出答案.
17．（2020·晋中模拟）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB∥DC，AB＝BC，BD平分∠ABC，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝2 ，BD＝4，求OE的长．
【答案】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD
∴∠CDB＝∠CBD，
∴BC＝CD，且AB＝BC
∴CD＝AB，且AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形，且AB＝BC
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC，BO＝DO＝2
∵AO＝ ＝ ＝4
∵CE⊥AB，AO＝CO
∴EO＝AO＝CO＝4．
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由平行线性质和角平分线性质易证明，BC=CD，因为AB∥CD且AB=BC，即可证明．（2）直角三角形斜边的中线是斜边的一半，所以OE=OA=OC，菱形角平分线相互垂直平分，用勾股定理即可算出OC的长．
1 / 12023-2024学年人教版初中数学八年级下册 18.2.2 菱形同步分层训练基础题
一、选择题
1．（2023九上·简阳期中）菱形的对角线，则菱形的面积是（ ）
A．20 B．15 C．12 D．10
2．（2023九上·鄠邑期中）如图，菱形的周长为8，是的中点，，交于点，那么的长是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．（2023九上·邛崃月考）在下列条件中，能够判定四边形是菱形的是（ ）
A．两条对角线相等 B．两条对角线相等且互相垂直
C．两条对角线互相垂直 D．两条对角线互相垂直平分
4．（2023九上·高碑店月考）如图，为菱形的对角线，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，菱形ABCD的两条对角线交于点O，BE⊥DC，交DC的延长线于点E，若AC=6， BD=8，则BE的长是（ ）
A． B． C． D．4
6．如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连结BD，AD，下列条件不能判定四边形ABCD是菱形的是（ ）
A．∠ABC=∠ACB B．AB=AD C．∠BAC=∠DAC D．AC⊥BD
7．如图，在菱形 ABCD中，对角线 AC，BD相交于点O，E 是边AD的中点，连结OE.若菱形ABCD的周长为32，则 OE 的长为 （ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
8．如图，菱形 ABCD的对角线AC，BD相交于点O.若AC=6，BD=8，AE⊥BC，垂足为 E，则AE 的长为 （ ）
A． B． C． D．10
二、填空题
9．（2023九上·肇源月考）如右图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60°的菱形，剪口与折痕所成的角α的度数应为 .
10．（2023九上·商河月考）如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，只要添加条件AC BD．就能保证四边形EFGH是菱形．
11．（2023九上·邛崃月考）如图，将两条宽度均为2的纸条相交成30°的角叠放，则重合部分构成的四边形ABCD的面积为
12．如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分.当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，阴影部分的面积为 .
13．如图，菱形 ABCD的边AB 的垂直平分线交AB 于点 E，交 AC 于 点 F，连 结 DF. 若∠BAD=100°，则∠CDF= °.
三、解答题
14．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，BE∥AC，AE∥BD，EO与AB相交于点F．
（1）求证：EO=DC；
（2）若菱形ABCD的边长为10，∠EBA=60°，求菱形ABCD的面积．
15．小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BD，OB=OD．求证：四边形ABCD是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流．
小惠：
证明：∵AC⊥BD，OB=OD，
∴AC垂直平分BD，
∴AB=AD，CB=CD，
∴四边形ABCD是菱形．
小洁：
这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明．
若赞同小惠的证法，请在第一个方框“”内打“√" ；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明．
四、综合题
16．（2017九上·深圳期中）如图，四边形ABCD为矩形，O为AC中点，过点O作AC的垂线分别交AD、BC于点E、F，连接AF、CE．
（1）求证：四边形AFCE是菱形．
（2）若AC=8，EF=6，求BF的长.
17．（2020·晋中模拟）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB∥DC，AB＝BC，BD平分∠ABC，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝2 ，BD＝4，求OE的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形的对角线垂直，
∴菱形的面积为：．
故答案为：D.
【分析】根据菱形的面积公式求解。根据菱形的对角线垂直的特点可得菱形的面积为．
2．【答案】D
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵菱形的周长为8，
∴，
∵是的中点，，
∴是的中位线，
∴.
故答案为：D.
【分析】根据菱形的性质得出，由已知条件得是的中位线，根据三角形中位线定理，即可得出结果．
3．【答案】D
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：A、 对角线相等的四边形有矩形，正方形 ；故A 不能够判定四边形是菱形；
B、对角线垂直且相等的四边形是正方形；故B不能够判定四边形是菱形；
C、两条对角线互相垂直的四边形 ，不一定是菱形；故C不能够判定四边形是菱形；
D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故D不能够判定四边形是菱形；
故答案为：D.
【分析】根据菱形的判定有三种：四边相等的四边形，一组邻边相等的平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形。
4．【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解： 四边形形ABCD是菱形
对角线互相垂直且每一条对角线平分一组对角
故
故答案为：B
【分析】根据菱形对角线的性质：菱形的两条对角线互相垂直且每一条对角线平分一组对角，进行判断。
5．【答案】A
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解： ∵四边形ABCD是菱形，
∴，，，
在Rt△OCD中，由勾股定理得，
∵，
∴，
解得：.
故答案为：A.
【分析】根据菱形的性质、勾股定理可得菱形边长，再由菱形的面积公式可求BE的长.
6．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；平移的性质
【解析】【解答】解： △ABC沿BC方向平移得到△DCE，
∴，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
当AB=AD时， 四边形ABCD是菱形 ，故选项B不符合题意；
当∠BAC=∠DAC时，
∵AD∥BC，∴，
∴，
∴AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形 ，故选项C不符合题意；
当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形 ，故选项D不符合题意；
当∠ABC=∠ACB时，AB=AC，不能推出平行四边形ABCD是菱形，故选项A符合题意.
故答案为：A.
【分析】由平移的性质得AB∥CD，AB=CD，从而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得四边形ABCD是平行四边形，根据菱形的判定方法：①一组邻边相等得平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可逐个判断得出答案.
7．【答案】A
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形
∵DB⊥AC，CD=BC=AB=AD=
∴∠DOA=90°
∵E是AD的中点
∴
故答案为：A.
【分析】由菱形的四边相等结合菱形的周长可算出AD的长，由菱形的对角线互相垂直可得直角△AOD，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出OE的长.
8．【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴
故选：B.
【分析】利用菱形的面积公式：，即可解决问题
9．【答案】30°或60°
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：矩形展开图和折痕如下：
①设α=∠ABD，
由题意可知，∠ABC=60°；
∵四边形ABCD是菱形
∴∠ABD=∠CBD==30°，即α=30°；
②设α=∠BAC，
∵四边形ABCD是菱形
∴∠BAC=∠DAC==180°-60°=120°
∴α=∠BAC=60°
故答案为：30°和60°.
【分析】根据菱形的对角线平分菱形的对角，可以直接求出α的度数.
10．【答案】=
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：由题意可得：四边形EFGH为平行四边形，
∴只要添加条件AC=BD， 就能保证四边形EFGH是菱形，
故答案为：=.
【分析】根据菱形的判定方法，结合图形判断求解即可。
11．【答案】8
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的判定；菱形的判定与性质
【解析】【解答】
解：过点A作AEBC于E，AELCD于F如图所示：
∵两条纸条宽度相同，
∴ AE= AF，
∵ABIICD， AD1IBC，
∴四边形ABCD是平行四边形，∠ABC = 30°，
∵S ABCD = BC. AE= CD. AF，
又∵AE= AF，
∴BC = CD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AB = BC，
在Rt△AEB中，∠.AEB = 90°，
∠ABC= 30°， AE= 2，
∴BC = AB= 2AE= 4，
∴四边形ABCD的面积= BC·AE=4x2=8，
故答案为：8.
【分析】先可判断重叠部分为平行四边形，再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形，然后由含30°角的直角三角形的性质求出BC=AB=4，最后根据平行四边形的面积公式求得即可.
12．【答案】12
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：O是菱形的两条对角线的交点，点O是菱形的对称中心.由图形的对称性得出阴影部分面积为菱形面积的一半，而菱形的对角线的长分别为6和8，
∴ 菱形的面积为x6x8=24，
∴ 阴影部分的面积为
故答案为：12.
【分析】根据菱形的性质即可求本题.
13．【答案】30
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：如图连接BF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=BC，∠DCF = ∠BCF，
在△BCF和△DCF中， CD =BC， ∠DCF = ∠BCF，CF =CF
∴ △BCF≌△DCF (SAS)，
∴∠CBF= ∠CDF，
∵FE垂直平分AB，
∠BAF =x100°=50°，
∠ABF = ∠BAF = 50°，
∵∠ABC = 180°-100°=80°，
∠CBF = 80°-50°=30°，
∴∠CDF =30°.
故答案为：30°.
【分析】连接BF，利用SAS判定△BCF≌△DCF，从而得到∠CBF = ∠CDF，根据已知可得出∠CBF的度数，从而得∠CDF的度数.
14．【答案】（1）证明：∵BE∥AC，AE∥ BD，
∴四边形AEBO是平行四边形．
又∵菱形ABCD的对角线相交于点O，
∴AC⊥BD，即∠AOB=90°，
∴四边形AEBO是矩形，
∴EO=AB．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB= DC，
∴EO=DC；
（2）解：由（1）知四边形AEBO是矩形，
∴∠EBO= 90°．
∵∠EBA =60° ，
∴∠ABO=30°．
在Rt△ABO中，AB=10，∠ABO=30°，
∴AO=5，BO=，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD=，AC=10，
∴菱形ABCD的面积=．
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由两组对边分别平行得四边形是平行四边形得四边形AEBO是平行四边形，由菱形得性质得AC⊥BD，AB= DC，进而根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得四边形AEBO是矩形，根据矩形的对角线相等即可得解；
（2）根据矩形的性质及角的和差可得∠ABO=30°，在Rt△ABO中，由含30°角直角三角形的性质先求出AO=5，BO=，进而根据菱形的性质得BD=，AC=10，进而根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半计算求解即可.
15．【答案】解：赞成小洁的说法，补充条件：OA =OC，证明如下： ．
∵OA=OC ， OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
又∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定
【解析】【分析】根据对角线互相平分，先证明四边形ABCD是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可得解.
16．【答案】（1）证明：∵O为AC中点，EF⊥AC，
∴EF为AC的垂直平分线，
∴EA=EC，FA=FC，
∴∠EAC=∠ECA，∠FAC=∠FCA．
∵AE∥CF，
∴∠EAC=∠FCA，
∴∠FAC=∠ECA，
∴AF∥CE，
∴四边形AFCE平行四边形，
又∵EA=EC，
∴平行四边形AFCE是菱形．
（2）解：∵四边形AFCE是菱形，AC=8，EF=6，
∴OE=3，OA=4，
又∵EF⊥AC，
∴AE=CF=5，
设BF=x，
在Rt△ABF中，
AB2=AF2﹣BF2，
在Rt△ABC中，
AB2=AC2﹣BC2．
∴52﹣x2=82-（x+5）2，
解得 x=，
∴ BF=．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的判定；菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】（1）由中垂线定义得EF为AC的垂直平分线，再由其性质得EA=EC，FA=FC；根据等腰三角形性质——等边对等角得∠EAC=∠ECA，
∠FAC=∠FCA；由平行线的性质知∠EAC=∠FCA，等量代换即可得∠FAC=∠ECA，由平行线的判定得AF∥CE，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得四边形AFCE平行四边形；再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形得证．
（2）由菱形的性质和已知条件得OE=3，OA=4，再由勾股定理得AE=CF=5，设BF=x；在Rt△ABF和Rt△ABC中，由勾股定理得
AB2=AF2﹣BF2，AB2=AC2﹣BC2．代入数值即可得出方程，解之即可得出答案.
17．【答案】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD
∴∠CDB＝∠CBD，
∴BC＝CD，且AB＝BC
∴CD＝AB，且AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形，且AB＝BC
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC，BO＝DO＝2
∵AO＝ ＝ ＝4
∵CE⊥AB，AO＝CO
∴EO＝AO＝CO＝4．
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由平行线性质和角平分线性质易证明，BC=CD，因为AB∥CD且AB=BC，即可证明．（2）直角三角形斜边的中线是斜边的一半，所以OE=OA=OC，菱形角平分线相互垂直平分，用勾股定理即可算出OC的长．
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