2023-2024学年人教版初中数学八年级下册 18.2.2 菱形同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2023九上·茂名期中）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是（ ）
A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
2．（2023九上·商河期中）菱形不一定具有的性质是（ ）
A．四条边相等 B．对角线相等
C．是轴对称图形 D．是中心对称图形
3．（2019·泸州）一个菱形的边长为 ，面积为 ，则该菱形的两条对角线的长度之和为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在菱形 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列说法错误的是 （ ）
A．AB∥DC B．∠DAO=∠DCO C．AC⊥BD D．OA=BD
5．如图，菱形ABCD中，点О为对称中心，点E从点A出发沿AB向点B移动，移动到点B停止.作射线EO，交边CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为（ ）
A．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形
B．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形
C．平行四边形→正方形→菱形→矩形
D．平行四边形→菱形→正方形→矩形
6．如图，直线，菱形ABCD和等边在之间，点A，F分别在上，点B，D，E，G在同一直线上.若，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2023九上·简阳期中）如图，在菱形中，是的中点，，交于点，如果，那么菱形的周长为（ ）
A．12 B．20 C．24 D．22
8．（2023八下·番禺期中）如图，菱形中，，与交于点，为延长线上的一点，且，连接分别交，于点、，连接，则下列结论：（ ）
；
与全等的三角形共有个；
；
由点、、、构成的四边形是菱形．
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023九上·龙岗月考）菱形的两条对角线长分别为和，则这个菱形的周长为 ．
10．（2023九上·邵阳月考）若菱形的两条对角线长分别为6和8，则该菱形的面积为 ．
11．（2024八上·长春期末）如图，在菱形ABCD中，，点E为AB中点，点P在对角线BD上运动，若，则AB长的最大值为 .
12．（2023九上·深圳期中）如图，若菱形的面积为，，将菱形折叠，使点恰好落在菱形对角线的交点处，折痕为，则 cm.
13．（2023九上·邛崃月考）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在线段BO上，连接AE，若CD=2BE，，则线段AE的长为 ．
三、解答题
14．如图，在菱形 ABCD 中，过点 B 作 BM⊥AD 于点 M，BN⊥CD 于点 N，BM，BN 分别交AC 于点 E，F.求证：AE=CF.
15．如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC，BD 相交于点O，AB=2，AC=2.求：
（1）菱形 ABCD的周长.
（2）BD的长.
（3）菱形 ABCD的面积.
四、综合题
16．（2019九上·兰州期末）如图，已知菱形 ABCD 中，对角线 ACBD 相交于点 O，过点 C 作 CE∥BD，过点 D 作 DE∥AC，CE 与 DE 相交于点 E．
（1）求证：四边形 CODE 是矩形．
（2）若 AB=5，AC=6，求四边形 CODE 的周长．
17．（2023八下·莆田期末）如图，在四边形中，AB//DC，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】菱形的判定；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图：
∴
∵点E、F、G、H分别为AB、AD、BC、CD的中点，
∴
∴
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵
∴四边形ABCD为菱形，
故答案为：C.
【分析】根据题意画出图形，利用三角形中位线定理得到：进而证明四边形ABCD为平行四边形，最后根据"邻边相等的平行四边形为菱形"，即可求解.
2．【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】菱形的性质有：四边相等，两组对边分别平行，对角线互相垂直平分，对角线平分对角，既是轴对称图形也是中心对称图形。因此B错误。
故答案为：B
【分析】根据菱形的性质解题即可。
3．【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】如图所示：
四边形 是菱形，
， ， ，
面积为 ，
①
菱形的边长为 ，
②，
由①②两式可得： ，
，
，
即该菱形的两条对角线的长度之和为 ，
故答案为：C．
【分析】根据菱形的面积=对角线乘积的一半=底×高，可得2OD·OA=28.利用菱形的性质及勾股定理可得OD2+OA2=36，从而求出OD+OA的长，继而求出菱形的两条对角线的长度之和.
4．【答案】D
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
∴AB//DC，AD=DC，AC⊥BD，AO =OC，OD =OB，故A、C选项正确，不符合题意；
∴∠DAO=∠DCO(等边对等角)，故B选项正确，不符合题意；
题目中没有条件能证出OA=BD，故D选项不一定正确，符合题意.
故答案为：D
【分析】根据菱形的对角线互相垂直，对边平行，可直接判断A、C选项；根据菱形的四边相等及等边对等角可判断B选项；题目中没有条件能证出OA=BD，故D选项不一定正确.
5．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，点O为对称中心，
∴这个四边形先是平行四边形，当对角线相等时是它是矩形，然后又是平行四边形，最后当点E与点B重合时是它是菱形．
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的判定，对称中心的定义，菱形的判定，可得四边形AECF形状的变化情况．
6．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，延长BG，
∵∠ADE＝146°，
∴∠ADB＝180°﹣∠ADE＝34°，
∵∠α＝∠ADB+∠AHD，
∴∠AHD＝∠α﹣∠ADB＝50°﹣34°，＝16°，
∵l1∥l2，
∴∠GIF＝∠AHD＝16°，
∵∠EGF＝∠β+∠GIF，
∵△EFG是等边三角形，
∴∠EGF＝60°，
∴∠β＝∠EGF﹣∠GIF＝60°﹣16°＝44°，
故答案为：C．
【分析】由平角的定义求得∠ADB的度数，然后由外角定理求得∠AHD的度数，再根据平行线的性质得∠GIF＝∠AHD＝16°，最后利用角的和差∠β＝∠EGF﹣∠GIF即可解答．
7．【答案】C
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵是的中点，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴菱形的周长，
故答案为：C.
【分析】根据菱形的性质，相似三角形的判定和性质求解。通过证明，可求，即可求解．
8．【答案】A
【知识点】全等三角形的应用；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，AB∥CD，OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，
∴∠BAG=∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD (SSS)，
∴CD=DE，
∴AB=DE，
在△ABG和△DEG中，，
∴△ABG≌△DEG(AAS)，
∴AG=DG，
∴OG是△ACD的中位线，
∴，故①正确；
∵AB∥CE，AB=DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴∠BCD=∠BAD=60°，
∴△ABD、△BCD是等边三角形，
∴AB=BD=AD，∠ODC=60°，
∴OD=AG，四边形ABDE是菱形，故④正确；
∴AD⊥BE，
由菱形的性质得：△BGA≌△BGD≌△EGD (SSS)，
在△BGA和△COD中，
，
∴△BGA≌△COD(SAS)，
∴△AOB≌△COB≌△COD≌△AOD≌△BGA≌△BGD≌△EGD，故②不正确；
∵OB=OD，
∴S△BOG=S△DOG，
∵四边形ABDE是菱形，
∴S△ABG=S△DGE，
∴四边形ODEG与四边形OBAG面积相等，故③正确；
故答案为：A.
【分析】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；结论使用AAS证明△ABG≌△DEG，再利用中位线定理可得出结论①正确；证明△BGA≌△COD(SAS)，即可证明出结论②不正确；中线的性质和菱形的性质证明S△ABG=S△DGE，得出结论③正确，证明四边形ABDE是平行四边形、OD=AG，则四边形ABDE是菱形，得出结论④正确.
9．【答案】20
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图所示.
根据题意可知，四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=8.
∴AC⊥BD，AO=3，BO=4.
在Rt△AOB中，由勾股定理得AB=5.
∴这个菱形的周长为 4×5=20.
故答案为：20.
【分析】根据菱形对角线垂直平分和勾股定理得边长，然后根据菱形定义即可得周长.
10．【答案】24
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形的两条对角线长分别为6和8，
∴菱形的面积为24，
故答案为：24
【分析】根据菱形面积的计算公式即可求解。
11．【答案】2
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理的应用；菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】
解：
连接PC，由菱形的性质可知PA=PC，
∴PE+PC=PE+PA=
∵CE≤PE+PC，∴CE≤
即CE的最大值是。
连接AC，CE，
∵AB=BC，∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，
∵E是AB的中点，∴CE⊥AB，
∴∠BCE=30°，∴BE=
∴CE=
∴当CE最大时，AB最大，
∴AB的最大值是。
故答案为：2
【分析】
连接PC，则CE≤PE+PC，即CE的最大值是PE+PC的值。再根据等边三角形的性质及勾股定理可得出CE=，进而求出AB的最大值。
12．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理的应用；菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接BD，AC，AC和EF相交于G，
由菱形ABCD可知AC和BD互相垂直平分，
由折叠可知EF垂直平分AO，∴EF∥BD，
∴EF是△ABD的中位线，∴EF=
∵∠A=120°，∴∠B=60°，∴∠ABO=30°，
∴AO=AB，
∴BO=
∴
又，
∴
∴AB=2
∴BO==
∴EF=BD=BO=
故答案为：.
【分析】连接AC和BD，得AC和BD互相垂直平分，根据折叠的性质可知EF垂直平分AO，得EF平行BD，EF是△ABD的中位线，EF=根据勾股定理和三角形面积公式可求出AB，BO，再计算EF即可.
13．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：设BE=x，则CD=2x，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=AD=CD=2x，OB=OD，ACBD，
∵∠DAE=∠DEA，
∴DE=AD=2x，
∴BD=BE+DE=3x，
∴OB=OD=x，
∵OE+BE=BO，
∴1+x=x，
解得x=2，
∴AB=2x=4，OB=x=3，
在Rt△AOB中，OA===，
在Rt△AOE中，AE===2.
故答案为：.
【分析】根据菱形的性质，设BE=x，则AB=AD=CD=2x，因为∠DAE=∠DEA，所以DE=AD=2x，可得OB=OD=x，又因为OB=1+x，找到等量关系1+x=x，解得x的值，在Rt△AOB、Rt△AOE中利用勾股定理即可解答。
14．【答案】证明： ∵四边形ABCD为菱形，
∵ AB=CB(菱形的四条边相等)，
∠BAM=∠BCN(菱形的对角相等)，
∴∠BAE=∠BCF.
∵BM ⊥AD，BN⊥CD，
∴∠AMB= ∠CNB=90°， ∴∠ABE=∠CBF.
在△ABE 和△CBF 中，
∵∠BAE=∠BCF，AB=CB，∠ABE=∠CBF，
∴ABE≌ΔCBF(ASA)，
∴AE=CF.
【知识点】菱形的性质
【解析】【分析】证明AE和CF所在的三角形全等即可解本题.
15．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=2，
∴菱形ABCD的周长为8；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC=AC=1，OB=OD，
且∠AOB=90°.
在Rt△AOB中，∴
（3）解：S菱形ABCD=AC× BD=.
【知识点】菱形的性质
【解析】【分析】(1)根据菱形的性质可知AB=BC=CD=AD，由已知AB=AC=2，可算出菱形ABCD的周长.(2)根据菱形的性质，由勾股定理可算出OB，再由BD=2OB可得答案；（3）由菱形的面积公式即可求菱形 ABCD的面积.
16．【答案】（1）证明：∵ CE∥BD，DE∥AC，
∴ 四边形CODE是平行四边形，
∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AC⊥BD，
∴ ∠DOC＝90°，∴ □ CODE是矩形
（2）解：在菱形ABCD中，OC＝ AC＝ ×6＝3，CD＝AB＝5，
在Rt△COD中，OD＝ ，
∴ 四边形CODE的周长即矩形CODE的周长为：2（OD＋OC）＝2×（4＋3）＝14
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出： 四边形CODE是平行四边形 ，根据菱形的对角线互相垂直得出 AC⊥BD， 即 ∠DOC＝90°，根据一个角是直角的平行四边形是矩形得出：□ CODE是矩形 ；
（2）根据菱形的对角线互相平分得出 OC＝ AC＝ ×6＝3，根据菱形的四边相等得出CD＝AB＝5， 在Rt△COD中， 利用勾股定理算出OD的长，再根据矩形的周长等于两邻边和的2倍即可算出答案。
17．【答案】（1）证明：∵AB//CD，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵∥，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴是菱形．
（2）解：∵四边形是菱形，对角线、交于点，
∴，，，
∴，
在Rt△AOB中，，
∴，
∵，
∴，
在Rt△AEC中，，为中点，
∴．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）首先由AB//CD以及AC平分∠BAD可得，即AD=CD，已知AD=AB，AB∥CD，利用平行四边形的判定，即可得四边形ABCD是平行四边形，再利用菱形的判定可得平行四边形ABCD是菱形；
（2）已知四边形ABCD是菱形对角线交点为O，可得AC⊥BD，，在直角三角形AOB中利用勾股定理求出OA的长度，在利用直角三角形的斜边中线定理即可得出OE的长度.
1 / 12023-2024学年人教版初中数学八年级下册 18.2.2 菱形同步分层训练提升题
一、选择题
1．（2023九上·茂名期中）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是（ ）
A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【答案】C
【知识点】菱形的判定；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图：
∴
∵点E、F、G、H分别为AB、AD、BC、CD的中点，
∴
∴
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵
∴四边形ABCD为菱形，
故答案为：C.
【分析】根据题意画出图形，利用三角形中位线定理得到：进而证明四边形ABCD为平行四边形，最后根据"邻边相等的平行四边形为菱形"，即可求解.
2．（2023九上·商河期中）菱形不一定具有的性质是（ ）
A．四条边相等 B．对角线相等
C．是轴对称图形 D．是中心对称图形
【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】菱形的性质有：四边相等，两组对边分别平行，对角线互相垂直平分，对角线平分对角，既是轴对称图形也是中心对称图形。因此B错误。
故答案为：B
【分析】根据菱形的性质解题即可。
3．（2019·泸州）一个菱形的边长为 ，面积为 ，则该菱形的两条对角线的长度之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】如图所示：
四边形 是菱形，
， ， ，
面积为 ，
①
菱形的边长为 ，
②，
由①②两式可得： ，
，
，
即该菱形的两条对角线的长度之和为 ，
故答案为：C．
【分析】根据菱形的面积=对角线乘积的一半=底×高，可得2OD·OA=28.利用菱形的性质及勾股定理可得OD2+OA2=36，从而求出OD+OA的长，继而求出菱形的两条对角线的长度之和.
4．如图，在菱形 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列说法错误的是 （ ）
A．AB∥DC B．∠DAO=∠DCO C．AC⊥BD D．OA=BD
【答案】D
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
∴AB//DC，AD=DC，AC⊥BD，AO =OC，OD =OB，故A、C选项正确，不符合题意；
∴∠DAO=∠DCO(等边对等角)，故B选项正确，不符合题意；
题目中没有条件能证出OA=BD，故D选项不一定正确，符合题意.
故答案为：D
【分析】根据菱形的对角线互相垂直，对边平行，可直接判断A、C选项；根据菱形的四边相等及等边对等角可判断B选项；题目中没有条件能证出OA=BD，故D选项不一定正确.
5．如图，菱形ABCD中，点О为对称中心，点E从点A出发沿AB向点B移动，移动到点B停止.作射线EO，交边CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为（ ）
A．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形
B．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形
C．平行四边形→正方形→菱形→矩形
D．平行四边形→菱形→正方形→矩形
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，点O为对称中心，
∴这个四边形先是平行四边形，当对角线相等时是它是矩形，然后又是平行四边形，最后当点E与点B重合时是它是菱形．
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的判定，对称中心的定义，菱形的判定，可得四边形AECF形状的变化情况．
6．如图，直线，菱形ABCD和等边在之间，点A，F分别在上，点B，D，E，G在同一直线上.若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，延长BG，
∵∠ADE＝146°，
∴∠ADB＝180°﹣∠ADE＝34°，
∵∠α＝∠ADB+∠AHD，
∴∠AHD＝∠α﹣∠ADB＝50°﹣34°，＝16°，
∵l1∥l2，
∴∠GIF＝∠AHD＝16°，
∵∠EGF＝∠β+∠GIF，
∵△EFG是等边三角形，
∴∠EGF＝60°，
∴∠β＝∠EGF﹣∠GIF＝60°﹣16°＝44°，
故答案为：C．
【分析】由平角的定义求得∠ADB的度数，然后由外角定理求得∠AHD的度数，再根据平行线的性质得∠GIF＝∠AHD＝16°，最后利用角的和差∠β＝∠EGF﹣∠GIF即可解答．
7．（2023九上·简阳期中）如图，在菱形中，是的中点，，交于点，如果，那么菱形的周长为（ ）
A．12 B．20 C．24 D．22
【答案】C
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵是的中点，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴菱形的周长，
故答案为：C.
【分析】根据菱形的性质，相似三角形的判定和性质求解。通过证明，可求，即可求解．
8．（2023八下·番禺期中）如图，菱形中，，与交于点，为延长线上的一点，且，连接分别交，于点、，连接，则下列结论：（ ）
；
与全等的三角形共有个；
；
由点、、、构成的四边形是菱形．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】全等三角形的应用；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，AB∥CD，OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，
∴∠BAG=∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD (SSS)，
∴CD=DE，
∴AB=DE，
在△ABG和△DEG中，，
∴△ABG≌△DEG(AAS)，
∴AG=DG，
∴OG是△ACD的中位线，
∴，故①正确；
∵AB∥CE，AB=DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴∠BCD=∠BAD=60°，
∴△ABD、△BCD是等边三角形，
∴AB=BD=AD，∠ODC=60°，
∴OD=AG，四边形ABDE是菱形，故④正确；
∴AD⊥BE，
由菱形的性质得：△BGA≌△BGD≌△EGD (SSS)，
在△BGA和△COD中，
，
∴△BGA≌△COD(SAS)，
∴△AOB≌△COB≌△COD≌△AOD≌△BGA≌△BGD≌△EGD，故②不正确；
∵OB=OD，
∴S△BOG=S△DOG，
∵四边形ABDE是菱形，
∴S△ABG=S△DGE，
∴四边形ODEG与四边形OBAG面积相等，故③正确；
故答案为：A.
【分析】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；结论使用AAS证明△ABG≌△DEG，再利用中位线定理可得出结论①正确；证明△BGA≌△COD(SAS)，即可证明出结论②不正确；中线的性质和菱形的性质证明S△ABG=S△DGE，得出结论③正确，证明四边形ABDE是平行四边形、OD=AG，则四边形ABDE是菱形，得出结论④正确.
二、填空题
9．（2023九上·龙岗月考）菱形的两条对角线长分别为和，则这个菱形的周长为 ．
【答案】20
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图所示.
根据题意可知，四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=8.
∴AC⊥BD，AO=3，BO=4.
在Rt△AOB中，由勾股定理得AB=5.
∴这个菱形的周长为 4×5=20.
故答案为：20.
【分析】根据菱形对角线垂直平分和勾股定理得边长，然后根据菱形定义即可得周长.
10．（2023九上·邵阳月考）若菱形的两条对角线长分别为6和8，则该菱形的面积为 ．
【答案】24
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形的两条对角线长分别为6和8，
∴菱形的面积为24，
故答案为：24
【分析】根据菱形面积的计算公式即可求解。
11．（2024八上·长春期末）如图，在菱形ABCD中，，点E为AB中点，点P在对角线BD上运动，若，则AB长的最大值为 .
【答案】2
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理的应用；菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】
解：
连接PC，由菱形的性质可知PA=PC，
∴PE+PC=PE+PA=
∵CE≤PE+PC，∴CE≤
即CE的最大值是。
连接AC，CE，
∵AB=BC，∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，
∵E是AB的中点，∴CE⊥AB，
∴∠BCE=30°，∴BE=
∴CE=
∴当CE最大时，AB最大，
∴AB的最大值是。
故答案为：2
【分析】
连接PC，则CE≤PE+PC，即CE的最大值是PE+PC的值。再根据等边三角形的性质及勾股定理可得出CE=，进而求出AB的最大值。
12．（2023九上·深圳期中）如图，若菱形的面积为，，将菱形折叠，使点恰好落在菱形对角线的交点处，折痕为，则 cm.
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理的应用；菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接BD，AC，AC和EF相交于G，
由菱形ABCD可知AC和BD互相垂直平分，
由折叠可知EF垂直平分AO，∴EF∥BD，
∴EF是△ABD的中位线，∴EF=
∵∠A=120°，∴∠B=60°，∴∠ABO=30°，
∴AO=AB，
∴BO=
∴
又，
∴
∴AB=2
∴BO==
∴EF=BD=BO=
故答案为：.
【分析】连接AC和BD，得AC和BD互相垂直平分，根据折叠的性质可知EF垂直平分AO，得EF平行BD，EF是△ABD的中位线，EF=根据勾股定理和三角形面积公式可求出AB，BO，再计算EF即可.
13．（2023九上·邛崃月考）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在线段BO上，连接AE，若CD=2BE，，则线段AE的长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：设BE=x，则CD=2x，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=AD=CD=2x，OB=OD，ACBD，
∵∠DAE=∠DEA，
∴DE=AD=2x，
∴BD=BE+DE=3x，
∴OB=OD=x，
∵OE+BE=BO，
∴1+x=x，
解得x=2，
∴AB=2x=4，OB=x=3，
在Rt△AOB中，OA===，
在Rt△AOE中，AE===2.
故答案为：.
【分析】根据菱形的性质，设BE=x，则AB=AD=CD=2x，因为∠DAE=∠DEA，所以DE=AD=2x，可得OB=OD=x，又因为OB=1+x，找到等量关系1+x=x，解得x的值，在Rt△AOB、Rt△AOE中利用勾股定理即可解答。
三、解答题
14．如图，在菱形 ABCD 中，过点 B 作 BM⊥AD 于点 M，BN⊥CD 于点 N，BM，BN 分别交AC 于点 E，F.求证：AE=CF.
【答案】证明： ∵四边形ABCD为菱形，
∵ AB=CB(菱形的四条边相等)，
∠BAM=∠BCN(菱形的对角相等)，
∴∠BAE=∠BCF.
∵BM ⊥AD，BN⊥CD，
∴∠AMB= ∠CNB=90°， ∴∠ABE=∠CBF.
在△ABE 和△CBF 中，
∵∠BAE=∠BCF，AB=CB，∠ABE=∠CBF，
∴ABE≌ΔCBF(ASA)，
∴AE=CF.
【知识点】菱形的性质
【解析】【分析】证明AE和CF所在的三角形全等即可解本题.
15．如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC，BD 相交于点O，AB=2，AC=2.求：
（1）菱形 ABCD的周长.
（2）BD的长.
（3）菱形 ABCD的面积.
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=2，
∴菱形ABCD的周长为8；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC=AC=1，OB=OD，
且∠AOB=90°.
在Rt△AOB中，∴
（3）解：S菱形ABCD=AC× BD=.
【知识点】菱形的性质
【解析】【分析】(1)根据菱形的性质可知AB=BC=CD=AD，由已知AB=AC=2，可算出菱形ABCD的周长.(2)根据菱形的性质，由勾股定理可算出OB，再由BD=2OB可得答案；（3）由菱形的面积公式即可求菱形 ABCD的面积.
四、综合题
16．（2019九上·兰州期末）如图，已知菱形 ABCD 中，对角线 ACBD 相交于点 O，过点 C 作 CE∥BD，过点 D 作 DE∥AC，CE 与 DE 相交于点 E．
（1）求证：四边形 CODE 是矩形．
（2）若 AB=5，AC=6，求四边形 CODE 的周长．
【答案】（1）证明：∵ CE∥BD，DE∥AC，
∴ 四边形CODE是平行四边形，
∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AC⊥BD，
∴ ∠DOC＝90°，∴ □ CODE是矩形
（2）解：在菱形ABCD中，OC＝ AC＝ ×6＝3，CD＝AB＝5，
在Rt△COD中，OD＝ ，
∴ 四边形CODE的周长即矩形CODE的周长为：2（OD＋OC）＝2×（4＋3）＝14
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出： 四边形CODE是平行四边形 ，根据菱形的对角线互相垂直得出 AC⊥BD， 即 ∠DOC＝90°，根据一个角是直角的平行四边形是矩形得出：□ CODE是矩形 ；
（2）根据菱形的对角线互相平分得出 OC＝ AC＝ ×6＝3，根据菱形的四边相等得出CD＝AB＝5， 在Rt△COD中， 利用勾股定理算出OD的长，再根据矩形的周长等于两邻边和的2倍即可算出答案。
17．（2023八下·莆田期末）如图，在四边形中，AB//DC，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵AB//CD，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵∥，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴是菱形．
（2）解：∵四边形是菱形，对角线、交于点，
∴，，，
∴，
在Rt△AOB中，，
∴，
∵，
∴，
在Rt△AEC中，，为中点，
∴．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）首先由AB//CD以及AC平分∠BAD可得，即AD=CD，已知AD=AB，AB∥CD，利用平行四边形的判定，即可得四边形ABCD是平行四边形，再利用菱形的判定可得平行四边形ABCD是菱形；
（2）已知四边形ABCD是菱形对角线交点为O，可得AC⊥BD，，在直角三角形AOB中利用勾股定理求出OA的长度，在利用直角三角形的斜边中线定理即可得出OE的长度.
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